2025-2026学年苏科版数学七年级下册期中质量检测卷

期中质量检测卷 数 学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若 ， ，则 的值是（　　） A．-1 B． C．20 D． 5．如图，以每秒3cm的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（　　） A．9 B．6 C．5 D．3 6．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序） 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 请依据上述规律，写出 展开式中含 项的系数是（　　） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 7．已知 ， ，则 的值是（　　） A．70 B．76 C．80 D．84 8．如图，将绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则下列结论中错误的是（　　） A．①号长方形与③号长方形的面积比为 B．②号长方形与④号长方形的周长比为 C．⑤号正方形与大长方形的面积比为 D．⑤号正方形与大长方形的周长比为 10．有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．若 ，则 　 　. 12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD=30°，则∠CAE的度数为　 　。 13．计算：a3•a4=　 　 14．若，则b的值为　 　. 15．如图，三角形ABC的边BC长为4cm.将三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为　 　cm². 16．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　秒时，边CD恰好与边AB平行． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．计算： （1） （2） 18．已知直线 ，一块含 角的直角三角板 ， 顶点 在直线 上． （1）如图 1 ， 若 ， 求 的度数； （2）如图 2， 向上平移直线 ， 使直线 过点E，， 若 是 的 3 倍， 求证： ． 19．综合运用 已知， （1）化简A和B； （2）若变量y满足，求出y与x之间的关系式； （3）在（2）的条件下，求的值． 20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 注：水费按月结算． （1）填空：若该户居民2月份用水，则应收水费________元； （2）若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简） （3）若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 21．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图的形状拼成一个正方形． （1）请用含，的代数式表示图中阴影部分的面积：________． （2）观察图，请问下面三个式子，，之间有什么等量关系？ （3）根据（2）中的等量关系，解决以下问题： ①已知，，求的值？ ②已知，，求的值？ 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）若，则______； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 23．如图，点是直线上的一点，射线在直线的同侧，且，． （1）如图①，__________； （2）如图②，若射线平分，求的度数； （3）如图③，在（2）的条件下，若射线从开始绕点以每秒的速度顺时针旋转；同时射线从开始绕点以每秒的速度逆时针旋转；当射线与重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 期中质量检测卷 数 学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可得出答案。 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：， 故答案为：D. 【分析】a个a相乘，即aa，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】A、∵，∴A不符合题意； B、∵，∴B不符合题意； C、∵，∴C符合题意； D、∵，∴D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方逐项判断即可。 4．若 ， ，则 的值是（　　） A．-1 B． C．20 D． 【答案】D 【解析】【解答】解： ， ， ， 故答案为：D． 【分析】原式可化简为，再整体代入计算即可。 5．如图，以每秒3cm的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（　　） A．9 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【解析】【解答】解：由平移的性质得：BE=AD=3×2=6， ∵AD=2CE， ∴CE=3， ∴BC=BE+CE=6+3=9， 故答案为：A. 【分析】由平移的性质得：BE=AD=3×2=6，结合已知求出CE，利用BC=BE+CE即可求解. 6．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序） 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 请依据上述规律，写出 展开式中含 项的系数是（　　） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 【答案】D 【解析】【解答】解：根据规律可以发现： 第一项的系数为1，第二项的系数为2021， ∴第一项为：x2021， 第二项为： 故答案为：D 【分析】本题是中考常考题，考查整式的混合运算、杨辉三角等知识点；解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题。首先确定x2021是展开式中的第几项，然后根据杨辉三角即可解决问题。 7．已知 ， ，则 的值是（　　） A．70 B．76 C．80 D．84 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：B． 【分析】由，两边平方可得 ，从而可得，将ab=3代入计算即得结论. 8．如图，将绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵将绕点O逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】首先根据旋转的性质可得出，进而根据可得出，进一步即可得出。 9．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则下列结论中错误的是（　　） A．①号长方形与③号长方形的面积比为 B．②号长方形与④号长方形的周长比为 C．⑤号正方形与大长方形的面积比为 D．⑤号正方形与大长方形的周长比为 【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 设长方形①号和②号的长为，宽为， 则，， ∴⑤号正方形的边长， 长方形③号和④号的宽， ∴大长方形的宽， ∴长方形③号和④号的长， ∴，， ∵大长方形的长， ∴， 解得：， ∴，， ∴①号长方形与③号长方形的面积比，故A正确，不符合题意； ∴②号长方形与④号长方形的周长比，故B正确，不符合题意； ∴⑤号正方形的边长， 大长方形的长， 大长方形的宽， ∴⑤中的面积与大长方形的面积之比 ，故C正确，不符合题意； ⑤号正方形与大长方形的周长比，故D错误，符合题意. 故答案为：D． 【分析】设长方形①号和②号的长为，宽为，根据长方形的对边相等及正方形的四边相等，由线段的和差分别表示出③④长与宽，用两个不同的式子表示出⑤号图形的边长AB与CD，然后根据AB=CD建立等式推出A=3B，从而将各条线段都用含b的式子表示出来，最后根据长方形、正方形的周长和面积公式，逐项计算判断即可． 10．有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意依次计算可得： ， ， ， ， ， ， ． 以此类推，6个一循环. ∴当时，，故①错误； ∵六个一循环，∴， 当， 即； 故②正确； ∵，，， ∴，，， ∴， ， ∴和不一定相等，故③错误， 综上所述，正确的说法有1个， 故答案为：D． 【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，根据题意依次进行作差，求出C1到C7的值，发现规律为：6个一循环，然后再逐一判断即可． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．若 ，则 　 　. 【答案】-12 【解析】【解答】解：已知等式整理得： ， ∴ ， 解得： ∴ . 故答案为：-12. 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件列方程求出m与n的值，即可求出mn的值. 12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD=30°，则∠CAE的度数为　 　。 【答案】30° 【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，∠DAC=60° ∴∠CAE=∠DAC-∠EAD=60°-30°=30° 【分析】根据旋转的性质即可得到∠DAC的度数，然后进行计算即可得到答案。 13．计算：a3•a4=　 　 【答案】a7 【解析】【解答】解：a3•a4=a3+4=a7， 故答案为：a7． 【分析】根据同底数幂的乘法：底数不变指数相加，可得答案． 14．若，则b的值为　 　. 【答案】42 【解析】【解答】解：∵（7x+3）2=49x2+42x+9=49x2+bx+9， ∴b=42. 故答案为：42. 【分析】根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”计算并结合恒等式的意义即可求解. 15．如图，三角形ABC的边BC长为4cm.将三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为　 　cm². 【答案】8 【解析】【解答】解：∵三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'， ∴ ∴阴影部分面积为：S四边形BB'C'C=4×2=8. 故答案为：8. 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小，据此即可知阴影部分面积为长方形边形BCC'B'的面积，进而即可求解. 16．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　秒时，边CD恰好与边AB平行． 【答案】10或28 【解析】【解答】解：①如图所示：两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E， ∵AB//CD， ∴∠CEO=∠B=40°， ∵∠C=60°，∠COD=90°， ∴∠D=90°-60°=30°， ∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°， ∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°， ∵每秒旋转10°， ∴时间为100°÷10°=10（秒）； ②如图所示：两三角形在点 O的异侧时，延长BO与CD相交于点E， ∵AB//CD， ∴∠CEO=∠B=40°， ∵∠C=60°，∠COD=90°， ∴∠D=90°-60°=30°， ∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°， ∴旋转角为270°+10°=280°， ∵每秒旋转10°， ∴时间为280°÷10°=28（秒）； 综上所述：在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行， 故答案为：10或28. 【分析】先作图，再分类讨论，利用平行线的性质和旋转的性质计算求解即可。 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．计算： （1） （2） 【答案】（1）解： （2）解： ． 【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式的法则进行计算求解即可； （2）先根据零指数幂，负整数指数幂化简，再进行有理数的加减运算即可． （1）解： ； （2）解： ． 18．已知直线 ，一块含 角的直角三角板 ， 顶点 在直线 上． （1）如图 1 ， 若 ， 求 的度数； （2）如图 2， 向上平移直线 ， 使直线 过点E，， 若 是 的 3 倍， 求证： ． 【答案】（1）​​​​​解：如图1中， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3， ∵∠FGE＝60°， ∴∠1＋∠3＝120°， ∵∠2＝2∠1， ∴3∠1＝120°， ∴∠1＝40°. （2）证明：∵AB∥CD， ∴α＝∠CGE， ∵∠CGE＝β＋60°，α是β的3倍， ∴β＋60°＝3β， ∴β＝30°， ∴α＝30°＋60°＝90°， ∴∠EGC＝∠BEG＝90°， ∴EG⊥CD． 【解析】【分析】（1）根据题意，利用同位角、补角的性质即可得出 的度数； （2）先利用平行线的性质可得α＝∠CGE，再结合∠CGE＝β＋60°，α是β的3倍，求出β＝30°，再求出∠EGC＝∠BEG＝90°，即可得到EG⊥CD． 19．综合运用 已知， （1）化简A和B； （2）若变量y满足，求出y与x之间的关系式； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）解： ， （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 【解析】【分析】 （1）计算A时，根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案；计算B时，直接根据多项式除以单项式的计算法则即可求出答案. （2）根据（1）所求结合，计算即可求出答案. （3）先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项化简，再把代入化简求解即可． 20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 注：水费按月结算． （1）填空：若该户居民2月份用水，则应收水费________元； （2）若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简） （3）若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 【答案】（1）8 （2）解：元， ∴应收水费元； （3）解：∵该户居民4，5月份共用水，且5月份用水量超过了4月份， ∴4月份用水量少于， ①当4月份用水量少于时，5月份用水量超过， ∴4，5月份共交水费为：元； ②当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过， ∴4，5月份交的水费为：元； ③当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过，但少于， ∴4，5月份交的水费为：（元）． 【解析】【解答】解：（1）根据题意，得应收水费为：（元）， 故答案为：8. 【分析】（1）根据表格中的收费标准列式进行计算即可； （2）根据表格中的收费标准以及的范围列式计算即可； （3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，然后分以下三种情况讨论：①当4月份用水量少于时，5月份用水量超过；②当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过；③当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过，但少于；根据表格中的收费标准列式进行计算. （1）解：根据题意得：（元）； （2）解：根据题意得：元． 答：应收水费元； （3）解：由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于， 当4月份用水量少于时，5月份用水量超过，则4，5月份共交水费为元； 当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过，则4，5月份交的水费为元； 当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于，则4，5月份交的水费为（元）． 21．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图的形状拼成一个正方形． （1）请用含，的代数式表示图中阴影部分的面积：________． （2）观察图，请问下面三个式子，，之间有什么等量关系？ （3）根据（2）中的等量关系，解决以下问题： ①已知，，求的值？ ②已知，，求的值？ 【答案】（1）或 （2）解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得： ． （3）解：①由（2）得，∵，， ∴， ∴， 解得； ②∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 【解析】【解答】（1）解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为； 方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积个长为，宽为的面积， 即图b中阴影部分的面积为； 故答案为：或 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景及利用完全平方公式变形求值。 （1）求阴影部分面积有两种思路，一是观察阴影部分为正方形，边长为，根据正方形面积公式得面积为；二是用大正方形面积减去4个小长方形面积，大正方形边长为，面积为，每个小长方形面积为，4个总面积为，因此阴影部分面积也为； （2）由阴影部分面积的两种表达式，可直接得出等量关系； （3）①利用（2）的等量关系变形得，将、代入，计算得，因此；②同理，，将代入，得，又因为，所以，故。 （1）解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为； 方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积个长为，宽为的面积， 即图b中阴影部分的面积为； （2）解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得： ． （3）解：①由（2）得， ∵，， ∴， ∴， 解得； ②∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）若，则______； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】（1）6 （2）解：设另一个因式为， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式是． 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案. （2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案. （1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：设另一个因式为， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式是． 23．如图，点是直线上的一点，射线在直线的同侧，且，． （1）如图①，__________； （2）如图②，若射线平分，求的度数； （3）如图③，在（2）的条件下，若射线从开始绕点以每秒的速度顺时针旋转；同时射线从开始绕点以每秒的速度逆时针旋转；当射线与重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：如图②， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴. ∴的度数为. （3）解：存在，理由如下： 如图③， ①当在之间时，即，， ∵， ∴，解得，不符合题意，舍去. ②当在之间时，即，， ∵， ∴，解得. ③当射线与重合前，即，， ∵， ∴，解得． ∴t的值为或． 【解析】【解答】（1）解：如图①， ∵， ∴． 故答案为：． 【分析】（1）根据平角的定义，结合即可得，解答即可. （2）先根据，得出，再根据角平分线的定义求出，然后根据得出答案即可. （3）当在之间时，即，表示出，根据可得，求出，不符合题意，舍去，同理得当在之间时，，当射线与重合前，即，，综合即可得答案. （1）解：因为， 所以． 故答案为：． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以， 所以； （3）解：存在， 当在之间时，即，， 因为， 所以， 解得，不符合题意； 当在之间时，即，， 因为， 所以， 解得； 当射线与重合前，即，， 因为， 所以， 解得． 所以t的值为或． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $