湖北武汉市武钢三中2025-2026学年高一下学期三月学科素养检测数学试卷

武汉市武钢三中2025-2026学年度下学期三月数学学科素养检测 考试时间：2026年3月26日下午14：00-16：00 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知，b是两个单位向量，则下列结论正确的是( A.d=±b B.d//B C.a.b=0 D.2-62 2改a5是非g向量，果侣-高是a=25成立( D A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图，在梯形ABCD中，BC=2AD,DE=EC,设BA=d,BC=b,则BE=() A.2a+6 B.2a+6 c.a+6 D.号a+6 4.在△ABC中，已知B=120°，AC=V19,AB=2,则BC=() A.1 B.5 C.3或5 D.3 5.已知向量a,b满足a1=2,|b|=1,1a-b1=2,则在b方向上的投影向量是() A周 B. c D唱 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边为ab,c,b2-c2=Q2-3ac,AD=号AC,若AB=4,BC=3,则BD长为 () A B号 c D.9 A 7.己知函数g(x)=√3sin(wx+p),w>0,将g(x)图象上每一点的横坐标缩 B 短到原来的，得到f(x)的图象，f(x)的部分图象如图所示，若AB,BC= AB2,则ω等于() A豆 B.8 C. D 8.如图，已知扇形AOB是半径为4，圆心角为的扇形，点E,F分别是OA,OB上 的两动点，且EF=2,点P在圆弧AB上，则PE.PF的最小值为() A.4 B.8 C.19-8V2 D.16-8V2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 9.下列说法中正确的是() 1 A.已知石=(1，-3)，b=(2,-6),则{a,b不可以作为平面内所有向量的一个基底 B.已知向量d=(2,1),万=(-1，x),若d,的夹角为钝角，则x<2 C.已知a=(3,-1),万=(1,2)，则向量在向量上的投影向量为(G) D.平面直角坐标系中，A(1,1),B(3,2),C(4,0),则△ABC为锐角三角形 10.将函数f(x)=sin(2x+p)(0<p<m)的图象向右平移牙个单位长度后，得到函数g(x)=sin(2x+的 图象，则下列说法正确的是() A.p=5 B.函数f(x)的最小正周期为π C.函数f(x)的图象关于点(，0)成中心对称 D.函数f()的一个单调递减区间为-是， 11,对任意两个非零向量a,石，定义新运算：a⑧万=@snca配已知非零向量，元满足m1>3引元，且 1 向量，的夹角9∈(，，若4(m⑧内和4元⑧都是整数，则m⑧的值可能是() A.2 B C.3 D.4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知x为实数，向量a=(2,-1),6=(1,x),且a1b,则2a+= 13.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为BC边上的动点，则AP.AB+AP.AC= 14.已知函数f(x)=sin(ox+p)w>0)在[-3，上单调，且f(=f(g）)=-f(-到， 则ω的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题13分)己知△ABC中，b=4,c=3. (1)如果A=买，求cosB的值： (2)若BD=DC,AD=受，求边a的长度 2 16.(本小题15分)设向量d=(W3sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈[0，] (1)若||=|b,求x的值： (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的值域. 17.(本小题15分)已知函数f(x)=sin(ωx+p)(w>0,0<p<π)的图象的相邻对称轴之间的距离是，若 将f(x)的图像向右平移g个单位，所得函数g(x)为奇函数. (1)求f(x)的解析式： (2)若函数h(x)=fx)-的零点为xo,求sin(g-4xo)月 (3)若对x∈[0，引，f2(o)-fx)-a=0有解，求a的取值范围. 3 18.(本小题17分)已知平行四边形ABCD中，DE=2EC,AF+DF=0,AE和BF交于点P. (1)试用AB,AD表示向量AP; D E (2)若△BPE的面积为S1,△APF的面积为S2,求号的值： (3)若|AB+AD|=|AB-AD|,AC·BD=0,求LAPF的余弦值 B 19.(本小题17分)如图，A,B是单位圆（圆心为O)上两动点，C是劣弧AB(含端点）上的动点， 记0C=10A+u0B(乙，u均为实数). ()若0到弦AB的距离是号 (①)当点C恰好运动到劣弧AB的中点时，求AC.CB的值： ()求λ+μ的取值范围： (2)若30A-0B1≤)，记向量20A+0B和向量0A+0B的夹角为6，求cos20的最小值. 4 1.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查单位向量的含义，属于基础题 根据单位向量的定义进行选择. 【解答】 解：因为、b是两个单位向量，所以它们的长度相等，但是方向不一定相同，所以A,B,C错误. 故选：D 2.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答】 解：若a=2b, 则婚品武 26 所以必要性成立； 反之，帽骨服- 不一定有d=2b,所以充分性不一定成立； 则后=高是豆=2成立的必要不充分条件。 故选：C 3.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查向量的线性运算，属于基础题 由题意，利用向量的线性运算即可得出结果. 【解答】 解：因为BC=2AD,DE=EC, BE=(BD+BC)=(BA+AD+BC)=(BA+BC+BC)=BA+BC. 又BA=d,BC=b, 5 所以BE=五+6 4 故选B. 4.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了余弦定理，属于基础题. 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得 到BC的长度。 【解答】 解：设角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 结合余弦定理，可得19=a2+4-2×a×2×c0s120°， 即a2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去)， 所以BC=3. 故选：D 5.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查平面向量的投影向量，属于基础题. 利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【解答】 解：因为向量a,b满足I=2,b=1,a-=2, 所以(a-b2=|d-62=d2-2d.b+(⑥2=1a2-2a.b+1b2=4, 解得à：万= 所以在方向上的投影向量是万-2 b 故选：A. 6.【答案】C 【解析】解：因为b2-c2=a2- 由余弦定理，c0sB=4c- 2ac 因为AD=号AC,AB=4,BC=3, 6 所以BD=BA+AD-BA+号AC-BA+(BC-BA=号BA+BC 则BA:BC=|BA1BC1cosB=4×3×=3, 所以BD|= 店8A+号B2=8+8ABC+8C=9+号+4= 故选：C 由余弦定理结合条件可得c0sB=子结合图形推得BD-BA+BC,再利用向量数量积的运算律求模长 即可 本题主要考查了余弦定理，向量数量积的性质的应用，属于中档题. 7.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查由部分图象求三角函数解析式、向量的数量积的概念及其运算、正弦型函数的图象变换，属于中 档题. 由部分图像求g(x)的解析式，利用向量的数量积的概念及其运算求LABC的大小，进而求出函数g(x)的周 期，根据了=惡即可求出ω的值。 【解答】 解：因为函数g(x)=√3sin(wx+p)图象上每一点的横坐标缩短到原来的2，得到f(x)的图象， 所以f(x)=V3sin(2ωwx+p), 因为AB.BC=|AB12, |ABIIBC1cos(180°-∠ABC)=IAB12, E 所以-|AB|BClcos∠ABC=|ABI2, 因为2IAB=|BC,所以cs-ABC=-克 又∠ABC∈[0°，180]，所以∠ABC=120°， 过点B作BE⊥x轴，垂足为E, 则BE=√3，所以AE=BEtan60°=3， 所以周期T=3×4=12. 所以%=12，所以w=是 故答案选：A. 8.【答案】B > 【解析】【分析】 本题考查向量数量积，属于较难题. 【解答】 解：以0为原点建立如图所示的直角坐标系，P(4cos6,4sin6)(8∈[0，) 设E(t,0)(t∈[0,2])，又IEF1=2,所以0F1=V4-t2,可得F(0,V4-t2), B D PE=(t-4cos 0,-4sin 0),PF=(-4cos 0,4-t2-4sin 0), E A PE.PF =-4tcos 0+16cos20-4v4-t2sin 0+16sin20 =16-4(tcos 0+4-t2sin 0) =16-8sin(0+p),其中cos9=,sin9=克 又t∈[0,2]，所以cosp,sinp∈[0,1，所以p∈[0，，p+6∈[0，m], sin(p+0)∈[0,1]，-sin(p+0)∈[-1,0]，所以PE.PF∈[8,16]， PE.PF的最小值为8. 9.【答案】AC 【解析】解：对于A,因为b=2a, 所以与b不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A正确： 对于B,若a,b夹角为钝角， 则.<0且向量不共线（反向）， 由a.=-2+x<0,得x<2, 由d,洪线，得x=- 所以x<2且x≠-克故B错误 8 对c,因肾=方受 所以向量在向量五上的投影向量为 号高=号x停9）-() 故C正确： 对于D,因为A(1,1),B(3,2),C(4,0), 所以BA=(-2,-1),BC=(1,-2) 所以BA·BC=(-2)×1+(-1)×(-2)=0, 所以∠B=艺，所以。ABC不是锐角三角形，故D错误. 故选：AC, 10.【答案】BD 【解析】【分析】 本题考查了三角函数图象平移变换以及函数y=Asi(ωx+p)的性质的应用，属于基础题. 先由三角函数的图象变换求出p的值，即可判断A选项错误，求出f(x)的解析式，然后根据三角函数的性质 逐项判断B,C,D即可. 【解答】 解：f(x)=sin(2x+p)的图象向右平移g个单位长度后得到y=sin[2(x-孕+p]=sin(2x+p-) =g()=sin(2x+3, :0<p<π， “一是=名即印=织，故A不正确： f()=sin (x), Bf)的最小正周期T=牙=，故B正确： C.令2x+受=km,keZ,得x=-号+受ke2), 即f)的对称中心为(-号+受，0)(kE2),故C不正确： D.令5+2km≤2x+号≤受+2km,k∈Z, 解得-是+km≤x≤登+km,kEZ, 函数F)的递减区间为[-是+km,受+k如(k∈2)， 当k=0时，函数f)的递减区间为-是，，故D正确： 故选BD. 11.【答案】BC 【解析】【分析】 本题考查了平面向量的新定义问题，涉及正弦函数的性质，属较难题. 【解答】 解：由题意可得元⑧m=”-年k∈Z).因为m>3到>0，所以0<贯< 因为9∈.所以号<sin0<1,所以0<周sn9<有即0<斧<家解得0<k<号 mil 因为水kez,所以=1，所以玩图丽=同德=子则周=品故成图元=四高°=4sin29. 因为0e2,所以号<sin9<1. 因为0<贯<所以0<<号所以好<sn9<1,所以品<sin2g<1,则号<4sin2g<4,即元⑧ 元e2,4). 12.【答案】5 【解析】【分析】 本题考查平面向量垂直的条件、平面向量的坐标运算、数量积的运算以及模的计算，属于基础题. 先根据a1b,得到a·b=2一x=0,解得x的值，进而求出2a+的坐标，再通过模的公式计算，即可得 到答案. 【解答】 解：由a=(2,-1),=(1,x),且a1b, 得d·b=2-x=0,解得x=2, 则2d+五=2(2，-1)+(1,2)=(5,0)， 则12元+b1=V52+02=5. 故答案为5. 13.【答案】32 10 【解析】解：如图，设BC的中点为D, A 0 因为AB=AC=5,BC=6,所以AD=4,AD1BC, AP.AB+AP.AC AP.(AB+AC)=AP.2AD=(AD+DP).2AD=2AD=32. 故答案为32. 14.【答案】号 【解析】解：设f(x)的最小正周期为T, 因为f)在[-写上单调，所以写≥名-(-孕- 可得T≥元，：径之m,0<w≤2 因为对f=-南且要-最 所以(-受，0)为f(x)图象的对称中心， 不妨设f爱=f>0,如图所示： D E 30 6 y=f(x) 求ω的最大值，即求T的最小值，即区间哈，智包含的周期最多. 易得智-石=石，讨论x=为点C,A,D,E等的横坐标的情况， 若x=誓为点E(或点E之后)的横坐标，则2T≤石，即T≤役<π，不合题意 若x=号为点D的横坐标，则直线x-型=翠为f)图象的一条对称轴。 4rπ 且婴-()=和，则T=9,满足T≥m 11 若x=为点A的横坐标，则T=2石>19 6 若x=号为点C的横坐标，则T>召 综上，T的最小值为9，所以ω的最大值为品=号 15.【答案】解：(1)a=V37,cosB=5 37 (2)a=V13. 16.【答案】解：(1)由题意可得2=(3six)2+sin2x=4sin2x,b=cos2x+sin2x=1, la=,可得4s2x=1,即sin2x=子 :xeD,,sinx=克即x=君 (2):函数f(x)=d. =(V3sinx,sinx).(cosx,sinx) =V3sinxcosx +sin2x =号m2x+1g2=sin(2x-9+ 2 xe0,,a2x-君e[-ga, sin(2x 【解析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和 值域，属于中档题 (1)由条件求得2，的值，再根据1a1=|以及x的范围，可的sx的值，从而求得x的值. (2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f()的解析式为sin(2x-召+2结合x的范围， 利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值。 17.【答案】解：(1)因为相邻对称轴之间的距离是5， 所以=受T=元，忍=T=元，解得w=2,f)=sin(2x+0), 将f(x)的图像向右移g个单位，可得函数g(x)=sin[2(x-+p]=sin(2x-号+p), 因为函数g(x)为奇函数，所以g(0)=sin(-号+p)=0,-号+p=kπ(k∈Z),， 12 因为0<p<π，所以p=3,f(x)=sin(2x+, (2)因为函数h()=fx)-的零点为xo, 所以h(xo)=f0xo)-号=sin(2xo+-号=0，sin(2x+9=} 因为sin(g-4x)=sin竖-2(（得+2x】=2sim2(2xo+)-1 所以sin(倍-4xo)=-云： (3)令t=f(x)=sin(2x+,f()-f(x)-a=0有解即t2-t=a有解， 因为x∈[0，]，所以0≤sin(2x+≤1,0≤t≤1， 因为t2-t=(c-为2-寻所以当0≤t≤1时，-≤t2-t≤0， 因为t2-t=a有解，所以a的取值范围为[-}，0]。 【解析】本题考查三角函数的图象与性质的应用，考查三角函数的求值问题，考查函数的零点以及函数与 方程的综合应用，题目较难， (1)由条件可求出T和ω，根据函数g(x)为奇函数的条件可求得p,继而可得到f(x)的解析式： (2)由条件可求得sin(2x,+孕=号，利用诱导公式即可求出结果： (3)令t=f(x)=sin(2x+,把命题转化为t2-t=a在0,1]上有解的问题，继而可求出结果. 18.【答案】解：(1)：点P在BF上，·AP=xAF+(1-x)AB=AD+(1-x)AB, 又：AE=AD+AB, AP//AE, =学x=是 3 13 .AP-4B+8AD: (2)丽-正，÷-最即0-景 :AP=AB+A水，日+昂A那=A丽+派， BP BP =3PF,PF=3, -器-得-5 13 (3)依题意得平行四边形ABCD是正方形，以A为原点，AB,AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平 面直角坐标系， ∠APF是向量AE和FB的夹角， 不妨设AB=1,则AE=(,1),FE=(1,-, :cOs<A正，FB>=V,·LAPF的余弦值是 65 65 y E D F B 【解析】本题考查向量的线性运算，向量数量积的应用，属于中档题. (1)利用向量的线性运算进行求解； (2)根据题意得出能=号器=3，则=0-器=5. S2 S△APF (3)根据题意得出平行四边形ABCD是正方形，以A为原点，AB,AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示 的平面直角坐标系，∠APF是向量AE和FB的夹角，进行求解即可. 19.【答案】解：四由0到弦AB的距离是 可得∠AB0=∠BA0=30°， 故∠A0B=120°， (i)由题意得LACB=120°， 当点C恰好运动到劣弧AB的中点时，|AC|=|CB|=1, 故AC.CB-|AC1×|CB1×cos(AC,CB=1×1×c0s60°=2： (0记劣弧B的中点为D,0.0A=-》 0元.0A=0A+u0B.0A=1-2①， 0C.0B=10A.0B+u0B=-A+u②， ①+②得0元.0A+0B=20+), 进一步得λ+μ=20C.(0A+0B)=20C.0D=2cos<0C,0D>∈[1,2]， 14 其中o元，0D)∈[0，]， 故2+的范围为[1,2]： (D记∠A0B=,C∈(0，π)， 由30A-0B1≤两边平方， 得90i+0B-60A,0B≤药， d10-6c0sa≤， 又-1<cosa<1,得cosae写，1)， 故(20A+0B)·(0A+0B)=3+3C0s, |20A+0B|=V5+4cosa, 1OA+0B=V2+2cosa, 而向量2OA+0B和向量0A+0B的夹角为0， 故c0s20= [20☑+0：OA+0E]2 [10A+0B20A+0B1 (3+3c0s)2 =(5+4c0saw)(2+2cos网 comc =25+4c0s网 记f=(1-43),显然f)在x∈后1)上严格增， 所以当x=cosa=时，(cos20)mn=f间=器 【解析】本题重点考查向量和三角函数的综合应用，属于较难题. (①由0到弦AB的距离是2，可得∠AB0=∠BA0=30°，得∠A0B=120°. ()利用数量积的定义即可求解； (i)记劣弧AB的中点为D,求出1+u=2cos<OC,OD>,结合(OC,OD)∈[0，即可求解； 四求cos0=1-aoa.记f()-81-2 利用函数的单调性即可求解。 15