专题02矩形压轴题型专项训练(14大题型+压轴题型精析)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题02矩形压轴题型专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.矩形折叠求线段长 题型02.矩形折叠求角度 题型03.矩形折叠分类讨论 题型04.矩形动点等腰三角形存在性问题 题型05.矩形动点直角三角形存在性问题 题型06.矩形性质判定综合证明题 题型07.矩形与坐标系综合 题型08.矩形最大值问题 题型09.矩形最小值问题 题型10.矩形定值问题 题型11.矩形多结论问题 题型12.矩形旋转综合 题型13.矩形与中位线综合 题型14.矩形与菱形综合 题型01.矩形折叠求线段长 1．如图，在矩形中，为边上一点，将矩形沿直线折叠，使点落在边上处．若，则的长为_____． 2．在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 3．在矩形中，将沿对折至位置，与交于点F． (1)证明：； (2)如果 ，，求的长． 题型02.矩形折叠求角度 4．如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则________ ． 5．如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，则为______． 6．【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3.所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 题型03.矩形折叠分类讨论 7．如图，在矩形纸片中，已知是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_________． 8．在矩形中，，，点为射线上一点，将沿折叠得到，连接，．若是以为腰的等腰三角形时，的长为____________． 9．综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠． (1)若顶点C恰好落在顶点A处，求的长． 特例探究： (2)如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长． 拓展延伸： (3)如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长． 题型04.矩形动点等腰三角形存在性问题 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，是线段上的动点，连接，过点作与轴相交于．将沿翻折，使点落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点的坐标为_____． 11．在矩形中，，，动点、分别在边和上，且，连接，当为等腰三角形时，的长为_______． 12．如图1，平面直角坐标系中有矩形，点坐标为，点坐标为，点在边上，，点在边上，将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处．若实数，满足：． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图2，若点从点出发以每秒个单位的速度沿折线的方向匀速运动，当与点重合时运动停止；设点的运动时间为秒，以点、、为顶点的三角形的面积记为，请用含的式子表示；（提示：在答题卡上画出对应简图分析） (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．（提示：结果可以含有根号不化简） 题型05.矩形动点直角三角形存在性问题 13．如图，矩形中，，，为中点，为上不与重合的一动点．将矩形沿翻折，分别是的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为___________． 14．如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为______． 15．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)求证：； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 题型06.矩形性质判定综合证明题 16．如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 17．如图，四边形的对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接、、，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，若点是边上的动点（不与、重合），连接，过点作于点．令的面积为，的面积为，且，求的长． 18．如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 题型07.矩形与坐标系综合 19．如图，矩形放在坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为．点在线段上移动，连接，以为边作等边三角形，点在第一象限，且与直线的距离总是一个定值．则点与点的距离的最小值为（   ） A．5 B． C． D．10 20．如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． 题型08.矩形最大值问题 22．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上，且，小明将矩形纸片沿着折叠，点，分别落到点，处．在点从点运动到点的过程中，当线段与边有交点时，设交点为点，则的最大值为_____． 23．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，将矩形沿折叠，点B，C，D的对应点分别为分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 题型09.矩形最小值问题 25．如图，在矩形中，，，为射线上的动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，连接，则线段的最小值是________． 26．如图，在矩形中，，点，点在边上，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 题型10.矩形定值问题 28．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有_____． ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． 29．如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为__． 30．刘徽创建的出入相补原理中，有以下内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和．如下图，在矩形ABCD中，，，点P是边AD上一动点，于点E． (1)当点P为边AD的中点时，则PE的长为________． (2)若点P为边AD上任意一点，于点F，求的值． 题型11.矩形多结论问题 31．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 32．在矩形中，，点在边上，点在边上，连接、、．，，，； 以下两个结论：（   ） ①    ② A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 33．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等；④点到边的距离的最大值为1；其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型12.矩形旋转综合 34．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 35．如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 36．如图1，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转，得到矩形． (1)当点落在上时，则线段的长度等于__________； (2)如图2，当点落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由．并求的值： (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 题型13.矩形与中位线综合 37．如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接、，若为直角，则的长为_____． 38．如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，分别交对角线、线段于点、，且是的中点．若，，则的长为__________． 39．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 题型14.矩形与菱形综合 40．如图，在矩形中，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点B，点D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点P，Q； 第三步：作直线分别交于点E，点F，连接．请根据以上步骤，解答以下问题： (1)求证：四边形是菱形； (2)求的值． 41．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，需经过多长时间，四边形为矩形？ (2)是否存在某个时刻，四边形为菱形？如果存在，求出此时所需的时间，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． 42．探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形压轴题型专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.矩形折叠求线段长 题型02.矩形折叠求角度 题型03.矩形折叠分类讨论 题型04.矩形动点等腰三角形存在性问题 题型05.矩形动点直角三角形存在性问题 题型06.矩形性质判定综合证明题 题型07.矩形与坐标系综合 题型08.矩形最大值问题 题型09.矩形最小值问题 题型10.矩形定值问题 题型11.矩形多结论问题 题型12.矩形旋转综合 题型13.矩形与中位线综合 题型14.矩形与菱形综合 题型01.矩形折叠求线段长 1．如图，在矩形中，为边上一点，将矩形沿直线折叠，使点落在边上处．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，求解方程即可得到的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 2．在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】设，证明，推出，求得，推出． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠的性质知， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．在矩形中，将沿对折至位置，与交于点F． (1)证明：； (2)如果 ，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，则即可得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，将沿对折至位置 ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在矩形中，， 根据（1）的结论，设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 题型02.矩形折叠求角度 4．如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则________ ． 【答案】 /度 【分析】根据平角的定义可以求出，根据折叠的性质和角平分线定义可知，从而可知，根据平行线的性质可以求出的度数． 【详解】解：， ， 由折叠的性质可知， 平分， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 5．如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，则为______． 【答案】/20度 【分析】由翻折变换得出相等的角：，再求出，即可求出 【详解】解：根据折叠的意义得：， 四边形是矩形， ， ， ， 6．【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3.所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 【答案】(1) (2)图形见解析 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由正方形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； （2）解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则 （3）解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得． 题型03.矩形折叠分类讨论 7．如图，在矩形纸片中，已知是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_________． 【答案】或10 【分析】当为直角三角形时，有两种情况：当点落在矩形内部时，连接AC，根据勾股定理得出 ，当为直角三角形时，只能得到，此时点 共线，然后设，根据勾股定理得列出方程，求出解；当点落在边上时，此时为正方形，直接得出答案． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如图． 连接， 在Rt中，， ， 沿折叠，使点B落在点处， ， 当为直角三角形时，只能得到， 点 共线， ， ， 设，则， 在Rt中， ， 解得．     ②当点落在边上时，如图： 此时为正方形． ． 故答案为：或10． 8．在矩形中，，，点为射线上一点，将沿折叠得到，连接，．若是以为腰的等腰三角形时，的长为____________． 【答案】或或 【分析】根据矩形的判定及性质，勾股定理及相似三角形的判定及性质分，且点在线段上时，，且点在线段的延长线上时，以及时，三种情况求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， 当，且点在线段上时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴即， ∴ ∵， ∴即 解得或（不符合题意舍去）， 当，且点在线段的延长线上时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴即， ∴ ∵， ∴即 解得（不符合题意舍去）或， 当时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， 解得， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 9．综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠． (1)若顶点C恰好落在顶点A处，求的长． 特例探究： (2)如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长． 拓展延伸： (3)如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质得，，设，则，在中，由列方程求解即可； （2）先求出，再根据折叠的性质得，， ，，设，则，在中，由， 解得，最后在中，利用勾股定理计算； （3）由F为的中点，得到，则，即中，当为直角三角形时，或，此时是等腰直角三角形，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，， 根据折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即； （2）解：∵点是的中点， ∴， 在中，， 根据折叠的性质得，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 在中，； （3）解：∵矩形中，，，F为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，， 设，则， ∵中， ∴当为直角三角形时，或， 当时，，则，，即可得到，解得； 当时，，则，即可得到，解得； 综上所述，当为直角三角形时，或． 题型04.矩形动点等腰三角形存在性问题 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，是线段上的动点，连接，过点作与轴相交于．将沿翻折，使点落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】 或 【分析】先根据折叠的性质得，再根据矩形的性质得，然后分两种情况：当时，是等腰三角形，根据勾股定理得，求出解即可；当时，是等腰三角形，再作，可根据等腰三角形的性质得，然后根据“角角边”证明，可得，接下来求出，则答案可得． 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵点，且四边形是矩形， ∴． 当时，是等腰三角形， ∴． 在中，， 即， 解得， 即， ∴点； 当时，是等腰三角形， 过点B作于点F， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点． ∴点D的坐标是或． 11．在矩形中，，，动点、分别在边和上，且，连接，当为等腰三角形时，的长为_______． 【答案】4或 【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论，画出图形，利用矩形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理进行列方程求解． 【详解】解：①如图所示，当时，过点作于点，连接， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 假设，则， ∴， 由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴该一元二次方程无解， ∴该种情况不存在； ②如图所示，当时，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴； ③如图所示，当时，过点作于点，连接， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 假设，则，， 由勾股定理得， ∴， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上，的长为4或． 12．如图1，平面直角坐标系中有矩形，点坐标为，点坐标为，点在边上，，点在边上，将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处．若实数，满足：． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图2，若点从点出发以每秒个单位的速度沿折线的方向匀速运动，当与点重合时运动停止；设点的运动时间为秒，以点、、为顶点的三角形的面积记为，请用含的式子表示；（提示：在答题卡上画出对应简图分析） (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．（提示：结果可以含有根号不化简） 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）根据算术平方根与绝对值的非负性得出，根据矩形的性质求出点的坐标，过点作于点，则，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分情况讨论，当在上时，当在上时，当在上时，分别根据三角形的面积公式列出代数式，即可得到答案； （3）同（2）分类讨论，根据等腰三角形的性质，勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，， 四边形是矩形， ， ， 过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， 将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处， ， 在中，， 则， ； （2）解：∵ ，，， ， ，， 当在上时，， ； 当在上时，， ； 当在上时，， ； ； （3）解：， 当在上时，不能构成等腰三角形， 当在上时，， ①当时， ， ， 解得，（舍去）， ， ； ②当时， ， ， 解得， ， ； ③当， ， ，无解； 当在上时，， ①当时， ， ； ②当，， 解得（舍去）； ③当时，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 综上所述，为等腰三角形时，或或或． 题型05.矩形动点直角三角形存在性问题 13．如图，矩形中，，，为中点，为上不与重合的一动点．将矩形沿翻折，分别是的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查图形翻折的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识点． 根据矩形的性质和图形翻折的性质，根据当时和当时，分两种情况讨论，通过证明三角形全等或相似，得到对应线段相等或成比例，继而得到的长度． 【详解】解：为的中点， ， 四边形是矩形， ，， 如图，当时，连接，交于点， 是直角三角形，由折叠的性质, 得 ，，，，， ，， 点在同一条直线上， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 如图，当时，是直角三角形， 连接，，延长交于点，连接， 交于点， 由折叠的性质, 可得： ，，，，， 为的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 又，， ， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 由图可知，当时，，点和点重合， 这种情况不存在， 综上所述，的长为或． 14．如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为______． 【答案】3或4 【分析】分的直角顶点为或两种情况，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：设，则，由折叠性质得，． ①当时，过作于，连接，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，即， 在中，由勾股定理， 解得． ②当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又， ∴， 综上，的长度为或． 15．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)求证：； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可得证； （2）根据为直角三角形，分两种情况：和讨论求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 则， 点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒， ， 在中，，，则， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：或， 理由如下： 由题意可知，分两种情况： 当时，如图所示： 则四边形是矩形， ， ，则在中，， 点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒， ， 在中，，，，则， ， ， ，解得； 当时，如图所示： 过点作于点G， ， 则四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在等腰中，；在等腰中，； 点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒， ， 在中，，，，则， ， 在中，，则， ，， 则由得； 综上所述，当或时，为直角三角形 题型06.矩形性质判定综合证明题 16．如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． （2）证明是等边三角形，得，过点作于点，求出、，再由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点M、N满足， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，四边形的对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接、、，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，若点是边上的动点（不与、重合），连接，过点作于点．令的面积为，的面积为，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）由与等高，求得，在中，，则，由勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵，且与等高， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得（负值已舍去）， 答：的长为． 18．如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形性质得到，结合，可得到为的中位线，即可得到结论； （2）利用平行线的性质先证明，可证得四边形是平行四边形，结合且，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； （2）证明：由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质与定理是解答本题的关键． 题型07.矩形与坐标系综合 19．如图，矩形放在坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为．点在线段上移动，连接，以为边作等边三角形，点在第一象限，且与直线的距离总是一个定值．则点与点的距离的最小值为（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】作等边，连接，设直线交于T，由矩形的性质求得，证明，得到，则直线与直线平行，故当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解；如图所示，作等边，连接，设直线交于T， ∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为． ∴， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限，且与直线的距离总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴当时，有最小值， ∴此时有， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为5． 20．如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，延长使得，连接，先证明，得到为等腰直角三角形，，再证明，得到，，那么，可推出三点共线时，取得最小值，最小值为，接着证明，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长使得，连接， ∵四边形是矩形，点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为， 如下图所示，三点共线，此时在轴上： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，由中点的性质得到得到，再利用三角形外角的关系得到，推出，即可通过内错角相等推出； （2）分情况讨论，当时，，此时点与点重合；当点与点重合时，利用勾股定理即可解答； 【详解】（1）证明：由折叠可知，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：当时，，此时点与点重合， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图①，当点与点重合时，，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上，的长为6或； 题型08.矩形最大值问题 22．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上，且，小明将矩形纸片沿着折叠，点，分别落到点，处．在点从点运动到点的过程中，当线段与边有交点时，设交点为点，则的最大值为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、垂线段最短的应用，解题的关键是利用垂线段最短确定取最大值的条件，结合矩形边长进行计算． 过点作于点，由矩形性质得；由折叠性质得，结合得，故；由垂线段最短得，即；再由，当取最小值时,取得最大值． 【详解】解：过点F作，垂足为． 四边形是矩形， ，． 由折叠的性质可知，， ， ， ， ． 由垂线段最短可知，， 当且仅当时，，即． ，， ． ． 故答案为：． 23．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，将矩形沿折叠，点B，C，D的对应点分别为分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，要使最大，则点F要离点E最远，当点Q与点B重合时，线段最大，计算出的长度，，即可解答，熟知折叠的性质，得到当点Q与点B重合时，线段最大是解题的关键． 【详解】解：如图， 是的中点， 为定点， ∴要使最大，则点F要离点E最远， ∴当点Q与点B重合时，线段最大，此时点也与点B重合， 根据折叠可得，， 四边形是矩形， ，，， ， 设，则， 点是的中点， , 在中，， 即， 解得， 同理可得. 最大值为． 故选：B． 24．如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理，.直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．设的中点为，连接，，先求出，，再根据三角形的三边关系求出的最大值． 【详解】解：设的中点为，连接，． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，的中点为， ∴， 在中，． ∴， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 题型09.矩形最小值问题 25．如图，在矩形中，，，为射线上的动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，连接，则线段的最小值是________． 【答案】/ 【分析】首先，根据题意添加辅助线，在中，可得，接着，证出是的中位线，进而得到，最后，在中，根据三角形的三边关系，得，确定的最小值，运用勾股定理求出的长，进而得出最终答案． 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接，，． ∵， ∴． ∵是的中点，， ∴． ∵，分别是，的中点， ∴，是的中位线． ∴． ∵， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为的值． 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识．通过构造辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及三角形三边关系求出的最小值是解题关键． 26．如图，在矩形中，，点，点在边上，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标为，作点关于的对称点，则，将向左平移个单位，则点的对应点的坐标为，点的对应点为，根据两点之间线段最短得当四点在同一条直线上时，的最小值为的长，求出的长即可． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图： ∵矩形ABCD中，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，即， 作点关于的对称点，则， 设点， ∵， ∴， 将向左平移个单位，则点的对应点的坐标为，点的对应点为， 则：， 当四点在同一条直线上时，的最小值为的长， 而， ∴的最小值为． 27．如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的边与直角性质，结合同角的余角相等推出等角，通过证明△，进而证得； （2）由第一问的全等结论得到，结合正方形性质推导线段等量关系，用证明△得到等腰直角，最终通过勾股定理求出的长度； （3）设正方形边长为、，利用勾股定理由得，将配方为常数加非负完全平方项，即可利用非负性求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设正方形边长为，，则， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 题型10.矩形定值问题 28．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有_____． ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． 【答案】①②④ 【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定．根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得的周长，进而判断②正确，无法证明是等边三角形，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④正确． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； 无法证明为等边三角形，故③错误； ∵，， 在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 29．如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为__． 【答案】 【分析】如图1，取的中点O，连接，作射线，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在的平分线上，当时，最小，此时，画出图2，根据是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，设，根据，可得，根据含30度角的直角三角形可得，进而可得结论． 【详解】 解：如图1，取的中点O，连接，作射线， ∵四边形是矩形， ， ∵O是的中点， ， ，O是的中点， ， ， ∴B，E，G，F在以O为圆心的圆上， ， ， ， ， 平分， ∴点G在的平分线上， ∴当时，最小， 此时，如图2， 平分， ∴， ， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识． 30．刘徽创建的出入相补原理中，有以下内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和．如下图，在矩形ABCD中，，，点P是边AD上一动点，于点E． (1)当点P为边AD的中点时，则PE的长为________． (2)若点P为边AD上任意一点，于点F，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由角的直角三角形所对的边等于斜边的一半可以直接求解； （2）连接，过点D作于点，则，推出，再求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是边的中点， ∴ ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：如图，连接，过点D作于点． ∵，， ∴． ∵， ， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 题型11.矩形多结论问题 31．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 32．在矩形中，，点在边上，点在边上，连接、、．，，，； 以下两个结论：（   ） ①    ② A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】先证明，则，再证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，则，利用完全平方公式进行计算即可证明②正确，由得到，根据即可证明①正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， 故①②都正确. 33．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等；④点到边的距离的最大值为1；其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】 如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②． 题型12.矩形旋转综合 34．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 35．如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，作，证明，进而得到，得到点的轨迹，作点关于的对称点，连接，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 36．如图1，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转，得到矩形． (1)当点落在上时，则线段的长度等于__________； (2)如图2，当点落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由．并求的值： (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】(1)10 (2) (3)，理由见解析， (4)300 【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出；再利用勾股定理求解； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【详解】（1）解：当落在上时，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得：， 由旋转的性质可知：， ∴； （2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，    在中，由勾股定理得：, ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 由旋转得， ∴在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，    由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； 由旋转知，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ； （4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，    ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 题型13.矩形与中位线综合 37．如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接、，若为直角，则的长为_____． 【答案】 8 【分析】连接，过点作于点，交于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，而为中点，则，所以，再证明，则，，因为，求得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ，． ∴四边形和四边形都是矩形． ，，，． ，为中点， ． ． ，． 为的中点， ． ． ． ，， ， ， ． 38．如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，分别交对角线、线段于点、，且是的中点．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，交于，过作于，连接，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，得到，推出得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于，过作于，连接， ，， ， 矩形， ，， ，， 是的中点 是的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 39．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据速度时间距离即可得解； （2）根据矩形的性质可得，， ，从而可得，，从而由平行四边形的性质得到，再对当在点左侧运动时和当在上点右侧运动时，建立方程即可得解； （3）先证明四边形是平行四边形， 得到，从而可判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：动点在射线上以每秒个单位长的速度运动，动点的运动时间为秒， ； （2）解：四边形为矩形，，， ，， ， 点是的中点， ， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， ， ， ， 当在点左侧运动时，此时， ， ； 当在点右侧运动时，此时， ∴， ∴， ∴综上，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形 （3）解：由（2）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， 当最小时，四边形的周长最小， 如图，作点关于的对称点，连接交于， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中位线， ， ， ． 题型14.矩形与菱形综合 40．如图，在矩形中，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点B，点D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点P，Q； 第三步：作直线分别交于点E，点F，连接．请根据以上步骤，解答以下问题： (1)求证：四边形是菱形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由即可证得四边形是菱形； （2）设，在中，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）证明: ∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴点是矩形的对称中心， ∴， ∴四边形是平行四边形； 又， ∴四边形是菱形； （2）解: 设，则， 在中，， 即 解得 ， ， ． 41．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，需经过多长时间，四边形为矩形？ (2)是否存在某个时刻，四边形为菱形？如果存在，求出此时所需的时间，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时间为时，四边形为菱形，见解析． 【分析】（）由题意可得，，则，当时，四边形为矩形，然后列出方程即可； （）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，通过勾股定理求出，当时间为时，，，则有且，所以四边形是平行四边形，然后通过菱形的判定方法即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为，由题意可得，，， ∴， 当时，四边形为矩形， 则有：， 解得， 答：经过，四边形为矩形； （2）解：当时间为时，四边形为菱形， 证明：过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 当时间为时，，， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 42．探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据菱形的性质求解，证明四边形是平行四边形即可得到答案． （2）证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形； （3）由（2）得：，，四边形是平行四边形，得，再由勾股定理求出，即可求解． （4）如图，取的中点，的中点为F，证明在与的距离为的线段上运动，当时最小，此时四边形为矩形，四边形是矩形，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵菱形的边长为10，对角线的长为16，记对角线的交点为， ∴，，，，， ∴，， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）得：，，四边形是平行四边形， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长． （4）解：∵矩形，， ∴，，， 如图，取的中点，的中点为F，取的中点，的中点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在与的距离为的线段上运动， ∴当时最小，此时， 此时四边形为矩形，四边形是矩形， ∴，共线，， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $