山东临沂市2026届高三普通高等学校招生全国统一考试(模拟) 数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 2026.5 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知复数z满足(1+i)z=1-3i,则1z= A.5 B.3 C.5 D.3 2.已知集合A=xlsinx=0},B={xl cosx=1},则 A.Hxo∈A,xo∈B B.3x0∈B,x0年A C.Hx1,x2∈A,x1+x2∈B D.Hx1,x2∈B,x1+x2∈A 3.已知(x-3)4=a+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a1+a2+a3+a4= A.-15 B.-16 C.-80 D.-81 4抛三枚质地均匀的硬币，记正面朝上的数量为随机变量X,定义随机变量y=(X≤1) X(X≥2) 则E(Y)= A.3 D.Is 8 5.已知四边形ABCD为平行四边形，AE=2EB,F为AC与DE的交点，则BF= 2 】 3 6若智为函数)=cs(r石)(o>0)的-个零点，且x)的最小正周期T∈（云，2m）, 则w= 7 N.4 5 B.4 3 D.4 数学试题第1页（共4页） 7.已知实数x,y,z满足x·3*=y21og2y=z1og2=1,则 A.x<y<z B.z<y<x C.y<z<x D.x<z<y &已知椭圆E:云-1的左，右焦点为R,5,离心率为点(，3，号在精圆E上，P是 椭圆E上的动点，以PF,为直径作圆N,射线ON与圆N交于点Q(点Q不在椭圆内部)， 则QF·QF,= A.1 B.3 C.2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一组从小到大依次排列的样本数据7,9，a,10,14的平均数等于众数，则 A.a=9 B.中位数为10 C.方差为5 D.第75百分位数为10 10.已知曲线+-1与直线y=2x-4只有一个公共点，则m,n可能的取值为 m n A.m=9,n=-36 B.m=-5,n=20 C.m=4,n=8 D.m=2,n=8 11.等面四面体亦称等腰四面体，是一种特殊的四面体，它是每条棱与其对棱总相等的四面 体，它的四个面是全等的锐角三角形.如图，等面四面体ABCD的表面展开图是一个锐 角三角形A1A,A3及其三条中位线(A1,A2,A3重合到点A),若BC=2,三角形A,A,A3的 面积为8，则 A.其对棱AB,CD相互垂直 B.当BD=CD时，其体积为2 C当BD=)时，其外接球的直径长为29 D.当BD=CD时，其“外接圆锥”(B,C,D在底面圆周上，A在侧面上)的高为5,3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=x3+3x2-2,若函数f(x+t)为奇函数，则t= 13.直线1：x-y+m=0与圆C:x2+y2-2x-4y+1=0交于A,B两点，且△ABC的面积为2，则 m= 14.今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/ 升)5~N(10,0.52)(P(u-σ≤X≤u+σ）≈0.6827，P(u-2σ≤X≤u+2o)≈0.9545，P(u 3σ≤X≤+3σ)≈0.9973)，现从中随机抽取n瓶，这n瓶水中恰有K瓶的矿物质含量 偏差值位于区间(9.5,11.5).当K=30时，试以使得P(K=30)最大的n值作为n的估 计值，则n为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,csin Ca-ccosB b (1)求角C: (2)已知c=√3，△ABC为锐角三角形，求2a-b的取值范围. 16.(15分) 某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务.为优化机 器人的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作 (1)下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数y(次数)的数据关系. 时长(x) 2 3 4 5 服务次数(y) 12 20 27 33 38 若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小 时时，服务订单数大约有多少？ (2)机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服 务任务，若服务中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行 甲、乙两机器人一组，第一次执行服务时，甲，乙上场的概率均为)，已知甲每次服务无故障 的概率为？，乙每次服务无故障的概率为 5 ()求第2次执行服务的是机器人甲的概率： (i)求第n次执行服务的是机器人乙的概率. 附：回归方程y=x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 66g列 含n ,a=y-,参考数据：x=455,含(x-)=10 含(x- 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 已知四边形ABCD为等腰梯形（如图1），AB∥CD,AB=2CD=2AD=4,E为AB的中点， 将△ADE沿直线DE翻折至△PDE位置（如图2），且PB=√10. (1)证明：平面PDE⊥平面BCDE. (2)求点B到平面PDC的距离： (3)设M为棱PC上的动点，当EM与平面PDC所成角最大时，求平面BCDE与平面 EBM夹角的正切值 D B E 图1 图2 18.(17分) 已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=e. (1)关于x的不等式g(x)<f(x)+a有解，求a的取值范围； (2)HmeR,3ne(0,+o),有g(m)=f(n)成立，证明：n-m>1; (3)Hs,t∈(0，+oo),令p(x)=f(x)g(x),证明：p(s+t)>p(s)+p(t) 19.(17分) 将抛物线列记为{Cn{:y2=2+x,n∈N”,其焦点列为Fn},过焦点F,的直线与抛物线 C,交于A,(x1,y),B,(x'1,y1)两点，点A,在x轴上方，点B,在x轴下方，点0为坐标原 点，连接OA,OB1并延长分别与Cn(n≥2)交于An（xn,yn),Bn（x'n,y'n)两点. (1)已知直线AB,的斜率=号，求直线AB,的斜率： (2)已知直线AB,的倾斜角为a,且cma=号，记△A,上，K的面积为S (i)求数列{nSn}的前n项和Tn; (i)求所有满足方程√2Sn+49=k2的正整数对(n,k). 数学试题第4页（共4页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学试题参考答案及评分标准 2026.5 说明： 一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容参照评分标准酌情赋分 二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分， 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，填空题不给中间分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.C2.D3.A4.B5.A6.B7.D8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.BD 10.ABD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.-113.3或-114.35 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：(1)，sin C_a-ccosB C sinA-sinCcosB ,∴.sin 1分 2 sinB .sinBsin 2=sin(B+C)-sinCcosB, 2分 .sinBsin2 =sinBc0sC,… 3分 sin =cosC,.'sin 2=1-2sin2 C 2, ……4分 数学试题答案第1页（共7页） C 1 解得sin22 或-1（舍去），… 5分 C TT .26.C) 6分 （26c=v, a b c 3 ,sin4 sinB sinc√3 =2,…7分 2 .'a=2sinA,b=2sinB, T .'2a-b=4sinA-2sinB=4sinA-2sin(A+ 3 …8分 ”△ABC为锐角三角形，：可< <A< …9分 6 2 -sin-2(sincosesin3sino =2a(停t-7m=23n(a-g》 ）,…11分 6 又由π<4< 6 、,得0<A-”<T 63 3 :0m(名号 …12分 ∴.2a-b∈(0,3). …13分 解法二：c=3, a b 3 ·sina sinB sinC√3 =2, 2 .a=2sinA,b=2sinB,… 7分 :△ABC为锐角三角形，A,Be(石 8分 ∴.a,be(1,2),.2a-b>0,… ........ 9分 3=a2+6-2a6os5h=a+62-3. 10分 ∴.(2a-b)2=4a2+b2-4ab =4a2+b2-4(a2+b2-3) =-3b2+12,…11分 b∈(1,2)，.-3b2+12∈(0,9)，…12分 .2a-b∈(0,3).…13分 数学试题答案第2页（共7页） 16.(15分) (1)解：x=1+2+3+4+5 -12+20+27+33+38 3,y= =26, …1分 5 5 含=1P+2+3+4+5=5含=45， 2分 i=1 20n*y455-5×3x2665 3分 55-5×32 55-45=6.5,… 0=y-bx=6.5,… 4分 所以回归直线方程为y=6.5x+6.5,… 5分 当x=7时，y=6.5×7+6.5=52, 即预测第6天工作7小时，可能服务52次.…6分 (2)(i)设“第n次服务的为甲”为事件An,“第n次服务的是乙”为事件B, 由题知，P(A)=P(B,)=2 由全概率公式知，P(A,)=P(A,IA,)P(A)+P(A,IB,)P(B,)=5×2+5X25 31,1.12 。X 2第2次服务的是机器人甲的概率为号 …8分 (ii)记pn=P(Bn),由题知，当n≥2时， r.A）=1号号，PB.1B=手P1)=PB=1n-A=分，…9分 32 1 由全概率公式知， p.=P(B,)=P(B,IA-)P(Ai)+P(B.1B.)P(B-i)=5×(1-P-i)+5P .2 六p=5P-+5’ …11分 22,2 2121 ,35(p3),3236 ≠0， 故数列}是首项为。，公比为号的等比数列， …12分 21 2-1 P3=65 ×( …13分 21、 2 n-1 P(B,)=p,=36(5）· 即第n次服务是机器人乙的概率为 212、m-1 6×(5）.…15分 6 数学试题答案第3页（共7页） 17.(15分) (1)由AB∥CD,AE=CD=2,AD=2,可知四边形AECD为菱形， 因此DE=AD=AE=2,△ADE为等边三角形，∠AED=60°，翻折后PE=2,∠PED=60°， 取DE中点O,连接PO, 因△PDE为等边三角形，故PO LDE,且PO=√3，…1分 在△BOE中， B02=BE2+0E2-2×BE×0E×cos120 2分 写4+1-2x2x1×(-7=7…7 ∴.P0+B02=3+7=10=PB2, 故P0⊥B0.…… …3分 因DE∩BO=O,DE,BOC平面BCDE, 故P0L平面BCDE,又P0C平面PDE,…4分 故平面PDE⊥平面BCDE.… 5分 (2)以0为原点，分别以OE,OC,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 6分 则D(-1,0,0),E(1,0,0),C(0,3,0),B(2,3,0),P(0,0,√3)，…7分 Dp=(1,0,3),DC=(1,3,0),CB=(2,0,0),…8分 设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),则 n·DP=x+W3z=0 n·D元=x+√3y=0 令y=1,得x=-3,z=1,故n=(-3,1,1),…9分 ∴，点B到平面PDC的距离为 d=ln·CBl_23215 10分 Inl √5 (3)设PM=AP元，则M的坐标为(0,3入，W3-3), 所以EM=(-1,√3入，3-3入)， 设直线EM与平面PDC所成角为， 则sina=ln·Eil 23 11分 1n11EM1W5·√/4+6A2-6入 当入=2时，直线EM与平面PDC所成角最大， 33 此时M的坐标为(0，)，2），…… 12分 数学试题答案第4页（共7页） 33 E7=(-1,22,EB=(1,3,0), 设平面EBM的法向量为m=(x,y,z),则 33 m:Ei=-+2分+2=0 m·EB=x+3y=0 令y=1,得x=-√3,3=-3，故m=(-3,1,-3), 13分 平面BCDE的法向量为a=(0,0,1), ∴.平面PDC与平面BCDE夹角的余弦值为 cos0=1a·ml3_313 lallml 13 13 …14分 313、7213 sin0=1-(13）= 13 ∴.tan0 sine 2 c0s03 即平面BCDE与平面EBM夹角的正切值为 3…15分 18.(17分) 解：(1)即证a>[g(x)-f(x)]mn,h(x)=g(x)-f(x)=e-ln(x+1),…1分 B()=6寸)在(-1.0上小于0，在(0，+o)上大于0,3分 .h(x)在(-1,0)上单调递减，(0，+0)上单调递增，…4分 ∴.h(x）min=h(0)=1,故a>1.…5分 (2)令g(m)=f(n)=t,t∈(0，+o),m=lnt,n=e'-1. 令F()=n-m=e-1-ln,F'()=e-1 6分 F()在(0，+o)上单调递增F'(7)<0,F'(1)>0,… 7分 根据零点存在定理，在(2,1)上存在唯一o,使得F(,)=0, 8分 即e0-1=0,e=L,两边取对数有6+lno=0, F'(t)在(0，o)上小于0，在(to,+o)上大于0， F(t)在(0，o)上单调递减，(，+o)上单调递增，…9分 Fw)m=F()=e0-,-1=o-1>l …10分 数学试题答案第5页（共7页） (3)原命题等价于p(s+t)-p(s)-p(t)>0,… …11分 令H(t)=p(s+t)-p(s)-p(t),将s看做定值，t看做变量 H(t)=e"]n(s+t+1）-eln(s+1)-e'ln(t+1).… 12分 re=e"n(ewt0-ehi0 H()=e[eln(s++1)-ln(+1)+e,-1 …13分 s+t+1t+1 e、s+1.1 e2s+1,st+t+7+13 …14分 e,L>0,又因为eln(s++1)-ln(*l)>0, s+t+1t+1 .(t)>0恒成立，H(t)在(0，+o∞)上单调递增，…15分 H(0)=p(s）-p(s)-p(0)=0,…16分 H(t)>H(0)=0恒成立，故原命题成立，证毕！…17分 19.(17分) 解：(1)抛物线C1:y2=4x的焦点F(1,0), 4 1分 直线过F1,斜率为子则方程为y三x-①，…… y2=4x 由{4 2(x-1),得y2-3y-4=0,解得y1=4,y'1=-1,… 2分 故A1(4,4),B(41), …3分 直线OA1的方程为y=x,直线OB,的方程为y=-4x, 分别与y2=21x联立可得A(21,21),Bn(2-3,-2-),… 4分 所以，直线AB,的斜率么+2子 …5分 (2)(i)由(1)知直线A,B。与A,B,的斜率相等， ~直线A,B的倾斜角为直线AB,的倾斜角为a,且a= 由抛物线的定义知，1 AFI=1 A F I cosa+2”, 2=3×2-1,8 IAF=1-cs …6分 22√2 又点Fn+1到直线AnFn的距离d=|FnFn1 Isin@=(2”-2-1)× ×2”, 33 X).F.Ixdx3x2 2×2"=√2×4m-1，…8分 3 数学试题答案第6页（共7页） ∴nSn=√2nx4"-1, .T=√2(4°+2×4+3×42+…+n×4w-1）,…9分 4Tn=√2(4+2×42+3×43+…+(n-1)×4-1+n×4") ∴.-3Tn=√2(4°+4+42+…+4-1-n×4") =a(x)=2(写a)x4-号 3 -a √2 10分 9 (ii)方程2Sn+49=k2,可化为2×4-1+49=k2, 即22n-1=(k-7)(k+7),… 11分 左边是2的幂，所以右边也要是2的幂， 设k-7=2“,k+7=2",其中0≤u<w,且u+w=2n-1, 所以，(k+7)-(k-7)=2”-2”=14,…13分 即2“(2“-1)=14=2×7， 要使等式成立，只能2“=2,2“-1=7，… 15分 ,儿=1,=4，…16分 由2n-1=u+v=5,k-7=2,得n=3,k=9, 所以，满足方程2Sn+49=2的正整数对只有一个为(3,9).…17分 注：第(i)问没有过程或过程错误，给出正确的正整数对(3,9)的给2分 数学试题答案第7页（共7页）