题号猜押12 中考数学23题几何综合压轴题（解答题）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押12 中考数学23题几何综合题（解答题） 考点1 四边形综合压轴题题 1．（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点分别作的平行线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． ②借鉴第（2）①问的方法，过点作的平行线，构造相似三角形求解． 【详解】（1）证明：如图，作，， 是的角平分线， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ． （2）①解：如图所示,过点分别作的垂线，交于点，交于点， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ②解: 如图，作，作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用已知条件作辅助线，构造全等或相似三角形，解题关键是找到破题点，作辅助线，再利用全等或相似求解． 2．（2026·安徽马鞍山·二模）点A，点B是两个距离为的小区．现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度沿着不同的路线从A走到B． (1)如图1，甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是____．如图2，图①、图②、图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着的折线路线行走，则乙同学运动的路线长为______． (2)如图3，图①、图②、图③、…、图是n个等边三角形，丙同学沿着的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③…、图是m个半圆，丁同学沿着的曲线路线行走，则丙同学与丁同学谁先到达点B．请通过计算说明理由．（） (3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境．政府决定在A，B两个小区附近的空地修建公园（长方形），并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物．已知图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，请求图④的面积． 【答案】(1)两点之间，线段最短；600 (2)丁同学先到达点B，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”即可解答；根据等边三角形的性质即可求出乙同学运动的路线长； （2）分别求出丙同学和丁同学行走的路程，再比较二者的大小即可得出结论； （3）根据长方形与三角形之间的面积关系得到，再结合“图③的面积比图④的面积大”列出方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是“两点之间，线段最短”； 三个等边三角形的底边长度之和刚好等于的长度， 等边三角形的三条边长度相等，乙走的折线每一段都等于对应等边三角形的边长， 所以总长度是长度，即， 所以乙同学运动的路线长为． （2）解：丁同学先到达点B，理由如下： 计算丙同学的路程：n个等边三角形的底边长度之和为， 丙同学走的折线总长度为， 计算丁同学的路程：m个半圆的直径长度之和为， 丁同学走的曲线总长度为， ∵，且丙同学和丁同学的速度相同， ∴丁同学先到达点B． （3）解：如图5， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大， ∴， ∴， 即图④的面积为． 3．（2026·安徽六安·二模）如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到； （2）证明，根据得到，进而得到，进而得到，根据得到，可证； （3）延长交的延长线于点，证明，进而得到，证明，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例得到，进而得到，则，，证明，则． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， 点，是，的中点， ， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ， ， ， 由得，， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交的延长线于点． ∵， ∴， ∴， 即， ∴ ，，， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ． 4．（2026·湖北·一模）如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． (1)在图1中，连接，，求证：； (2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点． ①求证：平分； ②直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）由旋转得，，，所以可证，即可求证； （2）过点作，垂足为，先证明四边形是矩形，再证明，即可求解； （3）①延长交于点，连接，，设交于点，先证明，，由外角的性质得出，再由三角形内角和定理得出，即可求证； ②先证明垂直平分，再证明，求出的值，接着证明，求出的值，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴由勾股定理得． 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图1，过点作，垂足为，则， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转得：，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：①如图2，延长交于点，连接，，设交于点，交于点， 由旋转得，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 即，∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②答案：． 解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴为的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键熟练掌握基本图形和基本推理． 5．（2026·安徽马鞍山·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证四边形与四边形关于对称，得到,,又因为,所以，结合，即可证明； （2）过点F作于点H，根据垂直平分，易得，再根据，有，得到，证明，根据对应边成比例，求出结果； （3）过点N作的垂线，垂足为I，设，在中求出，再利用，得出；由，得到，由，求出，在，根据勾股定理，即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 垂直平分， 关于对称， 关于对称， 四边形与四边形关于对称， ， ， ， ， ． （2）解：过点F作于点H，如下图： 易证四边形为矩形，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：过点N作的垂线，垂足为I，如下图： 设，则， 垂直平分 ， 在中， 即． ， ， ． ， ∴， ∴， ， 与关于对称， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 考点2圆综合压轴题 6．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的直径，是的切线，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径 (3)连接，在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）连接，证明，利用等腰三角形和外角性质得到． （2）连接交于点，根据第一问证明结果得到，进而得到是中位线从而求出，分别在中，根据勾股定理列出关系式来求解． （3）过点作交延长线于点，再分别证明，，即可根据相似比求出对应线段，最后在中求出． 【详解】（1）如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图，连接交于点， 为直径， ， ， ， ， 为半径， ， 又， 是的中位线， ， 设的半径为， 在中，， ， ， 即， 解得：或（舍去）， 的半径为3． （3）如图，过点作交延长线于点， ，， ， 又 ， 又， ， ， 又， ， ， ∴， ， ， 在中，， 即． 7．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，已知，正方形内接于以对角线为直径的．点E在劣弧上，连接并延长至点F，使得，连接，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究，发现与证明：是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)存在，当，时，成立，理由见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关性质和切线的判定，正方形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，理解题意，构造出合适的辅助线． （1）根据正方形的性质可得，，再根据同弧所对的圆周角相等，即可求解； （2）根据直径所对的圆周角为可得，，根据等量代换可得，，即可求证； （3）作，可以得到为等腰直角三角形，，再将进行平方，通过等量代换可得，同理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形内接于以为直径的， ∴，， 由题意可得，点都在上，， ∴； （2）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵为半径， ∴是的切线； （3）解：存在，当，时，成立，理由如下： 作， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 作，连接，如下图： 同理可证，为等腰直角三角形，， 得到，， ， 由题意可得，，，， ∴， ∴． 8．（2026·河北保定·二模）如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆． (1)若． ①当时，的度数为______； ②当P是的中点时，求的长； (2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长． 【答案】(1)①；② (2)当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到， ①由垂直关系得到，利用三角形内角和计算即可； ②根据已知的线段长，推出，从而得到是等边三角形，根据这个条件，求出此时的半径，和所对圆周角是求解即可； （2）分情况讨论，利用，过点A作的垂线，通过三角函数值设参，利用图中的平行线找到相等角，从而得到相似三角形，最后用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：①在平行四边形中，， ∴， 当时，， ∴； ②∵P是的中点， ∴， 又由（1），得， ∴是等边三角形， ∴， 如解图①，连接，，过点O作于点E， ∵，， ∴，， ∴， ∴的长为； （2）解：分两种情况， 第一种：当与边所在直线相切时，A是切点，如解图②，连接并延长，交于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由垂径定理，可知， ∵， ∴， 设，则， 由，得， ∴，， ∴； 第二种：当与所在直线相切时，如解图③，设切点为Q，连接并延长，交于点N，过点A作于点H，连接，， 同第一种情况，可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得，即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上，当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为． 9．（2026·河北保定·一模）如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接． (1)求的度数； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的长； (3)求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)，点与点之间的距离为 【分析】--（1）由菱形性质可知平分，故点M到AD的距离等于点M到CD的距离．结合即可得出，由此求出即可求解； （2）根据（1）可求，进而可得，再解三角形求出， （3）在中，，由此得出当最大时，最大，即扇形MPQ的面积最大，当点P与点B重合时，最大，即扇形的面积最大由此解题． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴平分． ∵点在上， ∴点到的距离等于点M到的距离． ∵， ∴点到的距离等于的长． ∵， ∴为点到的距离， ∴． ∵，∴． 在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：设， 由（1）得， ∴扇形的面积为． ∵，∴当r最大时，扇形的面积最大． ∵在中，， ∴当最大时，最大，即扇形的面积最大， ∴如解图②，当点与点重合时，最大，即扇形的面积最大． ∵， ∴． ∵，∴，解得， ∴，． 在中，， ∴此时点与点重合，， ∴扇形面积的最大值为， 此时点与点之间的距离为． 【点睛】性质转化：第（1）问的关键在于将“菱形对角线平分角”转化为“点到两边距离相等”，从而证明垂直关系，这是解决此类几何证明题的常用突破口． 2．三角函数法：第（2）问直接利用菱形的特殊角度（， ）及三角函数值（ ）进行计算，比纯几何法更为简洁高效． 3．函数与方程思想：第（3）问是典型的最值问题，核心策略是“以静制动”．将动态的扇形面积转化为半径 的函数，再将 与线段 建立关系，最后利用几何位置的极限状态（ 与 重合）建立方程求解，体现了数形结合与方程思想的完美结合． 10．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，以为直径的过线段的中点，连接，过点作于点．若点是上与点位于异侧的一个动点（），连接，，过点作交于点，，交于点． (1)的长度是___________； (2)求证：直线是的切线； (3)请探究在点的运动过程中，的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)不变，16 【分析】（1）由圆周角定理可得，即，再结合题意得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可得出结果； （2）连接，证明是的中位线，得出，从而可得，即可得证； （3）过点作于点，过点作于点，则，证明，得出，再证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，最后证明得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，即， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的长度是4； （2）证明：连接，如图： ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线 ， ，即， 是的半径，且， 直线是的切线． （3）解：的值是定值16．理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点， 则， 是的直径， 又， ， ，即， 同理可得， ，即， ，， 四边形是平行四边形，， ， 在和中， ， ， ， 又，且， ． 【点睛】直径所对的圆周角是直角；相似三角形的对应边成比例 考点3 几何动点问题压轴题 11．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接．动点P满足，交x轴于点C． (1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，的长为 ； (2)当动点P在线段的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求的值； (3)当动点P在直线上时，点D是直线与直线的交点，点E是直线与y轴的交点．若，，求的值． 【答案】(1)4 (2)的值为 (3)的值为或 【分析】本题考查了直线与几何综合，涉及正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）易得点P的坐标是，即可得到的长． （2）过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N．先利用题中条件证明四边形为正方形， 可得，再证明，得到，再求的值． （3）可分点P在线段的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．过点P作轴，垂足为M， 作轴，垂足为N，通过证明，推出，设， 只需用含x的代数式表示出、的长，即可求出的值． 【详解】（1）点P与点B重合，点B的坐标是， 点P的坐标是． 又平行于轴， 的长为4． 故答案为：4． （2），理由如下： 过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N． 点A的纵坐标与点B的横坐标相等， ． ， ． 又， ． 轴，轴， ， ， 四边形为矩形， 又， ， 四边形为正方形， ，， ， 又， 在和中， ， ， ． 的值为． （3）①若点P在线段的延长线上，过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N， 与直线的交点为F，如图2所示． ，， ， ， ，，， ， ，， 轴， ， ，， M，F分别为，的中点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ； ②若点P在线段的反向延长线上，过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N， 与直线的交点为F，如图3所示． 设，同理可得：，，， ， ， 综上所述，的值为或． 12．（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下： (1)【观察发现】 如图1，在等边中，，，E，F分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． ∵在等边中，，， ∴点为边上的中点，． ∴． 过点作，使，连接， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 连接，，当三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接， 证明过程缺失 ∴四边形是矩形． ∴． 【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形为矩形的过程； ②结合上述探究过程可知的最小值为 ． (2)【类比应用】 如图2，已知正方形的边长为12，O为对角线的交点，M，N分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】 如图3，矩形中，，，是的中点，F，G分别是和上的动点，且总有，则的最小值为 ． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证； ②求出即可； （2）过点作，使，连接，，先得出，则当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长，再利用勾股定理求解即可； （3）延长到点，使，连接，，先证明，可得，则当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ②由上已证：四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为， 又∵， ∴的最小值为． （2）解：如图，过点作，使，连接，， ∵正方形的边长为12， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长， 如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． （3）解：如图，延长到点，使，连接，． ∵矩形中，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 13．（2026·海南海口·一模）综合应用 【问题发现】 (1)如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：； 【类比探究】 (2)如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 (3)如图，在（）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（）利用正方形和余角性质可证，，，进而即可求证； （）同理（）可证，再利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义解答即可求解； （）由（）可得，得 ，由直角三角形的性质得，即得，得到，得，即得到，再分在线段上和线段的延长线上两种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴， 解得或(不合题意，舍去)； 当在线段的延长线上时，如图， 则， ∵， ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)或； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处． (1)如图1，已知折痕与边交于点，连接．若与的面积比为，求边的长． (2)如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．试问当动点在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段的长度． 【答案】(1)10 (2)当点M、N在移动过程中，线段的长度不变，长度为 【分析】（1）由折叠的性质可得，，证明得到，，则可求出；设，则，．由勾股定理得，解方程即可得到的长，根据即可得到答案； （2）作，交于点Q，证明，再证得，得到，，由（1）中结论求得的长就可以求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵与的面积比为， ∴， ∴， ∴； 设，则，． 在中，由勾股定理得， ∴． 解得． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：线段的长度不变． 过点M作，交于点Q，如图2． ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴， ∴． ∴． 由（1）中的结论可得：，，． ∴． ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度不变，长度为． 15．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)的长为或 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【详解】（1）解： 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （2）， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 （3）的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 考点4 几何折叠问题压轴题 16．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 17．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到，再证明即可； （2）证明，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）当时，可得四边形是矩形，则，然后可得 为等腰直角三角形，则；当时，连接，过点作于点，先得到三点共线，求出，则，再证明，设，则，根据相似三角形的性质求解，最后由勾股定理求解得到． 【详解】（1）证明：连接，如图②： 由第一次折叠可得，， ∵四边形是矩形， ∴ 由第二次折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图③： 由②得，， ∴ ∵矩形， ∴，， ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∴ ∵矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，平分 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，连接，过点作于点， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， 同上可证明四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， 由（1）得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得 ∴， 综上：当为直角三角形时，则的长为或． 18．（2026·河北沧州·二模）综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．． [探究] (1)通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为（填“”或“”）； (2)在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明与哪个是较长边； ②若连接、，直接写出四边形的形状（不说理由）； [拓展]在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． (3)如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点的对应点能否落在边上，说明理由； (4)如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边、分别交于、两点．当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析，是较长边；②菱形 (3)点的对应点能落在边上，理由见解析 (4)或 【分析】（1）由图易知，进而可得； （2）①利用尺规作图，作的垂直平分线即可；②根据题意可得，，再证，进而得到即可得到四边形为菱形； （3）过点作，证得即可求解； （4）分两种情况：当在左侧时，设与相交于点，，再证，得到，解出，再根据即可求解；当在右侧时，延长相交于点，设与相交于点，，可证，则，即，解出即可． 【详解】（1）解：由翻折可知，又， ； （2）解：①折痕如图所示： 连接，由折叠的性质可得， ，即， 在中，， ， 是较长边； ②设与相交于点， 同理由折叠的性质可知，且， 又， ， ， ， ， 四边形为菱形； （3）解：点的对应点能落在边上． 理由：过点作， 可得四边形为矩形， ， ， 在中， ， ， ， 又， ， ， 点的对应点能落在边上； （4）解：当在左侧时，设与相交于点， 由翻折可知，，，不妨设， ，解得：， ， 又， ， ，即，解得， ，解得， ； 当在右侧时，延长相交于点，设与相交于点， 由翻折可知， 设，则， ，解得:， ， 又，， ， ，即，解得:， ； 综上，的长为或． 19．（2026·河南·二模）有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）由折叠可知，由平行的性质可得，即，进而得到即可证明； （2）①同理可证为菱形，再证，，进而得到； ②延长交于，当时，可证与重合，进而得到，则四边形是矩形． 【详解】（1）解：是，理由如下， 由折叠的性质可知，， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， , ， ， 四边形为菱形； （2）①当时，， 同理可证四边形为菱形， ， 由折叠可知，， ， 又，则，即， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ②的边满足条件时，四边形是矩形， 延长交于， 由①知时，， ， ， ， ，则， 又， ， 又， 与重合， 由折叠可知， 又， ，又， 则四边形是矩形． 20．（2026·湖北黄冈·二模）解决下列问题 【问题初探】 (1)如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为延长线上一点，且，延长交于于点H．求证：，． 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形中，，，点E是边的中点，F为延长线上一点，，垂足为H，求的长． 【拓展提升】 (3)如图3，在矩形中，，，点E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再证明，进而得到，利用三角形内角和定理求出，即； （2）根据矩形和垂线的性质证明，进而得到，据此求解即可； （3）延长交于点H，利用勾股定理求出长，由折叠的性质证明，则，据此求出长，根据求出长，最后利用求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， 、， 在和中， ， ， 、， ， ， 即； （2）解：四边形是矩形， 、 ， ， ， ， ， ， 点E是边的中点， ， ， ； （3）解：延长交于点H， 四边形是矩形， 、、， ， 、， 在中，由勾股定理得：， 沿折叠得到， 、，即， ， ， ， 、， 即， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 1．（2026·黑龙江牡丹江·一模）已知四边形中，，且，连接． (1)如图①，当时，求证：； (2)当时，如图②；时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)图②：；图③： 【分析】（1）过点A作交延长线于点E，根据余角的性质求出，证明，则、，进而得到是等腰直角三角形，在中，，从而得出结论； （2）当时，延长至点G，使，连接，同（1）可证明，进而求出是等边三角形，从而得出结论；当时，则是等腰三角形，过点A作于点M，则、，在中，，从而得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点A作交延长线于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 在中，， ， 即； （2）解：如图②，当时，延长至点G，使，连接， 由（1）知，， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， 是等边三角形， ， ， 即； 如图③，当时，延长至点G，使，连接， 同理可证， 、， ， ， 过点A作于点M， 、， 在中，， ， ， 即． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）综合与实践 【情境】 图①的正方形的边长为2，通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，嘉嘉将正方形沿虚线对折，再沿裁剪后按照图④所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)求线段的长； (2)求点到直线的距离； 【探究】 淇淇说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形，其中． (3)请你按照淇淇的说法设计一种方案：在备用图中用尺规作图在正方形的边上找一点，作出裁剪线的位置，并直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)见解析，或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，进而得，得，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）过点作交的延长线于点，证明，进行求解即可； （3）取的中点，在或上确定中点的位置，进行裁剪即可． 【详解】（1）解：由题意， ∴， ∴， 设，则，， 由题知， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴； （2）解：过点作交的延长线于点， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴，即点到直线的距离为； （3）解：符合题意的有、， 作图步骤：①作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心、为半径画弧交于，或以点为圆心、为半径画弧交于； 沿剪裁，如下图， 由上图可知； 沿剪裁，如下图， ，此时， 综上，的长为或． 3．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． (1)当时，的长是__________； (2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，是边上两点，，，求的长． 【答案】(1) (2)；理由见详解 (3) 【分析】（1）取正方形边的中点F，连接，由正方形的性质得出，，再根据三角形中位线的判定和性质得出，，最后根据勾股定理求解即可． （2）同（1）取正方形边的中点F，连接，则，，，设，则，利用勾股定理得出，再求出，即可求解． （3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，，由勾股定理求出y的值，再结合（2）的结论即可求出． 【详解】（1）解：取正方形边的中点F，连接， ∵是正方形， ∴，， ∵O为与的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ． （2）解：；理由如下： 同（1）取正方形边的中点F，连接， 则，，， 设，则， 在中，， ∵， ∴． （3）解：如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴，． 由（2）知， ∴， ∴． 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分． (1)类似地，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，________ ，_________， ，即． (2)如图3．先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． (3)如图4，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请直接写出的长． 【答案】(1)，，，； (2)点是边的“三等分点”，证明见解析； (3)或 【分析】（）根据题意补全证明过程即可； （2）由可得，进而由得，即得，即可求证； （3）分和两种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 即． （2）解：点是边的“三等分点”． 理由：在矩形中，，， 由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是边的“三等分点”； （3）解：如图，当时， 由题意知，，，，， 设，，则，， 在，， ∴， 在和中，， ∴， 由①②联立得，， 解得， ∴， ∴（不符合题意的根舍去）； 如图，当时， 同理可得，， 解得， ∴， ∴（不符合题意的根舍去）； 综上，的长为或． 5．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． (1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径． (2)如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，） 【答案】(1)半径为5米； (2)弦的长为米． 【分析】（1）连接交于点H，证明，得到米，，，设半径为r米，则，在中，由勾股定理，得，代入求解即可． （2）连接，证明为的垂直平分线，为的垂直平分线，推导出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点H，如图 ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴米，米，， 设半径为r米，则． 在中，由勾股定理，得 ， 即， 解得． 答：半径为5米； （2）解：连接，如图 由题意知半径米， ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴，，为的垂直平分线， ∴， ∵，点O为圆心， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）． 答：弦的长为米． 6．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，由得，由得，可得，得，故可得是的切线； （2）分别求出，，，由证明可得即从而可求出． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ． ， ， ， 于点， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解： ∴， ∵的半径为3， ∴， 由（1）知，， ， ， ， ， 即 ， 的长是． 7．（2026·河南周口·一模）问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接． 初步探究： (1)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)四边形为平行四边形，见解析 (3)线段的长为或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据等边对等角得到，证明，由旋转的性质得到，进而得到，即可得到四边形为平行四边形； （3）过点A作于点M，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理求出，分当点D在的延长线上时，当点D在线段上时两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形， 同理得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点A作于点M． 则 ． ①当点D在的延长线上时，此时 又 ， 解得 ②如图，当点D在线段上时，此时 同理①得 即 解得 综上所述，线段的长为或． 8．（2026·山东淄博·一模）完成以下问题 (1)【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______； (2)【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长； (3)【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）本题主要考查正方形，旋转的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，通过，可得出长度，再得出长度． （2）本题主要考查菱形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长和相交于，通过两次相似（，）即可得出长度． （3）本题需分两种情况讨论：①在延长线上；②在线段上．通过作辅助线及锐角三角函数计算得出的长度． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， , 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形是菱形，， ，，， ，． 线段绕点逆时针旋转得到线段 ，， ， ， 在和中， ，， ，，共线． 延长和相交于，如图： ， ， ． ， ，， ，， ，． ， ， ， ． （3），， 四边形是等腰梯形， ， ，， 绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ． ①    当在延长线上时，如图： 作， ，， ，，． 作， 在和中 ， ， ②    当在线段上时，如图： 作于点 ，， ，，， ， ， ． 综上所述，线段的长为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押12 中考数学23题几何综合题（解答题） 考点1 四边形综合压轴题题 1．（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 2．（2026·安徽马鞍山·二模）点A，点B是两个距离为的小区．现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度沿着不同的路线从A走到B． (1)如图1，甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是____．如图2，图①、图②、图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着的折线路线行走，则乙同学运动的路线长为______． (2)如图3，图①、图②、图③、…、图是n个等边三角形，丙同学沿着的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③…、图是m个半圆，丁同学沿着的曲线路线行走，则丙同学与丁同学谁先到达点B．请通过计算说明理由．（） (3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境．政府决定在A，B两个小区附近的空地修建公园（长方形），并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物．已知图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，请求图④的面积． 3．（2026·安徽六安·二模）如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 4．（2026·湖北·一模）如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． (1)在图1中，连接，，求证：； (2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点． ①求证：平分； ②直接写出的值． 5．（2026·安徽马鞍山·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，求的值． 考点2圆综合压轴题 6．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的直径，是的切线，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径 (3)连接，在（2）的条件下，求的值． 7．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，已知，正方形内接于以对角线为直径的．点E在劣弧上，连接并延长至点F，使得，连接，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究，发现与证明：是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 8．（2026·河北保定·二模）如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆． (1)若． ①当时，的度数为______； ②当P是的中点时，求的长； (2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长． 9．（2026·河北保定·一模）如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接． (1)求的度数； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的长； (3)求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离． 10．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，以为直径的过线段的中点，连接，过点作于点．若点是上与点位于异侧的一个动点（），连接，，过点作交于点，，交于点． (1)的长度是___________； (2)求证：直线是的切线； (3)请探究在点的运动过程中，的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明理由． 考点3 几何动点问题压轴题 11．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接．动点P满足，交x轴于点C． (1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，的长为 ； (2)当动点P在线段的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求的值； (3)当动点P在直线上时，点D是直线与直线的交点，点E是直线与y轴的交点．若，，求的值． 12．（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下： (1)【观察发现】 如图1，在等边中，，，E，F分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． ∵在等边中，，， ∴点为边上的中点，． ∴． 过点作，使，连接， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 连接，，当三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接， 证明过程缺失 ∴四边形是矩形． ∴． 【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形为矩形的过程； ②结合上述探究过程可知的最小值为 ． (2)【类比应用】 如图2，已知正方形的边长为12，O为对角线的交点，M，N分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】 如图3，矩形中，，，是的中点，F，G分别是和上的动点，且总有，则的最小值为 ． 13．（2026·海南海口·一模）综合应用 【问题发现】 (1)如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：； 【类比探究】 (2)如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 (3) 如图，在（）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，求的长． 14．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处． (1)如图1，已知折痕与边交于点，连接．若与的面积比为，求边的长． (2)如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．试问当动点在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段的长度． 15．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 考点4 几何折叠问题压轴题 16．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 17．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 18．（2026·河北沧州·二模）综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．． [探究] (1)通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为（填“”或“”）； (2)在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明与哪个是较长边； ②若连接、，直接写出四边形的形状（不说理由）； [拓展]在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． (3)如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点的对应点能否落在边上，说明理由； (4)如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边、分别交于、两点．当时，直接写出的长． 19．（2026·河南·二模）有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 20．（2026·湖北黄冈·二模）解决下列问题 【问题初探】 (1)如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为延长线上一点，且，延长交于于点H．求证：，． 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形中，，，点E是边的中点，F为延长线上一点，，垂足为H，求的长． 【拓展提升】 (3)如图3，在矩形中，，，点E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．当时，求的长． 1．（2026·黑龙江牡丹江·一模）已知四边形中，，且，连接． (1)如图①，当时，求证：； (2)当时，如图②；时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）综合与实践 【情境】 图①的正方形的边长为2，通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，嘉嘉将正方形沿虚线对折，再沿裁剪后按照图④所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)求线段的长； (2)求点到直线的距离； 【探究】 淇淇说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形，其中． (3)请你按照淇淇的说法设计一种方案：在备用图中用尺规作图在正方形的边上找一点，作出裁剪线的位置，并直接写出的长． 3．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． (1)当时，的长是__________； (2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，是边上两点，，，求的长． 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分． (1)类似地，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，________ ，_________， ，即． (2)如图3．先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． (3)如图4，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请直接写出的长． 5．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． (1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径． (2)如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，） 6．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 7．（2026·河南周口·一模）问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接． 初步探究： (1)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长． 8．（2026·山东淄博·一模）完成以下问题 (1)【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______； (2)【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长； (3)【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $