2026年 九年级数学中考二轮复习 圆综合 综合复习训练题

2026年春九年级数学中考二轮复习《圆综合》综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1.如图，在⊙0中，AB,BC是弦，点D在AB的延长线上，连接OA,OC,若0CIAB, ∠CBD-∠OAD=6°，则∠AOC的度数是() A.62 B.118 C.122 D.124° 2.如图，PA,PB与⊙0相切于点AB,AB与OP交于点H.若 AP=25,∠APB=60°，则0H的长为() A B A.0.5 B.1 c.5 D.2 3.如图，△ABC中，∠B=90°，点O在AC上，⊙O过点A,且与BC相切于点D,连 接AD.若AD=CD,OA=3,则AB的长为() D A.6 B.4.5 c.3v5 D.2V5 4.如图，I为△ABC的内心，线段AT的延长线交△ABC的外接圆于D,设△ABC的 外接圆半径为5，内切圆半径为2，则A1·1D=() A A.20 B.21 c.610 D.10W5 5.如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，点O在AB上，连接AC,BD,△ABD的内 心I是AC的中点.若CD=2,E是直线AD上的动点，则I,E两点间的距离最小值是() D B A.5 B.告V5 C.1 D.5 6.如图，AB是⊙0的直径，AB=8,点M在⊙O上，∠MAB=40°，N是弧MB的中 点，P是直径AB上的一动点，PM+PN的最小值为() D A.4y5+1 B.43 c.4y2+1 D.5 7.如图，△ABC内接于⊙0，AC为⊙O的直径，点D,E分别为⊙0上的动点（不与 点A,点B,点C重合)，且DE=BC,F为DE的中点，分别连结OF,AF,若AB=3, BC=4,则AF的最大值为() A.3 B.4 C.4.5 D.5 二、填空题 8.如图，Rt△ABC的斜边AB与⊙O相切于点D,⊙O与BC交于点E,连接DE DEAC.已知BE=EC=V2,AC=4,则⊙0的直径为 0 D 9.如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，I是△ABC的内心，连接CI,并延 长交⊙0于点D,若C1=2,BC=3V2,则1D=一· B D 10.如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC,DH⊥AB于点H, DH=V3,∠ABC=120°，则AB+BC的值为 11.图，扇形A0B的圆心角∠A0B>60°，点C在0B上，将△A0C沿AC折叠得到 △ADC,CD交弧AB于点E,连接AE,恰有AE=AD,若CE=DE=2,则⊙O的半 径长是 D A 12.如图，A为⊙0上一动点，D为圆外一点，AD交⊙O于点B,OD交⊙0于点C,延 长DO交⊙0于点E. D (1)若∠A0D=90°，AD=8,B恰为AD的中点，则OD的长为 (2)若∠A0E=99°，BD=OA,则∠D的度数为 13.己知半圆O的直径BC长为4，点A为BC中点，P为AC上任意一点，AD⊥AP与BP相 交于点D. B (1)∠APC= (度)； (2)CD的最小值为 14.如图，已知⊙0为△ACD外接圆，AB为⊙O的直径，点B为CD的中点，过点D作 ⊙O的切线与直线AB交于点E,点F为⊙O上一点，连接CF,过点B作BH⊥CF分别 交CF、AD于点H、G.已知FH=2y10,tanzACD=等，AB=25,则BE的长度为 ,HG的长度为. B E G D 三、解答题 15.已知AB是⊙0的直径，AT是⊙0的切线，AT=10. ⊙ B 0 0 D F A 图① 图② (1)如图①，若∠ATB=45°，求0T的长； (2)如图②，点C是0B上一点，若∠ATC=45·,TC与⊙0相交于点D,过点D作弦 DE‖AT,与AB相交于点F,DE=12,求OT的长. 16.已知AB是⊙O的直径，CD是垂直于AB的一条弦，且交AB于点H,C0的延长线交 ⊙O于点F,过F点作⊙O的切线交CD的延长线于点G,连接BF交CD于点E. B (1)求证：GE=GF; (2)若E为CG的中点，AB=12, ①求△CFG的面积； ②探讨HE与ED之间的数量关系. 17.如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点0，分别交x轴、y轴于点 A(2,0),B(0,8),连结AB.直线CM分别交⊙M于点D,E(点D在左侧)，交x轴于点 C(17,0),，连结AE. B E (1)求⊙M的半径和直线CM的函数表达式： (2)点P在线段AC上，连结PE.当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的 OP的长 18.如图，在△ABC中，AB=BC,⊙O与AB相切于点A(点0和C在直线AB同侧)， AC交⊙0于点D,延长BD交⊙0于点E,连接AE和CE,CE交⊙O于点F,连接AF. 6 (1)证明：∠AED=∠BCD: (2①证明：EB平分∠AEF; ②连接DF,若DF=1,DC=V2,AF=,求AB的长. 19.已知△ABC内接于⊙O,圆心O在△ABC的内部，AD⊥BC于点D,连接0C. 0 D DG H 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠BAD=∠AC0; (2)如图2，点G为BC的中点，连接OG,过点C作CF⊥AB于点F,交AD于点E,求证： AE=20G: 3)如图3，在(2)的条件下，连接EG并延长交⊙O于点H,连接CH,若C0平分∠ACF ,AC=5,0G=罗，求△CEH的面积， 20.如图，己知四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC、BD交于点E,连接OC, ∠BCO=∠ACD: H D E D C G G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC⊥BD; (2)如图2，若BD恰好为⊙O的直径，连接AO,过点A作⊙O的切线AF交DB的延长线于 点F,点G为⊙O上一点，连接AG、DG,若∠FAC=∠DAG,求证：AG=AD: 3)如图3，在(2)的条件下，过点C作CH⊥AD于点H,CH分别交OA、AG于点M、N, 若CM=18,AN=20,求线段EF的长. 参考答案 1.解：：0CAB, ∴∠OCB=∠CBD,∠COB=∠ABO, 0A=0B, .∠OAB=∠OBA, .∠C0B=∠0BA=∠OAD, 设∠C0B=∠OBA=∠0AD=x°，则∠OCB=∠CBD=∠0AD十6°=x°十6°， ∠0BC=1809-x°-x°-6°=174°-2x, :0B=0C, .∠OBC=∠OCB, ∴x+6=174-2x, 解得：x=56°， ∠0AD=56°， OCILAB, .∠A0C=180°-∠0AD=180°-56°=124°. 故选：D. 2.解：：PA、PB是⊙O的切线， ∴PA=PB,OP平分∠APB(切线长定理)， 又：∠APB=60°， “△APB是等边三角形，AB=PA=2V3, 如图，连接0A、OB,则OA⊥PA, 夕 OA=0B,PA=PB, .OP垂直平分AB, ·PH⊥AB,AH=AB=V5 在Rt△APH中，PH=VPA2-AF-V(2N5)2-(V5)2=3 在Rt△OAP中，∠AP0=30°， 设0A=r,则0P=2r, 由勾股定理：(2r)2=r2+(25)月 解得r=2 ∴0H=0P-PH=4-3=1, 0H的长为1： 故选：B 3.解：如图所示，连接OD,过点D作DE⊥AC于点E, B D ⊙O过点A,且与BC相切于点D, OD⊥BC, 又∠B=90°，即DB⊥AB, :ABIl OD, ∠BAD=∠ADO, :0A=0D=3, .∠ADO=∠DA0, ∠BAD=∠DAO,即AD平分∠BAC, :DE⊥AC,DB⊥AB, DB=DE,且AD=AD, :.Rt△ABD≌Rt△AED(HL), :AB=AE :AD=CD,DE⊥AC, AE=CE, :AC=2AB,即sinC=是=， .∠C=300, 在Rt△C0D中，OC=20D=6, AC=0A+0C+3+6=9, :AB=专AC=4.5, 故选：B 4.解：连接DC,CI,作IE⊥AC于E,记△ABC外接圆圆心为O,连接DO交圆O于F, 连接CF,如图： D I为△ABC的内心， :AD平分∠BAC,BD=DC, ∠BCD=∠DAC, 又：I为△ABC的内心， ∠ICB=∠ICA, ∠DIC=∠DCI, :.ID=DC, :IE⊥AC, .∠IEA=90°， :DF为直径， .∠DCF=90o. :∠DFC=∠DAC, .△DFC△IAE, 器=得， AI·DC=IE·DF=2×10=20,即A1-ID=20, 故选：A. 5.解：连接BI,过点1作IHAD于点H,如图： D B :△ABD的内心I是AC的中点， AC是∠DAB的平分线，BI是∠ABD的平分线， ∠DAC=∠BAC,∠ABI=∠DBI, =, :CD=BC=2, 根据圆周角定理得：∠DAC=∠DBC, ·.∠DAC=∠BAC=∠DBC, ∴∠CBI=∠DBC+∠DBI=∠BAC+∠ABI, :∠CIB是△IAB的外角， .∠CIB=∠BAC+∠ABI, ∠CBI=∠CIB, .IC=BC=2, :△ABD的内心I是AC的中点， A1=IC=2, .AC=AI+IC=4, :点E是直线AD上的动点， 根据“垂线段最短"得：1E≥IH, 当点E与点H重合时，I,E两点间的距离为最小，最小值是线段H的长， :AB是半圆O的直径， ：∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=VAC2+BC=42+2=2V5, sin<BAc=器-希-与. 25 Asin∠DAC=9, 在Rt△AIH中，sin∠DAC=号， H=AH:sin∠DAC=2×号-9， 5 :1E两点间的距离的最小值为25， 故选：D. 6.解：作点N关于AB的对称点C,连接MC交AB于点P,则P点就是所求作的点. 此时PM+PN最小，且等于MC的长. 连接0M,ON,OC, :∠MAB=40°， .∠M0B=80o, :N是孤弧MB的中点， =, :∠BON=∠MON=40°， 由轴对称可知，AB⊥NC, :∠BOC=∠B0N=40°， .∠M0C=120°， :AB=8 :0M=0C=4, :∠0CM=∠0MC=30°， 过点O作OD⊥CM于点D, :0C=0M, :CD=DM, 在Rt△0CD中，cD=0C-c0s30°=4×号=25， MC=4V3, :PM+PN的最小值为45， 故选：B. 7.解：如图1，过点0作0H上BC于H,以点0为圆心，以OH为半径作圆， 图1 图2 :AB为⊙0的直径， ∴.∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=VAB2+BC2=5, :0A=0C=3AC=号， :OH⊥BC,∠ABC=90°， OH为△ABC的中位线， :OH=AB=多，即弦BC的弦心距OH=, :点F为DE的中点， ∴OF为弦DE的弦心距， DE=BC, 0F=0H=是， ·当点D,E在⊙0上运动时，点F在以点0为圆心，以号为半径的圆上运动，根据“两点之 间线段最短"得：AF≤OA十OF, 当点F在AO的延长线上时，AF为最大， 如图2：此时AF=0A+0F=号+号=4，即AF的最大值为4， 故选：B. 8.解：如图，连接0D,作OF⊥DE于点F,则∠OFD=90°， DEIAC,BE=EC=2.AC=4. ·△BDE∽△BCA,∠BED=∠BCA=90°， 器=號=， DE=专AC=2, :∠BED=∠BCA=90°， 由勾股定理得BD=VBE2+DE=V2+4=V6, m<808=器-号-9. :边AB与⊙O相切于点D, OD⊥AB, :∠ODF+∠BDF=∠ODB=90°， 又OF⊥DE, :DF=DE=1,∠0DF+∠D0F=90, :∠DOF=∠BDF, .sin∠DOF=sin∠BDF= ，即器= a0D=5DF=5, :⊙0的直径等于20D=25 故答案为：25. 9.解：连接IB,IA,BD,AD,过点I分别作IE⊥BC于E,IF⊥AC于F,IG⊥AB于 G,如图： B 点I是△ABC的内心， ∠1=∠2=克∠ACB,∠3=4=∠ABC,IE=IF=IG, :AB是⊙0的直径， ∠ACB=∠ADB=90°， :∠1=∠2=克∠ACB=45°， ∠ABD=∠2=45°，∠BAD=∠1=45°， .∠ABD=∠BAD=45°， :BD=AD=ABsin∠ABD=ABsin45°=号AB, ∠DBI=∠ABD+∠4=45°+∠4，∠DIB=∠1+∠3=45°+∠3， ∠DBI=∠DIB, 1D=BD=号AB, 在Rt△IEC中，CI=2,∠1=45°， :1B=c1sin∠1=2×号=V反， 1B=1P=1G=2, 又：BC=3V2, :设AC=x,则AB=VAC2+BC=x2+(3V2)=V2+18, :S△4Bc=号BC·AC=专×3V2x, S△4Bc=SBc+SyAc+SAB =BC·IE+AC·IF+ABIG =×32×2+xV2+寺×2+182×V2, :×3V2x=方×3V2×V2+x·V2+×2+182×V2 解得：x=4V2或0（舍去） AB=Vx2+18=5V2, :1D=BD=号AB=号x55=5, 故答案为：5 10.解：延长BA到E,使AE=BC,连接DE,如图， D :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD=支∠ABC=7X120°=60°， :∠DAC=∠DBC=60°，∠DCA=∠DBA=60°， :△DAC为等边三角形， ·DA=DC, 在△ADE和△BCD中， AE=BC ∠DAE=∠DCB AD=CD ·△ADE≌△BCD(SAS), ·∠E=∠DBC=60°， 而∠DBA=60°， ·△DBE为等边三角形， :DH⊥AB, ÷BH=EH, 在Rt△BDH中， BH=号DH=9x5=1, BE=2BH=2, :AB+BC=2. 故答案为：2. 11.解：连接E0,作AF⊥CD于点F,如图， 则E0=A0,∠AFC=90°， :将△AOC沿AC折叠得到△ADC,CD交弧AB于点E, ·AD=A0,∠ACD=∠AC0,∠D=∠AOC, AE=AD, ÷AE=A0=E0,EF=DF,∠D=∠AED, :△AOE是等边三角形，∠AOC=∠AED, ·∠0AE=60°，∠A0C+∠AEC =∠AED+∠AEC =180°， :∠OCD+∠OAE =360°-（∠A0C+∠AEC) =180°， ÷∠0CD=180°-∠0AE=120°， :∠ACD=专∠0CD=60°， :∠CAF=90°-∠ACD=30°， CE=DE=2, :EF=DF=DE=1, ·CF=CE+EF=3, :AC=2CF=6, AF=AC2-CF2 =V62-32 =3V6, ·AE=0A =VAR2+EF2 =V(3V5)+1日 =27, ·⊙0的半径长是2万， 故答案为：2万 12.(1)解：如图①，连接OB. :∠A0D=90°，B为AD的中点， 0B=AD=4.又：0A=0B,0A=4. 在Rt△OAD中， 由勾股定理，得0D=45. 故答案为：43. E D B A 图① (2)如图②，连接OB. :OB=0A,BD=0A,:.0B=0A=BD, :△OAB和△OBD均为等腰三角形.设∠D=x,则∠BOD=x, ·∠0BA=2x,÷∠A=2x,∠A+∠D=2x+X=∠A0E=99°， 解得x=33°，即∠D=33°. 故答案为：33°. E D B A 图② 13.解：(1)：点A为BC中点， ÷=,则∠ABC=∠ACB, :半圆O的直径BC, ·∠BAC=90°， 即△ABC是等腰直角三角形， ·∠ABC=45°， :四边形ABCP是圆的内接四边形， ÷∠APC+∠ABC=180°， :∠APC=180°-45°=135°； (2)由(1)知∠APC=135°，△ABC是等腰直角三角形， :半圆O的直径BC, ∠BPC=90°，则∠APD=45°， :AD⊥AP, &△ADP是等腰直角三角形，即AD=AP, :AD⊥AP,AD=AP, :P在AC上运动过程中始终保持∠PAD=90°，架=1， 连接0A,将OA绕着点A顺时针旋转90°到OA,连接0P、OD,如图所示， O! B 0 .0A=0A=OP, :∠OAD+∠DA0=90°=∠OAP+∠DAO, ·OAD=∠OAP, 在△OAD和△0AP中， 0A=0A ∠OAD=∠OAP, PA-AD ·△OAD≌△OAP(SAS), :.0'D=OP, :半圆O的直径BC长为4，点A为BC中点， :0D=0P=专BC=2,∠A0C=∠A0B=90°， 根据题意，D是动点，P在AC上运动，则以O为旋转中心，OP旋转的角度是∠AOC=90· ÷点D在以0为圆心，OB为半径的圆上运动，OD旋转的角度是90·，即=，连接0B, 如图所示， O ·四边形0B0A,且边长为2， ÷0B⊥BC,0B=2, 由点到圆周上动点距离关系可知，当O、D、C三点共线时，CD可取到最小值， :在Rt△0BC中，C0=VBC2+0B2=25, :D的最小值为C0-0D=2W5-2, 故答案为：135°；2W5-2. 14.解：如图，记CD与AB交于点M,连接0D,BC,BF,延长BG交⊙0于点P,连接 AP,FP, B 由题意，得AB是直径，点B是BC的中点， ∠ACB=90°，CD⊥AB,CM=DM, ∴∠ACD+∠BAC=90°，∠BAC+∠CBA=90°， ∴∠CBA=∠ACD, :tan∠CBA=能=tan∠ACD=号， 设AC=4x,则BC=3x, 由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即(4x)2+(3x)2=252, 解得x=5(负值已舍去)， AC=20,BC=15, 同理，可得BM=9,CM=12, ∴DM=CM=12,ME=BM十BE=9十BE, 由题意，得半径为受=罗， :0D=0B=9, :OE=0B+BE=罗+BE, :DE是切线， OD⊥DE, 由勾股定理，得DM2+ME2=DE2,0D2+DE2=0E2, 0D2+DM2+MB2=0E2,即()2+122+(9+BE)2=(9+BE)2, 解得8E=罗， BC=BC' .∠CAB=∠BFH, :tan2CAB=5==an∠BPH=器=器. :8H=四， CH=VBC2-BH2=910 2一1 10 :tan∠BCH=器==有， BF=BF ∠HPF=∠BCH, :tan∠HPF=器=tan∠BCH=吉， .HP=3FH=6V10, BP=HP+BH=6V10+30150 2 A=-8p=2s2-(- 2 :tan∠ABP=部=青=tan∠BCH, 如图，作GN⊥AB于点N, N M B D :点B是BC的中点， ·BC=CD' .∠BAD=∠CAB, tan∠BAD=tan∠CAB=, .设NG=3y,则AN=4y,BN=9y, :AN+BN=13y =AB=25, y=, NG=3y=得，BN=9y=, BG=VNG2+BN2=1510 13 4HG2 _310_150W1回 39y10 111W10 2 26 26 26 15.(1)解：：AT是⊙0的切线， AB⊥AT,即∠BAT=90, :∠ATB=45o, ·∠ABT=45°， ·AB=AT=10, ÷A0=5, ·0T=52+102=5V5 (2)如图，连接0D, A 图② :∠ATC=45°，∠BAT=90°， ·∠ACT=45o=∠ATC, ÷AC=AT=10: :DE‖AT, AB⊥DE,即∠CFD=90°. :∠ACT=45°， :∠CDF=45°=∠ACT, CF=DF, :AB是⊙O的直径，AB⊥DE, ·DF=DE=6=CP, AF=AC-CF=4. 设半径为r,则0F=r一4， 0F2+DF2=0D2, ：(r-4)2+62=r2, 解得r=号 ·07=V(9)2+102=网 16.(1)证明：由题意可得：0B=0F, ∠OFB=∠OBF, CD⊥AB, ∠HEB+∠OBF=90o, :FG是⊙O的切线， ∠0FG=90°， :∠EFG+∠0FB=90o, ∴∠EFG=∠HEB, :∠FEG=∠HEB, ∴∠EFG=∠FEG, :.GE=GF (2)解：①：FG是⊙O的切线， ∠0FG=90°， :E为CG的中点， :EF=CG=EG, GE=GF, :.GE=GF=EF, .△EFG是等边三角形， ∠G=60°， :AB是⊙0的直径，AB=12, :CF=AB=12, :在Rt△CFG中，tan∠G=器 taa600=号，即PG=品=指=4W5, :△CFG的面积为号CF.FG=支×12×4V3=24W3. ②：AB是⊙0的直径，AB=12, .C0=0B=6,CF=AB=12 由(1)得：∠G=60°，∠0FG=90°， ∠FCG=30°， 如图：连接FD,则∠FDC=90°， :.FD=CF=6, CD⊥AB, 0H=号C0=3, ∴HB=OB-OH=3, :∠FDC=90o,CD⊥AB, 又：∠HEB=∠FED, .△HBE∽△DFE, :噩=票=是=克，即DE=2HE B 17.(1)解：：⊙M经过原点0，分别交x轴、y轴于点A(2,0),B(0,8),且 ∠A0B=90°， AB为⊙M的直径， :点M是AB的中点，A(2,0),B(0,8), .M(1,4), :圆的半径为0M=V2+42=V7, 设直线CM的表达式为y=kx+b(k≠O), 了17k+b=0 代入C(17,0)、M(1,4)得k+b=4, k=- 解得b=号 :直线CM的表达式为y=-x+子： (2)解：直线CM分别交⊙M于点D,E, 不妨设点D的坐标为(x,-x+妥)，则DM=V7, (x-1)2+(-x+￥-4)2=(V17)2, 解得x=5或-3， 当x=5或-3时，-x+子对应的值为3或5， :点D在点E的左侧， .D(-3,5)、E(5,3): 如图，过点D作DH⊥OB于点H,过点E作EG⊥OC于点G, TB M A C 则DH=3,BH=8-5=3=DH, ∠DHB=90°， .∠DBH=∠BDH=45o, 由点A、E的坐标，同理可得∠EAG=∠AEG=45°， :A(2,0)、E(5,3),B(0,8)、D(-3,5) AE=V(2-5)2+(0-3)7=3V2,BD=V(-3-0)2+(5-8)7=3N2, 0B=8,0A=2, ①当∠AEP=∠DB0=45°时， 则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC, .点P的坐标为(5,0)，即0P=5; ②∠AEP=∠BDO时， ∠EAP=∠DB0=45°， .△EAP△DBO, :骺=器， 32 32 =器=号， 解得AP=8, .0P=AP+0A=8+2=10; ③∠AEP=∠BOD时， :∠EAP=∠DBO, .△EAP∽△OBD, 器=哉， 9-最 解得AP=, :0P=0A+AP=2+景=￥， 综上所述，OP的长为5或10或子. 18.(1)证明：连接A0并延长交⊙0于点G,连接GD,如图， 则∠ADG=90°， 即∠G+∠GAD=90°， :⊙O与AB相切于点A, .∠GAB=90o, 即∠GAD+∠BAD=90°， .∠G=∠BAD, =, .∠G=∠AED, ∠BAD=∠AED, AB=BC, :∠BAD=∠BCD, .∠AED=∠BCD; B (2)①证明：由(1)的结论知，∠AED=∠BCD, A,B,C,E四点共圆， .∠BEC=∠BAD, :∠BAD=∠AED, .∠BEC=∠AED, EB平分∠AEF: ②解：如图，过点D作DG⊥EC于点G,作DH⊥EA交射线EA于点H, 由①知EB平分∠AEF, :.DG=DH,AD=DF=1, ..SACOE AD SAADE CEDH GAEDG =， 噩=器， :四边形AEFD为圆内接四边形， ∠CFD=180°-∠EFD=∠EAD, ·∠FCD=∠ACE, ·.△CFDM△CAE, 噩=0=V, :器=反， A0-爱=1， ∴AC=CD+AD=V2+1: :∠BAC=∠AED=∠FAD,AD=DF,AB=BC, :∠DFA=∠FAD,∠ACB=∠BAC .△ADFM△ABC, 器=器， 即AB=4DA9=5+型_25+2 AF 3 B 19.(1)证明：方法一：连接A0,过点O作0L⊥AC于点L, B ∠C0L+∠AC0=90°. :0A=OC,OL⊥AC, ∠A0L=∠C0L, ∠C0L=克∠A0C. =, ·∠B=克∠A0C, ∠B=∠C0L AD⊥BC, ∠B+∠BAD=90° 又：∠C0L+∠AC0=90°， ∠BAD=∠AC0. 方法二：连接OA, A 0 6 D C 0A=0C, ∴.∠0AC=∠0CA 设∠0AC=,则∠0=180°-2. ”=, ∠0=2∠B, ∠B=90°-. AD⊥BC, .∠ADB=90°. 又：∠B=90°-a, ∠BAD=C, ∠BAD=∠OCA. (2)证明：方法一：延长C0交圆O于点Q,延长CF交圆O于点R,连接AO、OR、OB 、BQ、AR R B下 、DG 设∠BAD=《,∠OCF=B, :AD⊥BC,CF⊥AB, ∴∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠BCF=90o, ∠BAD=∠BCF=a=∠RAF, :CQ是⊙0的直径， .∠QBC=90°， ∠BQC+∠BCQ=∠BAC+∠BCQ=90°， :∠BAD+∠CAD+∠ACD-∠AC0=90°， ∠ACD+∠CAD=90°， ∠BAD-∠AC0=0, ∴.∠BAD=∠BCF=∠ACO=∠RAF=, ∠A0Q=∠B0R=2C, .∠R0Q=23, .∠A0R=∠B0Q=2&+23, .AR=BQ. :∠BAD=∠RAF=a,∠AFR=∠AFE=90°，AF=AF, .△ARF≌△AEF(ASA), ∴AE=AR 又：AR=BQ, :BQ=AE. OC=0Q,GB=GC, :.0G=BQ. 又：BQ=AE, :.0G=AE, :.20G-AE. 方法二：过点O作OS⊥AR于点S,连接OA、OR. A DG OS⊥AR,OA=0R, :∠A0S=∠A0R,AS=克AR, :=, .∠ACR=A0R, ∠AOS=∠ACR. ∠ACO=∠BCR, .∠ACR=∠0CG, .∠A0S=∠0CG. :GC=GB,OG在半径上， .OG⊥BC 又：0A=0C,∠A0S=∠0CG,∠AS0=∠0GC=90°， .△AS0≌△0GC(AAS), :AS=0G. 又：AS=方AR, :.0G=AR :∠BAD=∠RAF,∠AFR=∠AFE=90°，AF=AF, ·△ARF≌△AEF(ASA), AE=AR 又：OG=AR, :.0G=AE, :20G=AE 方法三：过点O作ON⊥AD于点N,延长AD交圆O于点M连接OM. N- B M ON⊥AD, AN=MN. 设∠BAD=a,则∠FCB=,∠MCB=&, ∠B=∠M=∠CEM=90o-, :CE=CM. 又：∠FCB=∠MCB=a, :DE=DM :GC=GB,OG在半径上， OG⊥BC 又：ON⊥AD,AD⊥BC, .四边形ONDG为矩形， :OG=DN. :ND=MN-DM=AM-号EM=号(AM-EM)=专AE, 0G=AE (3)解：延长CE交圆O于点R,连接AR、OM、OH、BE、OA、OR B D七 M H 设∠BAD=&,则∠RAB=《,∠RCB=,∠RCO=,∠ACO=a, ∴∠ACR=∠ABR=∠ABE=2a: OA=OR,∠AC0=∠0CR=∠CA0=∠CR0=a, .△AC0≌△RC0(AAS), .AC=CR=5. “AE=20G,0G= 2 AE=AR=V10. 设RF=m,则EF=m, 在Rt△ARF和Rt△ACF中，AR2-RF2=AC2-CF2, :(V10)2-m2=52-(5-m)3,解得：m=1, RF=FE=1,CF=4,CE=3,AF=3, tan∠ACF=, :tan∠ABE=. 又：EF=1, .BF= :∠EDC=∠MDC=90·,CD=CD,∠ECB=∠MCD, .△ECD≌△MCD(ASA), :ED=MD. 又：AD⊥BC, :.GE=GM, ∠EGD=∠MGD: :∠EGD=∠CGH, .∠CGH=∠MGD, :∠0GB=∠0GC=90°， ∠0GM=∠OGH. 过点O作OP⊥HE交HE的延长线于点P,OT1MG交MG的延长线于点T, ∠P=∠T=90° ∠0GM=∠OGH, .∠0GP=∠0GT. 又：0G=0G,∠P=∠T, △OGP≌△0GT(AAS), .0P=0T. 又：OM=OH,∠P=∠T, :Rt△OPH≌Rt△OTM(HL), :GM=GH. 又：0M=0H,0G=0G, .△OGM≌△OGH(SSS). 又：GM=GE, :GE=GH. 又：GB=GC,∠CGH=∠BGE, :△BEG≌△CHG(SAS), BE=CH,∠BEG=∠EHC, .BE‖CH, .四边形BECH为平行四边形， ∴S△CEH=S△cEB,S△cEB=CExBF. :CE=3,BF=等， S△CEH=2. 20.(1)证明：连接0B, D E 0B=0C, ∴∠OBC=∠OCB=∠ACD, ∠B0C=180°-2∠0CB, :BC=BC' :∠BDC=∠B0C=90°-∠0CB=90°-∠ACD, .∠BDC+∠ACD=90°， .∠CED=90o, ∴AC⊥BD. (2)证明：：BD是⊙O的直径， .∠BAD=90°， ∴∠BAE十∠EAD=90°， 设∠BAE=, ∠EAD=90°-x, AC⊥BD, .∠DAE+∠ADB=90o, .∠ADB=, :AF切⊙0于F, .OA⊥AF, ∠FA0=90°， ∠FAB+∠BA0=90°， 又：∠BA0=∠AB0=专(180°-∠A0B)=90°-∠ADB=90°-&， ∠FAB=《, ∠FAC=2a=∠DAG, AD=AD' .∠AGD=∠ACD, :AC⊥BD,BD为⊙O的直径， :AE=CE, 在△AED和△CED中， AE=CE ∠AED=∠CED DE-DE .△AED≌△CED(SAS), :AD =CD, ·∠AGD=∠ACD=∠EAD=90°-， :∠ADG=180°-∠DAG-∠AGD=180°-2-(90°-)=90°-x, ·.∠AGD=∠ADG, ∴AG=AD (3)解：延长CH交⊙O于P,连接AP,DP, 由(2)知∠BAF=∠BAC=∠ACB=∠ADB=∠BDC=∠OAD=C,∠BAC=, :CH⊥AD, .∠AHC=90°， .∠ACH=∠BAC=, 设BD交AC于Q, “AP=AP' ∠ADP=∠ACH=&,∠ACH=∠AOP, ∠A0B=2a=∠A0P, ∠PA0=∠AP0=(180°-2a)×=90°-=∠AMH=∠CBD=BQC=∠DPQ, .∠0MQ=∠0QM=90°-， ..OM=0Q,DQ=DP, :AM=BQ, 在△PAM和△CBQ中， I∠PAM=∠CBQ AM=BQ ∠PMA=∠CQB △PAM≌△CBQ(ASA), :.PM=CQ, :PM=AP=AB=BC=CQ,PM+QM=CQ+QM, .PQ=CM=18, DQ=DP,DH⊥PQ, PH=QH=PQ=专×18=9， 又：∠NAH=2aL=∠ADC=∠APC, ∴∠PAD=∠PCD=90°-∠BCP=90°-2a, ∠NAP=2a+90°-2a=90°=∠NHA, .△NAH△NPA, 赠=湖， g=,NH>0, NH=16, ∴AH=202-16=12, tan2a=盟=号=号，AP=122+9=15, AB=PM=15. .HM=15-9=6, tana-器-是=， :BE=AE, AB2+(3AE)2=15,AE>0, :AE=65, :EF=AE.tan2a=65×号=8V5.