课题学习 多边形的内角和（挑战压轴题）-2025-2026学年苏教版数学四年级下册专项训练

2025-2026学年苏教版数学四年级下册单元培优练【挑战压轴题】 课题学习 多边形的内角和『挑战压轴题』 一、选择题 1．（24-25四年级下·重庆巴南·期末）在探究五边形的内角和时，乐乐、聪聪、欣欣、亮亮同学分别采用了不同的方法。乐乐使用的算式是，你认为图（    ）是乐乐的方法。 A． B． C． D． 2．（24-25四年级下·江苏扬州·期末）一个多边形的内角和不可能是（    ）。 A．360° B．450° C．720° D．1080° 3． （24-25四年级下·山东德州·期中） 以上四位同学对四边形的内角和进行了探究，其中（    ）是正确的。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（23-24四年级下·广东湛江·期末）如图，将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分，下面选项正确的是（    ）。 A．甲图形的内角和＜乙图形的内角和 B．甲图形的内角和＝乙图形的内角和 C．甲图形的内角和＞乙图形的内角和 D．无法比较 5．（24-25四年级下·重庆忠县·期中）成成用三角形内角和的知识研究五边形的内角和，下面他想的四种解决方法中，正确的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25四年级下·河北保定·期末）一个多边形的内角和是900°，这是个（    ）边形。 A．五边形 B．六边形 C．七边形 二、填空题 7．（24-25四年级下·河南信阳·期末）探究。 (1)已知三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？小明想到了分割求和的方法（如图），请你根据他的方法，完成填空：四边形内角和＝( )°×( )＝( )°。                    (2)五边形、六边形的内角和又是多少度？请你仿照小明求四边形内角和的方法，求出五边形内角和＝( )°，六边形内角和＝( )°。 8．（24-25四年级下·河南郑州·期末）直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角是( )；把这样两个完全一样的三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和是( )；如果拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。 9．（24-25四年级下·河南南阳·期末）用剪刀在一张正方形纸片上剪去一个角，如图：，剩下这个图形的内角和是_____。 10．（24-25四年级下·河南平顶山·期末）如图，正六边形有( )条对称轴；沿它的其中一条对角线剪开后，得到两个梯形，每个梯形的内角和是( )°，正六边形的内角和是( )°。 【小贴士：对角线是连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。】 11． （24-25四年级下·广东广州·期末） (1)如图，直角三角形卡片中∠3＋∠4＝( )°。 (2)按如图所示剪去直角后，得到一个四边形，那么，∠1＋∠2＝( )°。 12．三角形ABC中∠A＝45°（如图），沿虚线剪去这个角，剩下的图形的内角和是( )°。 三、判断题 13．（24-25四年级下·河南南阳·期末）六边形的内角和比四边形的内角和大360°。( ) 14．（24-25四年级下·湖北武汉·期末）小文画了一个多边形，这个多边形的内角和可能是600°。( ) 四、计算题 15．（23-24四年级下·河南南阳·期末）求下面图形中未知角的度数。 16．（23-24四年级下·全国·课后作业）求下面图形中未知角的度数。 五、作图题 17．（23-24四年级下·云南昭通·期末）探索多边形的内角和。 （1）我会画图：根据“三角形的内角和是180度”这一结论，分别将下面的四边形和五边形分成三角形来研究，请动手画一画。 （2）我分析：四边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）；五边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（    ）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为（    ）。 18．（24-25四年级下·全国·单元复习）（1）小娅在推导六边形内角和时，用了“分一分”的方法，请根据算式在六边形中用虚线画出算式所表示“分”的方法。 （2）在图①选一个小方格并涂上颜色，使它和原有的涂色部分方格形成一个轴对称图形；在图②中，画出三角形ABC中AB边上的高后，再画出三角形ABC向左平移4格后的图形。 六、解答题 19．（23-24四年级下·浙江温州·期末）研究六边形内角和时，小瓯通过分割把六边形变成6个三角形（如下图），求出六边形的内角和是180°×6＝1080°。你同意他的想法吗？请用画图或文字等方法尽可能清楚地说明你的理由。 20．（24-25四年级下·山东青岛·期中）数学实验。 （1）请在你认为方法正确的名字旁边的□里打“√”。 （2）根据以上经验，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，先在图中画出示意图，再列式计算。 21．（24-25四年级下·山东潍坊·期中）（1）分别求出下面图形的内角和，先照例子画一画（保留作图痕迹），再计算。 （2）上面图形中，图形的边数与图形可分割成三角形的个数有什么关系？根据这一关系，你能求出n边形的内角和吗？ 22．（24-25四年级下·全国·课后作业）十边形的内角和是多少度？如果这个十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角是多少度呢？ 23．（23-24六年级下·江苏·课后作业）先照样子在图中画一画，想一想，再填一填。 三角形的内角和是（    ）°，四边形的内角和是（    ）°，五边形的内角和是（    ）°，六边形的内角和是（    ）°，十边形的内角和是（    ）°。 24．（23-24四年级下·云南玉溪·期末）下图是同学们在解决四边形的内角和问题时所采用的四种不同的方法。 ①1周角＝360° ②180°×2＝360° ③180°×4－360°＝360° ④180°×3＝540° （1）他们解答的方法不正确的有（    ）。（填序号） （2）请你试着用所学的方法，在图中画一画，并求出下面五边形的内角和。 25．（23-24四年级下·云南昭通·期末）我们利用“拼”和“分”的方法证明了所有三角形的内角和都是180°，所有四边形的内角和都是360°。你能用学过的方法求出下面这个图形的内角和是多少度吗？请把你的思考过程用画图方式或文字方式表示出来。 26．（23-24四年级下·贵州贵阳·期末）根据三角形的内角和是180°，在四边形或五边形内任意取一点，与四边形或五边形的顶点连接，可以得到4个或5个三角形（如图1、图2），由此可以推出四边形或五边形的内角和。 四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° （1）根据上面的方法，把下图的六边形分一分，并写出六边形内角和的计算过程。 （2）观察上面的算式，你认为多边形的内角和可以怎样计算？ 27．（24-25四年级下·河南郑州·期末）中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 28．（23-24四年级下·河南新乡·期末）数学课中我们已经了解三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是豆豆研究四边形内角和的方法。 由此我们可以得出四边形的内角和是（    ）°。 你还有别的方法研究四边形的内角和吗？请你在下图中画一画，算一算。 29．（23-24四年级下·河南许昌·期中）由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 （1）如图1，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，三个内角和等于180°。现将三角形的三条边AB、BC、CA分别延长，形成了∠4、∠5、∠6三个角，这三个角叫三角形的外角，如图2，那么三角形的外角和等于多少度？请你把下面的推导过程补充完整。 因为：∠4＝180°－∠1；∠5＝180°－∠2；∠6＝（    ）。 所以：∠4＋∠5＋∠6 ＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3 ＝（    ）° 结论：三角形的外角和是（    ）°。 （2）如图是一个六边形。 ①请你先推导出六边形的内角和是（    ）°。 ②六边形的外角和（即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的和）等于多少度？请你写出推导过程。 （3）根据（1）、（2）的结果，请你提出一个有关多边形外角和的猜想：（    ）。 30．（23-24四年级下·全国·课后作业）资料卡： 你知道吗？ 据《泰顺县交通志》记载，泰顺县1949年前修建的桥梁就有476座，包括33座各式廊桥，境内保存完好的唐、宋、明、清代的木拱廊桥达30余座。泰顺廊桥主要有：北涧桥、仙居桥、文重桥等。最为著名的就是泗溪廊桥，泗溪廊桥主要包括北涧桥和溪东桥等。始建于明隆庆四年（1570），清乾隆十年（1745）、道光七年（1827）重修，此桥无桥墩，由粗木架成八字形伸臂木拱，颇为罕见。桥外型美观，号称“最美的廊桥”。 请根据以上资料卡中信息自主选择问题并解答。 (1)资料图中泗溪廊桥下有两个三角形，它们是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 (2)资料图中的这类三角形可能藏在（    ）的长方形纸后面。 A． B． C． (3)李磊同学有两根长度分别为2cm、4cm的木条，他想钉这个廊桥桥下右边的三角形木框模型，现有下面四根木条供他选择，他选（    ）长的木条合适。 A．2cm B．5cm C．6cm D．8cm (4)把一个三角形剪一刀，剪去一个20°的角后（如图）。 ①剩下图形的内角和是多少度？你是怎么想的？ ②小李同学用上图的方法求出剩下图形的内角和，他的算式是： ③如果让你自己来剪一刀，剩下图形的内角和可能为多少度？ 画一画： 算一算： 还可以怎么剪？ (5)“此桥无桥墩，由粗木架成八字形伸臂木拱，颇为罕见。”那这座廊桥是怎么支撑的？请结合自己所学的数学知识说说想法。 31． 已知三角形的内角和是180°。求四边形ABCD的内角和多少度？ 思考过程：连接AD，AD将四边形ABCD分成两个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。 已知一个三角形的内角和是180°。求：五边形的内角和是多少度？（请仿照方法，画图并将你的思考过程写下来。） 思考过程： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册单元培优练【挑战压轴题】 课题学习 多边形的内角和『挑战压轴题』 一、选择题 1．（24-25四年级下·重庆巴南·期末）在探究五边形的内角和时，乐乐、聪聪、欣欣、亮亮同学分别采用了不同的方法。乐乐使用的算式是，你认为图（    ）是乐乐的方法。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】观察算式可知，三角形的内角和是180°，180°×4，说明图中有四个三角形，再减去一个180°，说明是减去一个平角或者是一个三角形。据此解答。 【规范解答】A．观察图形可知，图中有3个三角形，计算五边形内角和时，是180°×3＝540°，选项不符合题意； B．观察图形可知，图中被分成了一个三角形和一个四边形，四边形内角和为360°，所以计算这个五边形内角和的算式为360°＋180°＝540° C．观察图形可知，图形中有个四个角形，且这四个三角形中各有一个角，共同组成了一个平角，计算五边形内角和时，是180°×4－180°＝720°－180°＝540°，选项符合题意； D．观察图形可知，图中有5个三角形，且这五个三角形中各有一个角，共同组成了一个周角，计算五边形内角和时，要减去这个周角，所以算式是180°×5－360°＝900°－360°＝540°，选项不符合题意。 故答案为：C 2．（24-25四年级下·江苏扬州·期末）一个多边形的内角和不可能是（    ）。 A．360° B．450° C．720° D．1080° 【答案】B 【思路引导】一个三角形的内角和是180°，一个四边形的内角和是360°，一个六边形的内角和是720°，一个七边形的内角和是900°。一个八边形的内角和是1080°。据此解答。 【规范解答】A．360°是四边形的内角和； B．一个多边形的内角和不可能是450°； C．720°是六边形的内角和； D．1080°是八边形的内角和； 故答案为：B 3． （24-25四年级下·山东德州·期中） 以上四位同学对四边形的内角和进行了探究，其中（    ）是正确的。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】笑笑的方法是：将四边形四个角剪下来，然后拼成1个周长，1周角是360°，也就是说四边形的内角和是360°； 欢欢的方法是：将四边形分成2个三角形，即四边形的内角和等于2个三角形的内角和； 淘气的方法是：将四边形分成3个三角形，由图可知，四边形的内角和比3个三角形的内角和少180°； 欧阳的方法是：将四边形分成4个三角形，由图可知，四边形的内角和比4个三角形的内角和少360°；依此判断。 【规范解答】笑笑的方法：1周角＝360°＝四边形的内角和，即笑笑的方法正确； 欢欢的方法：四边形的内角和＝180°×2＝360°，即欢欢的方法正确； 淘气的方法：四边形的内角和＝180°×3－180°＝540°－180°＝360°，即淘气的方法正确； 欧阳的方法：四边形的内角和＝180°×4－360°＝720°－360°＝360°，即欧阳的方法正确； 以上四位同学对四边形的内角和进行了探究，其中①②③④是正确的。 故答案为：D 4．（23-24四年级下·广东湛江·期末）如图，将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分，下面选项正确的是（    ）。 A．甲图形的内角和＜乙图形的内角和 B．甲图形的内角和＝乙图形的内角和 C．甲图形的内角和＞乙图形的内角和 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分，这两部分都是四边形，只要是四边形，内角和都是相等的，内角和都是360°。 【规范解答】将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分内角和相等。 故答案为：B 5．（24-25四年级下·重庆忠县·期中）成成用三角形内角和的知识研究五边形的内角和，下面他想的四种解决方法中，正确的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①把五边形分成3个三角形，利用三角形内角度数和计算，是正确的。 ②把五边形分成一个三角形和一个梯形，利用三角形的内角和定理和梯形的内角和定理计算，不正确。 ③把五边形分成4个三角形，用4个三角形的和减去多出的一个平角，是正确的。 ④把五边形分成5个三角形，利用三角形的内角和定理计算，等于5个三角形的内角度数和减去1个周角的度数，而不是减去一个平角，所以是错误。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 成成用三角形内角和的知识研究五边形的内角和，下面他想的四种解决方法中，正确的有①③，共2种。 故答案为：B 6．（24-25四年级下·河北保定·期末）一个多边形的内角和是900°，这是个（    ）边形。 A．五边形 B．六边形 C．七边形 【答案】C 【思路引导】计算多边形的内角和度数时，可将多边形分成几个三角形，由于一个三角形的内角和是180°，则这个多边形能被分成几个三角形，它的内角和就是几个180°，一个多边形可被分成（它的边数－2）个三角形，即多边形的内角和度数＝（多边形的边数－2）×180°，因此边数＝内角和度数÷180＋2，依此解答。 【规范解答】由分析可得： 900÷180＋2 ＝5＋2 ＝7 因此内角和是900°的多边形是7边形。 故答案为：C 二、填空题 7．（24-25四年级下·河南信阳·期末）探究。 (1)已知三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？小明想到了分割求和的方法（如图），请你根据他的方法，完成填空：四边形内角和＝( )°×( )＝( )°。                    (2)五边形、六边形的内角和又是多少度？请你仿照小明求四边形内角和的方法，求出五边形内角和＝( )°，六边形内角和＝( )°。 【答案】(1) 180 2 360 (2) 540 720 【思路引导】如下图，四边形可以分割成2个三角形，把求四边形的内角和变成求2个三角形的内角和，四边形内角和＝180°×2＝360°；五边形可以分割成3个三角形，五边形内角和＝180°×3＝540°；六边形可以分成4个三角形，六边形内角和＝180°×4＝720°；据此即可解答。 【规范解答】（1）已知三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？小明想到了分割求和的方法（如图），请你根据他的方法，完成填空：四边形内角和＝180°×2＝360°。 （2）180°×3＝540° 180°×4＝720° 五边形、六边形的内角和又是多少度？请你仿照小明求四边形内角和的方法，求出五边形内角和＝540°，六边形内角和＝720°。 8．（24-25四年级下·河南郑州·期末）直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角是( )；把这样两个完全一样的三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和是( )；如果拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。 【答案】 62 180° 360° 【思路引导】在直角三角形中，两个锐角的度数和是90°，所以用90°减去28°就是另一个锐角的度数，三角形内角和为180°，不论几个三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和都是180°，不论几个三角形拼成一个平行四边形，因为平行四边形是四边形，所有四边形的内角和都是360°，据此解答即可。 【规范解答】90°－28°＝62° 直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角是62；把这样两个完全一样的三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和是180°；如果拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是360°。 9．（24-25四年级下·河南南阳·期末）用剪刀在一张正方形纸片上剪去一个角，如图：，剩下这个图形的内角和是_____。 【答案】540°/540度 【思路引导】根据题意，明确三角形的内角和是180°，正方形去掉一个角就变成了五边形，要求五边形的内角和，只需要把五边形分割成三角形，有多少个三角形，就有多少个180°，以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 用剪刀在一张正方形纸片上剪去一个角，如图作辅助线： 180°×3＝540° 剩下的这个图形的内角和是540°。 10．（24-25四年级下·河南平顶山·期末）如图，正六边形有( )条对称轴；沿它的其中一条对角线剪开后，得到两个梯形，每个梯形的内角和是( )°，正六边形的内角和是( )°。 【小贴士：对角线是连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。】 【答案】 6 360 720 【思路引导】 正六边形的对称轴如图所示：；三角形的内角和是180°，梯形可以分成两个三角形，所以梯形内角和是180°×2；正六边形可以分成4个三角形，所以正六边形内角和＝180°×4，据此解题。 【规范解答】180°×2＝360° 180°×4＝720° 如图，正六边形有6条对称轴；沿它的其中一条对角线剪开后，得到两个梯形，每个梯形的内角和是360°，正六边形的内角和是720°。 【小贴士：对角线是连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。】 11． （24-25四年级下·广东广州·期末） (1)如图，直角三角形卡片中∠3＋∠4＝( )°。 (2)按如图所示剪去直角后，得到一个四边形，那么，∠1＋∠2＝( )°。 【答案】(1)90 (2)270 【思路引导】（1）三角形内角和等于180°，所以180°减90°等于∠3＋∠4的度数和； （2）多边形的内角和＝180°×（n－2）（n为多边形的边数），可求出四边形的内角和等于360°，360°减去∠3＋∠4的度数和等于∠1＋∠2的度数和。 【规范解答】（1）∠3＋∠4＝180°－90°＝90° 直角三角形卡片中∠3＋∠4＝90°。 （2）180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° ∠1＋∠2＝360°－（∠3＋∠4） ＝360°－90° ＝270° 按如图所示剪去直角后，得到一个四边形，那么，∠1＋∠2＝270°。 12．（22-23四年级下·湖北武汉·期末）三角形ABC中∠A＝45°（如图），沿虚线剪去这个角，剩下的图形的内角和是( )°。 【答案】360 【思路引导】三角形的内角和为180°，那么用180°减去45°可以计算出∠B和∠C的度数和；而减去的三角形中另外两个角的度数也为（180°－45°），观察发现虚线是将两个平角各分成两部分，平角为180°；那么剩下图形靠虚线的两个角度数和为（180°×2）减去（180°－45°），最后将剩下图形靠虚线的两个角度数和加上∠B和∠C的度数和即可。 【规范解答】根据分析： ∠B＋∠C＝180°－45°＝135° （180°×2）－（180°－45°） ＝360°－135° ＝225° 225°＋135°＝360° 所以剩下的图形的内角和是360°。 【考点剖析】掌握三角形的内角和，以及对平角度数的认识，是解答本题的关键。 三、判断题 13．（24-25四年级下·河南南阳·期末）六边形的内角和比四边形的内角和大360°。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据多边形内角和公式，n边形的内角和为（n－2）×180°，分别计算出六边形和四边形的内角和，再求出差值，即可判断。 【规范解答】四边形的内角和为： （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 六边形的内角和为： （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 720°－360°＝360° 六边形的内角和比四边形的内角和大360°。原题说法正确。 故答案为：√ 14．（24-25四年级下·湖北武汉·期末）小文画了一个多边形，这个多边形的内角和可能是600°。( ) 【答案】× 【思路引导】根据多边形都可以分成若干个三角形可知，多边形的内角和一定是180°的倍数，据此判断即可。 【规范解答】多边形的内角和一定是180°的倍数，而600°不是180°的倍数，所以这个多边形的内角和肯定不是600°，原题说法不正确。 故答案为：× 四、计算题 15．（23-24四年级下·河南南阳·期末）求下面图形中未知角的度数。 【答案】105°；105° 【思路引导】平角是180°，三角形的内角和等于180°，用180°减去60°再减去45°即为剩余角的度数，三角形剩余角的度数与所求的求组成平角，用180°减去三角形剩余角的度数即为所求。 四边形的内角和减去已知的三个角，即为剩余角的度数，剩余角的度数与所求的求组成平角，用180°减去剩余角的度数即为所求。 【规范解答】180°－60°－45° ＝120°－45° ＝75° 180°－75°＝105° 图一的未知角是105°。 （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°－110°－95°－80° ＝250°－95°－80° ＝155°－80° ＝75° 180°－75°＝105° 图二的未知角是105°。 16．（23-24四年级下·全国·课后作业）求下面图形中未知角的度数。 【答案】115°；45° 【思路引导】四边形内角和是360°。1直角＝90°，这2个图中，有3个角的度数已知，用360°减已知的3个角的度数，即可求出第4个角的度数。 【规范解答】360°－90°－35°－120° ＝270°－35°－120° ＝235°－120° ＝115°    360°－60°－130°－125° ＝300°－130°－125° ＝170°－125° ＝45° 五、作图题 17．（23-24四年级下·云南昭通·期末）探索多边形的内角和。 （1）我会画图：根据“三角形的内角和是180度”这一结论，分别将下面的四边形和五边形分成三角形来研究，请动手画一画。 （2）我分析：四边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）；五边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（    ）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为（    ）。 【答案】（1）作图见详解 （2）2；180°×2＝360°；3；180°×3＝540° （3）n－2；180°×（n－2） 【思路引导】（1）由题意得，直接将四边形和五边形分成几个三角形即可。 （2）由图可知，四边形可以分成2个三角形，那么它的内角和就等于2个三角形的内角和。求四边形的内角和，列式为：180°×2＝360°；五边形可以分成3个三角形，那么它的内角和就等于3个三角形的内角和。求五边形的内角和，列式为：180°×3＝540°。 （3）由（2）可知，四边形可以分成2个三角形，五边形可以分成3个三角形，那么n边形可以分成（n－2）个三角形，它的内角和就等于（n－2）个三角形的内角和。求n边形的内角和，列式为：180°×（n－2）。 【规范解答】（1） （画法不唯一） （2）四边形可以分成2个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为180°×2＝360°；五边形可以分成3个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为180°×3＝540°。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（n－2）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为180°×（n－2）。 18．（24-25四年级下·全国·单元复习）（1）小娅在推导六边形内角和时，用了“分一分”的方法，请根据算式在六边形中用虚线画出算式所表示“分”的方法。 （2）在图①选一个小方格并涂上颜色，使它和原有的涂色部分方格形成一个轴对称图形；在图②中，画出三角形ABC中AB边上的高后，再画出三角形ABC向左平移4格后的图形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）（多边形边数－2）×180°＝多边形内角和；多边形边数×180°－360°＝多边形内角和； （2）如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形； 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高； 平移画法：先把图形中的关键点都按题干要求的方向和格数移动，然后再连接各点。 【规范解答】（1）小娅在推导六边形内角和时，用了“分一分”的方法，根据算式在六边形中用虚线画出算式所表示“分”的方法如下： （2）画出三角形ABC向左平移4格后的图形如下： （图①答案不唯一） 六、解答题 19．（23-24四年级下·浙江温州·期末）研究六边形内角和时，小瓯通过分割把六边形变成6个三角形（如下图），求出六边形的内角和是180°×6＝1080°。你同意他的想法吗？请用画图或文字等方法尽可能清楚地说明你的理由。 【答案】不同意；理由见详解 【思路引导】求多边形的内角和，可以看这个多边形可以分成几个三角形，三角形的内角和为180°，直接用180°乘可以分成三角形的个数即可算出多边形的内角和。由题意得，小瓯把六边形变成6个三角形。这样分割时把中间的周角也分给了6个三角形，这个周角原本不是六边形的内角，所以最后算出来的结果会比正确的结果多一个周角的度数。 【规范解答】答：不同意小瓯的方法。因为这样分割把中间6个角的度数和也算进去了，也就是多算了一个周角的度数，正确的度数应该等于1080°减去360°。 20．（24-25四年级下·山东青岛·期中）数学实验。 （1）请在你认为方法正确的名字旁边的□里打“√”。 （2）根据以上经验，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，先在图中画出示意图，再列式计算。 【答案】（1）见详解；（2）图见详解；720° 【思路引导】（1）明明：把四边形的4个角剪下来拼在一起，刚好拼成一个周角，说明四边形的内角和等于360°。 笑笑：一个顶点与不与它相邻的顶点相连，把四边形分成2个三角形，四边形的内角和等于这2个三角形的内角和，三角形的内角和等于180度，所以四边形的内角和等于180°×2＝360°。 乐乐：在一边上取一点，这点与其他顶点相连，把四边形分成3个三角形，3个三角形的内角和减去一个平角的度数等于四边形的内角和，所以四边形的内角和等于180°×3－180°＝360°。 冬冬：在四边形内取一点，分别与各个顶点相连，把四边形分成4个三角形，4个三角形的内角和减去一个周角的度数等于四边形的内角和，所以四边形的内角和等于180°×4－180°＝360°。 （2）一个顶点与不相邻的顶点分别进行连线，把六边形分成6－2＝4（个）三角形，六边形的内角和等于4个三角形的内角和，所以六边形的内角和为（6－2）×180°，据此即解答。 【规范解答】 （1） （2） （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 六边形的内角和为720°。 21．（24-25四年级下·山东潍坊·期中）（1）分别求出下面图形的内角和，先照例子画一画（保留作图痕迹），再计算。 （2）上面图形中，图形的边数与图形可分割成三角形的个数有什么关系？根据这一关系，你能求出n边形的内角和吗？ 【答案】（1）画图见详解。 内角和：360°；540°；720°；900° （2）（n－2）个；（n－2）×180° 【思路引导】（1）根据三角形内角和是180°，可以从多边形的一个顶点出发，连接与它不相邻的其它顶点，把多边形分成若干个三角形，有几个三角形，用180°×几就是多边形的内角和。 （2）通过观察可以发现：n边形能分割成的三角形个数是（n－2）个，有几个三角形，多边形内角和就用180°×几，所以n边形内角和就是（n－2）×180°。 【规范解答】 （1）A．：180°×2＝360° B．：180°×3＝540° C．：180°×4＝720° D．：180°×5＝900° （2） 图A四边形能分割成2个三角形，边数－2＝三角形个数 图B五边形能分割成3个三角形，边数－2＝三角形个数 图C六边形能分割成4个三角形，边数－2＝三角形个数 图D七边形能分割成5个三角形，边数－2＝三角形个数 n边形能分割成的三角形个数是（n－2）个，n边形内角和就是（n－2）×180°。 22．（24-25四年级下·全国·课后作业）十边形的内角和是多少度？如果这个十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角是多少度呢？ 【答案】1440度；144度 【思路引导】从n边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点连线，可以将n边形分成（n－2）个三角形；那么十边形分成的三角形个数为：10－2＝8个；因为三角形的内角和是180度，而十边形可以分成8个三角形，所以十边形的内角和就是这8个三角形内角和的总和，再用内角和除以10，即可得出每个内角是多少度，据此解答。 【规范解答】10－2＝8（个） 8×180＝1440（度） 1440÷10＝144（度） 答：十边形的内角和是1440度；如果这个十边形的每个内角都相等，它的每个内角是144度。 23．（23-24六年级下·江苏·课后作业）先照样子在图中画一画，想一想，再填一填。 三角形的内角和是（    ）°，四边形的内角和是（    ）°，五边形的内角和是（    ）°，六边形的内角和是（    ）°，十边形的内角和是（    ）°。 【答案】画一画见详解 180；360；540；720；1440 【思路引导】通过连接对角线，把四边形分成了两个三角形，据此把五边形、六边形通过连接对角线，把它们分成若干个三角形，有几个三角形就有多少个180°，据此填空即可。 【规范解答】 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4＝720° 180°×8＝1440° 所以三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°，十边形的内角和是1440°。 24．（23-24四年级下·云南玉溪·期末）下图是同学们在解决四边形的内角和问题时所采用的四种不同的方法。 ①1周角＝360° ②180°×2＝360° ③180°×4－360°＝360° ④180°×3＝540° （1）他们解答的方法不正确的有（    ）。（填序号） （2）请你试着用所学的方法，在图中画一画，并求出下面五边形的内角和。 【答案】（1）④ （2）540° 【思路引导】（1）①把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确； ②连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分割成两个三角形，这时四边形内角和就等于两个三角形的内角总和，方法正确； ③把一个四边形分割成四个三角形，这样四个三角形的内角和比一个四边形多出一个周角的度数，用四个三角形内角和减去一个周角度数就是一个四边形度数，方法正确； ④把四边形分割成三个三角形，此时四边形内角和等于三个三角形内角和减去一个平角，列式错误。 （2）连接五边形不相邻的三个顶点，把五边形分割成三个三角形，这时五边形内角和就等于三个三角形的内角总和，列式计算即可。 【规范解答】（1）①把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确； ②把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和等于四边形内角和，方法正确； ③把四边形分割成四个三角形，四个三角形内角和减去一个周角度数就是一个四边形度数，方法正确； ④把四边形分割成三个三角形，四边形内角和等于三个三角形内角和减去一个平角，列式错误。 所以他们解答的方法不正确的有④号。 （2）把五边形分割成三个三角形，如下图： 三个三角形内角和等于五边形内角和； 180°×3＝540° 答：五边形的内角和为540°。 25．（23-24四年级下·云南昭通·期末）我们利用“拼”和“分”的方法证明了所有三角形的内角和都是180°，所有四边形的内角和都是360°。你能用学过的方法求出下面这个图形的内角和是多少度吗？请把你的思考过程用画图方式或文字方式表示出来。 【答案】540°；思考过程见详解 【思路引导】三角形的内角和为180°，观察发现图中为一个五边形，连接五边形的任一个顶点和不相邻角的顶点，用一个三角形的内角和度数，乘三角形的个数，可以计算出多边形的内角和是多少度；据此解答。 【规范解答】如图： 180°×3＝540° 答：这个图形的内角和是540°；思考过程：四边形内角的和是360°，三角形的内角和是180°，四边形的内角和相当于两个三角形的内角和，因此，连结四边形的任一个角的顶点和不相邻角的顶点，即可把三角形分成两个三角形；同理，求一个五边形的内角和，连接五边形的任一个顶点和不相邻角的顶点，把五边形分成3个三角形，再求出五边形的内角和。 26．（23-24四年级下·贵州贵阳·期末）根据三角形的内角和是180°，在四边形或五边形内任意取一点，与四边形或五边形的顶点连接，可以得到4个或5个三角形（如图1、图2），由此可以推出四边形或五边形的内角和。 四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° （1）根据上面的方法，把下图的六边形分一分，并写出六边形内角和的计算过程。 （2）观察上面的算式，你认为多边形的内角和可以怎样计算？ 【答案】（1）画图见详解；720° （2）见详解 【思路引导】 （1）如图：，可以将六边形分割成6个三角形，已知三角形的内角和为180°，用6乘180°，再减去360°，即可求出六边形的内角和。 （2）四边形的内角和＝180°×4—360°，五边形的内角和＝180°×5—360°，六边形的内角和＝180°×6—360°，那么n边形的内角和＝180°×n—360°，据此解答即可。 【规范解答】（1）如图： 180°×6—360° ＝1080°－360° ＝720° 答：六边形内角和为720°。 （2）四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° 六边形的内角和＝180°×6—360° 所以计算多边形的内角和时，用180°乘多边形的边长的数目，再减去一个360°，即可求出。即n边形的内角和＝180°×n—360° 27．（24-25四年级下·河南郑州·期末）中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 【答案】（1）我不同意聪聪的观点；理由见详解 （2） 算式：180°×6＝1080° 【思路引导】（1）求多边形的内角和时，可以将多边形分割成若干个三角形或四边形。然后根据三角形的内角和为180°、四边形的内角和为360°，来推算多边形的内角和即可。这个过程中，如果有新增的角，在计算多边形的内角和时，需要减去这部分角的度数。由题意得，聪聪把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是8×180°＝1440°。但这不是八边形的内角和，因为聪聪把中间的周角也算为了八边形的内角，所以聪聪的方法错误；乐乐把八边形分成了4个三角形和1个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于4个三角形的内角和加上1个四边形的内角。即乐乐的方法正确；贝贝把八边形分成了3个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于3个四边形的内角和。即乐乐的方法正确。 （2）把八边形添加5条辅助线，将八边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知八边形的内角和等于180°×6＝1080°。 【规范解答】（1）我不同意聪聪的观点。因为他把八边形分成了八个三角形，每个三角形的内角和是180°，180°×8表示8个三角形内角的和，但不是八边形的内角和，从图中可以看出多了一个周角，所以这个八边形的内角和是1440°－360°＝1080°，所以聪聪的观点是错误的。 （2） 算式：180°×6＝1080° 28．（23-24四年级下·河南新乡·期末）数学课中我们已经了解三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是豆豆研究四边形内角和的方法。 由此我们可以得出四边形的内角和是（    ）°。 你还有别的方法研究四边形的内角和吗？请你在下图中画一画，算一算。 【答案】360；作图见详解； 360° 【思路引导】由题意得，四边形的四个角剪下来之后组成了一个周角，即这四个角的度数之和为360°。我们还可以将四边形分成两个三角形，每个三角形的内角和为180°，那么两个三角形的内角和就是四边形的内角和。据此解答。 【规范解答】 180°×2＝360° 故四边形的内角和为360°。 29．（23-24四年级下·河南许昌·期中）由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 （1）如图1，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，三个内角和等于180°。现将三角形的三条边AB、BC、CA分别延长，形成了∠4、∠5、∠6三个角，这三个角叫三角形的外角，如图2，那么三角形的外角和等于多少度？请你把下面的推导过程补充完整。 因为：∠4＝180°－∠1；∠5＝180°－∠2；∠6＝（    ）。 所以：∠4＋∠5＋∠6 ＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3 ＝（    ）° 结论：三角形的外角和是（    ）°。 （2）如图是一个六边形。 ①请你先推导出六边形的内角和是（    ）°。 ②六边形的外角和（即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的和）等于多少度？请你写出推导过程。 （3）根据（1）、（2）的结果，请你提出一个有关多边形外角和的猜想：（    ）。 【答案】（1）、（2）见详解；（3）多边形的外角和与边数无关，任意多边形外角和都是360° 【思路引导】（1）由图示可知，∠4和∠1组成1个平角，∠5和∠2组成1个平角，∠6和∠3组成1个平角，由此可得，∠4＝180°－∠1；∠5＝180°－∠2；∠6＝180°－∠3。所以∠4＋∠5＋∠6＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝360°。 （2） ①由图可知，把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720° ②因为：∠1＝180°－∠7；∠2＝180°－∠8；∠3＝180°－∠9；∠4＝180°－∠10； ∠5＝180°－∠11；∠6＝180°－∠12。 所以：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6 ＝180°－∠7＋180°－∠8＋180°－∠9＋180°－∠10＋180°－∠11＋180°－∠12 ＝180°×6－（∠7＋∠8＋∠9＋∠10＋∠11＋∠12） ＝180°×6－180°×4 ＝180°×2 ＝360° （3）根据（1）、（2）的结果，多边形的外角和与边数无关，任意多边形外角和都是360°。 【规范解答】（1）因为：∠4＝180°－∠1；∠5＝180°－∠2；∠6＝180°－∠3 所以：∠4＋∠5＋∠6 ＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3 ＝180°×3－（∠1＋∠2＋∠3） ＝180°×3－180° ＝540°－180° ＝360° 结论：三角形的外角和是360°。 （2）①由分析可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。 ②因为：∠1＝180°－∠7；∠2＝180°－∠8；∠3＝180°－∠9；∠4＝180°－∠10； ∠5＝180°－∠11；∠6＝180°－∠12。 所以：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6 ＝180°－∠7＋180°－∠8＋180°－∠9＋180°－∠10＋180°－∠11＋180°－∠12 ＝180°×6－（∠7＋∠8＋∠9＋∠10＋∠11＋∠12） ＝180°×6－180°×4 ＝180°×2 ＝360° （3）根据（1）、（2）的结果，多边形的外角和与边数无关，任意多边形外角和都是360°。 30．（23-24四年级下·全国·课后作业）资料卡： 你知道吗？ 据《泰顺县交通志》记载，泰顺县1949年前修建的桥梁就有476座，包括33座各式廊桥，境内保存完好的唐、宋、明、清代的木拱廊桥达30余座。泰顺廊桥主要有：北涧桥、仙居桥、文重桥等。最为著名的就是泗溪廊桥，泗溪廊桥主要包括北涧桥和溪东桥等。始建于明隆庆四年（1570），清乾隆十年（1745）、道光七年（1827）重修，此桥无桥墩，由粗木架成八字形伸臂木拱，颇为罕见。桥外型美观，号称“最美的廊桥”。 请根据以上资料卡中信息自主选择问题并解答。 (1)资料图中泗溪廊桥下有两个三角形，它们是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 (2)资料图中的这类三角形可能藏在（    ）的长方形纸后面。 A． B． C． (3)李磊同学有两根长度分别为2cm、4cm的木条，他想钉这个廊桥桥下右边的三角形木框模型，现有下面四根木条供他选择，他选（    ）长的木条合适。 A．2cm B．5cm C．6cm D．8cm (4)把一个三角形剪一刀，剪去一个20°的角后（如图）。 ①剩下图形的内角和是多少度？你是怎么想的？ ②小李同学用上图的方法求出剩下图形的内角和，他的算式是： ③如果让你自己来剪一刀，剩下图形的内角和可能为多少度？ 画一画： 算一算： 还可以怎么剪？ (5)“此桥无桥墩，由粗木架成八字形伸臂木拱，颇为罕见。”那这座廊桥是怎么支撑的？请结合自己所学的数学知识说说想法。 【答案】(1)C (2)C (3)B (4)①剩下图形的内角和是360°，剩下图形是四边形，四边形的内角和等于360°； ②（3－2）×180°＝1×180°＝180°，180°×2＝360°； ③图形见详解；360° (5)见详解 【思路引导】（1）大于0度小于90度的角是锐角，等于90度的是直角，大于90度小于180度的角是钝角，根据三角形内角和等于180度，观察图中泗溪廊桥下的两个三角形，它们最大的角大于90度，所以两个三角形是钝角三角形； （2）观察选项A可以看到的角是一个直角，所以是一个直角三角形，不符合题意；选项B看到的两角大小相同，都是锐角，所以应该是等腰直角三角形，不符合题意；图形C可以看到的角是一个较小的锐角，图形C应该是钝角三角形，所以资料图中的这类三角形可能藏在的长方形纸后面； （3）三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此选择即可解答； （4）①剩下图形的内角和是360°，根据图形可知，把一个三角形剪一刀，剪去一个20°的角后，剩下图形是由两个三角形组成四边形，四边形的内角和等于360°； ②根据图示，把一个三角形剪一刀，剪去一个20°的角后，剩下图形分割成两个三角形，三角形内角和等于180°，n边型的内角和为（n－2）×180°，所以三角形内角和为（3－2）×180°＝1×180°＝180°，180°×2＝360°； ③根据题意画出一个三角形剪去20°的角后的图形，然后计算出剩下图形内角和的度数； （5）这座廊桥是通过利用三角形的稳定性和坚固性来支撑整个结构，使其能够承受外部力的作用并保持稳定。三角形的稳定性是由其内部的构造特点决定的。在一个三角形结构中，三条边相互作用，相互支撑，使得整个结构能够承受外部的压力和重量。能够有效地防止结构的变形和倒塌。由于三角形结构内部的构造特点，使得其具有很高的抗压和抗拉能力。无论是受到外部的压力还是拉力，三角形结构都能够有效地分散和承受这些力量，从而保证结构的稳定性和安全性。 【规范解答】（1）资料图中泗溪廊桥下有两个三角形，它们是钝角三角形。 故答案为：C （2） 资料图中的这类三角形可能藏在的长方形纸后面。 故答案为：C （3）A．2厘米，2＋2＝4（厘米），不能组成三角形； B．5厘米，2＋4＝6（厘米），6厘米＞5厘米，可以组成三角形； C．6厘米，2＋4＝6（厘米），6厘米＝6厘米，不能组成三角形； D．8厘米，2＋4＝6（厘米），6厘米＜8厘米，不能组成三角形； 李磊同学有两根长度分别为2cm、4cm的木条，他想钉这个廊桥桥下右边的三角形木框模型，现有下面四根木条供他选择，他选5厘米长的木条合适。 故答案为：B （4）①剩下图形的内角和是360°，剩下图形是四边形，四边形的内角和等于360°； ②n边型的内角和为（n－2）×180°，所以三角形内角和为（3－2）×180°＝1×180°＝180°，180°×2＝360°； ③把一个三角形剪去一个20°角，剩下的图形变成一个四边形，四边形的内角和：n边型的内角和为（n－2）×180°，所以四边形内角和为（4－2）×180°＝360°， 画一画： 算一算：（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° （5）这座廊桥是通过利用三角形的稳定性和坚固性来支撑整个结构，使其能够承受外部力的作用并保持稳定。三角形的稳定性是由其内部的构造特点决定的。在一个三角形结构中，三条边相互作用，相互支撑，使得整个结构能够承受外部的压力和重量。能够有效地防止结构的变形和倒塌。由于三角形结构内部的构造特点，使得其具有很高的抗压和抗拉能力。无论是受到外部的压力还是拉力，三角形结构都能够有效地分散和承受这些力量，从而保证结构的稳定性和安全性。 31．（21-22四年级下·山东菏泽·期末） 已知三角形的内角和是180°。求四边形ABCD的内角和多少度？ 思考过程：连接AD，AD将四边形ABCD分成两个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。 已知一个三角形的内角和是180°。求：五边形的内角和是多少度？（请仿照方法，画图并将你的思考过程写下来。） 思考过程： 【答案】540°；画图及思考过程见详解。 【思路引导】求多边形内角和的度数，关键是从一个顶点出发将多边形分成多个三角形，三角形的内角和是180°，有几个三角形就有几个180°。 【规范解答】 （答案不唯一） 思考过程： 连接AC，AD，将五边形分成三个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是180°×3＝540°。 答：五边形的内角和是540度。 【考点剖析】本题考查的是多边形内角和的探究，关键是将多边形转化为三角形来进行计算。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $