精品解析：重庆市江津区2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

2025-2026学年度九年级数学下册期中定时测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 了解某班学生“50米跑”的成绩 B. 调查人们保护海洋的意识 C. 了解全国六年级学生身高的状况 D. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断合适的调查方式．范围小，无破坏性的调查适合采用全面调查． 【详解】解：A选项中，调查对象为一个班的学生，范围小，易开展，适合全面调查； B选项中，调查对象范围大，适合抽样调查； C选项中，调查覆盖全国，人数多范围大，适合抽样调查； D选项中，检测食品是否含防腐剂具有破坏性，适合抽样调查． ∴本题选A． 4. 如图，在中，弦所对应的圆周角，则圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 6. 《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（　　） A. 42 B. 52 C. 56 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个五角星， 第②个图案中有个五角星， 第③个图案中有个五角星， 第④个图案中有个五角星， ∴第n个图案中有个五角星， 当时，个五角星， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律． 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 B. 任意多边形的外角和都是 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据初中数学基本定理与概念，只需逐一判断各命题真假，选出假命题即可． 【详解】解：A、符合圆周角定理，是真命题，故不符合题意； B、符合多边形外角和性质，任意多边形外角和为，是真命题，故不符合题意； C、等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，因此该命题是假命题，故符合题意； D、符合平行线的基本公理，是真命题，故不符合题意． 9. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接，，若，点是的中点，连接，与交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长至点P，使，连接，，延长交的延长线于点M，交于点N， 设，根据，可得，，，再证明，可得，从而得到，，然后根据，可得，从而得到，再证明，可得，，结合，可得，可证明，可得，设，则，，在中，利用勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点P，使，连接，，延长交的延长线于点M，交于点N， 在正方形中，，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意给定条件，逐个验证三个说法，利用枚举法、赋值法计算即可得到结果． 【详解】解：对于①：当时， ∵， ∴， ∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵为自然数， ∴或， 当 时，， ∴，此时当时，， 当 时，， 正整数解共有，，三种，这三种情况对应的的值均为， ∴所有满足条件的整式的值的总和为，故①错误； 对于②：∵，，，，均为正整数， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴，，共有种可能取值，故②正确； 对于③： ∵， ∴， 设的所有奇次项系数之和为，所有偶次项系数之和为， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 得， ∴，故③正确； 综上，正确的说法有个． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，且m为整数，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且m为整数， ∴， 故答案为：． 12. 小玉参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“老马识途”“守株待兔”“走马观花”“画龙点睛”的4张卡片中随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有“马”字的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有等可能的结果总数，再找出符合成语含有“马”字条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，从4张卡片中随机抽取1张，所有等可能的结果总数为， 其中成语含有“马”字的结果有种，分别为“老马识途”和“走马观花”， ∴该卡片背面的成语含有“马”字的概率是． 13. 如图，已知， ，，四条直线，若，，，则__度． 【答案】65 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据，推出是解决问题的关键． 由对顶角的性质和已知条件得到，由平行线的判定推出，根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：65． 14. 若实数同时满足，则的值为___________． 【答案】64 【解析】 【分析】利用分类讨论求解方程得，，再代入即可， 【详解】解：∵， ∴，且 ∴； ∴， 把代入得， 又， 所以，当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，，即， ∴， 解得， 又， 所以，此种情况不存在； ∴． 15. 如图，在菱形中，点、、均在圆上，为菱形对角线，与圆交于点，过作圆切线，交于点，交于点．若，，则长为______；长为______． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】连接交于点H，连接，由菱形的性质可得，，解直角三角形得到，再利用勾股定理建立方程可求出的长，进而可得的长；设，则，由勾股定理得，解方程得到，，则，由切线的性质得到，解直角三角形得到，则． 【详解】解：如图所示，连接交于点H，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 16. 一个四位正整数的各个数位上的数字均不为，且，，则称这个四位数为“两全其美数”．例如：四位数，因为，，且均不为，所以是“两全其美数”．则最小的“两全其美数”是______；若将的千位数字与百位数字互换，十位数字与个位数字互换，得到的新数记为，记，，若被除余，且，则所有满足条件的之和是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意容易得到，当时，取得最小值；将和用代数式表示，从而得到，，根据被除余可判断被除余．利用构造方程整理得，因此、都是的因数，结合、的取值范围和被除余，计算得，或 ，。写出对应的，并求和即可． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ∵，， ∴当时，取得最小值，即最小的“两全其美数”是； ， ， ， ， ∴， ， ， 同理， ∴， ∵被除余， ∴被除余， ∴被除余， ∵，，，， 又∵，， ∴，， ∴，其中被除余的数为，，，，， ∵， ， ， ∴， 化简，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴、都是的因数， 又∵，， ∴，， ∴或或或 ∴或或或， 又∵或或或或， ∴或， 当，时，； 当，时，； ∴所有满足条件的之和为． 三、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解． 【答案】，数轴见解析，所有负整数解是 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，即可在数轴上画出解集，即可写出负整数解． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴不等式组的解集为， 所有负整数解是， 数轴表示为： 18. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）基本尺规作图：过点B作于点E，再在上截取．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，猜想四边形的形状，将下面的推理过程补充完整． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． ∴ ． ∴四边形是 ． 【答案】（1） 解：如图：如图所作． （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）先以B为圆心，大于B到的距离长为半径画弧，交于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离为半径画弧，得到两弧的两个交点，再过这两个交点作直线交于E，再在上截取即可； （2）由四边形是平行四边形，可得，，再证明证明可得，可得四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：本题共7小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】先利用分式的混合运算进行化简，再根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，确定字母的值，求值即可． 【详解】解：原式 ， ； 由， 得， 故原式． 20. 在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86 抽取的七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图 抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78．9 79 八年级 78．9 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______________________，____________． （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）． （3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 【答案】（1）82，85，24 （2） 解：八年级学生的劳动能力更强，理由：七年级和八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级学生测评成绩的中位数和众数都高于七年级，故八年级学生的劳动能力更强； （3）该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩，由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个，即可求出a；根据抽取的八年级学生成绩在、组共有17人，求出八年级B组和C组学生人数所占百分比，即可求出m；求出八年级A、D两组组学生人数，根据题意可得：成绩为85分的有7人，即可求出b； （2）根据表格中的数据进行分析即可； （3）用该校七、八年级总人数乘以抽取的七八年级学生中成绩为优秀的人数所占百分比即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得：七年级抽取25名学生的测试成绩， ∴七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩， 由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个， 将抽取的七年级学生成绩在组的全部数据排序为：81、81、82、83、84、84、86、87、88、89， ∴七年级第13名学生测试成绩为82，即； 根据题意可得：抽取的八年级学生成绩在、组共有17人， ∴八年级B组和C组学生人数所占百分比为：， ∴八年级D组学生人数所占百分比为：，则； ∴八年级A组学生人数为：（人），八年级D组学生人数为：（人）， 根据抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据可得：成绩为85分的有7人，是B、C两组中出现次数最多的，且大于A、D两组人数， ∴八年级学生测试成绩众数为85，即； 故答案为：82，85，24； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀． 【点睛】本题主要考查了根据统计图获取信息，求中位数和众数，用样本估计总体，解题的关键是掌握中位数和众数的定义，用样本估计总体的方法． 21. 2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元． （1）每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？ （2）由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？ 【答案】（1）每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元． （2）降价后每个“拓升”遥控车售价为60元． 【解析】 【分析】（1）设每个“咔搭”遥控车的售价是元，则每个“拓升”遥控车的售价是元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设降价后每个“咔搭”遥控车售价为元，则每个“拓升”遥控车的售价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每个“咔搭”遥控车的售价是元，则每个“拓升”遥控车的售价是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元． 【小问2详解】 解：设降价后每个“咔搭”遥控车售价为元，则每个“拓升”遥控车的售价是元， 根据题意，得 解方程，得：， 经检验，是方程的解． 则有， 答：降价后每个“拓升”遥控车售价为60元． 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画图如下： 当时，有最大值8（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作交延长线于点H，证明出四边形是正方形，得到，然后分两种情况讨论，分别表示即可； （2）列表，描点，然后画出图象，然后根据图象写出性质即可； （3）由图象求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； 【小问2详解】 解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由图象得，当时x的取值范围为． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质和判定，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 【答案】（1）的长度为千米． （2）小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点．则，解求出，即可解答； （2）设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，，由题意可知过点作于点，过点作于点．利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点． 则 在中，， 由题可得， 在中，， 答：的长度为千米． 【小问2详解】 解：如答图，由题意，设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，， ， ， 过点作于点，过点作于点． 在中，， 在中， ， 在中， 解方程，得，（舍） 则 答：小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴平行线交于点，点是线段上一点，当最大时，求的最小值． （3）将抛物沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点坐标为，点是新抛物线对称轴上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）先求出直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，得出，得当时，取得最大值，此时点的坐标为，过点作，过点作于点， 则，得出，证明，则，则当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长，求出直线的解析式为，则可得直线的解析式为，得点的坐标为，分别计算 和即可； （3）利用平移得出新抛物线的对称轴为直线，在轴负半轴上取点，使得，得出，过点作于点，求出，证明，得，则，设， 分两种情况：当点在轴上方时和当点在轴下方时，分别构造一线三垂直全等，再利用全等性质和一次函数求解即可． 【小问1详解】 解：把点，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时点的坐标为， 如图，过点作，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为， 把点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当 时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴新抛物线的对称轴为直线， 在轴负半轴上取点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当点在轴上方时，如图，过点作，交于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入， 得， 解得：（负值舍）， ∴； 当点在轴下方时，如图，过点作，交直线于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点， 同理可得， ∴，， ∴， 同理可得直线的解析式为， 将代入， 得， 解得：或（舍）， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查二次根式的图象与性质，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与几何的相关方法是解题的关键． 25. 在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． （1）如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； （2）如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； （3）如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由（1）可得 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得和都是等腰直角三角形，则．容易证明，则，，结合可计算出，由三角形内角和定理可计算出； （2）延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，通过等量代换可得，从而证明是等腰直角三角形，则，．容易证明，则，．通过等量代换可得，进而可证明，则，命题得证； （3）先分析点的轨迹，作的外接圆，圆心为点，连接，由旋转的性质和等腰三角形的性质可推断，因此、、、四点共圆，则．再分析点的轨迹，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，，容易证明，从而计算出，，因此点在定直线上．根据线段公理可得，当时，取得最小值，作于点，连接，利用三角函数可计算出，，，最后使用三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接，设与交于点， ∵， ∴为圆的直径，即点为的中点， ∵， ∴， 在直角中，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在圆上， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，， 由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴，即点为定点， ∴点在定直线上， ∵，即， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值， 当时，如图，作于点，连接， ∵，， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，掌握好“手拉手”模型，“倍长中线”模型和“瓜豆”原理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学下册期中定时测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 了解某班学生“50米跑”的成绩 B. 调查人们保护海洋的意识 C. 了解全国六年级学生身高的状况 D. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂 4. 如图，在中，弦所对应的圆周角，则圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（　　） A. 42 B. 52 C. 56 D. 63 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 B. 任意多边形的外角和都是 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 9. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接，，若，点是的中点，连接，与交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，且m为整数，则m的值为_______． 12. 小玉参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“老马识途”“守株待兔”“走马观花”“画龙点睛”的4张卡片中随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有“马”字的概率是_____． 13. 如图，已知，，，四条直线，若，，，则__度． 14. 若实数同时满足，则的值为___________． 15. 如图，在菱形中，点、、均在圆上，为菱形对角线，与圆交于点，过作圆切线，交于点，交于点．若，，则长为______；长为______． 16. 一个四位正整数的各个数位上的数字均不为，且，，则称这个四位数为“两全其美数”．例如：四位数，因为，，且均不为，所以是“两全其美数”．则最小的“两全其美数”是______；若将的千位数字与百位数字互换，十位数字与个位数字互换，得到的新数记为，记，，若被除余，且，则所有满足条件的之和是______． 三、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解． 18. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）基本尺规作图：过点B作于点E，再在上截取．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接 ，猜想四边形的形状，将下面的推理过程补充完整． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． ∴ ． ∴四边形是 ． 四、解答题：本题共7小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86 抽取的七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图 抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78．9 79 八年级 78．9 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______________________，____________． （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）． （3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 21. 2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元． （1）每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？ （2）由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？ 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 24. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴平行线交于点，点是线段上一点，当最大时，求的最小值． （3）将抛物沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点坐标为，点是新抛物线对称轴上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． （1）如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； （2）如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； （3）如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $