专题01平行四边形压轴专项训练(14大题型+压轴题型精析)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题01平行四边形压轴专项训练 【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.平行四边形判定证明 题型02.平行四边形存在性问题 题型03.平行四边形与坐标系综合 题型04.平行四边形与折叠问题 题型05.平行四边形最大值问题 题型06.平行四边形最小值问题 题型07.平行四边形等积变换问题 题型08.平行四边形中位线综合问题 题型09.平行四边形角平分线综合 题型10.平行四边形多结论问题 题型11.平行四边形平移问题 题型12.平行四边形旋转问题 题型13.平行四边形动点问题 题型14.平行四边形证线段和差问题 题型01.平行四边形判定证明 1．如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 2．如图，与是等边三角形，连接，取的中点O，连接并延长至点F，使，连接交于点G，连接．下列四个结论： ①；②；③；④当时，是等腰直角三角形．其中正确的是____________．（填写所有正确结论的序号） 3．如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 题型02.平行四边形存在性问题 4．如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 5．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)① （用含t的式子表示） ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 题型03.平行四边形与坐标系综合. 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是_____． 8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求点C的坐标___；以及平行四边形的面积． (2)动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 题型04.平行四边形与折叠问题 10．如图，在中，，，，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F，点F恰好落在边上．则的长为______． 11．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 12．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 题型05.平行四边形最大值问题 13．如图，在中，，点A为上一动点（不与点M、N重合），作，分别交于点B、C，作关于直线的对称，连接，则周长的最大值________． 14．如图，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点为中点，连接，则的最大值是________．    15．如图，在下方的直线． (1)P为直线上一动点，连接，．若，． ①如图1，求证：四边形是平行四边形； ②如图2，，，作于点，连接，若，求的长； (2)如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为，求长的最大值． 题型06.平行四边形最小值问题 16．如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 17．如图，在菱形中，菱形的周长是16，，，分别是边上的动点，连接和，G，H分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 18．如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 题型07.平行四边形等积变换问题 19．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 20．如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ________．    21．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 题型08.平行四边形中位线综合问题 22．如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 23．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，，，则_______________． 24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型09.平行四边形角平分线综合 25．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_______．（请写序号） . 26．如图，在平行四边形中，和的角平分线分别交于点和，则的值为__________________． 27．在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的两条直线分别交边于点E，F，G，H．且，，，求出的长，使直线把四边形的面积四等分． 题型10.平行四边形多结论问题 28．如图，在平行四边形中，，是的中点，连接，．下列结论：；；平分；若，，则平行四边形的面积为．其中正确的______． 29．为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，，交于点H，连接和，直线交线段的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是______．(写出所有正确的序号) 30．如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 题型11.平行四边形平移问题 31．如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为_______，线段的最小值为_______． 32．如图，面积为28的平行四边形纸片ABCD中，AB=7，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图． 第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片； 第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处； 第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）． 则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为　． 33．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型12.平行四边形旋转问题 34．如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 35．如图，在平行四边形中，，且，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则线段的最小值为______． 36．综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 题型13.平行四边形动点问题 37．如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 38．如图，在平行四边形中，，是上的一点，且是上的一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（  ） A．5 B． C． D． 39．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 题型14.平行四边形证线段和差问题 40．在中，，为的中点，若，的面积为8.5，则_____． 41．四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为______． 42．如图，平行四边形中，且，点为平行四边形外一点，连接、，且于点． (1)如图1，若，，则________；________； (2)如图2，延长、交于点，过点作交的延长线于点，若，为的中点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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2．如图，与是等边三角形，连接，取的中点O，连接并延长至点F，使，连接交于点G，连接．下列四个结论： ①；②；③；④当时，是等腰直角三角形．其中正确的是____________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据等边三角形的性质得，进而得，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论①进行判断；②设与交于点，由得，再根据得，据此可对结论②进行判断；③根据点为的中点，可判定四边形为平行四边形，从而得，然后根据平行线的性质可对结论③进行判断；④当时，根据等边三角形的性质得是线段的垂直平分线，进而得，再根据四边形为平行四边形得，由此可得，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵与是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， 故结论①正确； ②设与交于点，如图所示： . 由结论①正确得：， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ③∵点为的中点， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，故结论③正确； ④当时， ∵是等边三角形， ∴是线段的垂直平分线， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵不能判断为， ∴是等腰三角形，故结论④错误． 综上所述：正确的结论是①②③． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，理解等边三角形的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键． 3．如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，等量代换思想求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02.平行四边形存在性问题 4．如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 5．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)① （用含t的式子表示） ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时，由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，， ∵在线段上取点E，使得， ∴， 故答案为：； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，或；理由如下： 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得：． ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，或12秒． 6．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （2）解：存在，使得 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 题型03.平行四边形与坐标系综合. 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】如图，过点作轴，过点作轴，根据题意，可得、、，设，通过勾股定理得，解方程，推得，设、，再利用勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， 四边形是平行四边形，且顶点的坐标为， ，， ，， 沿翻折得， ， ， 在中，， ， 在中，， 设，，， ， 解得：， ， ， 设，则， ，，， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折图形的性质，平面直角坐标系中坐标的特点，勾股定理，根据题意添加适合的辅助线是解题关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求点C的坐标___；以及平行四边形的面积． (2)动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)点的坐标为， (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键. （1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2）根据 ，利用三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可. 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵点的坐标为， 点的坐标为，； ∴点的坐标为，； （2）解：根据题意得： ， ∴， 即： ， ∴ ， 解得：. 即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半； （3）当时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示， 此时轴， 轴，， ， 根据平行四边形的性质，可知 ， 即；即： 即： 故答案为：点的坐标为或或． 9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解． ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 题型04.平行四边形与折叠问题 10．如图，在中，，，，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F，点F恰好落在边上．则的长为______． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，，，，则，，由折叠的性质可得，从而可得，进而得出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，结合四边形是平行四边形，得到，，，继而得到，得到得到，得到；，继而得到，可判定四边形是平行四边形；根据平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x，得到，根据折叠的性质，得到，从而得到；根据，结合平行四边形的面积是8，得到四边形等于，设点E到的距离为h，则，解得，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的性质以及图形面积表示等知识． 【详解】根据折叠的性质，得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴；， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故A，B都错误； ∵平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x， ∴，根据折叠的性质，得到， ∴； 故C正确； ∴，平行四边形的面积是8， ∴四边形等于， 设点E到的距离为h， 则 ， 解得， 故D错误． 故选C． 12．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型05.平行四边形最大值问题 13．如图，在中，，点A为上一动点（不与点M、N重合），作，分别交于点B、C，作关于直线的对称，连接，则周长的最大值________． 【答案】 10 【分析】根据题意得到是等腰三角形，，则，证明四边形是平行四边形，得到，如图所示，连接，当最小时，的值最大，即周长的值最大，结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵关于直线的对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴当最小时，的值最大，即周长的值最大， ∵关于直线的对称， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即，则，此时周长的值最大，最大值为10， 故答案为：10 ． 14．如图，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点为中点，连接，则的最大值是________．    【答案】 【分析】以为边向上构造等边，连接，，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由平行四边形的判定方法得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得 ，作，取中点，连接，，由勾股定理得，，由，即可求解． 【详解】解：以为边向上构造等边，连接，，   ， ， 、是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形为平行四边形， 点为中点， 过点， ， 如图，作，取中点，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为； 故答案：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，勾股定理等；掌握相关的判定方法及性质，构建等边三角形，找出取得最大值的条件是解题的关键． 15．如图，在下方的直线． (1)P为直线上一动点，连接，．若，． ①如图1，求证：四边形是平行四边形； ②如图2，，，作于点，连接，若，求的长； (2)如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为，求长的最大值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①通过等角转化即可证出两组对边平行； ②根据边的关系，设和，用勾股定理求出，再用等面积即可得出，然后用未知数把的边长用未知数表示出来，再利用勾股定理建立方程即可求解． （2）由前述思路可以构造一个矩形和一个直角三角形，再利用斜边中点构造三角形，最后用三边关系求最值即可． 【详解】（1）①证明：， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形． ②解：过作于点，交于点，则四边形是矩形， 设，则， ， 根据等面积可得：，， ， ， ， ， ，即， 解得， ，， ． （2）解：如图，过作交于点，作交于点，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取中点，连接、，则， 在中，， 是直角三角形，是中点， ， 根据三角形三边关系可得，， 最大值为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定和性质、直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 题型06.平行四边形最小值问题 16．如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】连接，过作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过作于， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ，即的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 17．如图，在菱形中，菱形的周长是16，，，分别是边上的动点，连接和，G，H分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识． 连接，根据菱形定义得，根据三角形中位线性质得，当时，最小，得到最小值，根据是等腰直角三角形得，得的最小值为． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形，周长为16， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时， 最小，得到最小值， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 18．如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 【答案】 【分析】过点作于点，则．根据“垂线段最短”得当时，为最小，最小值是线段的长，在中，根据得，，进而得，，然后由三角形的面积公式得，由此可得出的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，则． ， ， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ． ∵点在对角线上运动，是锐角三角形， ∴当时，取得最小值． 由平行四边形的性质知，， ∴此时， ， 的最小值为． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 题型07.平行四边形等积变换问题 19．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】15 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20．如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ________．    【答案】12 【分析】连接，过作交的延长线于，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可． 【详解】解：连接，过作交的延长线于，如图所示：   四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 边上的高和的边上的高相同， 的面积和的面积相等， 同理：的面积和的面积相等， 阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半， 设上的高为， 平行四边形的面积， ∵， ∴， 的面积是12， ， ， 阴影部分的面积是． 21．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，； ∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为， （2）解：根据题意得：， ∴， 即：， ，解得：， 故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， （3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，    此时轴，轴，，，，， 根据平行四边形的性质，可知，， ∴，即，，即：，，即：， 故答案为：点M的坐标为或或． 题型08.平行四边形中位线综合问题 22．如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质结合角平分线的性质证明，，根据三线合一可得是的中位线， 利用中位线定理计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，即，， ， 是的中位线， ． 23．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，，，则_______________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理． 取中点H，连接与，过点E作交于I，由平行四边形的性质得到，进而得到，，即，，根据勾股定理得到，，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取中点H，连接与，过点E作交于I， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理可知， ∴（负值舍去）， 由勾股定理可知， ∴（负值舍去），， ∵H是中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点，H为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：． 24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型09.平行四边形角平分线综合 25．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_______．（请写序号） . 【答案】②③④ 【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意． 26．如图，在平行四边形中，和的角平分线分别交于点和，则的值为__________________． 【答案】 【分析】构造平行四边形，先由平行四边形性质得到相关边的数量及平行关系，再证得、是等腰三角形，然后证得，设，得出长，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点，如图所示： 在平行四边形中，，，，， ， 四边形是平行四边形， 则，，， 平分， ， ， ， ，即， 同理，由平分可得，， ， ，则， ， ， ， 设， ，， 在中，，，，则由勾股定理可得． 27．在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的两条直线分别交边于点E，F，G，H．且，，，求出的长，使直线把四边形的面积四等分． 【答案】 【分析】过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，则，由平行四边形的面积求出，再证，然后由三角形面积得，即可得出结论． 【详解】解：如图，过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P， 由平行四边形是中心对称图形可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，直线，把四边形的面积四等分． 题型10.平行四边形多结论问题 28．如图，在平行四边形中，，是的中点，连接，．下列结论：；；平分；若，，则平行四边形的面积为．其中正确的______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理．根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，可证正确；根据平行四边形对边相等，可证，从而可证成立；根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得：，根据平行线的性质可证，等量代换可得，可证正确， 由可知是直角三角形，可知，根据平行四边形的面积公式可得：，可知错误． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中点， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， , ， , 故正确； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故正确； 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 平分， 故正确； 由可知， ，， ， ， 故错误． 综上所述，正确的有． 故答案为： ． 29．为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，，交于点H，连接和，直线交线段的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是______．(写出所有正确的序号) 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解平行四边形的性质．①根据，得，，进而得，由此可对结论①进行判断；②证明是等腰直角三角形得，进而可判定和全等，则，，再根据即可对结论②进行判断；③假设，根据，得，则点H是线段的中点，根据已知条件无法判定点H是线段的中点，由此可对结论③进行判断；④证明得是等腰直角三角形，则，再证明是等腰直角三角形，则，根据是等腰直角三角形得，进而得，在中，由勾股定理得，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，， ，， ，故结论①正确； ②，， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ，故结论②正确； ③假设， ， ， ， ， 点H是线段的中点， 根据已知条件无法判定点H是线段的中点，故结论③不正确； ④，， ， 在中，， ，， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 30．如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵，，， ∴点O为的中点，点E为的中点， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∴，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 题型11.平行四边形平移问题 31．如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为_______，线段的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形，平移，旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，平移和旋转的性质，勾股定理的运用，根据题意，过点作交于点，连接，根据平行四边形的性质，勾股定理的运用，求出，；以点为圆心，半径为画圆，为，由题意得，沿某一方向平移个单位长度后得到，则在上运动，连接，，；根据三角形三边的关系，当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值，即可；过点作且，以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，根据勾股定理求出，；根据三角形三边的关系，当与重合时，此时有最小值，即可． 【详解】解：过点作交于点，连接， ∵平行四边形的面积为 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 以点为圆心，半径为画圆，为， ∵沿某一方向平移个单位长度后得到， ∴在上运动，连接，，， 在中，， ∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为； ∴的最大值为； 过点作且， 以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点， ∵，， ∴， ∵点在上运动，， ∴在上运动， 在中，， ∴当与重合时，此时有最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：；． 32．如图，面积为28的平行四边形纸片ABCD中，AB=7，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图． 第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片； 第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处； 第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）． 则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为　． 【答案】/ 【分析】根据裁剪平移翻转的性质得到， AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ，AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN，推出PM=PN，∠MPQ+∠RPN=∠DAB=45°，根据平行四边形对角相等的性质，推出∠DAB=∠DCB=45°，得到∠MPN=90°，△MPN是等腰直角三角形，当AE取最小值时，PM最小，对角线MN最小，当AE⊥BD时，AE值最小，过D作DF⊥AB于F，根据平行四边形ABCD的面积为28，AB=7，推出DF=4．根据∠DAB=45°，得到∠ADF=45°，推出AF=DF=4，得到BF=3，推出BD==5，根据，得到AE=，推出MN=AE=． 【详解】解：由裁剪平移翻转知，△ABE≌△CDF≌△QPM， ∴AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ． 同理△ADE≌△BCG≌△PRN， ∴AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN， ∴PM=PN，∠MPQ+∠RPN=∠DAB=45°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB=∠DCB=45°， ∴∠MPN=90°， ∴△MPN是等腰直角三角形． 当AE取最小值时，PM最小，对角线MN最小， 当AE⊥BD时，AE取最小值， 过D作DF⊥AB于F，   ∵平行四边形ABCD的面积为28，AB=7， ∴DF=4． ∵∠DAB=45°， ∴∠ADF=45°， ∴AF=DF=4， ∴BF=3， ∴BD==5， ∵ ∴AE=， ∴MN=AE=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了裁剪，平移，轴对称，平行四边形，等腰直角三角形，垂线段，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握裁剪性质，平移性质，轴对称性质，平行四边形性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短的性质，面积法求三角形的高，勾股定理解直角三角形． 33．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 题型12.平行四边形旋转问题 34．如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得，，，由旋转的性质得，，，分别求出，，过点作于点，延长交于点，交于点，得四边形为矩形，分别证明、是等腰直角三角形，得，再由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转得：， 又， ∴， ∴， 过点作于点，延长交于点，交于点，如图， 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 35．如图，在平行四边形中，，且，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】在上取，使得，延长交于，作等边，点在上，连接，过作于，利用三角形全等得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，则可得点的轨迹，然后根据轴对称可得的最小值为，最后利用平行四边形和直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，在上取，使得，延长交于，作等边，点在上，连接，过作于， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， ，， ∴， ， 为等边三角形， ，， 又∵， ， ， ， ， 在的平分线上， 为等边三角形， ∴垂直平分， ， （当且仅当，点共线时，等号成立）， 的最小值为， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 即线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确构造全等三角形是解题关键． 36．综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解； （2）观察可得：，即可得出比值； （3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点， ， ， ； （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ； （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ， ∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 题型13.平行四边形动点问题 37．如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形面积公式，可知的面积为定值，由，可得.要使最小，需最大；当点与点重合时，取得最大值，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长，进而求出的最小值． 【详解】解：过点作交的延长线于点，连接，， ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ， ， 又， ∴， ∴要使最小，则需最大， ∵点为边上的一动点， ∴点与点重合时，最大此时， 的最小值为， 故答案为． 38．如图，在平行四边形中，，是上的一点，且是上的一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（  ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作于H，在ED上截取，连接，由含30度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理推出，由垂线段最短得到，即可得到线段的最小值． 【详解】解：过A作于H，在ED上截取，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是AP的中点，E是的中点， 是的中位线， ， ， 线段取得最小值是 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形中位线定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线． 39．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)的值为2或4 【分析】（1）求出，则，利用勾股定理可得，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可； （2）由，可知和是该平行四边形的一组对边，则，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，和是该平行四边形的一组对边， ∴， 由题意知，两点停止运动的时间为，， 当时，， ∴， 解得； 当时， ， ∴， 解得； 综上所述，当的值为2或4时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 题型14.平行四边形证线段和差问题 40．在中，，为的中点，若，的面积为8.5，则_____． 【答案】9 【分析】根据平行四边形的性质及已知条件证明和是等腰三角形，进而证得，利用平行四边形面积求出的面积，从而得到的值，结合勾股定理，利用完全平方公式即可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵平行四边形的面积为8.5， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，延长至，使，连接，过点作于，过点作的延长线于点，则，，由三角形中位线性质可得，，由，可得四边形是平行四边形，得到，，，进而证明，得到，，设，，则，，在、、分别可得，，，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，过点作的延长线于点，则，， ∵点分别是的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 42．如图，平行四边形中，且，点为平行四边形外一点，连接、，且于点． (1)如图1，若，，则________；________； (2)如图2，延长、交于点，过点作交的延长线于点，若，为的中点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）过点作交的延长线于点，根据平行四边形的面积，得出，勾股定理求得，，再证明，得出，求得，进而勾股定理，即可求解； （2）延长至，使得，证明，即可得出，进而得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵平行四边形中，且，， ∴， ，则 ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 在中，； （2）证明：如图，延长至，使得， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $