天津市实验中学滨海学校2025-2026学年高二年级下学期期中质量监测数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷以导数、概率等核心知识为载体，融入舞蹈机器人、游戏奖金等真实情境，注重数学眼光观察与思维推理，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|导数几何意义、排列组合、独立事件概率|结合机器人落地概率考查条件概率，体现科技情境| |填空题|6/30|二项式系数、切线方程、分配问题|花圃种花融合相邻区域计数，强化应用意识| |解答题|4/60|导数极值与恒成立、概率分布列、函数零点证明|游戏奖金期望计算综合事件概率与期望，函数零点证明深化逻辑推理|

天津市实验中学滨海学校 TIANJIN EXPERIMENTAL BINHAI HIGH SCHOOL 2025-2026年度第二学期 高二年级期中质量监测（数学）试卷 命题人：高二数学组 审核人：郭军霞 满分：150分 考试时长：100分钟 一、单选题（每小题5分，共60分） 1．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．9 C． D．1 2．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（    ） A．36 B．72 C．600 D．480 3．函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极大值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 4．，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 6．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 7．给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 8．若，则（    ） A． B． C．1 D． 9．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 10．随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 11．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共30分） 13．________． 14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为________． 15．若，则__________. 16．将甲、乙、丙、丁、戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个同学都要参加且只能去一个城市，每个城市至少去一人，共有__________种不同分配方法.（用数字作答） 17．若的展开式的二项式系数和为32，则___________，展开式中的系数为___________. 18．若函数有最大值，则的取值范围为__________． 三、解答题 19．设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 20．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2) 若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 21．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 22．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 2025-2026年度第二学期 年级期中质量监测（数学）试卷 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026第二学期高二期中》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B D C B B D C 题号 11 12 答案 B B 13．/ 14． 15．150 16． 17．1 18． 19．（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. （2）由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 20．（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球， 由题可知，， 所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为； ②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则. 设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件， 则，. 所以. 21．（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 22．（1）解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． （2）解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）证明：由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $