课题学习 多边形的内角和（举一反三培优讲义）知识梳理+6个考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

该小学数学讲义通过思维导图和知识梳理系统构建多边形内角和知识体系，涵盖定义、性质、内角和公式推导等核心内容，用表格呈现看图计算角度、探究内角和等6个高频考点，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于“一讲多练”的考点设计，如通过分割三角形推导多边形内角和培养推理意识，结合八角窗等实际情境的真题演练发展几何直观，分层训练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学提升复习效率。

2025-2026学年苏教版数学四年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 课题学习 多边形的内角和『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+6个考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题） 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点 考点名称 高频考点一 看图列式计算角度 高频考点二 探究多边形内角和 高频考点三 作图题（计算角度大小） 高频考点四 折叠问题 高频考点五 分割问题 高频考点六 思维拓展题 模块二 导图指引 梳理脉络 模块三 知识精讲 单元小结 知识点一 多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 知识点二 多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有n个顶点的多边形可以分解成n-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180 度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为 (6 - 2) × 180 度 = 720 度。 知识点三 多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式 (n - 2) × 180 度 计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多边形内角和公式的推导过程。 知识点四 多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如相似多边形、全等多边形等。 模块四 考点讲练 培优提升 高频考点一 看图列式计算角度 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课后作业）如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【答案】； 【思路引导】通过观察图形，利用三角形内角和为180°以及四边形内角和为360°的性质，结合已知角的度数逐步计算出∠2和∠7的度数。 【规范解答】在包含∠2、∠8和∠4的三角形中，已知∠8=90°，∠4=70°，根据三角形内角和为180°， 可得 在包含∠1、∠2和∠3的平角中，已知∠2=20°，∠3=90°，根据平角为180°， 可得 在包含∠7、∠6、∠1和∠5的四边形中，已知∠6=120°，∠1=70°，∠5=90°，根据四边形内角和为360°。 可得 = 答：∠2的度数为20°，∠7的度数为80°。 【变式训练1】（24-25四年级下·河南南阳·期末）求下图中未知角的度数。 【答案】55° 【思路引导】 直角是90°，三角形的内角和是180°，如图所示：，此时梯形的内角和是180°×2，也就是360°，所以用360°减去已知3个角的度数即为未知角的度数。 【规范解答】180°×2＝360° 360°－90°－90°－125° ＝270°－90°－125° ＝180°－125° ＝55° 未知角的度数是55°。 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西西安·期中）如图所示，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠D是∠B的4倍，那么∠D和∠B分别是多少度？ 【答案】160°；40° 【思路引导】根据四边形内角和定理，四边形ABCD的内角和为360°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠ D＝360°，已知∠A＋∠C＝160°，求∠B＋∠D的度数用360°减去∠A和∠C的度数和；求∠B的度数，因为∠D是∠B的4倍，∠D的度数是4×∠B，∠B＋∠D的度数和就是∠B度数的（1＋4）倍，用除法可以算出∠B的度数，最后根据∠D是∠B的4倍，用乘法算出∠D的度数。 【规范解答】∠B＝（360°－160°）÷（1＋4） ＝200°÷5 ＝40° ∠D＝4×40°＝160° 所以∠D＝160°，∠B＝40°。 【变式训练3】（23-24四年级下·四川南充·期末）求出下图中未知角的度数。 【答案】135° 【思路引导】四边形的内角和等于360°，已知四边形中三个角的度数，用四边形的内角和减去已知的三个角可得剩下的角的度数。 【规范解答】360°－90°－65°－70° ＝270°－65°－70° ＝205°－70° ＝135° 即图中未知角的度数是135°。 高频考点二 探究多边形内角和 【典例精讲】（25-26四年级上·山东烟台·期末）成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是( )度，下面是成成利用所学知识研究五边形内角和的三种方法，你能用算式表达出成成的研究思路吗？ ______________       ______________       ______________ 【答案】 360 （度） （度） （度） 【思路引导】把四边形分成两个三角形，三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。 第一种把五边形分成三个三角形，三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和180°×3＝540°。 第二种把五边形分成一个三角形和一个四边形，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，所以五边形的内角和180°＋360°＝540° 第三种把五边形分成五个三角形，三角形的内角和是180°，180°×5＝900°，再减去一个周角360°，所以五边形的内角和是900°－360°＝540°。 【规范解答】成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是360度。 【变式训练1】．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）根据以上的分析，六边形的内角和是多少度呢？在图上画一画，表示出自己的想法。 【答案】作图见详解；720° 【思路引导】求多边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角之和。据此解答。 【规范解答】根据题意作图如下： 由图可知，这个六边形可以分成4个三角形。 180°×4＝720° 答：六边形的内角和是720°。 【变式训练2】（24-25四年级下·山西吕梁·期末）我们通过折一折、撕一撕的方法可以得到三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是三位同学的探究过程。 （1）这三位同学的思考过程对吗？在对的里画“√”。 （2）妙想也呈现了自己的探究方法，如下： 180°×4－360°＝360° 你同意妙想的方法吗？请你试着说说她的思路。 【答案】（1）见详解 （2）同意。思路：把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【思路引导】（1）笑笑：通过将四边形的四个角折拼，形成一个周角（360°），方法正确，在□里画“√”。 淘气：将四边形分成两个三角形，因为一个三角形内角和是180°，所以两个三角形内角和是180°×2＝360°，方法正确，在□里画“√”。 奇思：将四边形分成三个三角形，三个三角形内角和是180°×3＝540°，但这种分法多算了中间的一个平角（180°），实际四边形内角和不是540°，方法错误。 （2）把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【规范解答】 （1） （2）答：同意妙想的方法。把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【变式训练3】（24-25四年级下·河南郑州·期末）同学们利用三角形内角和探索四边形的内角和时所采用了四种不同的方法。具体如下图：       （1）请在你认为正确的方法旁边的□里打“√” （2）请根据以上经验选择你喜欢的方法研究五边形的内角和，先在下图中画出示意图，再列式计算。        【答案】（1）见详解 （2）540°；图见详解 【思路引导】（1）方法1：把四边形的4个角剪下来拼在一起，刚好拼成一个周角，说明四边形的内角和等于360°。 方法2：一个顶点与不相邻的顶点相连，把四边形分成2个三角形，四边形的内角和等于这2个三角形的内角和，三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于180°×2＝360°。 方法3：在一边上取一点，这点与其他顶点相连，把四边形分成3个三角形，3个三角形的内角和减去一个平角的度数等于四边形的内角和，所以四边形的内角和等于180°×3－180°＝540°－180°＝360°。 方法4：在四边形内取一点，分别与各个顶点相连，把四边形分成4个三角形，4个三角形的内角和减去一个周角的度数等于四边形的内角和，所以四边形的内角和等于180°×4－360°＝720°－360°＝360°。 （2）一个顶点与不相邻的顶点分别进行连线，把五边形分成5－2＝3（个）三角形，五边形的内角和等于3个三角形的内角和，所以五边形的内角和为（5－2）×180°，据此即可解答。 【规范解答】（1）根据分析可知，4种方法都正确，如下图： （2） （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五边形的内角和是540°。 高频考点三 作图题（计算角度大小） 【典例精讲】（24-25四年级下·河北邢台·期末）按要求做题。 （1）下边的平行四边形已经画了两条边，请你接着把它画完整，并在图中画出一条高。 （2）画一条线段，把这个平行四边形分成两个三角形，并算一算平行四边形的内角和。 【答案】（1）见详解 （2）见详解；360° 【思路引导】（1）先在给出的两条线段的两个端点，分别画出与已知线段平行的线段，使其相交后便能得到一个平行四边形。然后，从任意一个顶点向对边（或其延长线）画一条垂线，这条垂线即为平行四边形的一条高. （2）从平行四边形的一个顶点到对角的另一个顶点画一条线段，将平行四边形分成两个三角形。由于每个三角形的内角和都是180°，因此把这两个三角形的内角和加起来，就得到平行四边形的内角和为360°。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）画图如下： （2） 180°×2＝360° 答：平行四边形的内角和是360°。 【变式训练1】（24-25四年级下·浙江温州·期末）小明将一个长方形截去一个直角（如下图），剩下图形的内角和是多少度？ （1）先在图上画一画。 （2）列式计算。 【答案】（1）见详解 （2）540° 【思路引导】（1）由题意得，小明将一个长方形截去一个直角，剩余部分是一个五边形。求五边形的内角和，可以先将五边形分成几个三角形。分成了几个三角形，那么五边形的内角和就等于几个三角形的内角和。 （2）由（1）可得，五边形可以分成3个三角形，那么五边形的内角和就等于3个三角形的内角和。三角形的内角和为180°，直接用180°乘上3即可算出五边形的内角和。 【规范解答】（1）如图： （2）180°×3＝540° 答：剩下图形的内角和是540°。 【变式训练2】（24-25四年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末） （1）请在三角形内画一条直线，将原来三角形分成一个三角形和一个四边形。 （2）请在三角形中画出任意一底的高。 （3）四边形的内角和是____，一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是___边形，试着在上面画草图验证。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）360°；八；草图验证见详解 【思路引导】（1）在相邻的两边上各取一点（非顶点），然后把两点连接起来即可把三角形分成一个三角形和一个四边形。 （2）从三角形的顶点作对边的垂线段即为三角形的高。 （3）多边形的内角和＝180°×（边数－2），所以四边形的内角和是180°×（4－2）＝360°；一个多边形的内角和是1080°，用1080°除以180°，再加2即等于多边形的边数；画一个八边形，然后把一个顶点与其他不相邻的顶点连接起来，把八边形分成6个三角形，一个三角形的内角和等于180°，6个三角形的内角和等于180°×6＝1080°，据此即可验证。 【规范解答】 （1） （画法不唯一） （2） （画法不唯一） （3）180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 1080°÷180°＋2 ＝6＋2 ＝8 180°×6＝1080° 所以，四边形的内角和是360°，一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是八边形。 【变式训练3】（23-24四年级下·云南昭通·期末）探索多边形的内角和。 （1）我会画图：根据“三角形的内角和是180度”这一结论，分别将下面的四边形和五边形分成三角形来研究，请动手画一画。 （2）我分析：四边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）；五边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（    ）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为（    ）。 【答案】（1）作图见详解 （2）2；180°×2＝360°；3；180°×3＝540° （3）n－2；180°×（n－2） 【思路引导】（1）由题意得，直接将四边形和五边形分成几个三角形即可。 （2）由图可知，四边形可以分成2个三角形，那么它的内角和就等于2个三角形的内角和。求四边形的内角和，列式为：180°×2＝360°；五边形可以分成3个三角形，那么它的内角和就等于3个三角形的内角和。求五边形的内角和，列式为：180°×3＝540°。 （3）由（2）可知，四边形可以分成2个三角形，五边形可以分成3个三角形，那么n边形可以分成（n－2）个三角形，它的内角和就等于（n－2）个三角形的内角和。求n边形的内角和，列式为：180°×（n－2）。 【规范解答】（1） （画法不唯一） （2）四边形可以分成2个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为180°×2＝360°；五边形可以分成3个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为180°×3＝540°。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（n－2）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为180°×（n－2）。 高频考点四 折叠问题 【典例精讲】（24-25四年级下·山东临沂·期末）如图，把长方形纸片的一个角折起来。∠1＋∠2＝( )°。将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个( )边形，这个图形的内角和是( )°。 【答案】 90 五 540 【思路引导】 折起来的是一个三角形，长方形的四个角都是直角，∠4＝90°，∠4＝∠3，三角形内角和等于180°，用180°－90°，即可求出∠1＋∠2的度数；将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（n－2）×180°，即可求出五边形的内角和。 【规范解答】180°－90°＝90° （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 把长方形纸片的一个角折起来。∠1＋∠2＝90°。将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个五边形，这个图形的内角和是540°。 【变式训练1】（24-25四年级下·广西南宁·期末）如图，把长方形纸片的一个角折叠起来。 ∠1＋∠2＝( )°，把折起来的这个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°。 【答案】 90 540 【思路引导】 如图，折起来的是一个三角形，长方形的四个角都是直角，∠4＝90°，∠4＝∠3，三角形内角和等于180°，用180°－90°，即可求出∠1＋∠2的度数；将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（边数－2）×180°，即可求出五边形的内角和。 【规范解答】∠1＋∠2＝180°－90°＝90° 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 因此，∠1＋∠2＝90°，把折起来的这个角剪掉，剩下图形的内角和是540°。 【变式训练2】（24-25四年级下·浙江宁波·期末）将下面的正方形按照图中的方式向上折叠，折叠后的四边形内角和是( )°，( )°，( )°。 【答案】 360 65 40 【思路引导】根据多边形内角和公式（n－2）×180°，求出四边形的内角和；因为正方形按照图中的方式向上折叠的，所以∠1＝∠4，∠3＝25°；根据三角形的内角和是180°，已知一个直角和另一个角的度数，求出∠4的度数，因为∠1＝∠4。就求出∠1的度数；∠2、∠3和25°组成了直角90°，∠3＝25°，可以求出∠2的度数。 【规范解答】（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠4＝180°－90°－25° ＝90°－25° ＝65° ∠1＝∠4＝65° ∠2＝90°－25°－25° ＝65°－25° ＝40° 所以，将下面的正方形按照图中的方式向上折叠，折叠后的四边形内角和是180°，65°，40°。 【变式训练3】（24-25四年级下·山东滨州·期末）在数学学习过程中，我们常常经历猜想、验证、得出结论的探究过程。 (1)仔细观察下面的验证过程，可以得出的数学结论是：________。 (2)现在把手中的三角形剪掉一个角，得到一个四边形，如图： 借助知识的迁移，先在四边形中画一画，再写一写，推算出四边形的内角和： ____________________________________________________________ (3)再把手中的四边形剪掉一个角，得到一个五边形，同理可推导出则五边形的内角和是( )。 【答案】(1)三角形的内角和等于180° (2)四边形的内角和：2×180°＝360° (3)540° 【思路引导】（1）先通过第一个三角形的三个内角拼在一起等于多少度，猜想三角形的内角和等于多少度，再通过后面两个三角形的内角和验证猜想是否是正确的，然后得出结论。 （2）利用三角形内角和定理计算四边形的内角和。 （3）利用三角形内角和定理，推导出则五边形的内角和，即可解答。 【规范解答】（1）（1）图中第一个三角形的三个内角拼在一起来正好拼成一个平角，即等于180°，猜测所有三角形的内角和都是180°；图中第二个三角形的三个内角拼在一起拼成一个平角，也等于180°； 图中第三个三角形是一个直角三角形，两个锐角拼在一起拼成一个直角，等于90°，加上三角形的直角的度数也正好等于180°。 所以我想到的数学结论是：三角形的内角和等于180°。 （2） 把四边形分成2个三角形， 四边形的内角和：2×180°＝360°。 （3） 把五边形添加2条辅助线，将5边形分割成3个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知五边形的内角和等于180°×3＝540° 五边形的内角和是540°。 高频考点五 分割问题 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北武汉·期末）如图所示，一个四边形截去一个角，剩下的①号图形的内角和是( )度。 【答案】540 【思路引导】观察上图可知，四边形截去一个角后变成了五边形，多边形的内角和＝180°×（n－2）可知，五边形的内角和为：180°×（5－2）＝540°，据此即可解答。 【规范解答】180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 剩下的①号图形的内角和是540度。 【变式训练1】（24-25四年级下·四川成都·期末）如图，将等边三角形沿虚线剪去，在剩下的四边形中，( )°。 【答案】240 【思路引导】等边三角形的三个角相等，都是60°。三角形内角和是180°，∠1是60°，等边三角形剩下的两个角的度数和是180°－60°＝120°。而剪去一个三角形，剩下的是一个四边形。四边形的内角和＝（边数－2）×180°。用四边形的内角和减去120°就是∠2＋∠3的度数之和。 【规范解答】180°－60°＝120° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°－120°＝240° 所以，∠2＋∠3＝240°。 【变式训练2】（24-25四年级下·贵州黔南·期末）挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（    ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（    ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。 【答案】（1）60； （2）360；看剩下部分图形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是剩下部分图形的内角和。（方法不唯一） 【思路引导】（1）三角形的内角和是180°，直角是90°。根据图示可知，∠B是直角，用180°减去∠C和∠B的度数，即可求出∠A的大小。 （2）根据图示可知，剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形是四边形。从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和；据此解答。 【规范解答】（1）180°－30°－90° ＝150°－90° ＝60° 所以∠A＝60°； （2）如图，剩下部分图形分成了2个三角形，也就是四边形可以分割成2个三角形，即四边形的内角和是2个三角形内角和的和，180°×2＝360°，所以剩下部分图形的内角和是360°。（方法不唯一） 【变式训练3】（24-25四年级下·山东德州·期末）如图，在三角形中，∠1＝45°，∠2＝( )°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余图形的内角和是( )°。 【答案】 20 360 【思路引导】三角形的内角和是180°，用180°减115°，再减∠1的度数，即可求出∠2的度数。沿着虚线剪下一个小三角形后，剩余的图形是一个四边形，四边形的内角和是360°。 【规范解答】∠2＝180°－115°－∠1＝180°－115°－45°＝65°－45°＝20° 在三角形中，∠1＝45°，∠2＝20°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余图形的内角和是360°。 高频考点六 思维拓展题 【典例精讲】五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形    180° 60° 正方形      360° 90° 正五边形       （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图1中∠1的度数吗？ （3）图2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。 【答案】（1）540°；108°； （2）36°； （3）180° 【思路引导】（1）多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，正五边形有5条边，5条边的长度相等，且5个内角也相等，依此计算。 （2）标准的五角星中，每条边的长度都相等，因此∠1所在的小三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，1平角是180°，因此用180°减正五边形其中一个内角的度数，即可计算出∠6的度数，三角形的内角和是180°，因此用180°减2个∠6的度数即可，依此计算。 （3）由（2）可知，一个标准的五角星的每个角都是36°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和为5个36°，依此计算。      【规范解答】（1）（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷5＝108°，即填表如下： 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形 180° 60° 正方形 360° 90° 正五边形 540° 108° （2）180°－108°＝72° 180°－72°－72°＝36° 答：图1中∠1的度数是36°。 （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝36°＋36°＋36°＋36°＋36° ＝180° 【考点剖析】解答此题的关键是要熟练掌握多边形的内角和的计算方法，以及应掌握平角的特点。 【变式训练1】如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【答案】(1) 30 60 (2)15 (3)240 【思路引导】（1）斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形三边相等，等边三角形三个角都是60°，而2个∠1＝∠2，所以∠1是∠2度数的一半； （2）因为正方形的边长等于三角形边长，而三角形为等边三角形，三角形的周长为三边之和； （3）等边三角形三个角都是60°，四边形的内角和为360°，所以∠3＋∠4＝360°－60°－60°；据此解答。 【规范解答】（1）60°÷2＝30°，所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是15厘米。 （3）360°－60°－60°＝240°，所以∠3＋∠4＝240°。 【考点剖析】掌握等边三角形的概念，以及四边形的内角和是解答本题的关键。 【变式训练2】数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                        ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【答案】（1）见详解； （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【思路引导】（1）欢欢同学把四边形的4个角剪下来，拼接成一个周角，适用于所有的四边形，方法正确，但拼接的过程过于繁琐；玲玲同学把一个四边形剪拼成4个三角形，这样四个三角形的内角和就比四边形的内角和多出一个周角的度数，用4个三角形内角度数的总和减去一个周角的度数，可以求出四边形的内角和，适用于所有的四边形，方法正确，但这种方法过于繁琐；如图，小华把四边形剪拼成三个三角形，这样四边形的内角和就等于三个三角形内角和的总和减去一个平角的度数，错误；乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，这种方法易操作，适用于所有所有四边形，是正确的推导四边形内角和的方法。 （2）乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，即：四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【规范解答】（1）根据分析可知，乐乐、欢欢、玲玲的方法正确。 （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【考点剖析】本题主要考查了四边形内角和的推导过程，从不同的角度不断尝试探索，获取最简洁、正确的解题方法。 【变式训练3】（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 【答案】（1）360度；思考过程见分析 （2）画图和计算见详解；360度；360度 （3）任意多边形的外角和都是360° 【思路引导】（1）三角形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，平角度数180度，平角度数×3＝三个平角的度数和，三角形的内角和是180度，则三角形的外角和＝三个平角的度数和－三角形内角和。 （2）观察三角形外角与内角的关系，可以发现每个外角都与它所附的内角“成一直线”，即外角 ＋ 内角 ＝180°。由于三角形内角和是180°，那么当我们依次“转过”三角形的各个顶点时，三个外角一共就转了一整圈（360°）。因此，三角形的三个外角和是360°。 同上，画一画、四边形或五边形的每个外角，再将这些外角相加，你会发现四边形的四个外角和、五边形的五个外角和都一样是360°。 四边形可以分成2个三角形，四边形的内角和＝180度×（4－2），据此计算出四边形的内角和，四边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，四边形的外角和＝四个平角度数的和－四边形的内角和。 五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和＝180度×（5－2），据此计算出五边形的内角和，五边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的5个平角，五边形的外角和＝五个平角度数的和－五边形的内角和。 （3）根据以上计算出的三角形、四边形和五边形的外角和进行猜想即可。 【规范解答】（1）180×3－180 ＝540－180 ＝360（度） 答：三角形三个外角的和是360度。 （2） 180×4－180×（4－2） ＝720－180×2 ＝720－360 ＝360（度） 180×5－180×（5－2） ＝900－180×3 ＝900－540 ＝360（度） 答：四边形四个外角的和是360度，五边形五个外角的和是360度。 （3）三角形、四边形和五边形的外角和都是360°。 根据结论得到的猜想是：任意多边形的外角和都是360°。 【考点剖析】关键是掌握多边形内角和的计算方法，明确平角的度数。 模块五 真题演练 实战操作 【真题演练1】（24-25四年级下·山西晋中·期末）八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【答案】图见详解； 1080°； 【思路引导】把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是180°×8＝1440°，通过观察图形可知，在分成8个三角形后，原来八边形的度数和就多了中间的一个周角即360°。所以八边形的内角和等于分成的8个三角形的内角和减去中间一个周角的度数。 【规范解答】 180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 【真题演练2】（24-25四年级下·四川广安·期末）正六边形作为中国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居；配饰所用，如首饰、古建的窗户、古井的口、佛塔等等。如图，在古建筑中经常会看到这样的正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察这个正六边形窗户（    ）轴对称图形。（填“是”或“不是”） （2）小贝在探究四边形内角和时候想到他知道1个三角形的内角和是，所以他是这样做的： 请你根据小贝的探究方式，或者你其他的学习经验，试着探究下面六边形的内角和，并把思考过程用自己喜欢的方式表示出来（提示：可以画一画、算一算、写一写。） 【答案】（1）是 （2）见详解 【思路引导】（1）在平面内，若一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。正六边形窗户能找出这样的直线，所以符合轴对称图形的定义。 （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分为4个三角形，用180°×4，即可得到这个六边形的内角和是多少度。 【规范解答】（1）由分析得：这个正六边形窗户是轴对称图形。 （2）180°×4＝720° 作图如下： 所以这个六边形的内角和为720°。 【真题演练3】（24-25四年级下·山西长治·期末）由下图可知，五边形的内角和是( )°，六边形的内角和是( )°。 【答案】 540 720 【思路引导】左图中将一个五边形分成了3个三角形，三角形的内角和是180°，180°×3＝540°，所以五边形的内角和是540°。 右图中将一个六边形分成了4个三角形，三角形的内角和是180°，180°×4＝720°，所以六边形的内角和是720°。 【规范解答】180°×3＝540° 180°×4＝720° 五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。 【真题演练4】（23-24四年级下·湖北荆州·期末）下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 【答案】360° 【思路引导】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180°，且五边形内角和为（52）×180°，也就是∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°，再用180°×5540°即可算出正确答案。 【规范解答】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝（52）×180° ＝3×180° ＝540° 那么∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10 ＝（180°∠1）＋（180°∠2）＋（180°∠3）＋（180°∠4）＋（180°∠5） ＝180°×5（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5） ＝900°540° ＝360° 答：∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是360°。 【考点剖析】要计算这5个角的度数，必须认真观察，从中找出规律，经过观察发现∠1、∠6组成一个平角，同理，∠2、∠7等相邻的两个角也都是组成一个平角，其中∠1、∠2、∠3、∠4和∠5是一个五边形的内角，再经过转化后就可以计算出这些角度数的和。 【真题演练5】（24-25四年级下·福建龙岩·期末）操作。 （1）画出图①这个轴对称图形的另一半，画完后整个图形的面积是（    ）平方厘米，内角和是（    ）°。 （2）画出图②底边上的高。 （3）画出图②先向左平移6格，再向下平移5格后的图形。 【答案】（1）画图见详解；10；720 （2）见详解 （3）见详解 【思路引导】（1）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。补全图形后，数一数整个图形占多少个小格子，即可知道这个图形的面积是多少，数的时候要注意，2个半格算1个整格，1个整格是1平方厘米；多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 （2）以直角三角形的一条直角边与底边重合，另一条直角边过底边所对应的顶点，从顶点沿着这条直角边，画到底边的垂线，所画垂线就是图②底边上的高。 （3）将图②中的三个点分别向左平移6格，再向下平移5格，然后依次连接，即可画出图②平移后的图形。据此解答。 【规范解答】（1）画图如下，画完后的整个图形面积是10平方厘米；这个图形是一个六边形，内角和为：（6－2）×180°＝4×180°＝720°。 （2）（3）画图如下： 模块六 分层训练 突破自我 『基础夯实 能力提升』 1．（24-25四年级下·河北石家庄·期末）如图，把五边形分割成3个三角形，可以计算出五边形的内角和是（    ）度。 A．540 B．360 C．180 【答案】A 【思路引导】已知三角形的内角和是180°，从图中可以看到，把五边形分割成了3个三角形，那么五边形的内角和等于3个三角形的内角和之和。 【规范解答】180°×3＝540° 所以，五边形的内角和是540°。 故答案为：A 2．（24-25四年级下·江苏盐城·期末）蜜蜂的蜂巢构造非常精巧，每个小房间的横截面都是一个完美的正六边形。算一算正六边形的内角和是（    ）°。 A．540 B．720 C．900 D．1080 【答案】B 【思路引导】多边形的内角和＝180°×（边数－2），所以正六边形的内角和＝180°×（6－2），据此即可解答。 【规范解答】180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 正六边形的内角和是720° 故答案为：B 3．（24-25四年级下·江苏南通·期末）下面是四位同学探索五边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】在求五边形内角和时，可以将五边形分成若干个三角形，或四边形和三角形的组合图形，利用三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°，求出五边形的内角和。注意分成的图形中，各个内角度数和应该等于五边形的内角和；或用各个内角度数和减去不属于五边形内角的度数；据此逐项分析。 【规范解答】A．四边形内角和是360°，三角形的内角和为180°，可以算出五边形内角和是：360°＋180°＝540°该选项正确； B．分成5个三角形，中间的周角不是五边形的内角，应减去周角度数，可以算出五边形的内角和是：180°×5－360°＝900°－360°＝540°该选项正确； C．分成2个四边形，平角不是五边形内角，应减去平角度数，但是题图未提及减去平角度数，所以此种方法不能算出五边形内角和； D．三角形内角和为180°，3个三角形内角和为180°×3＝540°，可以算出五边形内角和，该选项正确。 故答案为：C 4．（24-25四年级下·全国·课后作业）梯形的一条对角线把它分成( )个三角形，每个三角形的内角和是( )°，所以梯形的内角和是( )°。 【答案】 2 180 360 【思路引导】梯形是四边形，连接其一条对角线，可将其分割为2个三角形；三角形的内角和固定为180°，梯形的内角和等于这2个三角形的内角和之和。 【规范解答】对角线分割的三角形数量：2个； 每个三角形的内角和：180°； 梯形的内角和： 梯形的一条对角线把它分成2个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以梯形的内角和是360°。 5．（25-26四年级上·全国·课后作业）已知三角形的内角合起来能组成1个平角，那么四边形的内角合起来能组成几个平角？五边形呢？试着将探究过程补充完整。 (1)如图，虚线将四边形分成了( )个三角形，每个三角形的内角合起来能组成1个平角，( )个三角形的内角合起来能组成( )个平角，所以四边形的内角合起来能组成( )个平角。 (2)如图，虚线将五边形分成了( )个三角形，每个三角形的内角合起来能组成1个平角，( )个三角形的内角合起来能组成( )个平角，所以五边形的内角合起来能组成( )个平角。 【答案】(1) 2 2 2 2 (2) 3 3 3 3 【思路引导】通过将多边形分割成三角形，利用三角形内角和为1个平角的知识，推导多边形内角合起来能组成平角的个数。 【规范解答】（1）对角线将四边形分成了2个三角形，每个三角形的3个内角合起来能组成1个平角，2个三角形的内角合起来能组成2个平角，所以四边形的内角合起来能组成2个平角； （2）对角线将五边形分成了3个三角形，每个三角形的3个内角合起来能组成1个平角，3个三角形的内角合起来能组成3个平角，所以五边形的内角合起来能组成3个平角。 6．（24-25四年级下·湖南永州·期末）把一个长方形框架拉成平行四边形，四个内角的度数之和变了。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据四边形的内角和定理，任意四边形的内角和都是360°。将长方形拉成平行四边形时，虽然形状改变，但四边形的基本属性未变，因此内角和保持不变。 【规范解答】长方形的四个内角都是90°，内角和为4×90°＝360°。当拉成平行四边形后，每个内角的度数可能变为锐角或钝角，但四边形的内角和始终为（4−2）×180°＝2×180°＝360°。因此，四个内角的度数之和没有变化，题中说法错误。 故答案为：× 7．（2025四年级·全国·专题练习）计算图中∠2的度数。 【答案】∠2＝120° 【思路引导】根据图可看出这是一个五边形，先求出五边形的内角和，即：，∠2的度数就是用五边形的内角和减去另外四个角的度数，据此解答即可。 【规范解答】                                     8．（24-25四年级下·全国·单元测试）下面是同学们在探究四边形的内角和时使用的几种方法。 方法一：拼一拼 方法二：分成2个三角形 180°×2＝360° 方法三：分成4个三角形 180°×4－360°＝360° （1）选择你喜欢的方法，在图上画一画，并计算出它们的内角和。 五边形的内角和： 。 六边形的内角和： 。 （2）一个多边形的内角和是900°，它是一个几边形？ 【答案】（1）图见详解；540°；720°； （2）七边形 【思路引导】（1）五边形可以分割成5－2＝3（个）三角形。 因为每个三角形内角和是180°，所以五边形内角和为180°×（5－2） ；六边形可以分割成6－2＝4（个）三角形。 因为每个三角形内角和是180°，所以五边形内角和为180°×（6－2） ； （2）观察可知，分割成的三角形个数比多边形的边数少2，所以多边形内角和公式为（边数－2）×180°；据此解答。 【规范解答】（1） 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 所以五边形的内角和为540°，六边形的内角和为720°。 （2）900÷180＝5 5＋2＝7 答：一个多边形的内角和是900°，它是一个七边形。 9．（24-25四年级下·全国·课后作业）将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能是多少度？ 【答案】360°或540°或720° 【思路引导】一个五边形剪去一个角后，分三种情况：变为四边形，变为五边形，变为六边形。如图所示，分别求出它们的内角和即可。 【规范解答】情况一：沿对角线剪去一个角此时五边形的边数减少1，剩下的图形是四边形。可得内角和为 （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 情况二：经过一个顶点剪去一个角此时五边形的边数不变，剩下的图形还是五边形。可得内角和为 （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 情况三：不经过顶点剪去一个角此时五边形的边数增加1，剩下的图形是六边形。内角和为 （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 答：将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能360°或540°或720°。 10．（24-25四年级下·河南许昌·期末）按要求画一画，算一算，填一填。 （1）先补全下面这个轴对称图形，再将补全后的图形向右平移4格。 （2）求“补全后的图形内角和是多少”，可以用前面学过的知识来探究： 方法一：可以将四个内角剪下来，拼成一个__________角，是__________度。 方法二：可以将它分成两个三角形，每个三角形的内角和为__________度，两个三角形的内角和合起来是__________度。 （3）利用第（2）题中的方法二可以探究任意多边形的内角和。画一画，算一算，你一定能发现其中的奥秘。请填一填。 图形 （图略） …… 边数 3 4 5 6 9 … 内角和 180° 180°×_____ 180°×_____ … 【答案】（1）图见详解； （2）周；360；180；360； （3）2；3；180°×4；180°×7 【思路引导】（1）根据轴对称图形的性质，各对称点到对称轴的距离相等，据此先描出各对称点的位置，然后顺次连接各点画出轴对称图形的另一半；再根据图形平移的性质，图形平移后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化，将关键点向右平移4格，再依次连接，画出平移后图形，据此画图即可； （2）根据观察补全后的图形发现该图形为四边形，四边形的四个内角剪下来可以拼成一个周角，而周角＝360°；三角形的内角和为180°，两个三角形内角和为180°×2＝360°； （3）观察题目中的图示，四边形可以分成2个三角形，内角和为180°×2，五边形可以分成3个三角形，内角和为180°×3，依此推算，六边形可以分成4个三角形，七边形可以分成5个三角形……即规律为n边形分出的三角形个数为：n边形的边数减去2，那么内角和即为180°乘上n边形分出的三角形个数；据此即可解答。 【规范解答】（1）根据分析作图如下： （2）根据分析填空如下： 方法一：可以将四个内角剪下来，拼成一个周角，是360度。 方法二：可以将它分成两个三角形，每个三角形的内角和为180度，两个三角形的内角和合起来是360度。 （3）四边形内角和：180°×（4－2）＝180°×2； 五边形内角和：180°×（5－2）＝180°×3； 六边形内角和：180°×（6－2）＝180°×4； 九边形内角和：180°×（9－2）＝180°×7； 据此填空如下： 图形 （图略） …… 边数 3 4 5 6 9 … 内角和 180° 180°×2 180°×3 180°×4 180°×7 … 『创新拓展 拔尖冲刺』 1．（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 【答案】A 【思路引导】如图，在三角形ABC中，∠B＝70˚，根据三角形内角和为180˚，用180˚减去∠B即可求出∠A和∠C的和；再根据四边形内角和为360°，用360˚减去∠A和∠C的和，即可得到∠1＋∠2的度数。 【规范解答】∠A＋∠C： ∠1＋∠2： 故答案为：A 2．（24-25四年级上·江西宜春·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．同一平面内两条直线不是互相平行，就是互相垂直 B．学校的电动伸缩门是利用了平行四边形易变形的特点 C．汽车大灯射出的光束可以看作是一条射线 D．任意一个四边形的内角和都是360° 【答案】A 【思路引导】同一平面内两条直线不是互相平行，就是相交，如果相交成直角，就是互相垂直。 四边形具有不稳定性，平行四边形属于四边形，也具有不稳定性。 射线是由一点向一端无限延长。 任意一个四边形可以分成两个三角形，三角形内角和是180°，2个三角形内角和是360°，即为四边形内角和。 【规范解答】A．同一平面内两条直线不是互相平行，就是相交，故原题说法错误； B．学校的电动伸缩门是利用了平行四边形易变形的特点，故原题说法正确； C．汽车大灯射出的光束可以看作是一条射线，故原题说法正确； D．任意一个四边形的内角和都是360°，故原题说法正确； 故答案为：A 3．（24-25四年级下·辽宁盘锦·期末）一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．以上都有可能 【答案】D 【思路引导】根据题意，四边形沿一条直线剪一刀后，新图形的形状取决于切割方式：可能为三角形（内角和180°）、四边形（360°）或五边形（540°），因此内角和各有可能。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 沿对角线切割：四边形被分成两个三角形，每个三角形的内角和为180°。 切割线从顶点到非顶点的边：分割为一个三角形（内角和180°）和一个四边形（内角和360°）。 切割线穿过两条边且不经过顶点：分割为一个五边形（内角和540°）和一个三角形。 一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是以上都有可能。 故答案为：D 4．（24-25四年级下·全国·课后作业）选一选，填一填。（填序号） 内角和是180°  内角和是360°    内角和是540°       内角和是720° 【答案】①④；②③；⑥⑦；⑤⑧ 【思路引导】多边形内角和公式为（边数-2）×180°。三角形有3条边，内角和为；四边形有4条边，内角和为；五边形有5条边，内角和为；六边形有6条边，内角和为。根据题目中给出的图形序号对应的边数分类填写即可。 【规范解答】三角形（内角和180°）：①④ 四边形（内角和360°）：②③ 五边形（内角和540°）：⑥⑦ 六边形（内角和720°）：⑤⑧ 5．（24-25四年级下·河北唐山·期末）如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝( )°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是( )°。 【答案】 25 360 【思路引导】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可得到∠2的度数；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形是一个四边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此解答。 【规范解答】180°－（90°＋65°） ＝180°－155° ＝25° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠2＝25°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形内角和是360°。 6．（24-25四年级下·河南驻马店·期末）三角形的内角和是180°，四边形的内角和是240°。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，三角形的内角和是180°，正确。四边形可以分成两个三角形，每个三角形的内角和为180°，因此四边形的内角和是2×180°＝360°。以此判断即可。 【规范解答】根据分析可知： 2×180°＝360° 三角形的内角和是180°，正确。四边形的内角和是360°。原题说法错误。 故答案为：× 7．（24-25四年级下·江西赣州·期末）计算下面未知角的度数。 【答案】55°；120°；130° 【思路引导】（1）（2）三角形的内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数和，求出未知角的度数。 （3）平角是180°，与135°相邻角的度数是180°－135°＝45°。四边形的内角和为360°，用360°依次减去已知的三个角的度数，即可求出∠1的度数。 【规范解答】（1）180°－（35°＋90°） ＝180°－125° ＝55° 所以，未知角是55°。 （2）180°－（36°＋24°） ＝180°－60° ＝120° 所以，未知角是120°。 （3）180°－135°＝45° 360°－85°－100°－45°＝130° 所以，∠1＝130°。 8．（24-25四年级下·浙江杭州·期末）（1）小红把△ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1），她将∠1和∠2拼在了一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 （2）△ABC剪去三个内角后，剩下的图形内角和是几度？请在图1中画出思考的示意图，并在最右边的虚线框内列式计算。 【答案】（1）画图见详解 （2）画图见详解；720度 【思路引导】（1）将∠3的顶点与∠2的顶点重合，并将∠3的一条边与∠2的外面一条边重合，则∠3的另一条边与∠1的一条边成一条直线，可知三角形的三个内角和是180°。据此画图。 （2）从图中可以看出，△ABC剪去三个内角后，剩下的图形是六边形；分别连接六边形的一个顶点与相对的顶点，则把六边形分成了4个三角形，六边形的内角和就是4个三角形内角的总和，每个三角形的内角和是180°，所以，六边形的内角和等于4个180°的和；据此画图并解答。 【规范解答】（1）根据分析，画图如下： （2）根据分析，画图如下： 180°×4＝720° 答：剩下的图形内角和是720度。 9．（24-25四年级下·河南郑州·期末）中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 【答案】（1）我不同意聪聪的观点；理由见详解 （2） 算式：180°×6＝1080° 【思路引导】（1）求多边形的内角和时，可以将多边形分割成若干个三角形或四边形。然后根据三角形的内角和为180°、四边形的内角和为360°，来推算多边形的内角和即可。这个过程中，如果有新增的角，在计算多边形的内角和时，需要减去这部分角的度数。由题意得，聪聪把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是8×180°＝1440°。但这不是八边形的内角和，因为聪聪把中间的周角也算为了八边形的内角，所以聪聪的方法错误；乐乐把八边形分成了4个三角形和1个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于4个三角形的内角和加上1个四边形的内角。即乐乐的方法正确；贝贝把八边形分成了3个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于3个四边形的内角和。即乐乐的方法正确。 （2）把八边形添加5条辅助线，将八边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知八边形的内角和等于180°×6＝1080°。 【规范解答】（1）我不同意聪聪的观点。因为他把八边形分成了八个三角形，每个三角形的内角和是180°，180°×8表示8个三角形内角的和，但不是八边形的内角和，从图中可以看出多了一个周角，所以这个八边形的内角和是1440°－360°＝1080°，所以聪聪的观点是错误的。 （2） 算式：180°×6＝1080° 10．（23-24四年级下·江苏盐城·期末） 知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠1和∠2组成一个平角。 图1 在图2中，我发现∠1、∠2、∠3是三角形的3个外角。 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！我是这样想的…… 图2 小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。 180°×3＝540°    540°－180°＝360° 你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。 图3 【答案】能；360° 【思路引导】根据图2，观察发现∠1和三角形其中一个内角组成平角，∠2和三角形其中一个内角组成平角，∠3和三角形其中一个内角组成平角，平角为180°，说明∠1、∠2、∠3与三角形的3个内角共组成了3个平角；三角形的内角和为180°，那么先用180°乘3计算出3个平角的度数和，再减去三角形的内角和，可以计算出∠1、∠2、∠3的和； 根据图3，发现∠1和四边形其中一个内角组成平角，∠2和四边形其中一个内角组成平角，∠3和四边形其中一个内角组成平角，∠4和四边形其中一个内角组成平角，∠1、∠2、∠3、∠4与四边形的4个内角共组成了4个平角；多边形的内角和为（边数－2）×180°，先用180°乘4计算出4个平角的度数和，再减去多边形的内角和，可以计算出∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和；据此解答。 【规范解答】180°×4－（4－2）×180° ＝720°－2×180° ＝720°－360° ＝360° 答：能读懂小月的思考过程，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和是360°。 【考点剖析】掌握平角的度数、三角形的内角和以及多边形的内角和计算方法，是解答本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 课题学习 多边形的内角和『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+6个考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题） 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点 考点名称 高频考点一 看图列式计算角度 高频考点二 探究多边形内角和 高频考点三 作图题（计算角度大小） 高频考点四 折叠问题 高频考点五 分割问题 高频考点六 思维拓展题 模块二 导图指引 梳理脉络 模块三 知识精讲 单元小结 知识点一 多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 知识点二 多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有n个顶点的多边形可以分解成n-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180 度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为 (6 - 2) × 180 度 = 720 度。 知识点三 多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式 (n - 2) × 180 度 计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多边形内角和公式的推导过程。 知识点四 多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如相似多边形、全等多边形等。 模块四 考点讲练 培优提升 高频考点一 看图列式计算角度 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课后作业）如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【变式训练1】（24-25四年级下·河南南阳·期末）求下图中未知角的度数。 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西西安·期中）如图所示，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠D是∠B的4倍，那么∠D和∠B分别是多少度？ 【变式训练3】（23-24四年级下·四川南充·期末）求出下图中未知角的度数。 高频考点二 探究多边形内角和 【典例精讲】（25-26四年级上·山东烟台·期末）成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是( )度，下面是成成利用所学知识研究五边形内角和的三种方法，你能用算式表达出成成的研究思路吗？ ______________       ______________       ______________ 【变式训练1】．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）根据以上的分析，六边形的内角和是多少度呢？在图上画一画，表示出自己的想法。 【变式训练2】（24-25四年级下·山西吕梁·期末）我们通过折一折、撕一撕的方法可以得到三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是三位同学的探究过程。 （1）这三位同学的思考过程对吗？在对的里画“√”。 （2）妙想也呈现了自己的探究方法，如下： 180°×4－360°＝360° 你同意妙想的方法吗？请你试着说说她的思路。 【变式训练3】（24-25四年级下·河南郑州·期末）同学们利用三角形内角和探索四边形的内角和时所采用了四种不同的方法。具体如下图：       （1）请在你认为正确的方法旁边的□里打“√” （2）请根据以上经验选择你喜欢的方法研究五边形的内角和，先在下图中画出示意图，再列式计算。        高频考点三 作图题（计算角度大小） 【典例精讲】（24-25四年级下·河北邢台·期末）按要求做题。 （1）下边的平行四边形已经画了两条边，请你接着把它画完整，并在图中画出一条高。 （2）画一条线段，把这个平行四边形分成两个三角形，并算一算平行四边形的内角和。 【变式训练1】（24-25四年级下·浙江温州·期末）小明将一个长方形截去一个直角（如下图），剩下图形的内角和是多少度？ （1）先在图上画一画。 （2）列式计算。 【变式训练2】（24-25四年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末） （1）请在三角形内画一条直线，将原来三角形分成一个三角形和一个四边形。 （2）请在三角形中画出任意一底的高。 （3）四边形的内角和是____，一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是___边形，试着在上面画草图验证。 【变式训练3】（23-24四年级下·云南昭通·期末）探索多边形的内角和。 （1）我会画图：根据“三角形的内角和是180度”这一结论，分别将下面的四边形和五边形分成三角形来研究，请动手画一画。 （2）我分析：四边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）；五边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（    ）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为（    ）。 高频考点四 折叠问题 【典例精讲】（24-25四年级下·山东临沂·期末）如图，把长方形纸片的一个角折起来。∠1＋∠2＝( )°。将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个( )边形，这个图形的内角和是( )°。 【变式训练1】（24-25四年级下·广西南宁·期末）如图，把长方形纸片的一个角折叠起来。 ∠1＋∠2＝( )°，把折起来的这个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°。 【变式训练2】（24-25四年级下·浙江宁波·期末）将下面的正方形按照图中的方式向上折叠，折叠后的四边形内角和是( )°，( )°，( )°。 【变式训练3】（24-25四年级下·山东滨州·期末）在数学学习过程中，我们常常经历猜想、验证、得出结论的探究过程。 (1)仔细观察下面的验证过程，可以得出的数学结论是：________。 (2)现在把手中的三角形剪掉一个角，得到一个四边形，如图： 借助知识的迁移，先在四边形中画一画，再写一写，推算出四边形的内角和： ____________________________________________________________ (3)再把手中的四边形剪掉一个角，得到一个五边形，同理可推导出则五边形的内角和是( )。 高频考点五 分割问题 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北武汉·期末）如图所示，一个四边形截去一个角，剩下的①号图形的内角和是( )度。 【变式训练1】（24-25四年级下·四川成都·期末）如图，将等边三角形沿虚线剪去，在剩下的四边形中，( )°。 【变式训练2】（24-25四年级下·贵州黔南·期末）挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（    ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（    ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。 【变式训练3】（24-25四年级下·山东德州·期末）如图，在三角形中，∠1＝45°，∠2＝( )°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余图形的内角和是( )°。 高频考点六 思维拓展题 【典例精讲】五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形    180° 60° 正方形      360° 90° 正五边形       （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图1中∠1的度数吗？ （3）图2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。 【变式训练1】如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【变式训练2】数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                        ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【变式训练3】（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 模块五 真题演练 实战操作 【真题演练1】（24-25四年级下·山西晋中·期末）八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【真题演练2】（24-25四年级下·四川广安·期末）正六边形作为中国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居；配饰所用，如首饰、古建的窗户、古井的口、佛塔等等。如图，在古建筑中经常会看到这样的正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察这个正六边形窗户（    ）轴对称图形。（填“是”或“不是”） （2）小贝在探究四边形内角和时候想到他知道1个三角形的内角和是，所以他是这样做的： 请你根据小贝的探究方式，或者你其他的学习经验，试着探究下面六边形的内角和，并把思考过程用自己喜欢的方式表示出来（提示：可以画一画、算一算、写一写。） 【真题演练3】（24-25四年级下·山西长治·期末）由下图可知，五边形的内角和是( )°，六边形的内角和是( )°。 【真题演练4】（23-24四年级下·湖北荆州·期末）下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 【真题演练5】（24-25四年级下·福建龙岩·期末）操作。 （1）画出图①这个轴对称图形的另一半，画完后整个图形的面积是（    ）平方厘米，内角和是（    ）°。 （2）画出图②底边上的高。 （3）画出图②先向左平移6格，再向下平移5格后的图形。 模块六 分层训练 突破自我 『基础夯实 能力提升』 1．（24-25四年级下·河北石家庄·期末）如图，把五边形分割成3个三角形，可以计算出五边形的内角和是（    ）度。 A．540 B．360 C．180 2．（24-25四年级下·江苏盐城·期末）蜜蜂的蜂巢构造非常精巧，每个小房间的横截面都是一个完美的正六边形。算一算正六边形的内角和是（    ）°。 A．540 B．720 C．900 D．1080 3．（24-25四年级下·江苏南通·期末）下面是四位同学探索五边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25四年级下·全国·课后作业）梯形的一条对角线把它分成( )个三角形，每个三角形的内角和是( )°，所以梯形的内角和是( )°。 5．（25-26四年级上·全国·课后作业）已知三角形的内角合起来能组成1个平角，那么四边形的内角合起来能组成几个平角？五边形呢？试着将探究过程补充完整。 (1)如图，虚线将四边形分成了( )个三角形，每个三角形的内角合起来能组成1个平角，( )个三角形的内角合起来能组成( )个平角，所以四边形的内角合起来能组成( )个平角。 (2)如图，虚线将五边形分成了( )个三角形，每个三角形的内角合起来能组成1个平角，( )个三角形的内角合起来能组成( )个平角，所以五边形的内角合起来能组成( )个平角。 6．（24-25四年级下·湖南永州·期末）把一个长方形框架拉成平行四边形，四个内角的度数之和变了。( )（判断对错） 7．（2025四年级·全国·专题练习）计算图中∠2的度数。 8．（24-25四年级下·全国·单元测试）下面是同学们在探究四边形的内角和时使用的几种方法。 方法一：拼一拼 方法二：分成2个三角形 180°×2＝360° 方法三：分成4个三角形 180°×4－360°＝360° （1）选择你喜欢的方法，在图上画一画，并计算出它们的内角和。 五边形的内角和： 。 六边形的内角和： 。 （2）一个多边形的内角和是900°，它是一个几边形？ 9．（24-25四年级下·全国·课后作业）将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能是多少度？ 10．（24-25四年级下·河南许昌·期末）按要求画一画，算一算，填一填。 （1）先补全下面这个轴对称图形，再将补全后的图形向右平移4格。 （2）求“补全后的图形内角和是多少”，可以用前面学过的知识来探究： 方法一：可以将四个内角剪下来，拼成一个__________角，是__________度。 方法二：可以将它分成两个三角形，每个三角形的内角和为__________度，两个三角形的内角和合起来是__________度。 （3）利用第（2）题中的方法二可以探究任意多边形的内角和。画一画，算一算，你一定能发现其中的奥秘。请填一填。 图形 （图略） …… 边数 3 4 5 6 9 … 内角和 180° 180°×_____ 180°×_____ … 『创新拓展 拔尖冲刺』 1．（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 2．（24-25四年级上·江西宜春·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．同一平面内两条直线不是互相平行，就是互相垂直 B．学校的电动伸缩门是利用了平行四边形易变形的特点 C．汽车大灯射出的光束可以看作是一条射线 D．任意一个四边形的内角和都是360° 3．（24-25四年级下·辽宁盘锦·期末）一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．以上都有可能 4．（24-25四年级下·全国·课后作业）选一选，填一填。（填序号） 内角和是180°  内角和是360°    内角和是540°       内角和是720° 5．（24-25四年级下·河北唐山·期末）如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝( )°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是( )°。 6．（24-25四年级下·河南驻马店·期末）三角形的内角和是180°，四边形的内角和是240°。( )（判断对错） 7．（24-25四年级下·江西赣州·期末）计算下面未知角的度数。 8．（24-25四年级下·浙江杭州·期末）（1）小红把△ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1），她将∠1和∠2拼在了一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 （2）△ABC剪去三个内角后，剩下的图形内角和是几度？请在图1中画出思考的示意图，并在最右边的虚线框内列式计算。 9．（24-25四年级下·河南郑州·期末）中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 10．（23-24四年级下·江苏盐城·期末） 知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠1和∠2组成一个平角。 图1 在图2中，我发现∠1、∠2、∠3是三角形的3个外角。 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！我是这样想的…… 图2 小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。 180°×3＝540°    540°－180°＝360° 你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。 图3 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $