山东泰安市新泰市第一中学东校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 融合《九章算术》“堑堵”“鳖臑”等文化素材与阿基米德多面体情境，通过分层设计的解答题（如翻折问题面面垂直证明、空间距离计算）考查逻辑推理与空间观念，体现数学思维与眼光。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数几何意义、解三角形、线面关系|基础概念辨析，如复数象限判断| |多选题|3/18|复数性质、向量运算、棱台体积|选项分层，如向量夹角钝角条件判断| |填空题|3/15|向量数量积、三角形周长、外接球体积|结合文化情境，如阿基米德多面体外接球| |解答题|5/77|复数纯虚数、线面平行证明、翻折问题|综合应用，如正四棱锥线线角余弦值计算，体现能力梯度|

· 2025级高一下学期期中考试 · 数 学 试 题 2026.5 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与平面，则下列选项可使得的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 6．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ） A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．四棱锥体积的最大值为 D．过A点作于点E，过E点作交于点F，则面AEF 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B． 若，则 C．若，则 D．若，则的虚部为 10．已知向量，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则 D．在上的投影向量为 11．如图，在正四棱台中，，，，为棱上的动点（包括端点），则（    ）    A．该正四棱台的体积为 B． 存在点，使得平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知向量与的夹角为，且满足，，若，则实数k的值为______. 13．在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 14．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题13分）已知复数z＝（1＋i）m2－4i－3m＋2（m∈R）. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围. 16．（本题15分）已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 17．（本题15分）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 18．（本题17分）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 19．（本题17分）如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且. (1)求证：平面平面； (2)求二面角平面角的正切值； (3)求点到平面的距离. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 · 2025级高一下学期期中考试 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D C D A D C ABC BD ACD 三、填空题 12． 13．15 14． 四、解答题 15．【详解】（1）由题意可得z＝（m2－3m＋2）＋（m2－4）i， 则z的实部为m2－3m＋2，虚部为m2－4. 因为z是纯虚数，所以解得m＝1. （2）由题意可得解得－2＜m＜1， 即m的取值范围是（－2，1）. 16．【详解】 （1）取的中点为，连接, 由于是中点，故,且，又且， 故,则四边形为平行四边形，故平面, 平面,故平面 （2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角， 由于为边长为2的等边三角形，故， , 故, 故直线CN与AM所成角的余弦值为 17．【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． （2）为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 18．【详解】（1）由题， . （2）设·， 因为三点共线，所以， 所以； 设， 因为三点共线，所以， 所以. （3）由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 19．【详解】 （1）证明： 连接，根据余弦定理， ∴，，∴， 又已知，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2） 由（1）知平面平面，平面平面， 作于（中点），则平面， 作于，连接，因为平面， 所以平面， ∴，所以为二面角的平面角， 因为， ∴. 所以二面角平面角的正切值为. （3）记点到平面的距离为， ∵，∴， 由（2）知，所以根据勾股定理可得， ∴. 所以点到平面的距离为. 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $