2026年中考数学二轮复习 几何填空压轴题 常考热点专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《几何填空压轴题》常考热点专题提升训练（附答案） 一、全等三角形综合 1.如图，等边△ABC和等边△CDE中，B、C、E三点共线，AE交BD于点F,BD交 AC于点M,CD交AE于点N.下列结论中正确的是有 ①S△BCD=S△AcE:②AM=AF;③△MCN为等边三角形：④BF=AF+CF. D 2.如图，在△ABC中，以各边为边分别作三个等边△BCF,△ABD,ACE,若AB=3, AC=4,BC=5,则下列结论：①AB⊥AC;②四边形ADFE是平行四边形；③S四边形 口ADFE=5.④∠DFE=150°；其中正确的有 ·(填序号) 3.如图，△ABC为等边三角形，点D在BC上，点E在AB上，CD=BE,连接CE、AD、 DE,点G为△ABC外一点，连接AG、CG、BG、DE,∠BGC=60°，下列结论：① ∠AFE=60°②CG平分∠AGB③GA+GB=GC④若AB=6,则DE的最小值为3.其中 正确的结论是 G B 】 4.如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交 AB于点F,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接CP,则下列结论：① AE=DF;②AF+CE=AD:③点E在运动过程中， CP=2:④tan∠DCP=1:⑤ A ∠DFE+∠EPC的度数始终保持不变.其中正确的结论是 D B E 二、特殊四边形综合 5.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为AD边上一动点，F为AB的中点，连接EF, G为EF上一点，连接AG,∠DAG=∠AFE,H为BC上一点，CH=1,连接GH.若 AG+GH=5,则AE的长为 A D G⑦ B H C 6.如图，正方形ABCD边长为8，E是对角线BD上的动点，以AE为斜边向右侧作等腰直 角△AEF EFA=90,G在BD上且BG=3DG,连接FG,FD,则GF+DF的最小 值为 B 7.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB、BC上的动点，且满足 AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB,则 OM+号FG的银小值是 M B 9 8.如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O,点E为AB边上的一个动点，点P为对角 线AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点N,连接 PB,PE.已知AD=V5,DO=1,则菱形ABCD的面积为 ；在点P的运动过程 中，PM+PN+PB+PE的最小值为 9.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O,过点B作BF⊥AC交CD于点F,交 AC与点M,过点D作DE‖BF交AB于点E,交AC于点N,连接FN、EM,则下列结论： ①DN=BM:②EM‖FN:③AE=FC:④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形.其中， 正确结论的个数是 F 10.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交 BD于M点，AF交BD于N点. y M B E C (1)若正方形的边长为3，则△CEF的周长是· (2)下列结论：①BM+DN=MN2;②连接MF,则△AMF为等腰直角三角形：③ 若F是CD的中点，则tan∠AEF=2.其中正确结论的序号是 (把你认为所有正确 的都填上). 三、图形变换综合 11.如图，将边长为6的等边三角形ABC沿射线BC平移得到△些(，点P,Q分别为AC, DF的中点，点O是线段PQ的中点，连接OA,OC.当△AOC为直角三角形时，BE= 平面直角坐标系中，已知点P-2,0,点M是直线AB:y 一个动点，连接PM,将PM绕点P逆时针旋转90°到PN,连接ON,则线段ON的最小值 是 B ox 13.如图，在矩形ABCD中，AD=3,将△DAB绕点D逆时针旋转得到△i,点E落在 对角线BD上，EF,DF分别交BC于点G,H,若BG=GH,则矩形ABCD的面积为 14.在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图1所示. 然后固定纸片△ABC,把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△AD'C',连接AB,DB, D'C,在平移过程中： 图1 图2 (1)四边形ABCD的形状始终是 (2)AB+DB的最小值为 15.如图，正方形ABCD中，点F为边AB(含端点)上一动点，连接FD,将AD沿直线 DF翻折，A点对应点为H,连接CH并延长，交DF的延长线于E,连接BE,AB=6,给 出下列四个结论： ①∠DEC=45°；②EB=EG;③若CH=23,则EB=V6: ④BG的最小值为3V5-3,其中正确的是 四、圆综合 16.如图，直线y=X+5与x轴，y轴分别相交于点A,B.点M从点A出发，以每秒2个 单位长度的速度向x轴的正方向移动，以点M为圆心，3为半径画⊙M.P是直线AB上的 一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q.当点M移动6秒时，PQ的最小值为 y O M 17.如图，⊙O经过Rt△ABC的直角顶点C,交AB于点D,E,交BC于点F,交AC于点 G,且满足DE=FC=CG,AG=2BF=1,则⊙O的半径为 D G 18.如图，以AC为直径的⊙O与BC相切于点C,AB交⊙O于点D,DO的延长线交BC 的延长线于点E,DF⊥AC交⊙O于点F,连接BF交OO于点G,若 BD=3AD,AC=4,则CE的长度为 ,GF的长度为 G 19.如图，已知o0为△ACD外接圆，AB为00的直径，点B为CD的中点，过点D作 ⊙O的切线与直线AB交于点E,点F为⊙O上一点，连接CF,过点B作BH⊥CF分别交 CF、AD于点H、G.已知FH=270,am∠ACD-号，AB=25,则BE的K度为一 HG的长度为· B E A G D 20.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连 接CD,并延长CD交⊙O于点E,过C作CG⊥AB交⊙O于点G,垂足为点H,连接GE, 并延长GE交⊙O的切线AK于点K,若BH=2,GH=3,则⊙O的半径r= EK= B 参考答案 1.解：，△CDE,△ABC都是等边三角形， ∴.CE=CD,AC=BC,∠DCE=∠BCA=60°， ∴.∠DCE+∠ACD=∠BCA+∠ACD, 即∠ACE=∠BCD, ∴.△ACE≌△BCD SAS, ∴SABCD=S△ACE, 故①符合题意： .△ACE≌△BCD .∠BDC=∠AEC, .∠DNF=∠ENC, ∴.180°-∠DNF-∠BDC=180°-∠ENC-∠AEC, ∴.∠DFN=∠DCE=60°， 则∠AFM=∠DFN=60°， .∠BCM=60°，∠MBC<∠ABC=60°， ∴.∠BMC=180°-∠BCM-∠CBM>60° 则∠AMF=∠BMC>60° ∴.∠AMF>∠AFM .AM<AF(大角对大边) 故②不符合题意： .△ACE≌△BCD .∠BDC=∠AEC, .∠DCE=∠BCA=60°， ∴.∠MCN=180°-∠DCE-∠BCA=60°， 即LMCN=∠DCE, CE=CD. ∴.△MCD≌△NCE ASA ..MC=CN, .∠MCN=60, ∴.△MCN为等边三角形： 故③符合题意： 在BF上截取点T使得BT=AF, B .△ACE≌△BCD ∴.∠CBT=∠CAF, .BC=AC,BT=AF, .△BCT≌△ACF SAS, .∠BCT=∠ACF,TC=FC ,∠BCA=60°=∠BCT+∠TCA ∴.∠TCF=∠FCA+∠TCA=60 .TC=FC ∴.△FTC是等边三角形， ∴.TF=CF, .BF=BT+TF, ∴.BF=AF+CF, 故④符合题意， 故答案为：①③④ 2. ①②④ 【分析】根据勾股定理可判定①，证明△ABC≌△DBF和△ABC≌△EFC,根据两组 对边相等可判断②，根据角度的和差关系以及平行四边形的性质可知④，最后根据角度关 系可知∠FDA,根据面积公式即可求解， 【详解】解：AB=3,AC=4,BC=5, ..AB2+BC2=BC2, ∴，△ABC是直角三角形， .∠BAC=90, .AB⊥AC故①正确： :△BCF,△ABD为等边三角形， .'BD=BA,BF=BC, ∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴.∠DBF=∠ABC, AB=DB 在△ABC和△DBF中， ∠ABC=∠DBF BC=BF .△ABC≌△DBF SAS, ∴.AC=DF=AE=4, 同理可证：△ABC≌△EFC SAS, ∴.AB=EF=AD=3, ∴.四边形AEFD是平行四边形，故②正确： 四边形AEFD是平行四边形， ∠DAE=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAE=150°=∠DFE,故④正确： 过点A作AG⊥DF于G, G 则∠AGD=90°， .∠FDA=180°-∠DFE=180°-150°=30°， AG-AD- 2 S。ED=DF×AG=4×号=6，故③不正确」 2 则正确的有①②④. 3.①②③④ 【分析】证明△ACD≌△CBE SAS得∠CAD=∠BCE,利用∠AFE是△ACF的外 角等量代换可证①；由∠BGC=60°=∠BAC,得A、B、G、C四点共圆，根据等弧 对等角和等量代换可证②：在CG上取点M,使GM=BG,证△ABG≌△CBM SAS得 AG=CM,可证③：设CD=BE=X,则BD=6-x,AE=6-X, 过点E作EH⊥BC于点H,在Rt△EBH和Rt△DEH中根据勾股定理， DE2=DH+EH可证④， 【详解】解：①，△ABC为等边三角形， ∴.AC=BC,∠ACD=∠CBE=60°， .CD=BE. .△ACD≌△CBE SAS, .∠CAD=∠BCE, .∠AFE是△ACF的外角， .∠AFE=∠CAF+∠ACF=∠CAD+∠ACF=∠BCE+∠ACF=∠ACB=60°正确： ②，∠BGC=60°=∠BAC, .A、B、G、C四点共圆， 同弧BC所对圆周角：∠CGB=∠CAB=60° 同弧AC所对圆周角：∠AGC=∠ABC=60° .∠AGC=∠BGC=60°， ∴.CG平分∠AGB,正确： ③在CG上取点M,使GM=BG, D .∠BGC=60°， ∴.△BMG为等边三角形， ∴.BM=BG,∠MBG=60°， ∠ABC=60°， .∠ABG=∠CBM, AB=BC,BG=BM. .△ABG≌△CBM SAS, ..AG=CM, :.CG=CM+GM=AG+BG,正确； ④设CD=BE=X,则BD=6-X,AE=6-X, 过点E作EH⊥BC于点H, G B 在Rt△EBH中，∠ABC=60°， .∠BEH=30, 服=BEX,EH=BE-B= -X 2 在Rt△DEH中，DH=BD-BH=6-x- 26-3 X,DE2=DH2+EH2. 6-18x+号x 4 =3x2-18x+36 =3x2-6x+12 =3x2-6x+9+3 =3x-32+9 “(x-3720 当x=3时，DE2取得最小值，最小值为9， .DE的最小值为9=3，正确， 4.①②③④ 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题， 作PH⊥BC交BC的延长线于H,证明△ADF≌△BAE,得DF=AE,AF=BE,可以 判断①②正确：证明△PCH是等腰直角三角形，可以判断③④正确：根据题意 ∠DFE+∠EPC=∠DPC,证明CP是∠DCH的角平分线，可判断⑤错误. 【详解】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H, ABCD B 四边形 是正方形， .:AD=AB=BC,∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°， :DF⊥AE, ,:∠BAE+∠DAE=90°，∠ADF+∠DAE=90°， .:∠BAE=∠ADF, 在△ADF和△BAE中， ∠DAF=∠ABE AD=AB ∠BAE=∠ADF .:△ADF≌△BAE ASA, ,:DF=AE,故①正确： :'△ADF≌△BAE, .AF=BE, ,:AF+CE=BE+CE=BC=AD,故②正确： :四边形DFEP是平行四边形，DF⊥AE, ,:DF=PE,∠DFE=∠DPE,PE⊥AE, .∠AEP=90°，AE=PE, :·∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠PEH=90°， .:∠BAE=∠PEH, 在△ABE和△EHP中， ∠ABE=∠H=90° AE=EP ∠BAE=∠PEH .:△ABE≌△EHP AAS, .PH=BE,AB=EH=BC, .BE=CH=PH, .:∠PCH=45°， .:△PCH是等腰直角三角形， 由勾股定理得，PC=2CH, ‘BE=CH=AF, :PC=2AF,即C=2,故③正确： Af :'∠DCH=90°， .:∠DCP=∠PCH=45°， ,:tan∠DCP=1,故④正确； :·∠DCP=∠PCH=45°， .:CP是∠DCH的角平分线， .:点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线， :‘∠DFE+∠EPC=∠DPE+∠EPC=∠DPC, 观察图象可得，当CP增加时，∠DPC发生变化，故⑤错误， .·正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④， .n 【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的判定与性质，证明AG⊥EF,连接 AH,证明点G在线段AH上，且A,G,H三点共线，此时AH⊥EF,再证明 △AEF一△BAH,由相似三角形的性质可得结论. 【详解】解：如图①， D ABCD H C 图① 四边形 是正方形， .:∠DAB=∠ABC=90°，BC=AB=4, .:∠DAG+∠FAG=90°， :'∠DAG=∠AFE, .:∠AFE+∠FAG=90°， .:∠AGF=90°，即AG⊥EF 连接AH,在Rt△ABH中，AB=4,BH=BC-CH=3, .AH=VAB2+BH2=5' :‘AG+GH=5, .:点G在线段AH上，如图②，此时AH⊥EF, A 图② .∠AGE=∠AGF=90°， .∠DAG+∠AEG=90°，∠FAG+∠AFG=90, .∠DAG=∠AFE, .:∠AEF=∠BAH, ,∠EAF=∠B=90, .:△AEF→△BAH, :AE、AF BA BH' :‘F为AB的中点， .:AF=2, :AE=2 ”431 :AE=8 31 6.210 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对 称的性质等知识，解决问题的关键作辅助线，构造相似三角形.作AH⊥BD于H,作射 线HF,可证得△BAE一△HAF,从而∠AHF=∠ABD=45°，从而得出点F在过H且 与BD成45°的直线l上运动，直线I交AD于V,连接AG,交FH交于F,当点F在F'处时， GF+DF最小，可求得BH=AH,进而解答即可. 【详解】解：如图，作AH⊥BD于H,作射线HF, :“四边形ABCD是正方形， E :∠ABC=∠BAD=90,AB=AD,∠ABD=∠ABC=45O, :∠BAH=∠BAD=45=∠ABD, .AH=BH'AB=VAH2+BH2=VAH2+AH2=2AH :A班-2 AB 2 :'△AEF是等腰直角三角形，AF=EF'AE=AF2+EF=AF+AF=2AF .AF-82 AE 2 .AF_AH ·AEAB .:∠BAE=∠FAH, .:△BAE一△HAF, .:∠AHF=∠ABD=45, :点F在过H点且与BD成45的直线上运动，直线I交AD于V,AH=DH=BD, .:HF⊥AD, ..DF=AF, 连接AG交FH于F, ∴.即GF+DF=GF+AF≥AG, 当点F在F处时，GF+DF最小，最小值为线段AG的长， :'BD=V2AB=8V2.BG=3DG. .BH=AH=4V2,BG=62,DG=22 .GH=BG-BH=22 :AG=AH+HG=42+2V2=2V10 .:GF+DF的最小值为2V10, 故答案为：2V10 7.5 【分析】先证明△ADE≌△BAF(SAS）得到∠ADE=∠BAF,进而得到 ∠DOF=90°，则由直角三角形的性质可得OM=DF,在AB廷长线上藏取BH=BG。 连接FH,则有△FBG≌△FBH(S,然后可得当H、D、F三点共线时， DF+证有最小值，即此时OM+FG有最小值，最小值即为DH的长的一半，进而问题 可求解。 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB=6,∠DAB=∠ABC=90°， 又：AE=BF, ∴.△ADE≌△BAF(SAS), .∠ADE=∠BAF, .∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°， ,点M是DF的中点， OM-DF, 如图所示，在AB延长线上截取BH=BG,连接FH, M H E G B ∠FBG=∠FBH=90°，FB=FB,BG=BH, .△FBG≌△FBH(S, .'FH=FG OM+FG-DF+HF-DF+H :.当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+FG有最小值，最小值即 为DH的长的一半， .AG=2GB,AB=6, ·BH=BG=AB=2, 3 .AH=8, 在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=AD2+A开=10' ∴.OM+ FG的最小值为5. 8V5 8. 心 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、轴对称求最短路径及面积法的应用， (1)菱形面积为对角线乘积的一半，先利用勾股定理求出对角线AC的长度，再代入面积 公式计算. (2)先利用面积法证明PM+PN为定值；再利用菱形的轴对称性，将PB转化为PD,从 而将PB+PE的最小值转化为点D到AB的距离（菱形的高）：将定值与最小值相加得到最终 结果。 【详解】(1)解：，菱形ABCD中，对角线AC⊥BD,DO=1, ..BD=2DO=2 在Rt△ADO中，AD=5,DO=1, 由勾股定理得A0=VAD2-D02=(5}-12=2' ∴.AC=2AO=4」 :菱形ABCD的面积=号AC×BD=号×4×2=4： 故答案为：4. (2)解：如图，连接PD B 1 由S△ADC=S△ADP+SADCP=5S菱ABCD, 得AD×PM+号DCx PN=-2, 2 AD=DC=5, 得到PM+PN=4 ,菱形ABCD关于对角线AC对称， ∴.点B关于AC的对称点为D,故PB=PD, ∴.PB+PE=PD+PE」 当D、P、E三点共线且DE⊥AB时，PD+PE最小， 此时DE为菱形的高， 0E号4g5, 即PB+PE的最小值为45 5 PM+PW+PB+PE的最小值为45+45_85 5 5 5 895 故答案为： 5 9.4 【分析】根据矩形的性质得到AB=CD,ABl‖CD,∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA= OC,AD=BC,AD‖BC,根据平行线的性质得到DE⊥AC,根据垂直的定义得到∠DNA= ∠BMC=90°，由全等三角形的性质得到DN=BM,∠ADE=∠CBF,故①正确；证 △ADE≌△CBF(ASA),得出AE=FC,DE=BF,故③正确：证四边形NEMF是平行四 边形，得出EMFN,故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD, 则DE=BE,得出四边形DEBF是菱形：故④正确；即可得出结论 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， ,AB=CD,ABCD,∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD‖BC, ∴.∠DAN=∠BCM, ,BF⊥AC,DEBF, DE⊥AC, ∴.∠DNA=∠BMC=90°， 在△DNA和△BMC中， b, .△DNA≌△BMC(AAS), ∴.DN=BM,∠ADE=∠CBF,故①正确； 在△ADE和△CBF中， 6; .△ADE≌△CBF(ASA), AE=FC,DE=BF,故③正确； ∴.DE-DN=BF-BM,即NE=MF, DE∥BF, ∴.四边形NEMF是平行四边形， .EM∥FN,故②正确： .AB=CD,AE=CF, ..BE=DF, ,BE∥DF, ∴四边形DEBF是平行四边形， .AO=AD, ..AO=AD=OD .△AOD是等边三角形， .∠ADO=∠DAN=60°， .∴.∠ABD=90°-∠ADO=30°， :DE⊥AC, ∴.∠ADN=∠ODN=30°， .∠ODN=∠ABD, ..DE=BE, ∴.四边形DEBF是菱形：故④正确： 故答案为：4. 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质 和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键 10. 6 ①② 【分析】(1)过A作AG⊥AE,交CD延长线于G,证明△ABE≌△ADG,得 BE=DG,AG=AE,由∠EAF=45°，证明△EAF≌△GAF,得EF=GF,故 △CEF的周长：EF+EC+CF=GF+EC+CF=CD+BC,即可得答案： (2)①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH,连接NH,证明 △AMN≌△AHN,可得MN=HN,Rt△HDN中，有HN2=DH+DN2,即得 BM+DN2=MN2,故①正确：②由∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF, 得AAMN~△DFN,有AN-DN MN FN 可得△ADN一△MFN,从而 ∠MFN=∠ADN=45°， △AMF为等腰直角三角形，故②正确；③过A作AG⊥AE,交CD延长线于G,设 DF=X,BE=DG=y,Rt△EFC中，(2x-y)2+X2=(x+y尺，解得x=3 y, X=-3 2,设x=3m,则y=2m,R△ADG中，tanG=AD=6m=3,面 DG 2m tan∠AEF=3,故③不正确. 【详解】解：(1)过A作AG⊥AE,交CD延长线于G,如图： G D ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， .∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG,∠ABE=∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ∠ABE=∠ADG AB=AD ∠BAE=∠DAG ∴△ABE=△ADG(ASA), ..BE=DG AG=AE, :∠EAF=45, ∴.∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中， AG=AE ∠GAF=∠EAF AF=AF ,△EAF=△GAF(SAS）, .EF =GF, ∴△CEF的周长：EF+EC+CF =GF+EC+CF =(DG+DF)+EC+CF =DG+(DF+FC)+CE =BE+CD+CE =CD+BC, :正方形的边长为3， ∴.△CEF的周长为6： 故答案为：6； (2)①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH,连接NH, H .∠EAF=45°， ∴.∠EAF=∠HAF=45, ,△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH, ∴.AH=AM,BM=DH,∠ABM=∠ADH=45°， 又AN=AN, .△AMN=△AHN(SAS), ..MN HN, 而∠NDH=∠ABM+∠ADH=45°+45°=90°， Rt△HDN中，HN2=DH+DN2, ..MN2-BM2+DN2, 故①正确： ②.∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF, ∴.△AMN~△DFN, ..AN-MN DN EN 器兴 .∠∧=∠FNM, .△ADN~△MFN, .∠MFN=∠ADN=45°， .∠MAF=∠MFA=45°， ∴.△AMF为等腰直角三角形，故②正确， ③过A作AG⊥AE,交CD延长线于G,如图： G N 由(1)知：EF=GF=DF+DG=DF+BE,∠AEF=∠G, 设DF=X,BE=DG=y,则CF=X,CD=BC=AD=2X,EF=X+y, CE=BC-BE=2x-y, Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2, (2x-y)2+x2=(x+y)2, 解得子 水=3 y2’ 设x=3m,则y=2m, ∴.AD=2x=6m,DG=2m, Rt△ADG中，tanG=AD-6m=3, Γ-DG2m ∴.tan∠AEF=3, 故③不正确： ∴正确结论的序号是①②， 故答案为：①② 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性 质、旋转变换、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是 根据题意作出辅助线，构造全等三角形。 11.6或12 【分析】先由平移得出PQ‖BF,PQ=BE,∠ACB=60°，AC=6,当△AOC为直角 三角形时，需分情况讨论：当∠AOC=90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半，进行计算即可：当∠ACO=90°时，先根据平行线的性质得出 ∠OPC=∠ACB=60°，进一步得出∠POC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质， 得出OP=2CP=6,最后利用线段中点的性质，进行计算即可. 【详解】解：①当∠AOC=90°时，如图1. ABC BC △些i B C(E) 图1 等边三角形 沿射线平移得到 ，点P,Q分别 为AC,DF的中点， .PQ=BE,AC=6 :·∠AOC=90°，点P为AC的中点， .:OP-AP-CP-1AC-3 :点O是线段PQ的中点， .:PQ=2OP=6, .:BE=PQ=6. ②当∠AC0=90°时，如图2. ABC BC △些就 图2 等边三角形 沿射线 平移得到 ，点 P,Q分别为AC,DF的中点， .:PQ‖lBF,PQ=BE,∠ACB=60°，AC=6 :PQ‖BF, .:∠OPC=∠ACB=60°， .:∠P0C=90°-60°=30°， :“点P为AC的中点，AC=6, :CP=1AC=3. 2 在Rt△PCO中，∠PCO=90°，∠POC=30°， .:OP=2CP=6 :点O是线段PQ的中点， .:PQ=2OP=12, .:BE=PQ=12 综上所述，当△AOC为直角三角形时，BE的长为6或12. 055 2. 【分析】过点P作CD⊥x轴，过点M,N分别作CD的垂线于点C,D,设直线NE交y轴于 点E交AB于点p,证明△MPC≌△PNDIAASI设M,+2 结合全等三角形 的性质得出 N -4- 5t,2+t 进而可得点N在直线y=-2X-6上运动，当ON⊥FE时， ON的省鼓，小证明△BEF是直角三角形，EF上AB,得出tan BEF=-之根据 NO2+2NO?=62,即可求解. 【详解】解：，将PM绕点P逆时针旋转90°到PN, .∠MPN=90°，MP=NP, :点M是直线AB:yx+2上的个动点， 设Mt,2t+2 如图，过点 作 CD⊥x 轴，过点M，N分别作 CD 的垂线于点 C，D， 设直线NE交y轴于点 E，交 AB 于点F， y B M C x D E $$\therefore \angle C = \angle D = 9 0 ^ { \circ }$$ $$\because \angle M P N = 9 0 ^ { \circ }$$ $$\therefore \angle M P C = 9 0 ^ { \circ } - \angle N P D = \angle P N D$$ ∵MP=PN ∴△MPC≅△PND|AAS ∴CM=PD，CP=ND $$\because P \left( - 2 ， 0 \right) ' M \left( t ， \frac { 1 } { 2 } t + 2 \right)$$ $$\therefore M C = - 2 - t ， C P = \frac { 1 } { 2 } t + 2$$ $$\therefore N \left( - 2 - \frac { 1 } { 2 } t - 2 ， 2 + t \right) ， 则 N - 4 - \frac { 1 } { 2 } t ， 2 + t$$ $$x = - 4 - \frac { 1 } { 2 } t ， y = 2 + t$$ ∴y=-2x-6 ∴ 点N在直线 y=-2x-6 上运动，当 _{1}ON⊥FE 时，ON的值最小， 联立 $$y = \frac { 1 } { 2 } x + 2 \\ y = - 2 x - 6$$ $$\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 . 2 \\ y = 0 . 4 \end{array} \right.$$ 9-ger9居-6-2警BE-26r-a 5 BF2+EF2-BE2 BF-885 EF=165 5 ∴，△BEF是直角三角形，EF⊥AB, 85 ..tan BEF=BF 5 1 EF 165 5 ..NE=2ON, NOP+2NOP=6 .50N2=62 0W=65 即线段ON的最小值 65 5 5 13.37 【分析】根据旋转的性质可得DE=AD=3,∠=∠DAB=90°，∠EDF=∠ADB,由 矩形的性质可得AD‖BC,从而得出∠ADB=∠DBC,进而证得∠BDH=∠DBH,得 到DH=BH,取BD的中点M,连接HM,利用等腰三角形三线合一的性质可得 HM⊥BD,再证明△BEG一△BMH,利用相似三角形的性质求出BD与BE的数量关系， 进而求出BD的长，最后利用勾股定理求出AB的长，即可求得矩形的面积. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .AD‖BC,∠DAB=90° 由旋转的性质可知，△DAB≌△些(， .:DE=AD=3,∠=∠DAB=90°，∠EDF=∠ADB, :“点E落在对角线BD上， .:∠BEG=180°-∠=90°， .AD lI BC, .:∠ADB=∠DBC, .:∠EDF=∠DBC, 即∠BDH=∠DBH, .DH=BH, 取BD的中点M,连接HM, A :'DH=BH M BD ，为 的中点， .:HM⊥BD,BD=2BM, .∠BMH=90°， .∠BEG=∠BMH=90°， .∠EBG=∠MBH, ∴.△BEG一△BMH, .BE_BG ·BMBH :'BG=GH, .BH=2BG. .:BG-1 'BH 2' 既分 即BM=2BE, .BD=2BM=4BE, :‘BD=BE+DE=BE+3, .:4BE=BE+3, 解得BE=1, .BD=4, 在Rt△ABD中，由勾股定理得： AB=VBD2-AD2-Y42-32-7 :矩形ABCD的面积为AB·AD=3V7. 14. 平行四边形 2V5 【分析】(1)利用平移的性质以及平行四边形的判定即可解答. (2)如图2中，作直线DD,作点C关于直线DD的对称点C,连接DC,BC,过 点B作BH⊥CC于H,作BJ⊥AC于J.求出BC,证明 AB+BD=BD+CD=BD'+D'C"'≥BC',进而完成解答， 【详解】解：(1)如图2中，由平移的性质可得：AD=BC,AD'‖BC, .四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形. (2)如图2中，作直线DD,作点C关于直线DD的对称点C,连接DC“,BC',过 点B作BH⊥CC于H,作BJ⊥AC于J. D B 图1 图2 四边形ABCD是正方形， AB=BC=2,∠ABC=90°， ..AC=2AB=22. .BJ⊥AC, ..AJ=JC, BI号Ac=2, .∠BJC=∠JCH=∠H=90°， ∴.四边形BHCJ是矩形， .BJ=CJ, ∴.四边形BHCJ是正方形， ∴BH=CH=V2, 在Rt△BHC"中，BH=V2,HC"=3V2, BC=BH?2+HC=2+3V22=25 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD, ..AB+BD=BD+C D=BD+DC"zBC", .AB+BD≥2V5, AB+D'B的最小值为2V5. 15.①③④ 【分析】①根据正方形的性质结合折叠的性质，设∠ADE=∠HDE=Q,则 ∠HDC=90°-2a,利用三角形外角的性质可得∠DHC=∠DEC+∠HDE=45°+Q, 即可判断；②分别过点B,D作BM⊥CE,DN⊥CE,垂足分别为M,N,易证△EGH是 等腰直角三角形，△DEN是等腰直角三角形，再证明△CND≌△BMC AAS,从而得 到△BME是等腰直角三角形，当EB=EG时，则BE=AG,此时 △AFG≌△BFE ASA,与点F为边AB(含端点)上一动点矛盾，即可判断；③由② 知CN=EM=BM,△BME是等腰直角三角形，利用等腰三角形三线合一及勾股定理即 可求出EB,即可判断：④取AD的中点T,连接(，BT,BG,利用三角形三边关系及勾股 定理即可判断. 【详解】解：①由翻折的性质得AD=DH,∠ADE=∠HDE, 四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD,∠ADC=90° .AD=CD=DH, .∠DHC=∠DCH, 设∠ADE=∠HDE=a,则∠HDC=90°-2a, :.∠DHC=∠DCH=11800-∠HDC=45+&, 2 .∠DHC=∠DEC+∠HDE=45°+a, .∠DEC=45°，故①正确： ②分别过点B,D作BM⊥CE,DN⊥CE,垂足分别为M,N, A :∠DEC=45°， 由折叠的性质得∠EGH=90°，AG=GH, .∠EHG=45°， ∴△EGH是等腰直角三角形， ..EG=GH, ..EG=AG. .∠DEC=45°，∠DNE=90°， ∴.∠EDN=45 ∴△DEN是等腰直角三角形， ..DN=EN, .∠DCE+∠BCE=∠DCE+∠CDN=90°， .∠BCE=∠CDN」 .∠CND=∠CMB=90°，BC=CD ∴.△CND≌△BMCAAS, ..CN=BM,DN=CM, ∴.EN=CM, ∴.EN-MN=CM-MN,即EM=CN, ∴.EM=BM, :∠BME=90 ∴.△BME是等腰直角三角形， ∴.∠BEM=45°， ∴.∠BED=∠BEM+∠DEC=90°， 由折叠的性质得∠AGE=90°， .∠BED=∠AGE=90°， .BE‖AH, .∠ABE=∠BAG, 当EB=EG时，则BE=AG, .△AFG≌△BFE ASA,与点F为边AB(含端点)上一动点矛盾，故②错误： ③由②知CN=EM=BM,△BME是等腰直角三角形， DH=CD,DN⊥CH,CH=2V3, CN-CH-3, ..EM=BM=3, 六EB=EM2+BM=6故@正确： ④取AD的中点T,连接(，BT,BG, T A G .∠AGD=90°，AD=AB=6, :d=号AD=3,AT=DT=3, ∠BAD=90°， ·BT=AB2+AT=35 .BG≥BT->U, 当G点在BT上时，BG=BT->心，此时取得最小值， .BG的最小值为35-3，故④正确： 综上，正确的结论有①③④ 16. 37 【分析】首先，证得△AOB是等腰直角三角形，∠BAO=45°，然后，由MQ=3,证得 PQ=PMP-g再根据要使PQ最小，则PM需最小，根据垂线段最短可知，当 PM⊥AB时，PM最小，此时PM的最小值为点M到直线AB的距离，运用特殊角的正 弦函数求得PM=62,最后，代入化简计算即可. 【详解】解：连接PM,QM, VA 对于直线y=x+5,令y=0,则x+5=0,解得x=-5, ∴.点A(-5,0), 对于直线y=x+5,令x=0,则y=0+5=5, .点B(0,5). ∴.△AOB是等腰直角三角形， .∠BAO=45°， :PQ是⊙M的切线， .MQ⊥PQ, 在Rt△PQM中，MQ=3:根据勾股定理，得pQ=PM2-MQ,即 PQ=VPM2-9 要使PQ最小，则PM需最小， 根据垂线段最短可知，当PM⊥AB时，PM最小，此时PM的最小值为点M到直线AB 的距离， :∠BAO=45°， .△APM也是等腰直角三角形， ·sin∠PAM=PM AM' 即sin45=PM-V2 AM 2 :点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴的正方向移动，移动6秒， ∴.AM=2×6=12, PM= 2AM-2×12-62 2 将PM=62代入PQ=VPM2-g'可得pQ=(6V2-9=37' 综上，PQ的最小值为3V7. 【点睛】解题的关键在于先求出点M移动6秒后的AM的长，再根据切线的性质得到PQ 与PM的关系，最后利用垂线段最短求出PQ的最小值. n号 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角 三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质 过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,OP⊥AC于点P,连接OC,由弦心距和 垂径定理得出OM=ON=OP,MD=ME=NF=NC=PC=PG,推出小⊙O是 Rt△ABC的内切圆，四边形CPON是正方形，得AP=AM,BM=BN,CP=CN, △CNO是等腰直角三角形，则AG=AD,BF=BE,设DE=FC=CG=xx>O,求出 AG=AD=1,BE=BF=然后在R△ABC,由勾股定理列出一元二次方程，解之取 符合题意的值，即可解决问题 【详解】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,OP⊥AC于点P, 连接OC, B .弦DE=FC=CG, ..OM=ON=OP,MD=ME=NF=NC=PC=PG, ∴.小⊙O是Rt△ABC的内切圆，四边形CPON是正方形， ∴.AP=AM,BM=BN,CP=CN,△CNO是等腰直角三角形， ∴.AG=AD,BF=BE, 设DE=FC=CG=xx>0, .AG=2BF=1, .AG=AD=1,BE=BF=1 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AC=AB2, 即 2 +x+1=x+21 解得：X1=1,X2=-1(不合题意，舍去)， ..DE=FC=CG=x=1, .NC=ON=1FC= 2 2 ,△CNO是等腰直角三角形， 2 :.0C=2NC=2, 2 “00的半径为 2 故答案为： 18. 23 679a 【分析】连接AF、DG、CD,过点F作FM⊥AB,交BA的延长线于点M,设AD=X, 则BD-3,E明△ACD-△C8D,符出品品求CD=AD-BD=3,根据 勾股定理得出x2+3x2=4,求出X=2,证明∠ODC=∠E,得出CE=CD=23;证明 BD BG △DBG-△EBA,得出BF4B求出BG=872] 71 再求出结果即可. 【详解】解：连接AF、DG、CD,过点F作FM⊥AB,交BA的延长线于点M,如图所 示： D G 设AD=X,则BD=3X, .AC为⊙O的直径， .∠CDA=90, .∠BDC=180°-90°=90°， ∴.∠CDA=∠BDC, ⊙O与BC相切于点C, .∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCD=90°=∠BCD+∠CBD, ∴.∠ACD=∠CBD, .△ACD~△CBD, 品品 CD2=AD·BD=3X2, 在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD+CD=AC2, 即x2+3x2=42 解得：X=2,负值舍去， AD=2'BD=3×2=6'CD=AC2-AD2=23 :sin∠AcD=AD=2=1 AC-421 .∠ACD=30°， .∠BCD=90°-∠ACD=60°， OC=OD. ∴.∠ODC=∠ACD=30°， .∠E=∠BCD-∠ODC=30°， ∠ODC=∠E, ∴.CE=CD=23: .DF⊥AC,AC为⊙O的直径， ∴.AF=AD, .AF=AD=2, .AC⊥DF, ∴.∠CAF=∠CAD=90°-∠ACD=60°， .∠FAM=180°-∠CAF-∠CAD=60°， .FM⊥AM, .∠AMF=90°， ∴.AM=AF·cos60°=2× 11 FM=AF·sin60°=2× 33, ∴.BM=BD+AD+AM=9, 六BF=RBM2+FM2=221 ,四边形ADGF为圆内接四边形， .∠ADG+∠AFG=180°， .∠BDG+∠ADG=180°， ∴∠BDG=∠AFG, .∠DBG=∠ABF, ·△DBG△FBA, BD=BG ·BFAB 6 BG 即2216+2' 解得：BG=8V21 GF=BF-BG=2V21-8V21=621 7 7 225 111V10 19. 7 26 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，勾股定理和三角函数值（或相似三角形）， 通过圆的基本性质找到相等角是解题关键 利用所给正切值求出BC,借助垂径定理和切线所构成的直角三角形，利用DE这条公共边， 通过勾股定理列方程求解BE: 利用圆中同弧所对圆周角相等，进行等角转化，从而借助所给正切值求出BH,从而得到 ∠BCH的正切值，通过同弧所对圆周角相等，延长BG,与⊙O的交点为P,求出HP和 BP,从而求出∠ABG的正切值，通过过点G作AB的垂线，利用正切值设参，列方程求出 BG,作差即可求出HG 【详解】解：如图，记CD与AB交于点M,连接OD,BC,BF,延长BG交⊙O于点P, 连接AP,FP, M E D 由题意，得AB是直径，点B是BC的中点， ∴.∠ACB=90°，CD⊥AB,CM=DM, .∠ACD+∠BAC=90°，∠BAC+∠CBA=90°， .∠CBA=∠ACD, :.tan 4 CBA=AC=tan 4 ACD=4 BC 设AC=4x,则BC=3x, 由勾股定理，得AC2+BC2=AB即4x2+3x2=252, 解得x=5(负值已舍去)， .AC=20,BC=15, 同理，可得BM=9,CM=12, .DM=CM=12,ME=BM+BE=9+BE, 由医念，释半轻为受5 ·0D=0B=25 .OE=OB+BE-25+BE, 2 DE是切线， .OD⊥DE, 由勾股定理，得DM+ME2=DE2,OD+DE2=OE2, 0n+Dw+M-0E+129+BE-2BE 解得BE=225 BC=BC' .∠CAB=∠BFH, :tan∠CAB=BC-3=tan∠BFH=BH-BA AC4 FH 210 “BH=310 2, ÷CH=VBC2-BH-910 2 310 BH 2 1 ∴.tan∠BCH= CH 9103’ 2 “BF=BP' .∠HPF=∠BCH, :tan∠HPF=FA=tan∠BCH=号 HP ∴.HP=3FH=610, ÷BP=HP+BH=6/10+310=1510 2 APa-8P-255-0 2 :tan∠ABP=AP-号=tan∠BCH, BP 3 如图，作GN⊥AB于点N, N M B E A P :点B是2的中点， BC ·BC=CD .∠BAD=∠CAB, tan∠BAD=tan∠CAB=3 1 .设NG=3y,则AN=4y,BN=9y, .AN+BN=13y=AB=25, r常 ·NG=3y=75 BN=9y=25 13 BG=NG2+BN2-7510 13 :HG=7510-310-15010_391011110 13 2 26 26 26 13 25V13 20. 4 92 【分析】连接BC,OE,分别过点E、K作CG的垂线，垂足为I、J,作DM⊥EI,垂足 为M,设EI=2x,由两角对应相等可证明△ACH一△CBH,则 BH_CH 从而得到 CH AH 直径AB.由折叠可推断，ADC所在的圆与⊙O是等圆，根据圆周角定理可得，CD=CB, 则DH=BH=2.容易证明△CDH一△CEI,根据相似三角形的性质和线段关系，依次 表示出OM和EM,在直角△OEM中，使用勾股定理构造方程，求出X的值，进而计算出 EI,GI,EG.由切线的性质，可证明四边形AHJK是矩形，则KJ=AH.容易证明 △EGI一△KGJ,根据相似三角形的性质求出KG,最后求出EK. 【详解】解：如图，连接BC,OE,分别过点E、K作CG的垂线，垂足为I、J,作 DM⊥EI,垂足为M,设EI=2x, B AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠BCH+∠ACH=90°， .AB⊥CG, .∠CHB=∠AHC=90°，CH=GH=3, .∠BCH+∠CBH=90°， .∠ACH=∠CBH, ∴，△ACH一△CBH, "3 AH' 解得，AH=9 .AB=AH+BH= 2s13 2 21 r号0 4 由翻折的性质可知，ADC所在的圆与⊙O是等圆， .∠CAD=∠BAC, ..CD=CB, ..CD=CB, .CG⊥AB, .DH=BH=2. EI⊥CG, ∴.∠EIG=∠EIC=90°=∠DHC, .∠DCH=∠ECI, .△CDH一△CEI, 后品 设EI=2x, ..CI=3x, ∴.HI=CI-CH=3x-3, .OM⊥EI, ∴.∠OMI=90°=∠MIH=∠OHL, .四边形OHIM是矩形， OM=HI=3x-3,MI=OH=OB-BH=5 EM=EI-MI=2x-5 在直角△OEM中，EM2+OM2=OE2, 化简，得13x2-23x=0, x>0, ·13x-23=0,解得，X=2 3 E1=2x=46 HⅢ=3x-3=69 3=30 3 3 G1=GH-Hm=3-30=9 1313 在直角△EGI中，EG=VEP+G1D =V13 ,AK是⊙O的切线， .∠OAK=90°， KJ⊥CG, ∴.∠KJH=90°=∠HAK=∠AHJ, ∴.四边形AHJK是矩形， .KJ=AH= .∠EIG=∠KJG=90°，∠EGI=∠KGJ, ∴.△EGI△KGJ, 46 EG_EI 卿3 13 KG KJ' KG KG= 117V13 92 ÷EK=KG-EG=11713-313=253 92 92 1325V13 故答案为：4： 92