精品解析：广西贺州市昭平县第三高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

普通高中2026年春季学期高二年级期中试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 求的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数的计算方法即可得解. 【详解】. 故选：B. 2. 从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车有2班，汽车有3班，轮船每日有3班，那么一天中从甲地到乙地有（ ）种不同的走法 A. 8 B. 9 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】直接按照分类加法计数原理计算即可. 【详解】从甲地到乙地有种不同的走法. 故选：A. 3. 把10个苹果分给三个人，要求每人至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ） A. 24种 B. 25种 C. 26种 D. 18种 【答案】D 【解析】 【详解】有1人分得5个，其他两人总和为5，每人至少1个，只有2种分法，即1和4，2和3两种方法，分配方法数均为种 三人中“最多”的为4个，其他两人总和为6，每人至少1个，只有2种分法，即2和4，3和3两种方法，分配方法数均为种. 所以不同的分法共有种. 4. 若的展开式中常数项为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项，根据常数项为32，求. 【详解】的展开式通项为. 故常数项为，得. 故选：A. 5. 若离散型随机变量的分布列如下图，则常数c的值为（ ） X 0 1 P A. 或 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列中所有概率和为1可得，注意概率为正． 【详解】由题意，解得． 故选C． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，掌握分布列的性质是解题基础．分布列中所有概率之和为1． 6. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育：“乐”，音乐，“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】就“射”或“御”排在最后和“射”和“御”均不在最后两种情况分类讨论即可. 【详解】如果“射”或“御”排在最后，那么“射”和“御”有两种排法即种，余下3种才能共有种排法，故此时共有中排法； 如果“射”和“御”均不在最后，那么“射”和“御”有种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有2种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有，故共有种排法， 综上，共有36种排法，选B. 【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑． 7. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件， 则， 所以， 故选：A. 8. 某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ） A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大. 【详解】设中奖的概率为，30天中奖的天数为，则 若盒子中的有奖券有1张， 则中奖的概率为， ， 若盒子中的有奖券有2张， 则中奖的概率为， ， 若盒子中的有奖券有3张， 则中奖的概率为， ， 若盒子中的有奖券有4张， 则中奖的概率为， ， 根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天， 故选：B. 二､多选题（共3小题，共18分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项AB，利用组合数的性质，可得，利用组合数公式可得，计算得解；对于选项C,根据二项式定理，令，可得，设即可得解；对于选项D，当时，则有．根据组合数的性质可得所求. 【详解】已知，根据组合数的性质，可得， 根据组合数公式，则， 即，展开得，因式分解为， 解得或． 因为为正整数，所以，故A正确，B错误． 根据二项式定理， 令，可得， 即． 当时，，而， 所以， 故C错误． 当时，． 根据组合数的性质，可得， 故D正确． 故答案：AD． 10. 由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意按照个位是0、个位不是0分类，结合分步乘法、排列的知识可得无重复数字偶数的个数，即可判断A；再由排列数的运算逐项判断其它选项即可得解. 【详解】对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的偶数，所以共有个无重复数字的偶数，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，所以，故C错误； 对于D，由于，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了分类加法、分步乘法及排列的应用，考查了排列数的运算，属于基础题. 11. 甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有5个白球和5个黑球；乙盒子中装有4个白球和6个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对AB，根据互斥与独立事件的定义判断即可；对CD，根据题意直接求解即可. 【详解】对A，因为每次只摸出一个球，故，不能同时发生，故，是互斥事件，故A正确； 对B，因为，， ，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：ACD 三､填空题（共3小题，共15分） 12. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】根据分类讨论，结合组合的知识求得正确答案. 【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种. 故答案为：30. 14. 用这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是的倍数的九位数，这样的九位数有______个（用数学作答） 【答案】1296 【解析】 【分析】分析题意，列出每种情况，利用排列数知识求解即可. 【详解】若任意相邻的三个数字之和是的倍数， 因此第a个数与第个数的余数也必然相同，故第一，四，七个数和第二，五，八个数 第三，六，九个数必为， 因此有个. 故答案为：1296 【点睛】关键点点睛：本题考查排列问题，解题关键是分析出每种情况，然后表示利用排列数公式，得到所要求的结果即可． 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 化简： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得二项式和展开式的通项，两式相加，即可求解； （2）分别求得和展开式的通项，两式相加，即可求解. 【小问1详解】 由， ， 所以. 【小问2详解】 由二项式的展开式的通项为， 二项式的展开式的通项为， 所以 . 16. 个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲不在两端； （2）甲、乙、丙三个必须在一起； （3）甲、乙必须在一起，且甲、乙都不能与丙相邻． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先考虑甲，有个位置可以选择，其他位置全排列，利用分步乘法计数原理可得出结果； （2）先将甲、乙、丙三人看成一个整体，与其他四人进行排列，由此可得出排法种数； （3）先将甲、乙二人捆绑，然后利用插空法将甲、乙这个整体与丙插入其他四人所形成的空中（包括两端），利用分步乘法计数原理可得出排法种数. 【详解】（1）甲不排头，也不排尾，则甲有个位置供选择，有种情况； 将其余人全排列，安排到其他位置，有种排法. 共有种排法； （2）采用捆绑法：先将甲、乙、丙三人看成一个整体，有种排法，将这个整体与其他四人全排列，有种排法； （3）先捆绑法：先将甲、乙二人看成一个整体，有种排法，再将这个整体与丙插入其他四人所形成的空中（包括两端），共有种. 因此，共有种排法. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊元素法等方法的应用，将问题正确分类与分步处理是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件． （1）求取出的零件是次品的概率； （2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求取出的零件是次品的概率； （2）利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 【详解】（1）取出的零件是次品的概率为； （2）设取出的是次品的事件为,此次品是从第一箱取出的事件为, 则,, 所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为. 18. 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示： 遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 （1）求表中字母的值； （2）求至少遇到4个红灯的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分布列的性质，列出方程，即可求解； （2）结合表格中的数据，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由表格中的数据，结合分布列的性质，可得： ，解得. 【小问2详解】 解：事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥， 所以， 所以至少遇到4个红灯的概率为. 19. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，. （1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率； （2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下. 重量范围（单位：） 个数 为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2）的分布列为： 数学期望为.【解析】 【分析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【小问1详解】 解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布， 由正态分布的对称性可知， ， 所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为. 【小问2详解】 解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、， ，；， 所以，随机变量的分布列为： 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2026年春季学期高二年级期中试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 求的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 2. 从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车有2班，汽车有3班，轮船每日有3班，那么一天中从甲地到乙地有（ ）种不同的走法 A. 8 B. 9 C. 15 D. 18 3. 把10个苹果分给三个人，要求每人至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ） A. 24种 B. 25种 C. 26种 D. 18种 4. 若的展开式中常数项为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 若离散型随机变量的分布列如下图，则常数c的值为（ ） X 0 1 P A. 或 B. C. D. 1 6. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育：“乐”，音乐，“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 8. 某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ） A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张 二､多选题（共3小题，共18分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ） A. B. C. D. 11. 甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有5个白球和5个黑球；乙盒子中装有4个白球和6个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 三､填空题（共3小题，共15分） 12. 若，则____________． 13. 学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答） 14. 用这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是的倍数的九位数，这样的九位数有______个（用数学作答） 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 化简： （1）； （2）. 16. 个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲不在两端； （2）甲、乙、丙三个必须在一起； （3）甲、乙必须在一起，且甲、乙都不能与丙相邻． 17. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件． （1）求取出的零件是次品的概率； （2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 18. 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km，遇到红灯个数的概率如下表所示： 遇到红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 （1）求表中字母的值； （2）求至少遇到4个红灯的概率. 19. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，. （1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率； （2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下. 重量范围（单位：） 个数 为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $