精品解析：广东江门市第一中学2024-2025学年第二学期第一次学段考试 高一年级数学试卷

江门一中2024-2025学年度第二学期第一次学段考试 高一年级数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，故即. 2. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，由此可求出. 【详解】根据正弦定理可得， 所以， 故选：B. 3. 下列选项中，与的值不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，再结合三角恒等变换依次讨论各选项即可得答案. 【详解】， 对于A，，等于，故不满足； 对于B，，等于，故不满足； 对于C，，等于，故不满足； 对于D，，不等于，故满足题意. 4. 在中，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用的图形关系并依据平面向量基本定理即可利用向量表示向量. 【详解】中，是的中点，是的中点， 则， 所以，所以. 故选：B 5. 将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出图象平移之后的函数解析式，利用函数图象关于轴对称可求的最小值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位， 所得函数解析式为，即， ∵函数的图象关于轴对称， ∴函数为偶函数， ∴，故， ∵，∴当时，. 故选：D. 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则内角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用边角互化结合三角变换求出，再结合余弦定理可求. 【详解】在中，由射影定理得，而 则，解得，而，因此， 由余弦定理，得， 则，而为三角形内角，所以. 7. 小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（ ） A. 20米 B. 米 C. 米 D. 25米 【答案】A 【解析】 【分析】根据仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解. 【详解】设教学楼的高度为， 在直角三角形中，因为，所以， 在直角三角形中，因为，所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得解得或（舍）， 故选:A. 8. 如图是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，矩形的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用来表示出矩形的面积，借助三角函数公式求解. 【详解】，显然是等腰直角三角形，故， ， 故矩形的面积，， 根据二倍角公式，辅助角公式化简得：， 根据可得， 故，即时，矩形面积取到最大值. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 平面向量，可以作为基底 B. 已知正边长为2，则 C. 模为0的向量与任意非零向量共线 D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的定义判断AC，求出数量积判断B，举反例确定向量的夹角判断D. 【详解】对A，因为不存在实数，使得，即不共线，可以作为基底，A正确； 对B，，B错； 对C，由零向量的定义知C正确； 对D，时，与的夹角是，不是锐角，D错. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 11. 将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数在的零点为，则 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数的图象在区间上的对称轴为，再结合可求出，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B，再根据正弦函数的图象和性质分别判断CD 即可. 【详解】对于A，由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为， 则与关于对称， 又，结合图象可得， 所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，右移个单位得到函数的图象， 再将其横坐标缩短为原来的得到的图象，故B正确； 对于C，由，得， 所以在上不单调，故C错误； 对于D，令，则， 函数在上有个零点， 则，，，，， 故， 所以，故D正确； 故选：C． 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，，其中，且.则_________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以即，即， 又，即. 代入，解得， 又，所以，. 所以. 13. 已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由数量积的几何意义计算投影向量可得. 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，再利用坐标法求解即可. 【详解】以点为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 因为正八边形内角和为，所以， 因为正八边形的边长为2， 所以，到的距离为， 所以，，，， 设，则，则，，则， 所以，当点在线段上时，取最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与夹角为. （1）求与的夹角； （2）若向量与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积求模长与夹角； （2）根据平面向量的共线定理列方程组求出实数的值. 【小问1详解】 解：因为，，且与夹角为， 所以， ， 所以， 所以 又因为，所以向量与的夹角为； 【小问2详解】 因为向量与平行， 所以存在，使得， 即，解得，所以实数的值为. 16. （1）求值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先进行切化弦，再结合辅助角公式及诱导公式可得； （2）先由同角三角函数基本关系式可得正弦值，再通过变角，再用两角差的余弦公式可得. 【详解】（1）原式 . （2）解：由，是锐角，得 因为，是锐角，所以 又因为，所以 ∴. 17. 已知函数其图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的单调递增区间和对称中心； （2）当时，解不等式. 【答案】（1），，， （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦，余弦二倍角公式，辅助角公式可得，然后由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得，最后由正弦函数单调性，对称中心知识可得答案； （2）当时，，然后由可得，进而可得答案. 【小问1详解】 ， 又图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，. 所以的单调递增区间满足：，， 解得，， 所以的单调递增区间为，； 的对称中心满足：可得，， 所以的对称中心为，； 【小问2详解】 当时，， 由可得： ，则， 的解为： ， 则时，取，，得：， 解得的解集为：. 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式可得，由此可得结果. （2）根据面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长. （3）根据，利用两角差的余弦公式及辅助角公式化简，结合的范围即可求出答案. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∵，∴， ∴，故. 【小问2详解】 由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，， ∴，故的周长为. 【小问3详解】 由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故， ∴，即的取值范围是. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由，得， 故. 由正弦定理可得，故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）可得，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设， 由，得， 整理得， 则. 【小问3详解】 如图，点为的费马点，则， 设， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 故由，得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立. 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用面积法得到，最后根据向量数量积的定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2024-2025学年度第二学期第一次学段考试 高一年级数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 4 D. 1 2. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中，与的值不相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则内角（ ） A. B. C. D. 7. 小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（ ） A. 20米 B. 米 C. 米 D. 25米 8. 如图是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，矩形的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 平面向量，可以作为基底 B. 已知正边长为2，则 C. 模为0的向量与任意非零向量共线 D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数在的零点为，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，，其中，且.则_________. 13. 已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与夹角为. （1）求与的夹角； （2）若向量与平行，求实数的值. 16. （1）求值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 17. 已知函数其图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的单调递增区间和对称中心； （2）当时，解不等式. 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $