7.1.2 全概率公式（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

学校 课题 全概率公式（第 1 课时） 教材分析 本节课内容选自人民教育出版社(2019 年 A版)选择性必修第三册第七章第一单元“条件概率与全概率公式”. 通过本单元的学习，可以帮助学生了解条件概率及其与独立性的关系，能进行简单计算.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.﹡ 了解贝叶斯公式. 学情分析 学生在此之前已经学习过必修部分概率知识，但只能解决一些简单的概率问题，而条件概率与全概率公式为计算复杂概率提供了有力的工具，也是后面三个单元计算的基础，所以学习本节内容非常有必要，这也体现了大单元教学结构整体性的思想，因此本节起着承上启下的重要作用. 教学目标 1.能结合古典概型，用自己语言解释条件概率；能说明条件概率与独立性的关系. 2.能结合古典概型，用自己的语言解释概率的乘法公式.发展和培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养. 3. 能用条件概率或者乘法公式计算简单随机事件的概率.培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养. 教学重难点 教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及其应用. 教学难点：对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较. 教学准备 （1）知识储备：学生在学习本节课之前在必修部分已经学过随机事件的概率，随机事件概率的关系及其运算、性质，古典概型，互斥事件，事件的独立性等，具备进一步学习概率知识的基础. （2）能力储备：高二的学生具有分类讨论的思想，可以用特殊到一般，具体到抽象的眼光看待问题，在分析与解决问题时也具有一定的逻辑推理能力. （3）操作储备：微信 app 拍照投屏或智慧课堂软件 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 智慧课堂应用及分析 1.功能选择 2.应用价值 3.评价体现 时长 （一） 温故知新单元导览 回顾：之前我们在必修部分已经学习过概率的知识，现在展示部分同学画的思维导图.（微信app 投屏或智慧课堂软件展示） 回顾完毕，教师展示单元导图，向学生介绍本章节即将学的知识有哪些. 回顾思维导 图 ， 了解学 生学 习基础 , 为学 习条 件概率 ，全 概率公式铺 路奠基. 学生画出思维导图，并展示 （二） 创设情境引入新课 引导语 ：我们知道 , 当两个事件 A 和 B 相互 独 立 时 ， P(AB) P(A)P(B) .如 果事件 A 和 B 不相互独立 , 如何计算 P(AB)呢？是否也有一个一般的公式呢？ 下面我们先来看一个相关的问题. 问题1：某班级有45名学生， 其中男、女生人数及团员的人数如下表所示. 先由学生尝试自主完成 上面的问题 通过具体实 例引入条件 概率的概念 , 从有无条 件角度设置 了两问， 学 生经历推理 分析， 结合 图表计算得 出答案， 能 使学生直观 理解条件概 率的概念和 算 理 .学 生 认识到在事 件 A 发生的 条件下，会 缩小样本空 间， 那么条 件概率 P(B | A) 本 男生 女生 合计 在班级里随机选择一人做代表： （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是 团员， 那么选到的是男生的概率是多少？ 问题 2 ：假定生男孩和生女孩是等可能的， 现在考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大 ? （2）如果已经知道这个家庭有女孩， 那么两个小孩都是女孩的概率又有多大？ ,要求学生 在每个问题 中用符 号表示样本 空间和相关 的事件 ，分 析是否满足 古典概型的 条件. 用 b 表示 男 孩 ， g表示 女孩 ，首先 要求学生用 集合语言表 示样本空间 和问题中有 涉及的条件 , 判断问题 2 是 否 满 足 古典概型的 条件 ，然后 教师引导学 生进行互动 交流. 质上是在新的样本空间A 中积事件AB 的概率 通过问题 1 和 问 题 2， 引导学生发 现对于一般 的 古 典 概 型，在事件 A 发 生 的 条 件下，事件 B 发 生 的 概 率 都 是 n(A P(B | A) n(A , 利用两小 问题再次让 学生感悟条 件概率与无 条件概率的 比较. 问题 3 ：结合以上两个问题的结果并借助图 7.1-1，你能探索出“ 借助图可知 ，若已 知事件 A 发 若已知事件 A发生，则 A成为样本 空间.此时 （三） 抽象归纳形成概念 在事件 A 发生的条件下 ,事件 B 发生”的概率P(B | A) 与 P(A) ，P(B)， P(AB)之间关系吗？ 生 ， 则 A 成 为样本空间. 此时，事件 B 发 生 的 概 P率 是 AB 包含样本点数与 A 包含样本点数的比值 ， 即 P(B | A) . 通过对问题的进一步深入探究，得到两事件相互独立的充要条件，并推导出概率的乘法公式. ( n ( A ),事件 B发生的概率是AB包含样本点数与 A包含样本点数的比值，即 n(A P(B | A) n(A .因为由左 上表格学生观察出条件概率可能和 P(A)， ( A )P(AB)有关 ,自然想到 要将样本点的比值转化为概率的比值，借助古典概型的定义，不难得到： n(A P(B | A) .于是，给出一般的条件概率的定义：一般地 ,设 A，B为两个随机事件，且 P(A) 0 ，我们称 P(A P(B | A) P(为事件 A发生的条件下 ,事件 B发生的条件概率，简称条件概率. P(A) 问题1 30 45 问题2 3 4 问题 4 ：在之前 问题 的探 究 过 程 中 ， P(B | A)与 P(B)相 等 吗 ？ 如 果P(B | A) 与 P(B)相等，那么事件 A 与 B 应满足什么条件？为什么？ 追问 ：对于任意两个事件 A 与 B，如果 已知 P(A)与P(B | A) ，如何计算 P(AB)？ 学生通过对条件概率公式进行变形，得到计算 P(AB)的公式，即对于任意两个事件 A与 B，若P(A) 0 ，则 P(AB) P(A)P(B | A) ，称此式为概率的乘法公式. 特别地 , 当两个事 件 A与 B互 相独立时， 就得到必修 部分积事件 概率乘法公 式，体现了 一般到特殊 的思想. （四） 巩固应用交流互动 例 1 在 5 道试题中有 3道代数题和 2 道几何题 , 每次从中随机抽出 1道题， 抽出的题不再放回，求： （1）第 1 次抽到代数题且第 2 次抽到几何题的概率； （2）在第 1 次抽到代数题的条件下， 第 2次抽到几何题的概率. 追问： 通过以上的例题解答， 请问条件概率一般有几种方法？ 你认为条件概率有什么性质？ 例 2 已知 3 张奖券中只有一张有奖， 甲、乙、 学生思考后用平板解决问题并上传 学生自主思 教师先作分 析， 强调“ 抽出的题不 再放回 ”的 意义， 那么 问题 （ 1） 就是求积事 件的概率， 问题 （ 2） 就是条件概 率 .可 以 先 求积事件的 概率， 再用 条件概率公 式求条件概 率； 也可以 先求条件概 率， 再用乘 法公式求积 丙 3 名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 追问： 如果是放回随机抽样， 中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 获奖的情况会有什么改变？ 为了巩固新知，完成以下两道练习： 练习 1 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中，每次从中随机抽出 1 张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第 1 次抽到 A牌，求第 2 次抽到 A 牌的概率. 练习 2 袋子中有 10 个大小相同的小球，其中7 个白球，3 个黑球. 每次从袋子中随机摸出 1个球，摸出的球不再放回. 求: （1）在第 1 次摸到白球的条件下，第 2 次摸到白球的概率； 考问题---- “ 中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ ”这个问题的 本质是计算 甲、乙、丙中奖的概率.如果概率相 等，那么与 抽奖次序无 关；如果概 率不相等， 那么与抽奖次数有关. 学生讨 论后发现， 放回随机抽 样中奖的概 率进行比较 , 得 出结论 ：在抽奖问 题中 ，无论 是放回还是 不放回 ， 中 奖的概率都 与抽奖的次 序无关. 学生在智慧 平板软件上 事件的概率 . 通过具体问 题让学生分 清条件概率 与积事件概 率的联系与 区别， 归纳 求条件概率 的两种一般 方法， 并总 结条件概率 的基本性质 . 让学生进一 步感受计算 复杂事件的 概率方法， 将复杂事件 分解为简单 事件，体现 了条件概率 是解决复杂 概率问题的 有力工具. 通过练习， 巩固基础知 识，发散学 （2）两次都摸到白球的概率. 完成作答并上传 生思维，培 养学生思维 的严谨性和 对数学的探 索精神，同 时提醒学生 注意答题的 规范性. （五） 课堂小结布置作业 1.学习过程：创设情境→抽象归纳→巩固应用 2.知识内容：（1）条件概率的概念与计算（2）概率的乘法公式 3.数学思想：分类讨论 ,特殊到一般，逻辑推理，数学抽象 4. 结构再望：课尾，再次向学生展示单元导图. 5.作业布置分三层次： （1）复习巩固：课本 52 页习题 7.1 第 1,2 题 （2）综合运用：课本 53 页习题 7.1 第 6 题 （3）拓广探索：课本 53 页习题 7.1 第 10 题 请学生思考后并回答，允许学生补充完善 引导学生回 顾本节课的 核心内容和 主要思想方 法，体会概 念建构过程 ,使其对本 节课有完整 的认识，同 时培养学生反思意。 巩固本节课 所学知识和 方法，使学 生能在整体 上把握条件 概率的含义 ,能运用条 件概率的知 识进行概率计算. 学科网（北京）股份有限公司 $