7.3.2 离散型随机变量的方差 教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

课题 7.3.2 离散型随机变量的方差 教学目标 1. 通过具体实例，理解离散型随机变量的方差与标准差的概念.在引入方差的概念中，体会从特殊到一般，从理论到实践、类比的探究过程和思想方法. 2.能计算简单离散型随机变量的方差与标准差，并能解决一些实际问题. 3.掌握离散型随机变量的方差的性质.了解性质可以帮助我们简化方差的计算，还可以了解方差的本质。 教学重点:通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养. 教学难点：用方差解决实际问题，提升数学运算的素养. 教学过程 1. 复习回顾 上一节课学习的离散型随机变量的均值中，我们是从比较两名运动员射箭水平为问题情境，先直观判断在类比样本方差均值得到离散型随机变量的定量刻画，给出离散型随机变量的均值的定义，然后通过例题理解运用，了解离散型随机变量的均值的实际意义.本节课我们继续用此路径学习离散型随机变量的方差. 问题情境→直观判断→ 回顾类比→定量刻画→决策建议 设计意图：通过复习离散型随机变量的均值，让学生回顾体会离散型随机变量的均值反映数据的集中趋势，回顾学习路径，体现学习的连贯性、一致性和系统性，同时也为学生学习指明方向. 2. 单元结构 设计意图：形成知识的框架. 3.建构新知 问题 1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数 X 和 Y 的分布列如下表 1 和表 2 所示：如何评价这两名同学的射击水平？ 表 1 表 2 思考 1：可以从哪些方面评价这两名同学的射击水平？ 预设答案：生 1：均值. 生 2：看中 10 环的概率，中位数，众数. 生 3：方差. 师生活动：先计算均值 E(X)= 8 ;E(Y)=8 因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平.均值，中位数，众数为我们提供数据的集中趋势的信息，这是概括数据特征的有效方法.但仅知道数据集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，所以射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 总结：类似两组数据的比较，不仅要了解均值，还要考虑其稳定性，即数据的离散程度. 设计意图：发散学生思维，激发学生学习的探索欲. 思考 2：如何分析数据的离散程度呢？ 预设答案：生 1：观察表格中数据. 生 2：类比样本的方差. 生 3：画数据的条形图. 师生活动：先观察表格中数据，发现两名同学环数大部分集中在 7，8，9 环.在借助条形图比较 图 1 图 2 图 1 和图 2 分别是X 和 Y 的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于 8 环，即乙同学的射击成绩更稳定。 设计意图：通过知识回顾，提出问题.在具体的问题情境中，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解.从而引入离散型随机变量方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 思考 3：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 追问 1：样本的离散程度是用哪个量刻画的？ 预设答案：样本方差. 师生活动：我们一起回顾样本方差的研究路径;假设一组数据是x1, x2,, xn 用x 示这组数 , 据的平均数. 距离x i x 平均距离 n i1 xi x ( 2 1 )方差S n n （xi x）2 i1 标准差S ( 1 n )n （xi x）2 i1 设计意图：回顾样本方差的研究过程，希望学生能类比样本方差，归纳出离散型随机变量的方差.再次理解为什么方差用“偏差平方的平均值”来计算. 追问 2：能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的离散程度？ 我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值 ”来实现的，一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢? 样本方差： 2 1 2 2 2 S =n [(x1 - x) +(x2 - x) +... +(xn - x) ] 设离散型随机变量 X 分布列如下表： X x1 x2 x3 … x1 P p1 P2 P3 … Pn 类比样本方差猜想归纳出离散型随机变量 X 的方差： D(X) =(x1 - E(X))2 ×p1 +(x2 - E(X))2 ×p2 +... +(xn - E(X))2 ×pn 考虑 X 所有可能取值xi 与E(X) 的的偏差的平方 (x1 - E(X))2，(x2 - EX)2，(xn - EX)2 . 因为X 取 每 个 值 的 概 率 不 尽 相 同 ， 而 偏 差 平 方 关 于 取 值 概 率 的 加 权 平 均 为(x1 - E(X))2 p1 +L +(xn - EX)2 pn 所以可以用这个加权平均数来衡量随机变量 X 取值与其均 , 值 E(X)的偏离程度.一般地 D(X) =(x1 - E(X))2 ×p1 +(x2 - E(X))2 ×p2 +... +(xn - E(X))2 ×pn = (xi E(X))2 pi 为离散型随机变量 X 的方差，有时也高为 Var(X),并称 为离散型随机变量 X 的标准差.记为（X）. 总结：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 设计意图：提升学生类比归纳能力，以及自主建构新知的能力. 追问 3：根据方差定义，我们可以计算问题 1 中两名同学射击成绩的方差和标准差吗？ 师生活动：问题 1 中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性.两名同学射 击成绩的方差和标准差分别为: 10 D(X) (i 8)2 P(X i) 1.16, 1.077; i6 10 D(Y) (i 8)2P（Y i) 0.92, · 0.959 i6 因为 D(Y)<D(X)(等价地， ) ，所以随机变量 Y 的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 问题 2：为了计算的方便，简化了样本方差，类比样本方差的简化过程，离散型随机变量的方差可以简化吗？ 师生活动： 即：D(X)=E(X2)-[E(X)]2 探究：样本方差具有性质，那么对于离散型随机变量方差是否具有类似的性质呢？ 回顾样本方差的性质: 一组数据是x1, x2,, xn ，若样本方差为 S2 . 一组数据是x1 b, x2 b,, xn b ，则样本方差为 S2 . 一组数据是ax1, ax2,, axn ，则样本方差为 a2 S 2 . 一组数据是ax1 b, ax2 b,, axn b ，则样本方差为 a2 S 2 . 预设答案 ：生 1.D(aX+b)=a2D(X)，我们分三个层次探究 1.离散型随机变量 X 加上一个常数 a ，方差会有怎样变化？ 2.离散型随机变量 X 乘以一个常数 b ，方差又有怎样的变化？ 3.类似上面，可以证明D(aX +b) =a2D(X) 师生活动：离散型随机变量X 加上一个常数 b ，仅仅使 X 的值产生一个平移，不改变X 与其均值的离散程度，方差保持不变，即 D(X+b)= D(X) ，而离散型随机变量 X 乘以一个常数 a,其方差变为原方差的 a2 倍，即D(aX) =a2D(X) , 因此，D(aX +b) =a2D(X) 设计意图：提升学生类比归纳能力以及逻辑推理能力. 4.深化认知 问题 3：根据我们前面学习过的离散型随机变量的均值，我们跟离散型随机变量的方差进行对比，我们利用一个表格进行总结对比，同学们你们有什么发现？ 名称 数学期望 方差 定义 2 n D(X) xi EX pi i1 性质 E aX b aEX b D aX b a2D X 意义 E(X) 是一个常数，它反映随机变量取值的平均水平. D(X) 是一个常数，它反映随机变量取值的稳定与波动，离散程度. 设计意图：通过类比均值概念，深化对离散型随机变量方差概念的理解.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 5.典例讲练 例 1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差. 师：请同学们试试，同学们做的很好，大家共用两种方法 解法1：随机变量 X 的分布列为P k = 1,2,3,4,5,6.因为 E(X) E(X2) = (k2 × ) = (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)故D(X) = (k2 × i = 1 i = 1 35 = 12 解法 2：随机变量 X 的分布列为P k = 1,2,3,4,5,6.因为 E 反思感悟: 方差的计算方法,方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量 X2 的均值比较好计算的情况下，运用关系式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX +b) =a2D(X) (a≠0). 追问：总结求离散型随机变量方差的步骤？ 求离散型随机变量方差的步骤： (1)确定取值：理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值； (2)求概率：求 X 取每个值的概率； (3)写分布列：写出 X 的分布列； (4)计算均值：由均值的定义求出E(X)； (5)计算方差：选择适当方法求出D(X)． 通过典例解析，提升对概念精细化的理解,.让学生掌握方差的算法.发展学生逻辑推理，直观 想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 思考 4：我们为什么学习离散型随机变量的方差呢？ 设计意图：知识来源于生活，又回归于生活. 例 2：投资 A、B 两种股票，每股收益的分布列分别如表 7.3-9 和表 7.3-10 所示： （1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？ 反思感悟：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 （1）比较均值:离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. （2）在均值相等或接近的情况下计算方差:方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论:依据均值和方差做出结论. 设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化概念的理解.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 6.课堂小结 问题 4：本节课我们学习离散型随机变量方差的哪些知识？需要注意什么？ 离散型随机变量的方差定义，计算公式，性质以及应用. 问题 5：回顾本节课的研究离散型随机变量的方差的研究过程，我们是怎样开展对方差的研究的？我们是根据什么来引入离散型随机变量的方差的？你认为引入离散型随机变量的方差可以解决哪些问题？这节课我们用到了哪些思想方法？ 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。梳理本节课的研究问题和研究思路，让学生不仅掌握知识和技能，还学会掌握研究方差的一般路径，与研究均值的思路是一样，由现实例子出发，寻找刻画波动大小的数字特征，类比数据的方差概念，引出离散型随机变量的方差的概念，计算相应变量的均值和方差，做出实际决策。 7.布置作业 必做题：教科书第 70 页练习第 1，2,3 题，习题 7.3 第 3,4 题. 选做题：教科书第 71 页习题 7.3 第 8 题. 学科网（北京）股份有限公司 $