7.1.2 全概率公式 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 全概率公式的推导、理解与应用；能够将复杂事件划分为若干互斥且完备的简单事件，利用全概率公式计算复杂事件的概率。 2.内容解析 全概率公式是高中概率部分的核心公式之一，承接条件概率、互斥事件、交事件与并事件，是解决 “多原因导致一结果” 类概率问题的通用工具。它体现分类讨论、化整为零、化繁为简的数学思想，把难以直接计算的概率，分解为多个 “条件概率 × 原因概率” 之和，为后续贝叶斯公式、离散型随机变量分布列学习奠定基础，对培养逻辑推理、数学建模、数据分析素养具有重要作用。 二、目标和目标解析 1.教学目标 理解样本空间划分的意义，掌握全概率公式的推导过程。 熟记全概率公式结构，能准确选择划分事件，正确运用公式解决实际问题。 体会概率建模思想，提升复杂问题分解与数学运算能力。 2.目标解析 概念层面：能说出全概率公式的适用场景，理解 “划分”“完备事件组” 的含义。 公式层面：能独立完成公式推导，明确每一项的意义：。 应用层面：能从实际问题中识别 “多分支、一结果” 结构，正确划分事件，规范解题步骤。 素养层面：在分解问题、建立模型、运算求解中提升逻辑推理与数学建模素养。 三、教学问题诊断分析 1.不会 “划分样本空间” 学生不知道如何把一个事件拆成若干互斥且不重不漏的部分，缺乏分类意识。 2.不理解公式结构 对 “先乘后加” 的来源不清楚，容易与条件概率、加法公式混淆。 3.实际问题难以建模 无法从文字中提取 “前提条件→结果” 的概率结构，不会设事件，不会找 与 。 四、教学支持条件分析 1.多媒体课件 / PPT 展示 “树形图”“流程图”，直观呈现多分支概率结构。 2.黑板 / 白板 用于公式推导、例题分步板书，突出 “划分 — 求概率 — 代入公式” 三步骤。 五、教学过程设计 1. 情境引入 问题：一个袋子里，甲盒有 3 白 2 黑，乙盒有 2 白 3 黑。随机选一个盒子再摸一球，求摸到白球的概率。 思考：能不能直接算？为什么不能？ 引出：结果受 “选哪个盒子” 影响，需要分情况算概率再合并—— 今天学习全概率公式。 设计意图：用典型 “分箱摸球” 问题制造认知冲突，让学生自然体会 “分类计算” 的必要性。 2. 概念形成与公式推导 回顾：条件概率、互斥事件、概率加法公式。 给出划分（完备事件组）： 若 两两互斥，且 ，则称为样本空间的一个划分。 推导全概率公式： 对任意事件 ，有 由概率加法公式与条件概率： 重点强调： 适用：结果由多个 “原因 / 分支” 导致 结构：先分后算，先乘后加 设计意图：由直观到抽象，由复习到推导，让学生理解公式来源。 3. 公式理解与记忆 口诀：分情况、算分支、加起来 结构：总概率 = 各分支概率 × 该分支下结果概率 之和 设计意图：帮助学生快速抓住公式核心，避免机械记忆。 4. 公式应用示例 例 1（摸球问题） 甲袋 3 白 2 黑，乙袋 2 白 3 黑。随机选一袋，再摸一球，求摸到白球的概率。 解： 设 “摸到白球”， “选甲袋”，“选乙袋”。 由全概率公式： 例 2（考试通过问题） 某班三类学生：优秀 40%，良好 40%，薄弱 20%。优秀通过率 0.9，良好 0.7，薄弱 0.3。 求任选一人通过考试的概率。 解： 设 “通过考试”， “优秀”，“良好”，“薄弱”。 设计意图：从基础到生活，让学生掌握 “设事件 — 找划分 — 代公式” 完整流程。 5. 课堂练习 （1）甲箱 2 红 1 蓝，乙箱 1 红 2 蓝。任选一箱取一球，取到红球的概率。 （2）工厂三台机器产量占比 3:4:3，次品率分别为 0.01、0.02、0.01，求任取一件是次品的概率。 巡视、点评，强调划分要互斥、完备。 设计意图：当堂巩固，落实公式运用。 6. 课堂小结 全概率公式： 适用：一结果、多分支 步骤：划分 → 求 → 求 → 代入求和 布置作业：教材习题 7.1 对应题目。 六、目标检测设计 1.基础检测 划分 ，，，，，则 ____。 2.提升检测 两个口袋：Ⅰ 袋 3 白 2 黑，Ⅱ 袋 2 白 2 黑。先以概率选Ⅰ，选Ⅱ，求摸出白球的概率。 3.应用检测 天气预报：晴天概率 0.7，雨天 0.3。晴天迟到率 0.1，雨天迟到率 0.4，求此人迟到概率。 七、教学反思 本节课以 “分箱摸球” 引入，借助流程图帮助学生理解全概率公式的 “多分支结构”，公式推导清晰，例题分层合理。多数学生能掌握 “先分后加” 的计算方法。但部分学生仍不会正确划分事件，实际应用题建模较慢。后续需加强树形图训练，强化 “分支识别” 与 “事件设定” 规范。 八、板书设计 7.1.2 全概率公式 例题示范 1. 划分（完备事件组） 互斥、不漏、全覆盖 例 1： “摸到白球”“选甲袋”，“选乙袋”。 由全概率公式： 2. 公式： 例 2： 三步：设→找→代 3. 适用：一结果多原因 易错： 划分不互斥 条件概率代反 学科网（北京）股份有限公司 $