湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期五一假期作业数学（一）

长沙市周南中学高二年级2026年五一假期作业（一） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（   ） 2 4 5 6 8 20 45 60 75 80 A．100 B．106 C．110 D．116 3．复数为纯虚数，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 4．下列函数是奇函数的是． A． B． C． D． 5．对于事件A、B，，，，则（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.85 D．0.9 6．设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，函数的图象过点，若将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（    ） A． B． C．或 D． 8．已知椭圆的右焦点为，直线交于两点，为坐标原点，且，过作，垂足为，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9．下列命题中正确的是（    ） A．设， B．已知，则 C． D．若，则 10．已知直线l与平面相交于点P，则（    ） A．内不存在直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直 C．内所有直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面 11．如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积是 C．动点F的轨迹是一条线段 D．若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．碳中和是指通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”；碳达峰是指在某一时刻，二氧化碳的排放量达到历史最高值，随后逐步回落，为响应国家政策，某校高二（1）班参与植树节活动，其中男同学为，，…，，共30人，女同学为，，…，，共20人，班级所有同学参与植树活动，已知男同学植树的平均棵数为17，女同学植树的平均棵数为12，那么全班同学植树的平均棵数为______． 13．若实数，满足，则的最小值为__________. 14．已知函数，则的值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB上的高CD． 16．（15分）已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 17．（15分）蔬菜批发市场销售某种蔬菜，在一个销售周期内，每售出1吨该蔬菜获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元.统计该蔬菜以往100个销售周期的市场需求量，绘制下图所示频率分布直方图. （Ⅰ）求的值，并求100个销售周期的平均市场需求量（以各组的区间中点值代表该组的数值）； （Ⅱ）若经销商在下个销售周期购进了190吨该蔬菜，设为该销售周期的利润（单位：元），为该销售周期的市场需求量（单位：吨）.求与的函数解析式，并估计销售的利润不少于86000元的概率. 18．（17分）如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，，为中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值. 19．（17分）已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围. 参考答案 1．D 【分析】根据并集定义可直接求解得到结果. 【详解】由并集定义得： 故选： 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题. 2．B 【分析】线性回归直线方程过样本中心点，求出，即可得回归直线方程，当时，求出即可. 【详解】由题可知，，， 代入回归直线方程，则， 当时，. 3．C 【详解】易知复数； 由纯虚数概念可得，解得. 4．B 【详解】A、定义域，，不是奇函数； B、定义域，，奇函数； C、定义域，，不是奇函数； D、定义域，，偶函数，不是奇函数； 故选B． 5．A 【详解】由条件概率公式，可得， 故 又因，则. 6．B 【分析】令，定义域为R，得到为奇函数，即，求导，得到在R上单调递增，变形得到，从而，求出解集. 【详解】令，定义域为R， ， 故为奇函数，即， ， 故在R上单调递增， ， 故， 即， 所以，， 解得或. 故选：B 7．A 【分析】由函数的图象过点即可求得： ，利用平移规律即可求得，问题得解. 【详解】将代入可得：， 所以，解得： 所以 将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度， 所得图象对应的函数为 所以 故选A 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及三角函数图像平移规律，考查方程思想及计算能力，属于中档题. 8．D 【分析】设，两点后利用它们满足椭圆方程以及，得到关于的等式，再利用等面积法写出的表达式，将前面的等式代入化简得到为定值，最后根据直线与圆有公共点求出斜率的范围. 【详解】由方程可知，所以，所以， 设，， 则有，，即，，① 由可得， 即，将①代入得， 化简得， 对于，，即为上的高， 由等面积法可得 ，为定值， 所以点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆， 直线与该圆应有公共点，设的斜率为， 则原点到直线即的距离小于等于半径， 即，平方得， 解得. 9．BC 【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，，故A错误. 对选项B，因为，所以，故B正确. 对选项C， ，故C正确. 对选项D，因为，， 所以，故D错误. 故选：BC. 10．ABD 【分析】利用线线，线面的位置关系逐项分析即得. 【详解】已知直线与平面相交于点，若α内存在直线n与l平行，则直线n与l确定一个平面， 由，，且，，则与重合， 有，与矛盾，故选项A正确. 设直线在平面内的射影为PO，根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.所以平面内与射影PO垂直的直线，与直线垂直. 又因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条，所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确. 在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交，所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误. 如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线. 因为，且平面，平面，根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，即至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】对于选项A：因为三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，所以先确定正方体外接球的直径，再用球的表面积公式求解; 对于选项B：因为三棱锥的体积可通过等体积法转换，所以将其转化为以易求底面积和高的三棱锥，再用三棱锥体积公式计算; 对于选项C：因为平面，所以先构造过且与平面平行的平面，利用面面平行的性质确定F的轨迹; 对于选项D：因为要作过，，的正方体截面，所以先确定截面的形状，再找到到截面的距离，结合到截面顶点的距离，确定的取值范围. 【详解】对于A选项，三棱锥的外接球与正方体外接球是同一个球，,,故A正确； 对于B选项， 故B错误； 对于C选项,取中点，那么,所以，平面， 分别取的中点，则 平面,平面 所以，平面, 由于四边形是矩形，, 所以，四边形是平行四边形， 所以，平面,平面 所以，平面, 又平面, 所以，平面平面 因为为侧面内一动点，且满足//平面， 所以，平面平面 又平面平面, 所以，动点F的轨迹是线段,故C正确； 对于D选项，若过 三点作正方体截面， 分别取中点,则四边形为平行四边形，那么 ,所以，四边形为平行四边形 所以， 所以，截面为四边形. 设点到平面距离为,则 ,即， 由于, 所以，即，故D选项正确. 12．15 【分析】直接根据平均数的概念即可得结果. 【详解】由题意可得全班同学植树的平均棵数为， 故答案为：15. 13． 【分析】利用基本不等式求最小值。 【详解】∵， ∴，当且仅当即时等号成立， ∴的最小值是4。 故答案为：4。 【点睛】本题考查用基本不等式求最值。由基本不等式求最值时注意等号成立的条件。 14．3027 【详解】考查函数有：， 则， ， 两式相加有：， 函数关于点中心对称，则， 则， ， 两式相加有：， 据此可得 的值为：. 15．(1)3 (2) 【分析】（1）根据同角关系解得，再使用正弦定理即可求解； （2）根据面积求解，再利用余弦定理求得，再次使用面积即可求解. 【详解】（1）根据,，可知： 因为，即， 所以，即; （2），解得， 则，解得， 则，代入，解得 16．(1) (2) 【分析】（1）先根据题意解得参数的值，再计算在点处切线方程，根据点均在切线上可得，结合递推关系求得通项公式； （2）代入上一问所求结果求得，再结合分组求和和错位相减求得前项和； 【详解】（1）对函数求导得， 因为，即，解得， 因此，又因为的图像过点，所以，解得 因此， 因为，的图像在点处的切线为，即 因为数列满足，且对任意，点均在切线上， 所以，变形可得 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以由等比数列通项，整理得 （2）已知 因此前项和 因为，令， ， 两式相减得：， 即，整理得 因此. 17．(1) ,181.4;(2) ;0.66. 【分析】（1）根据频率和为1，求得，利用频率直方图中平均数的计算公式，求得平均值，即可得到结论． （1）根据题意求得与的函数关系式，当时，求得，当，，得到，即可求解销售的利润不少于的概率． 【详解】(Ⅰ)由频率分布直方图中各个小长方形的面积和为1， 可得，解得， ． (Ⅱ)由题意可知，当； 当，， 所以与的函数解析式为. 设销售的利润不少于86000元的事件记为. 当，， 当，，所以， 所以. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及频率分布直方图中概率的计算问题，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，合理列出与的函数关系式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 18．(1)证明见解析；(2). 【详解】试题分析：（Ⅰ）取中点，连结，推导出四边形为平行四边形．从而.进而平面，由此能证明平面平面.，从而平面. （Ⅱ）取中点，连结.以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的正弦值.． 试题解析： （1）证明：取中点，连结，因为分别为中点，所以. 又平面，且平面，所以平面，因为，，所以，.所以四边形为平行四边形. 所以.又平面且平面， 所以平面，又，所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）解：取中点，连结.因为，所以. 因为平面平面，所以平面，. 因为，，所以为等边三角形. 因为为中点，所以.因为两两垂直，设， 以为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系 由题意得，，，，，，. ，，， 设平面的法向量为 则，即令，则，所以. 设平面的法向量为 则，即令，则，所以. ∴∴二面角平面角的正弦值为 19．(1) (2)或. (3) 【分析】（1）利用双曲线的离心率和求解方程； （2）根据向量关系得到点的坐标即可求解直线方程； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理整理出，再换元利用二次函数性质得到的范围即可求解. 【详解】（1）由双曲线，得，即. 已知离心率，得. 由双曲线关系，得. 因此双曲线的方程为. （2）由得，设，. 向量，， 由得，解得， 代入双曲线方程得，或， 故直线的斜率， 所以直线PQ方程为或. （3） 设直线，，则，圆与轴相切，故半径. 联立直线与双曲线方程，整理得， 由在左支，得，设，中点， 由韦达定理得， 则，即. 故，，， 设，由切线性质， 令，代入得，由，所以， 设，代入上式得， 可知二次函数在内单调递增，所以， 因此， 由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即. 则，即的取值范围. 答案第6页，共18页 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $