第7单元 剪纸中的数学——分数加减法（一）（知识清单）数学青岛版五四制四年级下册

第7单元 剪纸中的数学——分数加减法（一） 知识清单 一、公因数与最大公因数 1.因数的意义 整数a除以整数b(b≠0)，商是整数且没有余数，就说b是a的因数 一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身 2.公因数的概念 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数 示例：8的因数有1,2,4,8；12的因数有1,2,3,4,6,12；8和12的公因数是1,2,4 3.最大公因数的意义 几个数的公因数中最大的那个数叫做这几个数的最大公因数 示例：8和12的最大公因数是4 4.求最大公因数的方法 列举法：列出每个数的因数，找出公有的因数，其中最大的就是最大公因数 短除法：用公有的质因数连续去除，直到商只有公因数1为止，把所有除数相乘 5.互质数的概念 公因数只有1的两个数叫做互质数 示例：3和5是互质数，8和9是互质数 6.最大公因数的应用 解决实际问题：如"把长24厘米、宽18厘米的长方形纸剪成边长是整厘米的正方形，正方形边长最大是多少" 二、公倍数和最小公倍数 1.倍数的意义 一个数乘以整数(0除外)所得的积都是这个数的倍数 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数 2.公倍数的概念 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 示例：4的倍数有4,8,12,16,20,24...；6的倍数有6,12,18,24...；4和6的公倍数是12,24... 3.最小公倍数的意义 几个数的公倍数中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数 示例：4和6的最小公倍数是12 4.求最小公倍数的方法 列举法：列出每个数的倍数，找出公有的倍数，其中最小的就是最小公倍数 短除法：用公有的质因数连续去除，直到商是互质数为止，把所有除数和商相乘 5.最小公倍数的应用 解决实际问题：如"有一些苹果，每4个装一盘或每6个装一盘都正好装完，这些苹果至少有多少个" 三、同分母分数加减法 1.分数加减法的意义 分数加法的意义：与整数加法的意义相同，是把两个数合并成一个数的运算 分数减法的意义：与整数减法的意义相同，是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算 2.同分母分数加法 计算法则：分母不变，分子相加 字母表示： （b≠0） 示例： 3.同分母分数减法 计算法则：分母不变，分子相减 字母表示： （b≠0，a>c） 示例： 4.结果的处理 计算结果能约分的要约成最简分数 分子是分母倍数的，要化成整数 示例： ， 5.同分母分数加减混合运算 运算顺序：与整数加减混合运算顺序相同，从左往右依次计算 有括号的先算括号里面的 示例： 四、分数和小数互化 1.分数化小数 方法：用分子除以分母 示例： ， 注意：除不尽时，根据需要按"四舍五入"法保留一定的小数位数 2.小数化分数 一位小数化成分母是10的分数： 两位小数化成分母是100的分数： 三位小数化成分母是1000的分数： 结果要化成最简分数 3.常见分数与小数的互化 ， ， ， ， ， ， ， ， 4.分数与小数大小比较 方法一：把分数化成小数后比较 方法二：把小数化成分数后比较 示例：比较 和0.8， ，所以 题型1：公因数与最大公因数 【例1】（如图）在图中填数。     【答案】见详解 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数； 先找出18、12的因数，再找出它们相同的因数，也就是18和12的公因数，据此解答。 【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6，18的因数有1、2、3、6、9、18； 12＝1×12＝2×6＝3×4，12的因数有1、2、3、4、6、12； 18和12的公因数有1、2、3、6； 如下图： 【练1】非零自然数a和b，若a＝5b，那么a和b的最大公因数是( )。 【答案】b 【分析】当两个非零自然数存在倍数关系时，两个数的最大公因数是较小的数。据此解答即可。 【详解】非零自然数a和b，若a＝5b，那么a和b的最大公因数是b。 题型2：用最大公因数解决实际问题 【例2】红花56朵，黄花42朵，用这两种花搭配成同样的花束，最多可以扎成多少束？ 【答案】14束 【分析】要求最多可以扎成多少束同样的花束，就是求56和42的最大公因数。因为每束花中红花和黄花的数量要分别是56和42的因数，且要保证扎的花束最多，所以就是求它们的最大公因数。 【详解】56分解质因数：56 ＝2×2×2×7 42分解质因数：42＝2×3×7 两个数的公有质因数是2和7 2×7＝14（束） 答：最多可以扎成14束。 【练2】把一张长是24厘米、宽是18厘米的长方形纸分成大小相同的正方形，且纸没有剩余。最少可以分成几个小正方形？ 【答案】12个 【分析】要分成大小相等的小正方形，且没有剩余，就是小正方形的边长是24和18的公因数，要求分的最少就是求24和18的最大公因数为小正方形的边长，然后用长方形纸的长和宽分别除以小正方形的边长，就是长方形纸的长边最少可以分几个，宽边最少可以分几个，最后把它们乘起来即可。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是2×3＝6 正方形的边长是6厘米。 （24÷6）×（18÷6） ＝4×3 ＝12（个） 答：把一张长是24厘米、宽是18厘米的长方形纸分成大小相同的正方形，且纸没有剩余。最少可以12个小正方形。 题型3：约分的认识及应用 【例3】利民超市一天营业总额中，水果类营业额占，蔬菜类营业额占，水果类比蔬菜类少占营业总额的( )，其他品类占营业总额的( )。 【答案】 【分析】用水果类营业额占营业总额的减去蔬菜类营业额占营业总额的，可算出果类比蔬菜类少占营业总额的几分之几，用1减水果类营业额占营业总额的再减去蔬菜类营业额占营业总额的可算出其它品类占营业总额的几分之几，再根据分数的性质化成最简分数。 【详解】 水果类比蔬菜类少占营业总额的； 其他品类占营业总额的。 【练3】据统计，周村区义务教育段在校人数约为2.98万人，其中，小学段在校人数约占。这里的不能与下面（    ）相当。 A． B．3个 C． 【答案】A 【分析】带分数化成假分数的方法：用整数乘分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变；3个就是；利用分数的基本性质，分子和分母同时除以同一个非零的数，分数的大小不变。据此解答。 【详解】A．； B．3个就是； C．。 故答案为：A 题型4：互质数的认识 【例4】如果一个比是最简单的整数比，那么这个比的前项和后项一定是（    ）。 A．质数 B．互质数 C．整数 D．自然数 【答案】B 【分析】最简整数比是比的前项和后项都是整数，且这两个整数的最大公因数是1，即这个比的前项和后项一定是互质数。 【详解】最简整数比的前项和后项一定是互质数。 故答案为：B 【练4】在2、3、4、5这四个数中，一共可以找出（    ）对互质数。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】公因数只有1的两个数，叫做互质数。一一列举出来再选择即可。 【详解】根据互质数的定义，可知2和3互质，2和5互质，3和4互质，3和5互质，4和5互质，一共可以找出5对互质数。 故答案为：B 题型5：最简分数 【例5】把下面各分数化成最简分数。                                  【答案】；； 【分析】可应用分数的基本性质，将每个分数的分子分母同时除以它们的最大公因数，即可约分成最简分数。 （1）分别除以分子和分母的最大公因数18； （2）分别除以分子和分母的最大公因数12； （3）分别除以分子和分母的最大公因数14。 【详解】（1） （2） （3） 【练5】在括号里填上最简分数。 30分＝( )小时        75厘米＝( )米       15秒＝( )分 125千克＝( )吨   40平方厘米＝( )平方分米   45分米＝( )米 【答案】 【分析】分数与除法的关系：a÷b＝（b≠0）；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。利用分数的基本性质可以将一个分数约分成最简分数。 （1）30分＝（      ）小时，小单位转化为大单位，需要除以它们之间的进率60。然后根据分数与除法的关系表示出结果并约分成最简分数即可。 （2）75厘米＝（      ）米，小单位转化为大单位，需要除以它们之间的进率100。然后根据分数与除法的关系表示出结果并约分成最简分数即可。 （3）15秒＝（      ）分，小单位转化为大单位，需要除以它们之间的进率60。然后根据分数与除法的关系表示出结果并约分成最简分数即可。 （4）125千克＝（      ）吨，小单位转化为大单位，需要除以它们之间的进率1000。然后根据分数与除法的关系表示出结果并约分成最简分数即可。 （5）40平方厘米＝（      ）平方分米，小单位转化为大单位，需要除以它们之间的进率100。然后根据分数与除法的关系表示出结果并约分成最简分数即可。 （6）45分米＝（      ）米，小单位转化为大单位，需要除以它们之间的进率10。然后根据分数与除法的关系表示出结果并约分成最简分数即可。 【详解】（1）30÷60＝＝，所以30分＝小时。 （2）75÷100＝＝，所以75厘米＝米。 （3）15÷60＝＝，所以15秒＝分。 （4）125÷1000＝＝，所以125千克＝吨。 （5）40÷100＝＝，所以40平方厘米＝平方分米。 （6）45÷10＝＝，所以45分米＝米。 30分＝小时；75厘米＝米；15秒＝分 125千克＝吨；40平方厘米＝平方分米；45分米＝米 题型6：同分母分数加、减法 【例6】计算。          【答案】；0； 【分析】同级运算从左往右依次计算即可，同分母的加减法：分母不变，分子相加，有1的把1看作分母和分子一样的分数即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝0 ＝ ＝ 【练6】直接写得数。                           【答案】；1；； ；；； 【解析】略 题型7：同分母分数加、减法的应用 【例7】为高质量实施“课间15分钟”行动，实验小学将活动场地进行合理规划。其中，篮球场地约占，足球场地约占，剩余的是自由活动场地。请根据以上信息，提出一个有价值的数学问题并解答。 【答案】 【分析】根据题意，将整个活动场地总面积看作单位“1”，已知篮球场地和足球场地分别占总面积的和，剩余部分为自由活动场地。因此，自由活动场地占总面积的比例可通过“1”减去两者之和计算得出。以此答题即可。 【详解】问题：自由活动场地约占总面积的几分之几。 答：自由活动场地约占总面积的。 【练7】一节数学课40分钟，学生动手做实验用了小时，老师讲课用了小时，其余的时间学生独立做作业。学生独立做作业用了多少小时？ 【答案】小时 【分析】1时＝60分，一节数学课40分钟，是小时。小时减去做实验用的小时，再减去老师讲课用的小时，即可算出学生独立做作业用了多少小时。 【详解】40分＝小时 －－ ＝－ ＝ ＝（小时） 答：学生独立做作业用了小时。 题型8：公倍数与最小公倍数 【例8】如果a÷b＝5（a、b均为非零自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】当两个整数成倍数关系时，较大的整数是这两个整数的最小公倍数，较小的整数是这两个整数的最大公因数；据此即可解答。 【详解】根据分析可知，如果a÷b＝5（a、b均为非零自然数），那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 【练8】用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和24                    21和28 【答案】8，48；7，84 【分析】短除法就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。 根据短除法求取最大公因数和最小公倍数，最大公因数是短除左侧所有质因数相乘，最小公倍数是所有公有质因数和独有质因数的乘积，据此作答。 【详解】根据上述分析可得：                          16和24的最大公因数：2×2×2＝4×2＝8。 16和24的最小公倍数：2×2×2×2×3＝4×2×2×3＝8×2×3＝16×3＝48。 21和28的最大公因数：7 21和28的最小公倍数：7×3×4＝21×4＝84。 所以16和24的最大公因数是8，最小公倍数是48。 21和28的最大公因数是7，最小公倍数是84。 题型9：用最小公倍数解决实际问题 【例9】实验小学参加合唱队的人数是50～60人，如果按照10人一组正好分完，如果按照15人一组也正好分完。实验小学参加合唱队的人数有多少人？ 【答案】60人 【分析】根据题意，按照10人一组正好分完，如果按照15人一组也正好分完，那么实验小学参加合唱的人数是10和15的公倍数；先求出10和15的最小公倍数，再求最小公倍数在50～60之间的倍数，就是实验小学参加合唱的人数。 【详解】10＝2×5 15＝3×5 10和15的最小公倍数是：2×3×5＝30 30×2＝60（人） 60在50～60之间，所以参加人数是60人。 答：实验小学参加合唱队的人数有60人。 【练9】学校欢庆“六一儿童节”，用若干张长30厘米，宽24厘米的长方形贴画，布置成一块正方形展板，展板的边长最小是多少厘米？至少需要多少张长方形贴画才能拼成？ 【答案】120厘米；20张 【分析】由题意得，用若干张长30厘米，宽24厘米的长方形贴画，布置成一块正方形展板，那么正方形展板的边长应该是30和24的公倍数。要使展板的边长最小，那么展板的边长应该是30和24的最小公倍数，可以用短除法先求出两个数的最小公倍数，也就是展板的边长。接着用展板的边长分别除以长方形贴画的长和宽，最后再把得数相乘即可算出至少需要多少张长方形贴画才能拼成正方形展板。 【详解】 2×3×5×4 ＝6×5×4 ＝30×4 ＝120 即30和24的最小公倍数是120，所以展板的边长最小是120厘米。 120÷30＝4（张） 120÷24＝5（张） 4×5＝20（张） 答：展板的边长最小是120厘米，至少需要20张长方形贴画才能拼成。 题型10：分数化小数 【例10】（填小数）。 【答案】16，30，8，0.75 【分析】根据分数与除法的关系，被除数相当于分子，除数相当于分母，3÷4＝，根据分数的基本性质，分子分母同时乘或除以一个数（0除外），分数不变。 根据商不变性质，被除数和除数同时扩大到原来的2倍，得到3÷4＝6÷8。 用分子除以分母，得到小数。 【详解】3÷4＝ 3÷4 ＝（3×2）÷（4×2） ＝6÷8 3÷4＝0.75 3÷4＝ 【练10】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )     2.35( )              ( )0.23 ( )      ( )7÷6      8000平方米( )7公顷    时( )40分 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＝ 【分析】（1）带分数可以化成假分数，假分数比1大，真分数比1小。据此解答。 （2）先把转化为假分数，然后再比较它们的大小。 （3）先把转化为小数，然后再比较它们的大小。 （4）先把转化为小数，然后再比较它们的大小。 （5）同分母分数比较大小，分子越大，分数就越大。 （6）先表示出7÷6的结果，然后再比较它们的大小。 （7）先把7公顷转化为多少平方米，然后再比较它们的大小。 （8）先把40分转化为多少小时，然后再比较它们的大小。 【详解】（1）是一个带分数，它比1大。是一个真分数，它比1小。所以＞。 （2）＝＝，所以两个分数相等。 （3）＝12÷5＝2.4。2.35＜2.4，所以2.35＜。 （4）＝0.1666…，0.1666…＜0.23，所以＜0.23。 （5）和比较大小，分母相同，分子11＜13，所以＜。 （6）7÷6＝。是一个假分数，它比1大。是一个真分数，它比1小。所以＜，即＜7÷6。 （7）1公顷＝10000平方米，所以7公顷＝70000平方米。8000平方米＜70000平方米，所以8000平方米＜7公顷。 （8）40÷60＝＝，所以40分＝小时。 ＞；＝；2.35＜；＜0.23 ＜；＜7÷6；8000平方米＜7公顷；小时＝40分 题型11：一位或多位小数化分数（约分） 【例11】把小数化成分数。（不是最简分数的，要化成最简分数） 0.4＝                   0.7＝                   0.375＝                   0.35＝ 0.15＝                  0.06＝                  0.08＝                    0.05＝ 【答案】见详解 【分析】小数化分数：一位小数、两位小数、三位小数可以直接化成分母是10、100、1000的分数。然后根据分数的基本性质将分数约分成最简分数即可。 【详解】0.4＝＝        0.7＝       0.375＝＝             0.35＝＝ 0.15＝＝       0.06＝＝      0.08＝＝    0.05＝＝ 0.4＝；0.7＝；0.375＝；0.35＝ 0.15＝；0.06＝；0.08＝；0.05＝ 【练11】一瞬间约秒，也就是( )秒（填小数），一刹那约0.018秒，也就是( )秒（填分数）。 【答案】 0.36 【分析】把分数转化为小数，需把分数的分子9作被除数，分母25作除数，即用分子除以分母进行计算即可；把小数0.018转化为分数，0.018为三位小数，将0.018的小数点去掉作分子，1000作分母，即表示为，再将分子、分母同时除以2化成最简分数即可。 【详解】 所以一瞬间约秒，也就是0.36秒； 所以一刹那约0.018秒，也就是秒。 1．王振体重50千克，比姐姐的体重多千克，则姐姐的体重是（    ）。 A．10千克 B．60千克 C．千克 D．千克 【答案】D 【分析】较大数－差＝较小数，王振体重－千克＝姐姐的体重，据此列式计算。 【详解】50－＝（千克） 姐姐的体重是千克。 故答案为：D 2．小明想要得到米长的绳子，下面说法不正确的是（    ）。 A．把1米长的绳子平均分成4份，取其中的3份 B．把4米长的绳子平均分成3份，取其中的1份 C．把3米长的绳子平均分成4份，取其中的1份 D．把12米长的绳子平均分成16份，取其中的1份 【答案】B 【分析】根据分数的意义，计算出所取部分的长度，逐一验证各选项是否符合米的实际长度，从而判断选项的正确性。 【详解】A．将1米平均分成4份，每份为1÷4＝米，取3份即为米。此选项正确。 B．将4米平均分成3份，每份为4÷3＝米，取1份为米，不等于米。此选项错误。 C．将3米平均分成4份，每份为3÷4＝米，取1份为米。此选项正确。 D．将12米平均分成16份，每份为12÷16＝米，取1份为米。此选项正确。 故答案为：B 3．青青的卧室地面是一个长4米、宽3.2米的长方形。要选用正方形瓷砖铺地面，从不浪费和美观两个角度考虑，要求用同型号、整块瓷砖（不切割）。选用下列哪种瓷砖最合适？（    ） A．边长5分米 B．边长6分米 C．边长8分米 D．边长1米 【答案】C 【分析】1米＝10分米，先把4米和3.2米转换成分米作单位，就是乘它们之间的进率10，也就是把小数点向右移动一位。然后再用短除法求这两个数的最大公因数即可。 【详解】4米＝40分米 3.2米＝32分米 40和32的最大公因数是：2×2×2＝4×2＝8。 所以，从不浪费和美观两个角度考虑，选用8分米瓷砖最合适。 故答案为：C 4．小刚家的厨房长30分米，宽24分米，铺地板砖选择边长（    ）分米的正方形地板砖不用切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】求选择边长是多少分米的正方形地板砖比较合适，只要边长是24和30的公因数即可，由此解答即可。 【详解】30＝2×3×5，24＝2×2×2×3 在4、5、6、8这四个数中，只有6是24和30的公因数，所以选择边长是6分米的正方形地板砖不用切割。 故答案为：C 5．一满杯牛奶，贝贝先喝了杯，然后加满水，又喝了一杯的，再加满水，最后把一整杯都喝了。贝贝喝的牛奶多还是水多？（    ） A．牛奶多 B．水多 C．一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】由于是一满杯牛奶，中间只加水，没有加牛奶，最后整杯喝完，正好喝了一杯牛奶。 把这个杯子的容量看作单位是“1”，第一次喝了杯，然后加满水，则水加了杯；第二次又喝了一杯的，再加满水，则水又加了杯；最后把一整杯都喝了，那么水喝了（＋）杯，求出喝水的量，再与喝牛奶的量作比较，得出结论。 【详解】喝牛奶：1杯 喝水：＋＝1（杯） 贝贝喝的牛奶和水一样多。 故答案为：C 【点睛】明白两次加水的量就是喝水的量，求出喝水的量是解题的关键。 6．小林收集的邮票不超过100张，邮票的张数既是3的倍数，也是5的倍数。小林的邮票最少是( )张，最多是( )张。 【答案】 15 90 【分析】因为邮票的张数既是3的倍数，也是5的倍数，所以邮票张数是3和5的公倍数。3和5是互质数，它们的最小公倍数就是它们的乘积，即3×5＝15，所以小林的邮票最少是15张。由于邮票不超过100张，我们要找100以内3和5的最大公倍数。先找出100以内3和5的公倍数有15、30、45、60、75、90，所以最多是90张。 【详解】通过分析可知，小林的邮票最少是15张，最多是90张。 7．在（    ）填上最简分数。 60厘米＝( )米        9公顷＝( )平方千米 42秒＝( )分        750千克＝( )吨 【答案】 【分析】根据题意，明确单位间的进率，1米＝100厘米，1平方千米＝100公顷，1分＝60秒，1000千克＝1吨，高级单位转化成低级单位，乘它们之间的进率；低级单位转化成高级单位，除以它们之间的进率。分数与除法的关系：；约分：用分子和分母的最大公因数去除分数的分子和分母，可将分数化成“最简分数”；据此解答。 【详解】根据分析可知： 1米＝100厘米，60÷100＝，60厘米＝米             1平方千米＝100公顷，9÷100＝，9公顷＝平方千米   1分＝60秒，42÷60＝，42秒＝分              1000千克＝1吨，750÷1000＝，750千克＝吨 8．非零自然数a和b，如果a＝6b，那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】根据题意，a＝6b，即a÷b＝6，说明a和b是倍数关系，且a＞b，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】非零自然数a和b，如果a＝6b，那么a和b的最大公因数是b，a和b的最小公倍数是a。 9．有45面同样大小的红、黄、绿色小旗，按1面红旗、2面黄旗、3面绿旗的顺序排列。绿旗占小旗总数的( )。 【答案】 【分析】根据题意，小旗的排列顺序是固定的：1面红旗、2面黄旗、3面绿旗，重复循环。每组循环共有1＋2＋3＝6（面）。每组循环中有3面绿旗。总共有45面小旗。用45除以6，求出商7（组）。就是完整循环的组数，余数是3，按照顺序排列：第1面是红旗，第2面是黄旗，第3面是黄旗（即没有绿旗）。绿旗只存在于完整的7组循环中，用7乘3，计算出绿旗的数量是21面；绿旗占小旗总数的，根据分数的基本性质，化简即可。 【详解】根据分析可知： 1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6（面） 45÷6＝7（组）3（面） 7×3＝21（面） 有45面同样大小的红、黄、绿色小旗，按1面红旗、2面黄旗、3面绿旗的顺序排列。绿旗占小旗总数的。 10．72名女生和48名男生分组活动，每个小组分得的男生同样多、女生同样多（都正好分完，没有剩余）。最多能分成( )个小组。 【答案】24 【分析】每个小组分得的男生同样多、女生同样多（都正好分完，没有剩余），由此可知组数是72的因数，同时也是48的因数，因为要使组数最多，所以组数是72与48的最大公因数，哪两个自然数的积是72，那么这两个数就是72的因数，同理找出48的因数，接着用列举法将72、48的因数列举出来，找出最大公因数即可。 【详解】72的因数有：1、72、2、36、3、24、4、18、6、12、8、9。 48的因数有：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 72与48的最大公因数是24。 最多能分成24组。 11．某小学四年级学生举行合唱比赛，同学们分成6人一组，8人一组或9人一组排队，都恰好分完，参加合唱的至少( )人。 【答案】72 【分析】参加合唱的至少有多少学生，即求6、8、9三个数的最小公倍数，由此解答即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 9＝3×3 则6、8、9三个数的最小公倍数是：2×2×2×3×3＝72 同学们分成6人一组，8人一组或9人一组排队，都恰好分完，参加合唱的至少72人。 12．是( )个，再添( )个这样的单位就是最小的质数。 【答案】 11 19 【分析】判定一个数的分数单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一；最小的质数是2，用2减去原分数的结果，再看有几个分数单位即可解答。 【详解】的分母是15，所以分数单位是，有11个这样的分数单位，也就是11个；最小的质数是2，＝，所以要再添加19个这样的分数单位就是最小的质数。 13．分数的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加( )个这样的分数单位等于3。 【答案】 9 3 【分析】根据题意，分数的单位由分母决定，分母是4，所以分数单位是。分子是9，说明由9个组成。根据分数的意义，3可以表示为，，因此需要再加3个。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 分数的分数单位是，它有9个这样的分数单位，再加3个这样的分数单位等于3。 14．直接写得数。                                      3÷12＝                                     【答案】；；； ；1；1； 【详解】略 15．脱式计算。                  【答案】1；； 【分析】同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。 （1），把2化成，再从左往右依次计算。 （2），先算减法，再算加法。 （3），从左往右依次计算。 【详解】（1）       ＝ ＝ ＝ ＝1 （2）      ＝    ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ 16．用短除法求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18    16和48    5和13 【答案】6、72；16、48；1、65 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，用两个数的公因数去除，除到所得的商只有公因数1为止；把所有除数连乘起来，结果就是这两个数的最大公因数；把所有除数和商连乘起来，结果就是这两个数的最小公倍数。据此解答。 【详解】24和18 24和18的最大公因数是：2×3＝6； 24和18的最小公倍数是：2×3×4×3＝72。 16和48 16和48的最大公因数是：2×2×2×2＝16； 16和48的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48。 5和13 5和13的最大公因数是：1； 5和13的最小公倍数是：5×13＝65。 17．修路队第一天修了全长的，第二天比第一天多修了全长的。两天一共修了全长的几分之几？ 【答案】 【分析】将公路全长看作单位“1”，先计算第二天修的长度，即用第一天修的长度加上多修的，再将两天修的长度相加，最后根据分数的基本性质化简分数。 【详解】 答：两天一共修了全长的。 18．一本连环画21页，一本故事书105页，故事书的页数是连环画页数的几倍？连环画的页数是故事书页数的几分之几？ 【答案】5倍； 【分析】求故事书的页数是连环画页数的几倍，用故事书的页数除以连环画的页数； 求连环画的页数是故事书页数的几分之几，用连环画的页数除以故事书的页数，结果用最简分数表示。 【详解】105÷21＝5 21÷105＝ 答：故事书的页数是连环画页数的5倍，连环画的页数是故事书页数的。 19．王老师买了32支笔和24本笔记本，平均奖励给班里的“三好学生”，刚好全部奖完。王老师班里最多有多少名“三好学生”？每人奖励几支笔和几本笔记本？ 【答案】8名；4支；3本 【分析】求出笔和笔记本数量的最大公因数，就是最多有多少名“三好学生”。再用笔和笔记本的总数分别除以人数，就是每人奖励几支笔和几本笔记本。 【详解】32＝2×2×2×2×2 24＝2×2×2×3 2×2×2＝8（名） 32÷8＝4（支） 24÷8＝3（本） 答：最多有8名“三好学生”。每人奖励4支笔和3本笔记本。 20．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木。”永乐小学在植树节期间组织65名学生参加植树活动。其中四年级占，比三年级多占总人数的，其余是五年级学生。三年级和四年级参加植树的学生共占植树总人数的几分之几？ 【答案】 【分析】根据题意可知，用四年级占，比三年级多，因此可用减法计算出三年级的人数占总人数的几分之几，然后将三年级和四年级占总人数的几分之几相加即可解答。 【详解】－＝ ＋＝ 答：三年级和四年级参加植树的学生共占植树总人数的。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7单元 剪纸中的数学——分数加减法（一） 知识清单 一、公因数与最大公因数 1.因数的意义 整数a除以整数b(b≠0)，商是整数且没有余数，就说b是a的因数 一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身 2.公因数的概念 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数 示例：8的因数有1,2,4,8；12的因数有1,2,3,4,6,12；8和12的公因数是1,2,4 3.最大公因数的意义 几个数的公因数中最大的那个数叫做这几个数的最大公因数 示例：8和12的最大公因数是4 4.求最大公因数的方法 列举法：列出每个数的因数，找出公有的因数，其中最大的就是最大公因数 短除法：用公有的质因数连续去除，直到商只有公因数1为止，把所有除数相乘 5.互质数的概念 公因数只有1的两个数叫做互质数 示例：3和5是互质数，8和9是互质数 6.最大公因数的应用 解决实际问题：如"把长24厘米、宽18厘米的长方形纸剪成边长是整厘米的正方形，正方形边长最大是多少" 二、公倍数和最小公倍数 1.倍数的意义 一个数乘以整数(0除外)所得的积都是这个数的倍数 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数 2.公倍数的概念 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 示例：4的倍数有4,8,12,16,20,24...；6的倍数有6,12,18,24...；4和6的公倍数是12,24... 3.最小公倍数的意义 几个数的公倍数中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数 示例：4和6的最小公倍数是12 4.求最小公倍数的方法 列举法：列出每个数的倍数，找出公有的倍数，其中最小的就是最小公倍数 短除法：用公有的质因数连续去除，直到商是互质数为止，把所有除数和商相乘 5.最小公倍数的应用 解决实际问题：如"有一些苹果，每4个装一盘或每6个装一盘都正好装完，这些苹果至少有多少个" 三、同分母分数加减法 1.分数加减法的意义 分数加法的意义：与整数加法的意义相同，是把两个数合并成一个数的运算 分数减法的意义：与整数减法的意义相同，是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算 2.同分母分数加法 计算法则：分母不变，分子相加 字母表示： （b≠0） 示例： 3.同分母分数减法 计算法则：分母不变，分子相减 字母表示： （b≠0，a>c） 示例： 4.结果的处理 计算结果能约分的要约成最简分数 分子是分母倍数的，要化成整数 示例： ， 5.同分母分数加减混合运算 运算顺序：与整数加减混合运算顺序相同，从左往右依次计算 有括号的先算括号里面的 示例： 四、分数和小数互化 1.分数化小数 方法：用分子除以分母 示例： ， 注意：除不尽时，根据需要按"四舍五入"法保留一定的小数位数 2.小数化分数 一位小数化成分母是10的分数： 两位小数化成分母是100的分数： 三位小数化成分母是1000的分数： 结果要化成最简分数 3.常见分数与小数的互化 ， ， ， ， ， ， ， ， 4.分数与小数大小比较 方法一：把分数化成小数后比较 方法二：把小数化成分数后比较 示例：比较 和0.8， ，所以 题型1：公因数与最大公因数 【例1】（如图）在图中填数。     【练1】非零自然数a和b，若a＝5b，那么a和b的最大公因数是( )。 题型2：用最大公因数解决实际问题 【例2】红花56朵，黄花42朵，用这两种花搭配成同样的花束，最多可以扎成多少束？ 【练2】把一张长是24厘米、宽是18厘米的长方形纸分成大小相同的正方形，且纸没有剩余。最少可以分成几个小正方形？ 题型3：约分的认识及应用 【例3】利民超市一天营业总额中，水果类营业额占，蔬菜类营业额占，水果类比蔬菜类少占营业总额的( )，其他品类占营业总额的( )。 【练3】据统计，周村区义务教育段在校人数约为2.98万人，其中，小学段在校人数约占。这里的不能与下面（    ）相当。 A． B．3个 C． 题型4：互质数的认识 【例4】如果一个比是最简单的整数比，那么这个比的前项和后项一定是（    ）。 A．质数 B．互质数 C．整数 D．自然数 【练4】在2、3、4、5这四个数中，一共可以找出（    ）对互质数。 A．4 B．5 C．6 题型5：最简分数 【例5】把下面各分数化成最简分数。                                  【练5】在括号里填上最简分数。 30分＝( )小时        75厘米＝( )米       15秒＝( )分 125千克＝( )吨   40平方厘米＝( )平方分米   45分米＝( )米 题型6：同分母分数加、减法 【例6】计算。          【练6】直接写得数。                           题型7：同分母分数加、减法的应用 【例7】为高质量实施“课间15分钟”行动，实验小学将活动场地进行合理规划。其中，篮球场地约占，足球场地约占，剩余的是自由活动场地。请根据以上信息，提出一个有价值的数学问题并解答。 【练7】一节数学课40分钟，学生动手做实验用了小时，老师讲课用了小时，其余的时间学生独立做作业。学生独立做作业用了多少小时？ 题型8：公倍数与最小公倍数 【例8】如果a÷b＝5（a、b均为非零自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【练8】用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和24                    21和28 题型9：用最小公倍数解决实际问题 【例9】实验小学参加合唱队的人数是50～60人，如果按照10人一组正好分完，如果按照15人一组也正好分完。实验小学参加合唱队的人数有多少人？ 【练9】学校欢庆“六一儿童节”，用若干张长30厘米，宽24厘米的长方形贴画，布置成一块正方形展板，展板的边长最小是多少厘米？至少需要多少张长方形贴画才能拼成？ 题型10：分数化小数 【例10】（填小数）。 【练10】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )     2.35( )              ( )0.23 ( )      ( )7÷6      8000平方米( )7公顷    时( )40分 题型11：一位或多位小数化分数（约分） 【例11】把小数化成分数。（不是最简分数的，要化成最简分数） 0.4＝                   0.7＝                   0.375＝                   0.35＝ 0.15＝                  0.06＝                  0.08＝                    0.05＝ 【练11】一瞬间约秒，也就是( )秒（填小数），一刹那约0.018秒，也就是( )秒（填分数）。 1．王振体重50千克，比姐姐的体重多千克，则姐姐的体重是（    ）。 A．10千克 B．60千克 C．千克 D．千克 2．小明想要得到米长的绳子，下面说法不正确的是（    ）。 A．把1米长的绳子平均分成4份，取其中的3份 B．把4米长的绳子平均分成3份，取其中的1份 C．把3米长的绳子平均分成4份，取其中的1份 D．把12米长的绳子平均分成16份，取其中的1份 3．青青的卧室地面是一个长4米、宽3.2米的长方形。要选用正方形瓷砖铺地面，从不浪费和美观两个角度考虑，要求用同型号、整块瓷砖（不切割）。选用下列哪种瓷砖最合适？（    ） A．边长5分米 B．边长6分米 C．边长8分米 D．边长1米 4．小刚家的厨房长30分米，宽24分米，铺地板砖选择边长（    ）分米的正方形地板砖不用切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 5．一满杯牛奶，贝贝先喝了杯，然后加满水，又喝了一杯的，再加满水，最后把一整杯都喝了。贝贝喝的牛奶多还是水多？（    ） A．牛奶多 B．水多 C．一样多 D．无法确定 6．小林收集的邮票不超过100张，邮票的张数既是3的倍数，也是5的倍数。小林的邮票最少是( )张，最多是( )张。 7．在（    ）填上最简分数。 60厘米＝( )米        9公顷＝( )平方千米 42秒＝( )分        750千克＝( )吨 8．非零自然数a和b，如果a＝6b，那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 9．有45面同样大小的红、黄、绿色小旗，按1面红旗、2面黄旗、3面绿旗的顺序排列。绿旗占小旗总数的( )。 10．72名女生和48名男生分组活动，每个小组分得的男生同样多、女生同样多（都正好分完，没有剩余）。最多能分成( )个小组。 11．某小学四年级学生举行合唱比赛，同学们分成6人一组，8人一组或9人一组排队，都恰好分完，参加合唱的至少( )人。 12．是( )个，再添( )个这样的单位就是最小的质数。 13．分数的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加( )个这样的分数单位等于3。 14．直接写得数。                                      3÷12＝                                     15．脱式计算。                  16．用短除法求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18    16和48    5和13 17．修路队第一天修了全长的，第二天比第一天多修了全长的。两天一共修了全长的几分之几？ 18．一本连环画21页，一本故事书105页，故事书的页数是连环画页数的几倍？连环画的页数是故事书页数的几分之几？ 19．王老师买了32支笔和24本笔记本，平均奖励给班里的“三好学生”，刚好全部奖完。王老师班里最多有多少名“三好学生”？每人奖励几支笔和几本笔记本？ 20．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木。”永乐小学在植树节期间组织65名学生参加植树活动。其中四年级占，比三年级多占总人数的，其余是五年级学生。三年级和四年级参加植树的学生共占植树总人数的几分之几？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $