智慧广场——排列组合（知识清单）数学青岛版五四制四年级下册

智慧广场 知识清单 一、排列问题的基本认识 1. 定义 从若干个不同元素中，选出部分或全部元素，按照一定的顺序排成一列，顺序不同则结果不同，这类问题称为排列问题。 2. 核心特征 强调“顺序”：即使元素相同，排列顺序不同，也视为不同结果。 例：用1、2组成两位数，“12”和“21”是两种不同的排列。 二、组合问题的基本认识 1. 定义 从若干个不同元素中，选出部分元素，不考虑顺序组合在一起，顺序不同但元素相同则结果相同，这类问题称为组合问题。 2. 核心特征 不强调“顺序”：只要元素相同，无论顺序如何，都视为同一种结果。 例：从3人中选2人参加活动，“甲和乙”与“乙和甲”是同一种组合。 三、排列问题的解决方法 1. 枚举法（列举法） 按一定顺序（如从大到小、从小到大）依次列出所有可能的排列，确保不重复、不遗漏。 例：用数字1、2、3组成两位数，可先固定十位：12、13、21、23、31、32（共6种）。 2. 固定位置法 固定首位法：先确定第一个位置的元素，再依次排列剩余位置。 固定末位法：先确定最后一个位置的元素，再排列前面的位置。 3. 连线法（图形法） 用线段连接不同元素，直观表示所有排列情况（适用于元素较少时）。 四、组合问题的解决方法 1. 枚举法（列举法） 按一定顺序列出所有组合，注意避免重复（如按元素大小顺序列举）。 例：从A、B、C中选2人，组合为AB、AC、BC（共3种，BA、CA、CB与前者重复，不单独计数）。 2. 连线法（无顺序连线） 用线段连接不同元素，每条线段代表一种组合（不考虑方向）。 3. 公式法（初步感知） 从n个不同元素中选2个的组合数： （四年级阶段可通过实例推导，不直接记忆公式）。 五、排列与组合的区别 对比项 排列问题 组合问题 核心区别 有顺序（顺序不同，结果不同） 无顺序（顺序不同，结果相同） 关键词 “排成一列”“顺序”“先后” “选几个”“组合”“搭配” 举例 排队、数字排列、站位 选物品、组队、握手 六、实际应用场景 1. 排列问题 数字排列（如用给定数字组成不同的两位数、三位数）； 人员排队（如3人站成一排，有几种站法）； 密码设置（如两位数密码，数字可重复的情况需额外说明）。 2. 组合问题 选物品（如从5种水果中选2种，有几种选法）； 握手问题（n人每两人握一次手，共握几次）； 组队问题（从若干人中选几人组成小组）。 七、易错点提示 1.混淆“顺序”：误将组合当排列（如认为“甲乙”和“乙甲”是两种组合）。 2.重复或遗漏：枚举时未按顺序，导致重复列举或漏写。 3.忽略“不同元素”前提：若元素有重复（如数字“1、1、2”），需注意去重。 4.“选全”与“选部分”混淆：排列/组合可能是选全部元素（如3人全排列）或选部分元素（如3人选2人排列）。 题型1：排列问题 【例1】两名男生和两名女生站成一排拍照，要求男女间隔排列，一共有（    ）种站法。 A．4 B．8 C．10 【练1】三位同学轮流上台发言，共有( )种不同的排法；如果有一位同学固定第一个发言，其余人任意排，共有( )种不同的排法。 题型2：数字中的排列问题 【例2】用1、2、3三个数字能组成( )个不同的三位数。这些不同的三位数一定是( )的倍数。 【练2】用0、3、6、9四个数字，可以组成（    ）个不同的四位数。 A．24 B．18 C．6 题型3：含0的组数问题 【例3】用0、1、3、5四张数字卡片，可以组成（    ）个不同的四位数。 A．12 B．18 C．24 【练3】三张数字卡片0、4、8可以组成( )个不同的三位数。 1．用2、0、5三个数，可以组成不同的三位数，其中是偶数的有（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．6 2．新年到了四个好朋友互相问候，一共要通（    ）次电话；互相寄张节日贺卡，一共要寄（    ）张贺卡。 A．8；4 B．6；12 C．4；6 D．12；8 3．3张相同的纸上分别标有字母Q、K、A，从中任取两张，有（    ）种可能的结果。 A．3 B．4 C．5 D．2 4．由数字1，0，3（    ）组成6个不同的两位数。（不允许数字重复） A．不可能 B．可能 C．一定能 D．无法确定 5．某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面或三面，并且不同顺序表示不同的信号，一共可以表示（    ）种不同的信号。 A．14 B．15 C．16 D．17 6．从广州到茂名的城际列车C6955一共8个站（包括广州站和茂名站），广州与茂名之间一共需要 种单程火车票。 7．班级庆新年活动中，每组6位同学，每两人握一次手，一共要握( )次手；他们互赠新年祝福贺卡，一共要准备( )张贺卡。 8．用“1”“3”“5”“8”“0”“0”组成最大的六位数是( )。组成最小的六位数是( )。 9．武夷山崇阳溪漫游道是一条生态景观带，这条漫游道不仅展示了武夷山的自然美景，还串联了多个著名的自然与人文地标景观，被誉为“百里画廊”。乘坐观光车游览，单程需要准备( )种不同的车票。 10．从明明家到学校有3条不同的路可以走，从学校到书店有4条不同的路可以走，则明明从家经学校到书店共有( )条不同的路可走。 11．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有 种。 12．下面是由5个完全一样的正方体方块摆在桌面上的样子，如果再添两个同样大小的正方体，使得从上面看形状不变，有( )种不同摆放方法。 13．从奇奇、妙妙、聪聪和明明4人中挑选2人参加演讲比赛，有( )种不同的选法；如果指定妙妙一定参加，有( )种不同的选法。 14．用三张数字卡片，可以组成多少个不同的三位数？分别写出来。 15．节日问好的方式多种多样，可以根据个人喜好和民俗文化来选择。小刚、小明和小强是好朋友。如果他们每两人之间通一次电话，一共要通多少次电话？如果他们互相寄一张节日贺卡，一共要寄多少张贺卡？ 16．用2，0，7这三个数字和小数点“.”可以组成多少个不同的小数？（每个数字都要用上并且只能用一次）。 17．小明去公园旅游，爬26级天梯。他开始时以每步2级的步伐向上攀登，途中（至少走了1步但未到终点）因步伐不稳摔倒一次，后退了1级或2级，之后便以每步1级的步伐向上攀登，那么小明这次爬天梯的走法有多少种不同的可能？ 18．爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮。他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，且恰好有两次是连续投进的，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？ 19．一个九位数的密码，个位上的数字是3，百位上的数字是个位上的3倍，任意相邻的三个数字的和是17。这个九位数的密码是多少？（要有推理及计算过程） 20．体操表演队为联络方便，设计了一种联系方式。一旦有事，先由教练同时通知两位队长，这两位队长再分别同时通知两名同学，依此类推，每人再同时通知两个人。如果每同时通知两个人共需1分钟，6分钟可以通知到多少名同学？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 智慧广场 知识清单 一、排列问题的基本认识 1. 定义 从若干个不同元素中，选出部分或全部元素，按照一定的顺序排成一列，顺序不同则结果不同，这类问题称为排列问题。 2. 核心特征 强调“顺序”：即使元素相同，排列顺序不同，也视为不同结果。 例：用1、2组成两位数，“12”和“21”是两种不同的排列。 二、组合问题的基本认识 1. 定义 从若干个不同元素中，选出部分元素，不考虑顺序组合在一起，顺序不同但元素相同则结果相同，这类问题称为组合问题。 2. 核心特征 不强调“顺序”：只要元素相同，无论顺序如何，都视为同一种结果。 例：从3人中选2人参加活动，“甲和乙”与“乙和甲”是同一种组合。 三、排列问题的解决方法 1. 枚举法（列举法） 按一定顺序（如从大到小、从小到大）依次列出所有可能的排列，确保不重复、不遗漏。 例：用数字1、2、3组成两位数，可先固定十位：12、13、21、23、31、32（共6种）。 2. 固定位置法 固定首位法：先确定第一个位置的元素，再依次排列剩余位置。 固定末位法：先确定最后一个位置的元素，再排列前面的位置。 3. 连线法（图形法） 用线段连接不同元素，直观表示所有排列情况（适用于元素较少时）。 四、组合问题的解决方法 1. 枚举法（列举法） 按一定顺序列出所有组合，注意避免重复（如按元素大小顺序列举）。 例：从A、B、C中选2人，组合为AB、AC、BC（共3种，BA、CA、CB与前者重复，不单独计数）。 2. 连线法（无顺序连线） 用线段连接不同元素，每条线段代表一种组合（不考虑方向）。 3. 公式法（初步感知） 从n个不同元素中选2个的组合数： （四年级阶段可通过实例推导，不直接记忆公式）。 五、排列与组合的区别 对比项 排列问题 组合问题 核心区别 有顺序（顺序不同，结果不同） 无顺序（顺序不同，结果相同） 关键词 “排成一列”“顺序”“先后” “选几个”“组合”“搭配” 举例 排队、数字排列、站位 选物品、组队、握手 六、实际应用场景 1. 排列问题 数字排列（如用给定数字组成不同的两位数、三位数）； 人员排队（如3人站成一排，有几种站法）； 密码设置（如两位数密码，数字可重复的情况需额外说明）。 2. 组合问题 选物品（如从5种水果中选2种，有几种选法）； 握手问题（n人每两人握一次手，共握几次）； 组队问题（从若干人中选几人组成小组）。 七、易错点提示 1.混淆“顺序”：误将组合当排列（如认为“甲乙”和“乙甲”是两种组合）。 2.重复或遗漏：枚举时未按顺序，导致重复列举或漏写。 3.忽略“不同元素”前提：若元素有重复（如数字“1、1、2”），需注意去重。 4.“选全”与“选部分”混淆：排列/组合可能是选全部元素（如3人全排列）或选部分元素（如3人选2人排列）。 题型1：排列问题 【例1】两名男生和两名女生站成一排拍照，要求男女间隔排列，一共有（    ）种站法。 A．4 B．8 C．10 【答案】B 【分析】男女间隔排列，可以分男、女、男、女或女、男、女、男两种情况；其中任何一个人站在第一位都有2种站法，4个人一共有（2×4）种站法。 【详解】（种） 故答案为：B 【练1】三位同学轮流上台发言，共有( )种不同的排法；如果有一位同学固定第一个发言，其余人任意排，共有( )种不同的排法。 【答案】 6 2 【分析】确定第1个上台的同学，另外两个同学交换顺序，3个人，每人都可以第1个上台，都对应两种不同的排法，共（3×2）种不同的排法；如果有一位同学固定第一个发言，只能交换另外2人的上台顺序。 【详解】3×2＝6（种） 三位同学轮流上台发言，共有6种不同的排法；如果有一位同学固定第一个发言，其余人任意排，共有2种不同的排法。 题型2：数字中的排列问题 【例2】用1、2、3三个数字能组成( )个不同的三位数。这些不同的三位数一定是( )的倍数。 【答案】 6 3 【分析】1、2、3这三个数字组成没有重复数字的三位数，即把这三个数字填入三个数位中，分3步完成，百位有三种填法，百位用去一个数字后，十位还有两种填法，十位用去一个数字后，个位还有一种填法，用乘法原理计算即可； 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。1＋2＋3＝3＋3＝6，6是3的倍数，所以无论1、2、3这三个数字怎么排列，组成的三位数都是3的倍数。 【详解】3×3×1 ＝6×1 ＝6（个） 用1、2、3三个数字能组成（6）个不同的三位数。这些不同的三位数一定是（3）的倍数。 【练2】用0、3、6、9四个数字，可以组成（    ）个不同的四位数。 A．24 B．18 C．6 【答案】B 【分析】0不能在最高位，先排千位有3种选择，再排百位有3种选择，然后排十位有2种选择，最后排个位有1种选择，然后根据乘法原理解答即可。 【详解】3×3×2×1＝18（个） 所以可以组成18个不同的四位数。 故答案为：B 【点睛】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。 题型3：含0的组数问题 【例3】用0、1、3、5四张数字卡片，可以组成（    ）个不同的四位数。 A．12 B．18 C．24 【答案】B 【分析】读题可知，一共给出四张数字卡片，要组成四位数，则个数位上刚好一张卡片，且千位是首位，不能为0，所以千位有1、3、5三种情况，百位上有除千位以外的三种情况，十位有除千位、百位以外的两种情况，个位只剩最后一种情况。一共有3×3×2×1＝18（种）情况。据此解答。 【详解】3×3×2×1＝18（种） 用0、1、3、5四张数字卡片，可以组成18个不同的四位数。 故答案为：B 【练3】三张数字卡片0、4、8可以组成( )个不同的三位数。 【答案】4 【分析】0不能在最高位，当百位是4时，可以组成408、480。当百位是8时，可以组成804、840。据此解答。 【详解】三张数字卡片0、4、8可以组成4个不同的三位数。 1．用2、0、5三个数，可以组成不同的三位数，其中是偶数的有（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】用数字2、0、5组成不同的三位数，首位不能为0。个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数，即为偶数。 所有可能的三位数有：以2为首位，有205、250；以5为首位，有502、520；共4个。 其中，205的个位是5，不是偶数；250的个位是0，是偶数；502的个位是2，是偶数；520的个位是0，是偶数。 据此解答。 【详解】用2、0、5三个数，可以组成不同的三位数，其中是偶数的有250、502、520，共3个。 故答案为：B 2．新年到了四个好朋友互相问候，一共要通（    ）次电话；互相寄张节日贺卡，一共要寄（    ）张贺卡。 A．8；4 B．6；12 C．4；6 D．12；8 【答案】B 【分析】四个好朋友通电话，每人都要和其他3人通电话，每人需通3次，共有4人，一共通电话3×4＝12次，因为每两人通电话算作一次，去掉重复的情况，则实际通话12÷2＝6次。 四个好朋友互相寄张节日贺卡，即每人都要给其他3人寄贺卡，每人需寄3张，共有4人，一共需寄3×4＝12张。 【详解】（4－1）×4÷2 ＝3×4÷2 ＝6（次） （4－1）×4 ＝3×4 ＝12（张） 新年到了四个好朋友互相问候，一共要通6次电话；互相寄张节日贺卡，一共要寄12张贺卡。 故答案为：B 3．3张相同的纸上分别标有字母Q、K、A，从中任取两张，有（    ）种可能的结果。 A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【分析】3张相同的纸上分别标有字母Q、K、A，从中任取两张，可能抽到的结果有Q和K；Q和A；K和A；一共3种可能，据此选择即可。 【详解】由分析可知：3张相同的纸上分别标有字母Q、K、A，从中任取两张，有3种可能的结果。 故答案为：A 4．由数字1，0，3（    ）组成6个不同的两位数。（不允许数字重复） A．不可能 B．可能 C．一定能 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，由1、0、3组成的两位数可以这样排列：1在十位的可以写两个10、13，3在十位的可以写两个30、31，0不能在十位，一共4个；以此选择即可。 【详解】根据分析可知： 由数字1，0，3不可能组成6个不同的两位数。 故答案为：A 5．某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面或三面，并且不同顺序表示不同的信号，一共可以表示（    ）种不同的信号。 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】如果只挂1面，则有红、黄、蓝三种，如果只挂2面，则有红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄6种；如果挂3面，则有红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄6种。 【详解】3＋6＋6＝15（种） 一共可以表示15种不同的信号。 故答案为：B 6．从广州到茂名的城际列车C6955一共8个站（包括广州站和茂名站），广州与茂名之间一共需要 种单程火车票。 【答案】28 【分析】一共8个站，每个站与另外（8－1）个站之间都需要1种单程火车票，共需要8×（8－1）种单程火车票，这样就重复计算了一遍，再除以2即可。 【详解】8×（8－1）÷2 ＝8×7÷2 ＝56÷2 ＝28（种） 广州与茂名之间一共需要28种单程火车票。 7．班级庆新年活动中，每组6位同学，每两人握一次手，一共要握( )次手；他们互赠新年祝福贺卡，一共要准备( )张贺卡。 【答案】 15 30 【分析】根据题意，每组6位同学，每两人握一次手，第一位同学要和其余5位同学握手；第二位同学已经和第一位同学握过了，所以只需要和剩下的4位同学握手；第三位同学已经和前两位同学握过了，所以只需要和剩下的3位同学握手；第4位同学已经和前三位同学握过了，所以只需要和剩下的2位同学握手；第5位同学已经和前四位同学握过了，所以只需要和剩下的1位同学握手；第6位同学已经和前五位同学都握过了。把这几位同学握手的次数相加即可求出一共握手的次数。对于互赠贺卡问题，因为是互赠，所以每位同学都需要给其他5位同学赠送贺卡，因此用人数乘每人送的贺卡数即可求出要准备多少张贺卡。据此解答。 【详解】握手总次数： 5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（次） 准备贺卡的张数：5×6＝30（张） 班级庆新年活动中，每组6位同学，每两人握一次手，一共要握15次手，他们互赠新年祝福贺卡，一共要准备30张贺卡。 8．用“1”“3”“5”“8”“0”“0”组成最大的六位数是( )。组成最小的六位数是( )。 【答案】 853100 100358 【分析】根据题意，要想组成的数最大，要把数按照从大到小的顺序从高位到低位排下来；要想组成的数最小，要把数按照从小到大的顺序从高位到低位排下来，但是最高位不能是零，据此解答。 【详解】根据分析可得： 1、3、5、8、0、0这几个数从大到小排序：8＞5＞3＞1＞0 故要想组成最大的六位数，那么8排在最高位，然后依次为5、3、1、0、0，即853100； 故要想组成最小的六位数，那么最小数排最高位，但0不能在最高位，所以最高位为1，后面依次为0、0、3、5、8，即100358； 所以用“1”“3”“5”“8”“0”“0”组成最大的六位数是853100；组成最小的六位数是100358。 9．武夷山崇阳溪漫游道是一条生态景观带，这条漫游道不仅展示了武夷山的自然美景，还串联了多个著名的自然与人文地标景观，被誉为“百里画廊”。乘坐观光车游览，单程需要准备( )种不同的车票。 【答案】15 【分析】从图中可以数出有6个驿站，求单程车票的种类，是从6个驿站中选2个驿站确定起点和终点的种类，第一个驿站能和剩下5个驿站形成5种车票，第二个驿站能和剩下4个驿站形成4种车票，第三个驿站能和剩下3个驿站形成3种车票，第四个驿站能和剩下2个驿站形成2种车票，第五个驿站能和剩下1个驿站形成1种车票，据此解答。 【详解】根据分析可知：5＋4＋3＋2＋1＝15（种） 因此，坐观光车游览，单程需要准备15种不同的车票。 10．从明明家到学校有3条不同的路可以走，从学校到书店有4条不同的路可以走，则明明从家经学校到书店共有( )条不同的路可走。 【答案】12 【分析】明明从家到学校有3条不同的路可以走，从学校到书店有4条不同的路可以走，这是最简单的排列组合问题，当两种选择互不干涉时，可运用乘法求得结果。 【详解】3×4＝12（条） 如图： 先从家走第①条路到学校，然后到书店有4条不同路线； 同理，先走第②条路也有4条不同路线； 3×4＝12（条） 明明从家经学校到书店共有12条不同的路可走。 11．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有 种。 【答案】960 【分析】（1）确定（a＋b）和（c＋d）为奇数的条件：根据奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数＝奇数，偶数×任何数＝偶数，奇数×偶数＝偶数。因此（a＋b）×（c＋d）为奇数，需（a＋b）和（c＋d）均为奇数。又因为奇数＋偶数＝奇数，所以a、b中一个为奇数一个为偶数，c、d中一个为奇数一个为偶数。 （2）计算选2个奇数和2个偶数的组合数：1~9中奇数有5个（1、3、5、7、9），偶数有4个（2、4、6、8）。从5个奇数中选2个的组合数为种，从4个偶数中选2个的组合数为种。 （3）计算选出的4个数的排列方式：对于每组这样的4个数，分配它们到a、b、c、d使得a和b一奇一偶、c和d一奇一偶。 总分配方式为4！＝4×3×2×1＝24种。 其中，a和b同为奇数或同为偶数的分配方式：若a和b同为奇数，则从2个奇数中分配a和b有2！＝2×1＝2种方式；从2个偶数中分配c和d有2！＝ 2×1＝2种方式，共2！×2！＝2×2＝4种；同理a和b同为偶数也有4种，共8种。 因此，a和b一奇一偶的分配方式有24−8＝16种。 （4）计算总取法数：10×6×16＝960种。 【详解】根据分析可知：a、b中一个为奇数一个为偶数，c、d中一个为奇数一个为偶数。 从5个奇数中选2个的组合数为（种）， 从4个偶数中选2个的组合数为（种）， 选出的4个数的排列方式：用使得a和b一奇一偶、c和d一奇一偶总分配方式，减去a和b同为奇数或同为偶数的分配方式，即24−8＝16（种） 总取法数：10×6×16＝960（种） 因此，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有960种。 【点睛】本题核心是利用“奇数×奇数＝奇数”的性质，将问题转化为“选取2奇2偶并分配到两组‘一奇一偶’的和中”，需结合组合数（选数）、分配方式（分组）和排列数（组内顺序）综合计算。 12．下面是由5个完全一样的正方体方块摆在桌面上的样子，如果再添两个同样大小的正方体，使得从上面看形状不变，有( )种不同摆放方法。 【答案】10 【分析】 从上面看是这样的图形：，如果要添加两个同样大小的正方体，使得从上面看形状不变，只能从能看到的这四个正方形的上面任意添加，也就是说，2个正方体，放入四个位置，有几种不同方法，将两个正方体放在同一个正方体上面有4种摆法，将两个正方体分别放在不同的正方体上面，第一个正方体有4种选择，第二个正方体有3种选择，所以就是4×3＝12（种），因为两个正方体是一样的，所以再用12÷2＝6（种），去除重复摆法，最后用4＋6即可求出一共有多少种不同摆放方法。 【详解】将两个正方体放在同一个正方体上面有4种摆法， 将两个正方体分别放在不同的正方体上面有4×3÷2种摆法， 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（种） 4＋6＝10（种） 所以有10种不同摆放方法。 13．从奇奇、妙妙、聪聪和明明4人中挑选2人参加演讲比赛，有( )种不同的选法；如果指定妙妙一定参加，有( )种不同的选法。 【答案】 6 3 【分析】从奇奇、妙妙、聪聪和明明4人中挑选2人参加演讲比赛，第1个人有4种选择，第2个人有3种选择，因为选择两人没有顺序要求，所以用4×3再除以2去除重复的情况；如果指定妙妙一定参加，那剩下一人有3种选择。 【详解】4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（种） 所以从奇奇、妙妙、聪聪和明明4人中挑选2人参加演讲比赛，有6种不同的选法；如果指定妙妙一定参加，有3种不同选法。 14．用三张数字卡片，可以组成多少个不同的三位数？分别写出来。 【答案】6个；分别是436、463、346、364、643、634 【分析】一个三位数，从右往左依次为个位，十位，百位。要组成三位数，可将其中一个数字作为百位，其余两个数字分别作十位和个位，由此一一写出组成的数，确保不重复、不遗漏。并数出这些数的个数即可。 【详解】4为百位时，组成的数有：436、463； 3为百位时，组成的数有：346、364； 6为百位时，组成的数有：643、634。 答：可以组成6个不同的三位数，分别是436、463、346、364、643、634。 15．节日问好的方式多种多样，可以根据个人喜好和民俗文化来选择。小刚、小明和小强是好朋友。如果他们每两人之间通一次电话，一共要通多少次电话？如果他们互相寄一张节日贺卡，一共要寄多少张贺卡？ 【答案】3次；6张 【分析】（1）根据题意，每两人之间通一次电话，相当于每个人要与另外两人通一次电话，，但通话是两人之间进行了，所以要再除以2，即小刚和小明通一次电话，小刚和小强通一次电话，小明和小强通一次电话，一共要通3次电话； （2）如果他们互相寄一张节日贺卡，小刚寄给小明一张，小明寄给小刚一张，小刚寄给小强一张，小强寄给小刚一张，小明寄给小强一张，小强寄给小明一张，一共要寄6张贺卡。 【详解】（1）3×2÷2 ＝6÷2 ＝3（次） （2）2×3＝6（张） 答：一共要通3次电话，一共要寄6张贺卡。 16．用2，0，7这三个数字和小数点“.”可以组成多少个不同的小数？（每个数字都要用上并且只能用一次）。 【答案】10个 【分析】先分两种情况考虑：整数部分是一位数（小数部分两位）和整数部分是两位数（小数部分一位），分别列举所有可能的小数，再汇总总数。 【详解】整数部分是一位数的：0.27，0.72，2.07，2.70，7.20，7.02； 整数部分是两位数的：20.7，27.0，72.0，70.2。 答：可以组成10个不同的小数。 17．小明去公园旅游，爬26级天梯。他开始时以每步2级的步伐向上攀登，途中（至少走了1步但未到终点）因步伐不稳摔倒一次，后退了1级或2级，之后便以每步1级的步伐向上攀登，那么小明这次爬天梯的走法有多少种不同的可能？ 【答案】24种 【分析】这道题我们首先要确定摔倒之前的初始阶段按照每步2级的步数走，走的步数范围；接着判断后退1级或2级是否可行；最后用乘法原理计算总走法数。 【详解】（1）确定摔倒之前每步2级的步数可能的取值： 摔倒之前每步2级，至少走了1步，且未到终点（26级）。因为每步2级，走1步是2级，走2步是4级，……，走12步是24级，走13步是26级（到终点），所以摔倒之前步数可以是1步、2步、……、12步，共12种情况 （2）对每种摔倒之前的步数，判断后退1级或2级是否可行： 初始步数至少1步，后退1级后位置为21－1＝1级（非负），后退2级后位置为21－2＝0级（非负），所以每种初始步数对应2种后退方式。 （3）计算所有可能的走法总数： 摔倒之前有12种步数，每种步数对应2种后退方式，总走法数为初始步数的种数乘每种步数对应的后退方式数：122＝24（种）。 答：小明这次爬天梯的走法有24种不同的可能。 【点睛】这道题核心是先确定“初始每步2级的步数”的可能情况，再结合“后退级数”的选择，最后计算总走法数。 18．爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮。他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，且恰好有两次是连续投进的，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？ 【答案】56种 【分析】 投篮进球记为“”，不进球记为“”，连续两次进球记为“”。单独投进的既不能与连续投进的前一个位置相邻，也不与的后一个位置相邻，否则会有3次连续进球。一共有（10－3＝7）次。7次排列后之间及两端有8个间隔，如图：，需要将和插入8个间隔中，且不能插入同一个间隔。将插入第一个间隔，有7种插法，如图：、、、、、、。有8种插入方法，一共有（8×7）种插入方法。 【详解】10－3＝7（次） （7＋1）×7 ＝8×7 ＝56（种） 答：他投篮的过程有56种不同的情况。 【点睛】将连续投进视为一个整体，再与单独投进的情况组合排列。画图更加简洁易懂。 19．一个九位数的密码，个位上的数字是3，百位上的数字是个位上的3倍，任意相邻的三个数字的和是17。这个九位数的密码是多少？（要有推理及计算过程） 【答案】953953953 【分析】读题找到关键信息。根据“密码个位上的数字是3，百位上的数字是个位上的3倍”求出百位数字，根据“任意相邻的三个数字的和是17”确定其他数位上的数，并结合数位顺序表写数。 【详解】根据题意可知个位上的数字是3， 百位上的数字是个位上的3倍，所以百位上是3×3＝9， 又知任意相邻的三个数字的和是17，所以十位上的数字是17－9－3＝5， 千位上是17－9－5＝3， 万位上是17－3－9＝5， 十万位上是17－5－3＝9， 百万位上是17－9－5＝3， 千万位上是17－3－9＝5， 亿位上是17－5－3＝9， 所以这个数是953953953。 答：这个九位数的密码是953953953。 20．体操表演队为联络方便，设计了一种联系方式。一旦有事，先由教练同时通知两位队长，这两位队长再分别同时通知两名同学，依此类推，每人再同时通知两个人。如果每同时通知两个人共需1分钟，6分钟可以通知到多少名同学？ 【答案】126名 【分析】老师首先用1分钟通知两个队长，第二分钟由2个队长两人分别通知2个学生，现在通知的一共2＋2×2＝2＋4＝6个学生，第三分钟可以通知的一共4×2＋6＝8＋6＝14个学生，依此类推即可求解。 【详解】2＋4＋8＋16＋32＋64 ＝14＋16＋32＋64 ＝62＋64 ＝126（名） 答：6分钟可以通知到126名同学。 【点睛】明确已通知的学生人数再乘上2就是下一分钟要通知的学生人数是解决问题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $