精品解析：重庆市江津中学校2024-2025学年九年级下学期第二次定时作业数学试题

江津中学初2025届初三（下）第二次定时作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示放置，并且顶点分别落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 6. 如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第1个图形中有6个等边三角形，第2个图形中有10个等边三角形，第3个图形中有14个等边三角形，……按照此规律排列下去，则第9个图形中等边三角形的个数是（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 7. 在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接、，过点F作，连接，H是上一点，且．已知正方形边长，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为6； ②当时，函数与直线（k为常数）至少有3个交点，则k的取值范围是． ③当时，若，则x的取值范围是； 以上说法中正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ________． 12. 如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是___________． 14. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为________． 15. 如图，四边形内接于，连结，为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，，，则的长为________，的长为________． 16. 在数字密码学的研究中，定义一种特殊的四位数：如果一个四位数满足，，那么称这个四位数M为“密钥数”，对“密钥数”M进行特定变换：将“密钥数”M的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为N，记．例如：四位数1765，，1765不是“密钥数”；又如：四位数2843，，，2843是“密钥数”，．若M是最小的“密钥数”，则________；对于“密钥数”M，若能被7整除，记，当取得最小值时，最大的“密钥数”M为________． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中． 18. 小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形． （1）用直尺和圆规，作射线平分交于点； （2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点，且．求证：平行四边形是矩形． 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，， ① ， ，， ， ② ， ，， ． 在和中 ， ． ， ， ， ③ ， 平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则 ④ ． 19. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，某中学在七年级和八年级展开了传统文化知识竞赛，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息： 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.6 88.5 n 八年级 86.6 m 86 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86 七年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定90分及其以上为优秀，该校七年级和八年级参加知识竞赛的学生各有1400名，请你估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀的共有多少人？ 20. 某中学正值周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多个． （1）求第二批纪念品的单价； （2）两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计元，求第三批纪念品的个数． 21. 如图，在矩形中，，，E是上一点，连接，过点E作交于点F．设（点E不与A，C重合），面积的与的面积之比为，的长为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 22. 某中学组织学生进行“传承红色精神，助力乡村振兴”的研学活动．如图，学生到达乡村振兴示范基地大门A处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往红色精神宣讲中心B处集合．经勘测，B处在A处的正北方，手工制作区E在B处的南偏西方向且距离B处400米处，农耕体验区D在A处的正西方，农耕体验区D也在E处的正南方800米处，户外拓展区C在B处的南偏东方向，户外拓展区C也在A处的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求户外拓展区C与基地大门A之间的距离．（结果保留根号） （2）已知第一组学生沿线路①参观体验，在户外拓展区C处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②参观体验，在农耕体验区D处的活动时间为25分钟，在手工制作区E处的活动时间为22分钟，若两组学生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心B处．（近似值保留小数点后一位） 23. 如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标： （2）如图1，点P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点D，点M，N为直线上的两个动点（点M在N的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，试探究在新抛物线上是否存在一点Q，使得？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图所示，已知在中，，，点D为边上一动点，连接． （1）如图1，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接、，若，求的长； （2）如图2，当点为的中点时，以为边向左作等边三角形，连接交于点．求证：； （3）如图3，当时，点在线段上运动，连接，过点作，为的中点，若，请直接写的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江津中学初2025届初三（下）第二次定时作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查简单几何体的三视图，明确三视图的画法是解题的关键． 根据俯视图的画法即可得到答案． 【详解】解：从上面看是四个正方形，符合题意的是C． 故选：C． 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的面积比为， 与的相似比为，即． ． 故选：D 4. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示放置，并且顶点分别落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．过点B作，可得，由平行线的传递性得则，进而求得结论． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，熟知运算法则是解题的关键． 先进行二次根式的运算，然后再进行估算． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴的值应在8和9之间． 故选：C． 6. 如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第1个图形中有6个等边三角形，第2个图形中有10个等边三角形，第3个图形中有14个等边三角形，……按照此规律排列下去，则第9个图形中等边三角形的个数是（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，找到图形中等边三角形个数的变化规律是解答的关键．根据前几个图形中等边三角形个数，得到变化规律，即可求解． 【详解】解：第1个图形中有个等边三角形， 第2个图形中有个等边三角形， 第3个图形中有个等边三角形，…… 按照此规律排列下去， 则第9个图形中有个等边三角形， 故选：B． 7. 在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为， 根据题意，得；， 故选：B． 8. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，可得，由是半圆的直径，可得，根据平行线的性质可得，根据特殊角三角函数值得到，即可得出，利用勾股定理求出的长，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，、为扇形的半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积、平行线的性质，特殊角三角函数值求角度及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键． 9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接、，过点F作，连接，H是上一点，且．已知正方形边长，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，等面积法,等腰三角形的判定和性质等知识，运用等面积法求是解题的关键．连接，勾股定理求出，利用和得出，从而求出，利用等面积求出，从而得解． 【详解】解：连接， 在正方形中，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为6； ②当时，函数与直线（k为常数）至少有3个交点，则k的取值范围是． ③当时，若，则x的取值范围是； 以上说法中正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，解不等式，二次函数的性质，利用上述性质对选项逐一判断即可，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，，可得， ，故①正确； ②当时，， ， 当时，解得， ， ，即中间部分图象的最高点纵坐标为9， 函数与直线（k为常数）至少有3个交点， k的取值范围是，故②正确； ③当时，， ， ， ， 当时，即时，原式， ，解得（舍去）； 当时，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式， ，解得（舍去）； 综上，，则x的取值范围是，故③错误， 故正确的是①②， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算．先代入特殊角的三角函数值，算术平方根，再合并即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】根据五边形内角和为，得到，结合是等边三角形，计算即可得解． 【详解】解：∵正五边形中，以为边作等边， ∴，， ∴． 13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】设用A表示、用B表示、用C表示，用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的有9种， ∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是． 14. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得．本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ， 解得， 方程可化为， 解得， 关于y的分式方程有非负整数解， 且，为负整数解 解得且， 且， 当； 当（舍去）； 当（舍去）； 当； 当（舍去）； 当； 当（舍去）； 当； 则所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：6． 15. 如图，四边形内接于，连结，为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，，，则的长为________，的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由勾股定理可求的长，由圆周角定理可求，可得，证明，可得，，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于，连接， ∴， 又∵对着圆周角和， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等角对等边，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16. 在数字密码学的研究中，定义一种特殊的四位数：如果一个四位数满足，，那么称这个四位数M为“密钥数”，对“密钥数”M进行特定变换：将“密钥数”M的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为N，记．例如：四位数1765，，1765不是“密钥数”；又如：四位数2843，，，2843是“密钥数”，．若M是最小的“密钥数”，则________；对于“密钥数”M，若能被7整除，记，当取得最小值时，最大的“密钥数”M为________． 【答案】 ①. ②. 8210 【解析】 【分析】本题考查了本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，解决本题的券是利用不等式性质确定字母的取值范围． 根据“密钥数”的定义可知最小的“密钥数”，，把、的值代入计算求值即可； 根据“密钥数”的定义可知，因为能被整除，所以能被整除，根据、的取值范围可知，分情况讨论求出取最小值时，，因为要取最大的“密钥数”，所以要取最大值，根据的取值情况确定其它字母的取值即可得到最大的“密钥数”． 【详解】解：，是最小的“密钥数”， ，， ，是最小的“密钥数”， ，， ， ， ； ，， ，， ， 整理得：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 能被整除， 能被整除， 又，， ∴， 或或， 又， 当时，， 则， 当时，， 则， 当，， 则， 最小值是， 此时， 取最大数， 要取最大值， 则有，，，， ． 故答案为：，8210． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、单项式乘多项式，分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 把代入， 得． 18. 小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形． （1）用直尺和圆规，作射线平分交于点； （2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点，且．求证：平行四边形是矩形． 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，， ① ， ，， ， ② ， ，， ． 在和中 ， ． ， ， ， ③ ， 平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则 ④ ． 【答案】（1） 如图，射线如图所示： （2）①；②；③；④该平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径，分别交与于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的为半径画弧，交于一点，连接点和这一点，并延长交于点，射线即为所作； （2）根据角平分线性质以及平行四边形性质证明，得到，利用平行线性质得到，进而得到，即可证明平行四边形是矩形．再根据证明过程总结即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，，①， ，， ，② ， ，， ． 在和中， ， ． ， ， ， ③， 平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则④该平行四边形为矩形． 【点睛】本题考查角平分线作图，角平分线性质，平行四边形性质，矩形的判定，熟练掌握相关性质定理即可解题． 19. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，某中学在七年级和八年级展开了传统文化知识竞赛，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息： 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.6 88.5 n 八年级 86.6 m 86 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86 七年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定90分及其以上为优秀，该校七年级和八年级参加知识竞赛的学生各有1400名，请你估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀的共有多少人？ 【答案】（1），；图见解析 （2）七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析 （3）估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键． （）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图； （）根据平均数、中位数和众数判断即可； （）用分别乘以七、八年级参加知识竞赛的优秀人数占比再求和即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵七年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多， ∴， 故答案为：，， 由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人， ∴补全八年级的成绩条形统计图如下： 【小问2详解】 解：七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但七年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以七年级学生的竞赛成绩更优秀； 【小问3详解】 解：， 答：估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人． 20. 某中学正值周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多个． （1）求第二批纪念品的单价； （2）两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计元，求第三批纪念品的个数． 【答案】（1）第二批纪念品的单价为元 （2）个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设第二批纪念品的单价为元，则第一批纪念品的单价为元，根据第二批纪念品比第一批纪念品多个列出方程求解即可． （2）先求出第二批纪念品数量，设定制第三批纪念品的数量为个，则单价为元，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二批纪念品的单价为元，则第一批纪念品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验得是原方程的解， 答：第二批纪念品的单价为元； 【小问2详解】 解：购进第二批纪念品的数量为（个）， 设定制第三批纪念品的数量为个，则单价为元， 根据题意，得， 整理得 ， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：定制第三批纪念品的数量为个． 21. 如图，在矩形中，，，E是上一点，连接，过点E作交于点F．设（点E不与A，C重合），面积的与的面积之比为，的长为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）图象见解析，随着x的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作交于，根据勾股定理求出的长，运用等积法求出的长，运用相似三角形的判定与性质求出的长，即可求解； （2）据（1）所得函数解析式画出函数图象，再根据图象写出性质即可； （3）根据函数图象写出x的取值范围即可； 【小问1详解】 解：过点作交于，如图， 在矩形中，，， ∴, 由勾股定理得，, ∵， ∴， ∴， ∴； ∵, ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：画的图象： 列表， x ⋯ 1 2 3 6 ⋯ y ⋯ 6 3 2 1 ⋯ 描点，连线，如图： 画的图象： 列表， x ⋯ 2 6 ⋯ y ⋯ 3 1 ⋯ 由函数图象可知，随着x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象及交点问题，矩形的性质，解直角三角形，利用三角函数求出函数解析式是解题的关键． 22. 某中学组织学生进行“传承红色精神，助力乡村振兴”的研学活动．如图，学生到达乡村振兴示范基地大门A处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往红色精神宣讲中心B处集合．经勘测，B处在A处的正北方，手工制作区E在B处的南偏西方向且距离B处400米处，农耕体验区D在A处的正西方，农耕体验区D也在E处的正南方800米处，户外拓展区C在B处的南偏东方向，户外拓展区C也在A处的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求户外拓展区C与基地大门A之间的距离．（结果保留根号） （2）已知第一组学生沿线路①参观体验，在户外拓展区C处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②参观体验，在农耕体验区D处的活动时间为25分钟，在手工制作区E处的活动时间为22分钟，若两组学生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心B处．（近似值保留小数点后一位） 【答案】（1）户外拓展区与基地大门之间的距离约为米 （2）第一组学生先到达宣讲中心处， 在中，∵， ∴． 由（1）可知：四边形为矩形， ∴， ∴线路②：． ∵，， ∴线路①：． ∴第一组学生共用时：（分钟） ∴第二组学生共用时：（分钟） ∵ ∴第一组学生先到达宣讲中心处． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形应用，矩形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点；求出．证明四边形为矩形，得到，． 则．，则，即可得到答案； （2）分别求出线路②和线路①的长度，得到答案后比较即可 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点； 由题可知：，，，，， 在中，∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 在中，∵， ∴． 在中，∵， ∴，， ∴（米） 答：户外拓展区与基地大门之间的距离约为米． 【小问2详解】 略 23. 如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标： （2）如图1，点P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点D，点M，N为直线上的两个动点（点M在N的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，试探究在新抛物线上是否存在一点Q，使得？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先运用待定系数法求出函数表达式，然后再化成顶点式即可解答； （2）直线的表达式为：，根据当平行于直线的解析式与抛物线相切，且点P为切点时，线段的长度取最大值，求出点P的坐标为，过点O作，点F在点O下方，取，连接，，过点F作轴于点E，证明四边形为平行四边形，得出，根据两点之间线段最短，得出当F、M、P三点共线时，最小，即最小，求出，根据两点间距离公式求出，即可得出答案； （3）当在上方时，由，，得到，推出是等腰直角三角形，根据将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度，得求得新抛物线的解析式为，推出，得到直线的解析式为，解方程组即可得到结论；当在下方时，先画出图形，求出点，然后求出直线的解析式，再联立新抛物线的解析式，求出结果即可． 【小问1详解】 解：将点和代入抛物线可得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 当平行于直线的解析式与抛物线相切，且点P为切点时，线段的长度取最大值， 设经过点P，且平行于直线的直线解析式为， 令， 整理得：， 根据题意得：， 解得：， ∴此时过点P，平行的直线解析式为：， 令， 解得：， 把代入得：， ∴点P的坐标为， 过点O作，点F在点O下方，取，连接，，过点F作轴于点E，如图所示： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当F、M、P三点共线时，最小，即最小， ∵为定值， ∴此时最小，且最小值为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：存在， 当在上方时，如图所示： ，， ， 是等腰直角三角形， ， 将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度， 相当于把将原抛物线向下，向左各平移了个单位长度， 新抛物线的解析式为， ， ， ， 设直线交轴于点， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入 得 ∴, ∴直线的解析式为， 联立 解得：或 ， ∴或； 当在下方时，如图所示： ， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入 得 ∴, ∴直线的解析式为， 联立 解得：或 ， ∴或； 综上分析可知，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、三角函数等知识点，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 24. 如图所示，已知在中，，，点D为边上一动点，连接． （1）如图1，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接、，若，求的长； （2）如图2，当点为的中点时，以为边向左作等边三角形，连接交于点．求证：； （3）如图3，当时，点在线段上运动，连接，过点作，为的中点，若，请直接写的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，，， ∴ ∵点为的中点时，， ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，则，再根据勾股定理，即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，即可得证； （3）延长至，使得，连接，过点作于点，得出在为直径的半圆运动，当重合时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴，则 ∴在中， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，延长至，使得，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∵，点在线段上运动， ∴在为直径的半圆运动， ∵，为的中点， ∴， ∴当重合时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为， ∵，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $