第一单元 简易方程单元复习（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

苏教版数学五年级下册 第一单元《简易方程》单元复习讲义 知识结构图 等式与方程 → 等式（用等号连接的式子）；方程（含有未知数的等式）。关系：方程一定是等式，等式不一定是方程。 ↓ 等式的性质 → 性质1（两边同时加减同一个数，结果仍相等）；性质2（两边同时乘或除以同一个不为0的数，结果仍相等） ↓ 解方程 → 解方程（求方程的解的过程）；方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值）；检验（代入原方程验证） ↓ 列方程解实际问题 → 设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验并作答 一、知识导航 （一）等式与方程 等式：用等号（＝）连接起来表示左右两边相等关系的式子。等式可以不含未知数，如 45＋36＝81。 方程：含有未知数的等式是方程。方程必须同时满足两个条件：①是等式；②含有未知数。如 3x＋5y＝4 是方程。 等式与方程的关系：方程一定是等式，等式不一定是方程。等式包含方程，方程是等式的子集。 （二）等式的性质 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 易错提醒：➊除以一个数时，该数不能为0；➋加减乘除的对象必须是“同一个数”。 （三）方程的解与解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，是一个数值。 解方程：求方程的解的过程，是一系列变形操作。 检验方法：将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。 （四）列方程解实际问题的一般步骤 1. 设未知数，用字母表示 2. 分析题意，找出数量间的等量关系 3. 根据等量关系列方程 4. 解方程，求出未知数的值 5. 检验结果是否正确，写出答句 二、新知讲授 题型一：等式与方程的辨析 解法口诀： 等式有等号，方程还含未知数。 方程一定是等式，等式不一定含未知数。 判断只需问两句：有等号吗？有字母吗？ 例题1（基础）——等式与方程的区分 题目：（2024·宿迁期中改编）在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38 中，等式有哪些？方程有哪些？（填序号） 【解析】 式子 有等号√ 含未知数√ 判断 ①x＋7.9＜16 × √ 是不等式 ② 0.23m＝4.6 √ √ 等式，也是方程 ③55＞m÷0.4 × √ 是不等式 ④ 15×2.4＝36 √ × 是等式，不是方程 ⑤66－x＝38 √ √ 等式，也是方程 答案：等式有（②、④、⑤）；方程有（②、⑤）。 【方法总结】 判断一个式子是否为等式，看是否有“＝”；判断一个式子是否为方程，看是否同时满足“有等号”和“含未知数”。方程必定是等式，等式未必是方程。 变式训练1-1 下列选项中（　）是方程。 A. 3x＋5y＝4　　B. 45＋36＝81　　C. 3x＋5＞1.2 【答案】A 【解析】B不含未知数，C是不等式，只有A同时是等式且含未知数。方程是等式，但含有未知数，例如3x＋5y＝4。 变式训练1-2 判断对错：含有未知数的式子叫方程。（　） 【答案】× 【解析】错误。方程必须是含有未知数的“等式”，如2x＋5含未知数但不是等式，不是方程。缺少“等式”这一关键条件。 变式训练1-3 下面不是方程的有（　）个。 ①4x＋8　②6x＋7＝26　③3x＝12　④a＋b＝15 A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 0 【答案】A 【解析】①4x＋8不是等式，不是方程；②③④都是等式且含未知数，都是方程。所以不是方程的有1个。 题型二：等式的性质与应用 解法口诀： 等式性质两条记：同加同减仍相等，同乘同除也成立。 除数不能是零记心间，两边操作须相同。 例题2（基础）——等式性质的判断 题目：（2024·南京期中改编）下面的说法中，正确的有（　）个。 ①方程都是等式，所以等式也都是方程。 ②等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。 ③如果a＋6＝b－1，那么a＜b。 ④等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。 A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 【解析】 ①错误。“方程都是等式”正确，但“等式也都是方程”错误，如45＋36＝81是等式但不是方程。 ②错误。等式两边同时除以同一个“不为0”的数，等式才成立。少了“不为0”的关键条件。另外，等式两边同时乘同一个数，等式一定成立。 ③正确。由a＋6＝b－1，得a＋7＝b，所以b比a大7，即a＜b。 ④正确。等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立（任何数都可以，包括0）。 正确的有③和④，共2个。 答案：B 变式训练2-1 根据等式的性质填空：若3x＝24，则3x÷3＝24 ○（　）。 A. ＋3　　B. ×3　　C. ÷3 【答案】C 【解析】等式右边也应同时除以3，根据等式性质2。等式性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 变式训练2-2 解方程21x＝126时，可以根据等式的性质，在方程左右两边同时（　）21 A. 加上　　B. 减去　　C. 除以 【答案】C 【解析】要使21x变为x，两边同时除以21。 变式训练2-3 已知8a＝6b（a，b是非零自然数），根据等式的性质，下列等式不成立的是（　）。 A. 8a＋3.2＝6b＋3.2　　B. 40a＝30b　　C. 8a²＝6b²　　D. 8a－1＝6b－1 【答案】C 【解析】A项两边同时加3.2，成立；B项两边同时乘5，成立；D项两边同时减1，成立。C项左边乘a而右边乘b，不是乘同一个数，且a≠b时不能保证等式成立。 题型三：解一步计算的方程 例题3（基础）——解方程并检验 题目：解方程：x－25＝60，并检验。 【解析】 解：根据等式性质1，方程两边同时加上25。 x－25＋25＝60＋25 x＝85 检验：将x＝85代入原方程，左边＝85－25＝60，右边＝60，左边＝右边， 所以x＝85是原方程的解。 【方法总结】 ①写“解”字；②确定用等式性质几，两边同时加一个数或减一个数抵消已知数；③解完代入检验。 变式训练3-1 解方程：x＋18＝48。 【答案】x＝30 【解析】两边同时减18： x＋18－18＝48－18， x＝30。 变式训练3-2 解方程：5x＝10.5。 【答案】x＝2.1 【解析】两边同时除以5： 5x÷5＝10.5÷5， x＝2.1。 变式训练3-3 若x＋5＝12，则2x－5的结果是（　）。 A. 7　　B. 9　　C. 17　　D. 29 【答案】B 【解析】由x＋5＝12得x＝7， 代入得2×7－5＝9。 题型四：解两步或多步计算的方程 解法口诀： 有括号先算或展开，含未知数的项合并在一起。 两边同时抵消还原，最终系数化为1。 例题4（中等）——解稍复杂的方程 题目：（2024·南京期末）解方程：1.5x＋18＝3.5x。 【解析】 解：等式两边都有未知数，先消去一边的未知数。 方程两边同时减去1.5x： 1.5x＋18－1.5x＝3.5x－1.5x 18＝2x 两边同时除以2：x＝9。 答案：x＝9 变式训练4-1 解方程：38x－4＝41.6。 【答案】x＝1.2 【解析】38x－4＝41.6， 两边加4得，38x＝45.6， 两边除以38，得x＝1.2。 变式训练4-2 解方程：4x－2.4x＝6.4（x＝5是否为该方程的解？）。 【答案】不是， 因为x＝5时， 左边＝20－12＝8≠6.4。 x＝5不是该方程的解。 变式训练4-3 解方程：13（x－5）＝169。 【答案】x＝18 【解析】解法一（不拆括号）：两边除以13， x－5＝13， x＝18。 解法二（拆括号）： 13x－65＝169， 13x＝234， x＝18。 题型五：列方程解决实际问题（倍数关系） 解法口诀： 倍数关系找等量，“是几倍”用乘法列。 “比几倍多几”加差值，“比几倍少几”减差值。 先设1份量为x，几份量用几x来表示。 例题5（中等）——列方程解决倍数问题 题目：袁隆平院士一生致力于杂交水稻技术研究，杂交水稻每公顷产量屡创新高。2023年的平均产量约23吨/公顷，比2015年平均产量的1.5倍还多0.5吨，稳居世界第一。2015年的平均产量是多少吨/公顷？（列方程解答） 【解析】 设2015年的平均产量为x吨/公顷。 分析等量关系：2023年平均产量＝2015年平均产量×1.5＋0.5。 23＝1.5x＋0.5 解：1.5x＋0.5＝23 1.5x＝23－0.5 1.5x＝22.5 x＝22.5÷1.5 x＝15 检验：15×1.5＋0.5＝22.5＋0.5＝23，符合题意。 答案：2015年的平均产量是15吨/公顷。 变式训练5-1 在“学习强国”的活动中，李响的爸爸昨天获得积分51分，比前天的1.6倍少5分，李响的爸爸前天获得多少分？（列方程解答） 【答案】35分 【解析】设前天获得x分。等量关系：昨天积分＝前天积分×1.6－5。 1.6x－5＝51， 1.6x＝56， x＝35。 变式训练5-2 （2024·泉山区模拟）爸爸今年32岁，比儿子的年龄的3倍还大5岁，儿子今年多少岁？（用方程解） 【答案】9岁 【解析】设儿子今年x岁。 3x＋5＝32， 3x＝27， x＝9。 变式训练5-3 饲养场养了600只母鸡，比公鸡只数的3倍多60只，饲养场养了多少只公鸡？ 【答案】180只 【解析】设公鸡有x只。等量关系：母鸡只数＝公鸡只数×3＋60。 3x＋60＝600， 3x＝540， x＝180。 题型六：列方程解决实际问题（和差关系与差倍问题） 解法口诀： 题中有两个未知数，先设1份量为x。 两数和用加法列，两数差用减法列。 注意答语要写清，分别写出各数值。 例题6（中等）——列方程解决差倍问题 题目：今年爷爷的年龄是军军的6倍，五年前爷爷比军军大45岁。今年爷爷和军军各多少岁？ 【解析】 设今年军军x岁，则今年爷爷6x岁。 分析等量关系：五年前爷爷仍比军军大45岁（年龄差不变）。 五年前爷爷(6x－5)岁，军军(x－5)岁。 等量关系：(6x－5)－(x－5)＝45 6x－5－x＋5＝45 5x＝45 x＝9 6x＝6×9＝54 检验：军军9岁，爷爷54岁，54是9的6倍；五年前爷爷49岁，军军4岁，相差45岁，符合题意。 答案：今年爷爷54岁，军军9岁。 变式训练6-1 王阿姨养的白兔比黑兔多40只，其中白兔的只数是黑兔的3倍。白兔和黑兔各有多少只？ 【答案】白兔60只，黑兔20只 【解析】设黑兔有x只，则白兔有3x只。等量关系：白兔只数－黑兔只数＝40。 3x－x＝40， 2x＝40， x＝20。 答：黑兔20只，白兔60只。 变式训练6-2 有两桶油，第一桶油是第二桶油的1.5倍，如果从第一桶中倒入第二桶2千克，两桶油相等，第一桶油原来有多少千克？ 【答案】12千克 【解析】设第二桶油原有x千克，则第一桶原有1.5x千克。 1.5x－2＝x＋2， 0.5x＝4， x＝8， 1.5x＝12。 变式训练6-3 （2024·东台期末）李红的妈妈今年a岁，李红今年（a－25）岁，再过x年后，母女俩相差（　）岁。 A. a－25　　B. 25　　C. x 【答案】B 【解析】年龄差永远不变，妈妈始终比李红大25岁。代入可知a－(a－25)＝25。 题型七：列方程解决实际问题（相遇问题与购物问题） 解法口诀： 相遇问题：速度和×相遇时间＝路程和。 购物问题：单价×数量＝总价，两种物品总价和或差。 设未知数要灵活，间接设元有时更巧。 例题7（提优）——列方程解决相遇问题 题目：淘气放学回家，发现将同桌笑笑的数学书带回了家，他赶紧给笑笑打电话，两人商量决定，同时出发，向着对方的方向走。淘气家距离笑笑家1080米，淘气每分钟走80米，笑笑每分钟走70米，几分后，笑笑能拿到数学书？（列方程解答） 【解析】 设x分后笑笑能拿到数学书。 分析等量关系：两人走的路程和＝两家的距离。淘气走的路程＋笑笑走的路程＝1080米。 80x＋70x＝1080 150x＝1080 x＝1080÷150 x＝7.2 检验：淘气走了80×7.2＝576（米），笑笑走了70×7.2＝504（米），两人共走576＋504＝1080（米），符合题意。 答案：7.2分后笑笑能拿到数学书。 变式训练7-1 （2024·云龙区期末）小红和小明沿着学校操场的环形跑道跑步，跑道长220米，他们从同一地点同时出发相背而行。小明平均每秒跑5.5米，小红平均每秒跑4.5米，经过多少秒他们第一次相遇？（列方程解答） 【答案】22秒 【解析】设经过x秒相遇。 等量关系：小明路程＋小红路程＝跑道长。 5.5x＋4.5x＝220， 10x＝220， x＝22。 变式训练7-2 （2023·春期末）妈妈买3件T恤衫和5条短裤的钱同样多，每条短裤27元，每件T恤多少元？（用方程解答） 【答案】45元 【解析】设每件T恤x元。 等量关系：3件T恤总价＝5条短裤总价。 3x＝5×27， 3x＝135， x＝45。 变式训练7-3 李老师买《趣味数学》和《成语故事》两种书一共用去123元，其中《趣味数学》有4本，每本12元，《成语故事》每本15元。《成语故事》有多少本？（用方程解答） 【答案】5本 【解析】设《成语故事》有x本。 等量关系：两种书的总价和＝123元。 4×12＋15x＝123， 48＋15x＝123， 15x＝75， x＝5。 题型八：列方程解决实际问题（图形与几何问题） 解法口诀： 周长面积列方程，公式就是等量线。 长方形周长＝（长＋宽）×2，面积＝长×宽。 几何问题看清楚，代入公式再求解。 例题8（提优）——列方程解决几何问题 题目：一块体积为80立方分米的石料，它的长是5分米，宽是4分米，这块石料的高是多少分米？（用方程解） 【解析】 设这块石料的高是x分米。 分析等量关系：长方体体积＝长×宽×高。 5×4×x＝80 20x＝80 x＝4 检验：5×4×4＝80（立方分米），符合题意。 答案：这块石料的高是4分米。 变式训练8-1 一个长方形长15米，宽x米，周长50米。列出关于x的方程。 【答案】(15＋x)×2＝50 【解析】长方形周长＝（长＋宽）×2。 变式训练8-2 用一根绳子先后围成圆形、长方形和正方形，下面说法正确的是（　）。 A. 圆形面积最大　　B. 长方形面积最大　　C. 正方形面积最大 【答案】A 【解析】周长相同的图形中，圆的面积最大。（可拓展用方程设周长为C，分别推导各图形面积公式比较。） 三、巩固练习（共15题） 基础巩固 1. （2023·南京秦淮区期末）在下面的式子中，是方程的打“√”，不是的打“×”。 （1）3x＋5＝20（　）　（2）8＋4＝12（　）　（3）y－7＞10（　）　 （4）12÷x＝4（　）　（5）6a（　） 2. 根据等式的性质填一填。 （1）如果x－11＝26，那么x－11＋11＝26（　）（填运算符号和数）。 （2）如果7y＝3.5，那么7y÷（　）＝3.5÷（　）。 3. 解方程：x＋48＝92。 4. 判断对错：小明说“含有字母的式子就是方程”，这个说法对吗？为什么？ 5. 下面说法中，正确的打“√”，错误的打“×”。 （1）方程一定是等式。（　） （2）等式两边同时乘同一个数，所得结果仍然是等式。（　） （3）x＝0不是方程。（　） 能力提升 6. （2024·建邺区期末）果园里共有梨树和苹果树共381棵，梨树的棵数是苹果树的7倍多5棵，苹果树有多少棵？（列方程解答） 7. （2023·马尾区期末）西安大雁塔的高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？（用方程解） 8. 解方程：x÷4＝12.5 和 3(x－2)＝5.4，判断两个方程的解是否相等。 9. （2024·阜宁县期末）四、五年级的少先队员参加植树活动，其中五年级有32人，比四年级人数的1.4倍多4人。四年级参加植树活动的有多少人？（列方程解答） 10. （2024·海州区期中）乐乐35张卡片，笑笑y张卡片，乐乐给笑笑4张后，两人卡片张数相同。下列方程正确的是（　）。 A. 35－y＝4　　B. y－8＝35　　C. y＋4＝35－4 提优拓展 11. （2024·滨海县期末）港珠澳大桥全长大约55千米，比杭州湾跨海大桥的1.5倍还多1千米。杭州湾跨海大桥全长大约多少千米？（用方程解答） 12. （2024·邳州市期末）截至“神舟十八号”载人飞船成功发射，中国空间站和国际空间站的在轨航天员达到17人，这些航天员来自5个国家。其中，俄罗斯航天员人数正好是中国的一半，比另外3个国家航天员的总和少5人。此时，中国在轨的航天员有几人？ 13. （2023·南京鼓楼区）颐和园占地面积约为2.9平方千米，比世界上面积最小的国家——梵蒂冈的面积的7倍少0.18平方千米。梵蒂冈的面积约是多少平方千米？（列方程解答） 14. 用小棒按如下规律摆图形。 摆1个八边形需要8根小棒，摆2个需要15根，摆3个需要22根…… （1）摆n个八边形需要（　）根小棒（用含n的式子表示）。 （2）若一共有141根小棒，可以摆多少个八边形？ 15. （2024·泰州姜堰期末）学校体操队有女生31人，女生人数比男生的2倍少5人。男生有多少人？（1）列出方程；（2）解方程；（3）检验答案是否符合题意。 四、解题方法口诀大全 教师寄语： 简易方程是小学数学的重要转折点——从具体的数字计算，迈向用字母代表数的抽象思维。掌握了方程，你就拥有了一把解开无数实际问题的“万能钥匙”。希望同学们在复习中理清概念、熟练解法、灵活运用，让方程成为你数学学习中最得力的工具！ 五、答案解析 基础巩固 1.（1）3x＋5＝20（√）　　（2）8＋4＝12（×）　　（3）y－7＞10（×）　　（4）12÷x＝4（√）　　（5）6a（×） 【解析】 （1）和（4）既是等式又含未知数，是方程；（2）是等式但无未知数；（3）是不等式；（5）不是等式。 2.（1）x－11＋11＝26＋11（两边同时加11） （2）7y÷7＝3.5÷7（两边同时除以7） 3. x＝44 【解析】两边同时减48：x＋48－48＝92－48，x＝44。 4. 这个说法不对。因为方程必须是含有未知数的等式，而含有字母的式子不一定是等式。例如“x＋5”含有字母，但不是等式，所以不是方程。 【解析】方程需要同时满足两个条件：①等式；②含未知数。“式子”不同于“等式”。 5.（1）√　　（2）√　　（3）× 【解析】 （1）方程一定满足等式条件；（2）任何数都可以乘，等式仍成立；（3）x＝0是含未知数的等式，是方程。 能力提升 6. 苹果树47棵，梨树334棵 【解析】设苹果树有x棵，则梨树有(7x＋5)棵。 7x＋5＋x＝381， 8x＝376， x＝47。 7×47＋5＝334（棵）。 7. 小雁塔高43米 【解析】设小雁塔高x米。2x－22＝64，2x＝86，x＝43。 8. 不相等 【解析】x÷4＝12.5，得x＝50。3(x－2)＝5.4，得x－2＝1.8，x＝3.8。两个解不相等。 9. 20人 【解析】设四年级有x人。1.4x＋4＝32，1.4x＝28，x＝20。 10. C 【解析】乐乐给笑笑4张后，乐乐剩35－4张，笑笑有y＋4张，此时相等：y＋4＝35－4，即y＋4＝31。 提优拓展 11. 36千米 【解析】设杭州湾跨海大桥全长大约x千米。1.5x＋1＝55，1.5x＝54，x＝36。 12. 12人 【解析】设中国有x人，则俄罗斯有0.5x人。俄罗斯人数＝另外3国总人数－5，即0.5x＝(17－x－0.5x)－5，2x＝12，x＝12。 13. 0.44平方千米 【解析】设梵蒂冈的面积约是x平方千米。7x－0.18＝2.9，7x＝3.08，x＝0.44。 14.（1）7n＋1 （2）20个 【解析】（1）观察规律：1个八边形8＝7×1＋1根，2个15＝7×2＋1根，…，n个：(7n＋1)根。 （2）7n＋1＝141，7n＝140，n＝20。 15.（1）方程：2x－5＝31（设男生有x人） （2）解：2x＝36，x＝18 （3）检验：男生18人，2倍少5＝31，正好是女生人数，符合题意。 学科网（北京）股份有限公司 $