2026年陕西省数学中考第26大题将军饮马几何模型

陕西中考第26大题将军饮马几何模型 1．问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 2．解决下列问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，，则______． 【问题探究】 (2)如图2，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，求长． 【问题解决】 (3)如图3，某公园内有两条道路和，夹角，米，米．点处有一棵百年老树，为保护古树，公园的工作人员准备在大树周围40米的区域围一个保护区，现计划在保护区边缘上任找一点（位置满足米）建一个小商店，还计划在和之间的连线上设置一个休息点，使得，同时要在道路和上分别选择两个服务点和，用于修建凉亭．为了用最短的围栏将、、三点围成一个三角形绿化区，需要确定和的位置，使得的周长最小．请问这个最小的周长是多少？ 3．问题提出： （1）如图①，为矩形的对角线，点为的中点，连接．若，．则______． 问题探究： （2）如图②，为菱形的对角线，，，为上任意一点，为上任意一点，求的最小值． 综合应用 （3）如图③，是李叔叔家的农场平面示意图．李叔叔欲将农场扩建．扩建部分为平行四边形．其中点在的延长线上．、分别为边、的中点．在四边形内养家禽，为一道栅栏，经测量，，，米，，、为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿、修建两条运输管道，问运输管道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 4.【问题提出】 如图①，在中，，，是边上的中点，点，分别是，上的动点，则的最小值是 ； 【问题解决】 如图②，某大型工厂生产区域内，有一个矩形场地，其中点为原材料入口，修建在段的点为成品出口．在生产区域内，有两处重要的生产加工点和，分别位于场地的，段，并且．为了实现从生产加工点到成品出口的高效运输（即成品从生产加工点经质检区域输送到出口的过程更为高效），工厂规划修建一个调度中心与一处位于段的半圆形自动化质检区域（圆心为）．该调度中心需同时满足以下两个条件：①使到生产加工点的距离相等，即；②使运输线路的长度最短（其中为半圆质检区域上的任意两点）．已知米，米，米，质检区域半径米．请问是否存在符合要求的调度中心点，若存在，求出的最小值和此时的距离；若不存在，请说明理由．    5.问题提出 （1）如图1，已知，点在内部，且，若点、分别在射线、上运动，则周长的最小值为___________． 问题探究 （2）如图2，已知中，为的边上的高，，若，求的周长的最小值． 问题解决 （3）如图3，西安大雁塔的唐代园林中，有一座扇形观景台，其设计灵感源于古代浑天仪的几何构造．已知扇形圆心角，半径米，弧上的、两点装饰有青铜纹样，且米．为方便游客观赏，需在边设置休息区，要求四边形的周长最短，同时其内部区域面积尽可能大，是否存在这样的四边形？若存在，求出的位置及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 6．按要求完成下列各题： (1)问题提出：如图①，矩形的对角线的长为8，的半径为2，点E是上的动点，则点B、E之间的最大距离为____________； (2)问题探究：如图②，在中，点B关于的对称点为点D，点G、F在上，连接并延长到点E，连接、、，若四边形是平行四边形，求证：； (3)问题解决：如图③，某区计划将区域建成一个户外健身区，，．现要在线段上找两点D、E（D、E是上的动点，点D在点E的左侧），，点F是一个出入口，且点F是的中点，连接、，为方便市民出入，沿四边形的四边修建人行通道，以为直径在下方作半圆O（半圆随着移动而移动），将半圆O建成公园绿地运动区，点P是半圆O上的一个动点，从A到P沿直线修建一条塑胶跑道，设计人员要求在人行通道的长度（即四边形的周长）最短的条件下，塑胶跑道的长度尽可能的长．请你帮设计人员求出当人行通道的长度（即四边形的周长）最短时，塑胶跑道的最大长度．道（人行通道与塑胶跑道的宽度均忽略不计） 7.问题探究： (1)如图1，在中，点是优弧上一点，点在外，且、在直线的同侧，则与的大小关系为 ______（填“”“”或“”）； (2)如图2，在中，，，点是的中点．若点是边上一点，试求的最小值； (3)如图3，社区便民步道与主干道相交于点，步道入口到的距离为，到主干道的距离为．步道上有一休息椅，它到点的距离为．现需要在主干道上设置一段长的便民服务宣传栏，为节约成本，需使步道入口到、休息椅到的路程和最短（即最小），且居民在步道上散步时，希望在点处能以最佳视角（即最大）看清宣传栏上的内容，求点到路口的距离. 8.探究线段数量关系，解决实际问题． (1)【问题探究】如图1，、是正方形的对角线上的点，且，连接、，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在梯形中，，为边上一点，且，，、是对角线上的两个动点，且，连接、，求的最小值； (3)【问题解决】如图3，某地计划在一片空地上修建一个形如平行四边形的森林生态公园，沿其对角线修建一条景观水渠，其中，，．现在计划在水渠上找两个点、，，沿修建笔直的健身步道，沿修建笔直的塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元，修建塑胶跑道的费用是40万元．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 9．问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 10.【问题探究】 (1)如图1，是的弦，半径于点D，且，，则的长是______； (2)如图2，已知，M、N分别为射线上的动点，P为内一点，连接，且为定长．当的周长取得最小值时，求的度数； 【问题解决】 (3)如图3，某地有一片圆形湿地，其中的半径为，现想在这片湿地上修建一个形如四边形的“探秘湿地”综合实践活动区，四边形内接于，且，计划沿修建绿色长廊，圆心O为教育中心，教育中心O到绿色长廊的距离为．按照设计要求，现要分别在线段上确定点M、N（不与端点重合），沿的一周（）修建步道．为节约成本，需要三条步道的长度和（的周长）尽可能的短．请问这三条步道的长度和是否存在最小值？若存在，请求出这三条步道长度和的最小值；若不存在，请说明理由．（教育中心的大小、绿色长廊及步道的宽度均忽略不计） 11.问题提出 (1)如图①，在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的长为______； 问题探究 (2)如图②，、是直线同侧的两个点，且，两点间的水平距离为5，到直线的距离分别为、，点为直线上一动点，求的最小值； 问题解决 (3)西安市园林绿化部门准备在一块正方形空地上用鲜花摆放一个四边形的图案，设计员糖糖将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上，点，在边上，点在边上，且，绿化部门计划在四边形内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪，请问是否存在点，，使得四边形的周长最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 参考答案 1．(1) (2) (3)的最小值为，此时的长度为 【分析】（1）利用轴对称性质，将点关于对称，把转化为两点间线段，结合直角三角形中位线与勾股定理计算最小值； （2）先通过全等三角形证明，确定点的运动轨迹为一段圆弧，再利用圆外一点到圆上点的最短距离（即 −半径）求出的最小值； （3）通过平移变换将转化为，结合轴对称将转化为，把转化为，利用圆的轨迹（，在以为直径的半圆上），结合勾股定理与中位线性质，求出的最小值及此时的长度． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接，此时的最小值为 取的中点，连接， ∵点是的中点， ， ， ； （2）解：如图，是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 其中， 过点作于点， 由垂径定理，，， 在中，， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值； （3）解：如左图，连接，，作，为垂足． 如图，平移线段至，点与点重合，以为对称轴作点的对称点，交于点． 根据线段平移的性质，四边形为平行四边形， ∴，， 设的中点为，由于点，的相对位置固定不变，动点的轨迹是以为直径的半圆，此时半径， 且点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接、， ，即， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 的最小值为， 的最小值为，即为的最小值， 在如图中，半圆形餐厅的半径，， ， ，， 根据平移的性质，点移至点，相当于先向左平移了长度，再向上平移了长度， ， 根据轴对称的性质，， 由平移得：， 过点作的平行线交的延长线于，得四边形为矩形， ，， ， 在中，， 最小值为：， 即的最小值为， 设和的交点， ，， 为中位线，， 当取最小值时，动点位置为和的交点， 故的最小值为，此时的长度为． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路径、等边三角形性质与全等三角形、圆的轨迹与最值、平移与轴对称变换及勾股定理等核心知识点，通过几何变换将复杂的线段和最值问题转化为可计算的几何模型，是解答本题的关键． 2．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形性质得出，进而求出结论； （2）先求出，，再证明，得出，进而求出结论； （3）连接，在上取点O，使，连接，证明，得出，分别作点P关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最小，连接，延长交于点K，证明得出，当点P在与交点处时，最短，即此时最短，作，垂足分别为，证明，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接，在上取点O，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，10米为半径的圆， 分别作点P关于的对称点，交于点E，交于点F，连接，交于点， 此时的周长， 即此时的周长最小， 由作图知，点为中点，点为中点， 是的中位线， ， 连接，延长交于点K， ， ∴点四点共圆， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ∵点P的运动轨迹为以点O为圆心，10米为半径的圆， ∴当点P在与交点处时，最短，即此时最短，的周长最小． 作，垂足分别为，如下图， ， ， ， ， 在中，，米， ， 米， ， ， ， 在中，， ， ， ， 的周长最小值为． 3．（1）；（2）；（3）米． 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先根据矩形的性质以勾股定理求得，再根据直角三角形的性质即可解答； （2）如图：连接，过A作于E，由菱形的性质可得垂直平分，则，所以，根据三角形的三边关系可得，当点N和点E重合时，的最小值为，然后证明是等边三角形可得，再根据直角三角形的性质以及勾股定理求得的长即可； （3）证明四边形是矩形，得到．再证明四边形是菱形；连接，交于点，则、互相垂直平分，则当三点共线时，的值最小，即为的长．证明为等边三角形，而米，则米．米，则（米）．的最小值为米． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）如图：连接，过A作于E， ∵菱形， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴点N和点E重合时，的最小值为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． （3）存在， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴四边形是矩形， ． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵、分别为边、的中点， ， ∴四边形是平行四边形． ，F为边的中点， ， ∴四边形是菱形； 如图：连接，交于点，则、互相垂直平分， ， ∴当三点共线时，的值最小，即为的长， ∵， ， 为等边三角形，而米， ∴米， ∵为的中点， 米， ∴（米）． ∴的最小值为米． 4.（1）；（2）的最小值为米，此时的距离为50米． 【分析】（1）作点E关于的对称点H，连接，可求出，由轴对称的性质可得，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，解求出的长即可得到答案； （2）可证明点P在的角平分线上，，作的角平分线交于H，作点G关于的对称点，作交于，此时有最小值，由勾股定理得米；连接，过点H作于，则，利用等面积法得到米，则米，则可求出米，在中，由勾股定理得米；根据，可得米． 【详解】解：（1）如图所示，作点E关于的对称点H，连接， ∵在中，，，是边上的中点， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴的最小值为；    （2）∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点P在的角平分线上， 如图所示，作的角平分线交于H，作点G关于的对称点，作交于，此时有最小值，理由如下： ∵， ∴当最小时，最小， 由轴对称的性质可得， 则，故当三点共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得米； 如图所示，连接，过点H作于， ∴， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵， ∴米， ∴米； 在中，由勾股定理得米； ∵， ∴， ∴米； 综上所述，的最小值为米，此时的距离为50米．    【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，解直角三角形，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，三线合一定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 5.（1）8；（2）；（3）四边形的最大面积为米，此时在距离点米处 【分析】（1）作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形； （2）分别取中点，分别作点D关于的对称点，连接，过点作于点G，根据直角三角形的性质得到，易证是的中位线，推出，当的周长取最小值时，的周长取最小值，同理（1）得的长即为周长的最小值，，求出，，解直角三角形求出，即可解答； （3）作点分别关于的对称点，连接，过点作于点T，设与交点分别为，同理（2）得的最小值为的长，四边形周长的最小值为米，易证是等边三角形，同理（2）得，米，求出米，四边形周长的最小值为米，此时，点，点重合，求出四边形的面积为米，设米，求出四边形的面积为米，当最小时，四边形的面积最大，此时四边形为矩形，即可解答． 【详解】解：（1）作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，，， ∴， ∴， 当点过直线时，周长有最小值，即的长就是周长的最小值； 在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）分别取中点，分别作点D关于的对称点，连接，过点作于点G， ∵为的边上的高， ∴， ∴都是直角三角形， ∵点分别是中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， 当的周长取最小值时，的周长取最小值， 同理（1）得的长即为周长的最小值，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， ∴周长的最小值为； （3）存在， 作点分别关于的对称点，连接，过点作于点T，设与交点分别为， 同理（2）得的最小值为的长， ∵为定值， ∴四边形周长的最小值为米， ∵米， ∴是等边三角形， ∴， 同理（2）得，米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴四边形周长的最小值为米， 如图，此时，点，点重合， 由对称的性质得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为米， 设米，则米， 由对称的性质得：， ∴米， ∴四边形的面积为米， ∵， ∴当最小时，四边形的面积最大， 当时，最小，则， ∵， ∴此时四边形为矩形， ∴米， ∴四边形的最大面积为米， 此时，米， ∴米，米， ∴此时，在距离点米处． 【点睛】本题考查了四边形综合题、等边三角形的判定和性质、对称的性质、勾股定理、直角三角形的性质，解直角三角形、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 6.(1)10 (2)见解析 (3)当人行通道的长度（即四边形的周长）最短时，塑胶跑道的最大长度为 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，根据题意得出当共线，且点E在的延长线上时，最大，即可求解； （2）根据轴对称得出，根据平行四边形的性质得出，则，即可得，即可证明； （3）根据题意得出四边形的周长，即可得当的值最小时，此时四边形的周长最小．作点A关于的对称点G，连接，将向右平移使点D与点E重合得到线段，连接，连接交于点，则四边形是平行四边形，得出，，则，得出当点F、E、H三点共线时，四边形的周长最小，此时点E与点重合，在上截取，以为直径作半圆，连接并延长交半圆于点，的长度即为四边形的周长最小时的最大长度．连接，分别过点A、F作，，垂足分别为M、N，则四边形是平行四边形，勾股定理求出，根据相似三角形的性质证明，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当共线，且点E在的延长线上时，最大，最大值． （2）证明：∵点B关于的对称点为点D， ， 四边形是平行四边形， ∴，即， ， ， ． （3）解：，点F是的中点， ， 四边形的周长， 当的值最小时，此时四边形的周长最小． 作点A关于的对称点G，连接，将向右平移使点D与点E重合得到线段，连接，连接交于点，则四边形是平行四边形， ∴，， ， 当点F、E、H三点共线时，四边形的周长最小，此时点E与点重合， 在上截取，以为直径作半圆，连接并延长交半圆于点，的长度即为四边形的周长最小时的最大长度． 连接，分别过点A、F作，，垂足分别为M、N， 则四边形是平行四边形， ，， ， ． ，， ， ∴， ， ，． 点A与点G关于对称， ， 四边形是平行四边形， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． ． 综上，当人行通道的长度（即四边形的周长）最短时，塑胶跑道的最大长度为． 7．(1) (2) (3)点到路口的距离为 【分析】（1）令与的交点为，连接，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据外角的性质可得，即可得出； （2）作关于直线的对称点，连接，，，交于，根据对称的性质得出，推得当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长度，根据等腰直角三角形的性质得出，根据中点的定义得出，结合对称的性质和勾股定理求得，即可求解； （3）根据勾股定理求出，过点作且，过点作的对称点，交于点，过点作交于点，过点作的延长线于点，连接，与交于点，连接，结合三角形中位线的定义求出，，，，，根据三角形的三边关系得出，推得当点、、三点共线时，取最小值，结合相似三角形的判定和性质求出；结合（1）得出满足最大，则需要点、、三点在同一个圆上，据此过弦确定圆，与相切于点，连接、、，过点作交于点，结合垂直平分线的性质求出，根据勾股定理推得，即可求出符合条件时，点到路口的距离． 【详解】（1），理由如下： 令与的交点为，连接，如图： ∵， ∴， 在中，， 即， ∴． （2）作关于直线的对称点，连接，，，交于，如图： ∵，关于直线对称， ∴， ∴， 当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，关于直线对称， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为；． （3）根据题意可得，，，，， 故点是的中点，， 过点作且，过点作的对称点，交于点，过点作交于点，过点作的延长线于点，连接，与交于点，连接．如图： 则，四边形是矩形，四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 故是的中位线， ∴，， ∴，， ， ∵， 在中，， ∴， 故当点、、三点共线时，取最小值． ∵， ∴， ∴， ∴． 由第小问可得，满足最大，则需要点、、三点在同一个圆上， 过弦确定圆，与相切于点，连接、、，过点作交于点，如图： 则垂直平分，，． 在中，， 在中，， 即， 又∵， 整理可得； 在中，， 即， ∴． 故符合条件时，点到路口的距离为． 【点睛】在第二问中，对于求线段和的最小值问题，一般根据“将军饮马”的方法来求最值，在第三问中，借助对称的特征和两点之间线段最短确定点的位置，根据相似三角形的判定和性质求出的长是解题的关键． 8．(1)，理由见解析 (2) (3)万元 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三边关系，三角形中位线定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）连接、，同理求得，再利用三角形三边关系求解即可； （3）取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接，利用三角形中位线定理求得，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接、， ， ∴， ， ， ， ， ，     ， ∴，， 在中，， ， ∴当位于与的交点处时，取得最小值，最小值为； （3）解：由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用． 如图3，取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ，， ， ， ， ，，是的中位线， ， 关于对称， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． ， 的最小值为， 故修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元． 9.（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 10．(1)24 (2) (3) 【分析】（1）连接，求出的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）分别作点P关于直线的对称点C，D，连接， 由轴对称的性质可得， ，则当C、M、N、D四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；可证明是等边三角形，得到，当的周长有最小值时，由轴对称的性质可得，据此可得答案； （3）过点O作于点H，由垂径定理和勾股定理可求出；分别作点D关于直线的对称点G，E，连接，同理可得当E、M、N、G四点共线时，的周长最短，最短为的长，过点C作于点F，则， ，由勾股定理得，则，即这三条步道长度和的最小值为． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，分别作点P关于直线的对称点C，D，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当C、M、N、D四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当的周长有最小值时，， 由轴对称的性质可得， ∴； （3）解：如图所示，过点O作于点H， ∴， ∵，教育中心O到绿色长廊的距离为， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，分别作点D关于直线的对称点G，E，连接， 由轴对称的性质可得， ，， ∴ ， ∴， 同理可得当E、M、N、G四点共线时，的周长最短，最短为的长， 如图所示，过点C作于点F， ∴， ， ∴， ∴， ∴这三条步道长度和的最小值为． 11．(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据两点之间距离公式计算即可； （2）作于点D，作A关于l的对称点，则，连接，，，交l于点C，过作于E，则，，四边形是长方形，得出，，在中，根据勾股定理求出，根据，则当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，即可求解； （3）将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，作点E关于的对称点，连接，则，四边形周长为，其中，，故最小时周长最小，由，可知当三点共线时，最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：作于点D，作A关于l的对称点，则，连接，，，交l于点C，过作于E， 由题意，得，，， 则，，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为， 即的最小值为； （3）解：存在； 如图3，将向上平移个单位长度，点与点重，点到点，作点E关于的对称点，连接，则， ∵正方形空地，， ∴，， ∵，即， ，，， ∵四边形周长为，其中，， ∴最小时周长最小， ， ∴当三点共线时，最小， ∵，， ∴关于对称点， ∴最小值为； ∴四边形周长最小为 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