第五单元 运算律（举一反三培优讲义+知识卡片）知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

2025-2026学年苏教版数学四年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第五单元 运算律『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题） 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点 考点名称 考点 考点名称 高频考点一 整数加法交换律的计算 高频考点九 整数乘法结合律的计算 高频考点二 整数加法交换律的应用 高频考点十 整数乘法结合律的应用 高频考点三 整数加法结合律的计算 高频考点十一 整数乘法分配律的计算 高频考点四 整数加法结合律的应用 高频考点十二 整数乘法分配律的应用 高频考点五 整数减法的性质的计算 高频考点十三 整数除法的性质的计算 高频考点六 整数减法的性质的应用 高频考点十四 整数除法的性质的应用 高频考点七 整数乘法交换律的计算 高频考点十五 相遇问题 高频考点八 整数乘法交换律的应用 模块二 导图指引 梳理脉络 模块三 知识精讲 单元小结 知识点一 加法交换律和加法结合律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a+b=b+a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示：a+b+c=a+(b+c)。 知识点二 减法运算性质 1. 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，用字母表示为a－b－c=a－(b＋c)。 2. 在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变，用字母表示为a－b－c=a－c－b。 知识点三 乘法交换律和乘法结合律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 知识点四 乘法分配律 两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减，这叫做乘法分配律。 1. 乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。 2. 乘法分配律的逆运算：a×b+a×c=a×（b+c）。 知识点五 除法运算性质 1. 除法的运算性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个数的积，用字母表示为a÷b÷c=a÷（b×c）（b、c均不为0）。 2. 在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变，用字母表示为 a÷b÷c÷d=a÷c÷b÷d=a÷d÷b÷c（b、c、d均不为0）。 模块四 考点讲练 培优提升 高频考点一 整数加法交换律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）用简便算法计算下面各题。 326×25×4         8×11×125             135＋46＋65 42×23＋58×23     456＋201＋44＋299      460＋725＋275 【答案】32600；11000；246 2300；1000；1460 【思路引导】（1）运用乘法结合律，利用25和4相乘等于100进行简便运算； （2）运用乘法结合律，利用125和8相乘等于1000进行简便运算； （3）运用加法结合律，利用135和65相加等于100进行简便运算； （4）运用乘法分配律，将42和58先相加得100后再乘以23进行简便运算； （5）运用加法结合律，利用456和44相加等于500和201和299相加等于500进行简便运算； （6）运用加法结合律，利用725和275相加等于1000进行简便运算； 【规范解答】（1）326×25×4 ＝326×（25×4） ＝326×100 ＝32600 （2） 8×11×125 ＝8×125×11 ＝1000×11 ＝11000 （3）135＋46＋65 ＝135＋65＋46 ＝200＋46 ＝246 （4）42×23＋58×23 ＝23×（42＋58） ＝23×100 ＝2300 （5）456＋201＋44＋299 ＝（456＋44）＋（201＋299） ＝500＋500 ＝1000 （6）460＋725＋275 ＝460＋（725＋275） ＝460＋1000 ＝1460 【变式训练】（25-26四年级上·上海奉贤·期末）用递等式计算。（能简便计算的要用简便方法计算） 25×404                           199×99＋99 756－[（418－222）÷4]×3         123＋（96＋77）＋204 105×19＋285÷19                  8×32×125 【答案】10100；19800； 609；500； 2010；32000 【思路引导】（1）把404拆分成4×101，算式变成25×4×101，据此简算即可； （2）把99看成99×1，再利用乘法分配律简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，然后计算中括号外的乘法，最后计算减法； （4）连加运算，去掉算式里的小括号，算式变成123＋96＋77＋204，再根据加法交换律，交换96和77的位置，然后利用加法结合律简算； （5）先算乘法和除法，最后计算加法； （6）根据乘法交换律，交换32和125的位置，算式变成8×125×32，据此简算即可。 【规范解答】25×404 ＝25×4×101 ＝100×101 ＝10100 199×99＋99 ＝199×99＋99×1 ＝（199＋1）×99 ＝200×99 ＝19800 756－[（418－222）÷4]×3 ＝756－[196÷4]×3 ＝756－49×3 ＝756－147 ＝609 123＋（96＋77）＋204 ＝123＋96＋77＋204 ＝（123＋77）＋（96＋204） ＝200＋300 ＝500 105×19＋285÷19 ＝1995＋15 ＝2010 8×32×125 ＝8×125×32 ＝1000×32 ＝32000 高频考点二 整数加法交换律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·四川巴中·期中）通江某小学四年级参加劳动实践活动“摘花生”，四一班摘了158千克，四二班摘了209千克，四三班摘了191千克，四四班摘了142千克。四个班共摘了多少千克？ 【答案】 700千克 【思路引导】根据题意，已知四一班摘了158千克，四二班摘了209千克，四三班摘了191千克，四四班摘了142千克。根据加法的定义，求多个数量的总和需要将它们相加。列式计算即可。可以利用加法的交换律和结合律进行简算。 【规范解答】根据分析可知： 158＋209＋191＋142 ＝158＋142＋209＋191 ＝（158＋142）＋（209＋191） ＝400＋300 ＝700（千克） 答：四个班共摘了700千克。 【变式训练】你会用高斯配对求和的方法计算1＋3＋5＋7＋…＋57＋59吗？试试吧！ （1）算一算：1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 （2）我发现：配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两（    ）可以凑成某个（    ）的数，可利用（    ）法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 【答案】（1）900； （2）结合；相同；配对 【思路引导】（1）观察题目可发现算式是1－59所有奇数相加，首尾相加等于60，第二个加数和倒数第二个加数等于60，以此类推，全部两两结合进行计算即可。 （2）根据（1）的解题方法，找出类似题型的解题思路解答即可。 【规范解答】（1）1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 ＝（1＋59）＋（3＋57）＋（5＋55）＋…＋（29＋31）两两配对，共15组 ＝60＋60＋60＋…＋60 ＝60×15 ＝900 （2）配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两结合可凑成某个相同的数，可利用配对法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 【考点剖析】本题应仔细观察数据，发现数据规律是解答此题的关键。 高频考点三 整数加法结合律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁营口·期末）脱式计算。（能简算必须简算） 45×102        38×25＋62×25        （360－120）÷15×23 4×（125×25）        46＋189＋54＋11        840÷[（25－18）×12] 【答案】4590；2500；368； 12500；300；10 【思路引导】（1）把102化成（100＋2），然后利用乘法分配律简算； （2）根据乘法分配律：是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；a×c＋b×c＝（a＋b）×c； （3）先算小括号里的减法，再按照从左到右的顺序依次计算； （4）根据乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变；（a×b）×c＝a×（b×c），再利用乘法交换律交换125和25的位置，简算即可； （5）先利用加法交换律，交换189和54的位置，再利用加法结合律简算； （6）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后计算中括号外的除法。 【规范解答】（1）45×102 ＝45×（100＋2） ＝45×100＋45×2 ＝4500＋45×2 ＝4500＋90 ＝4590 （2）38×25＋62×25 ＝（38＋62）×25 ＝100×25 ＝2500 （3）（360－120）÷15×23 ＝240÷15×23 ＝16×23 ＝368 （4）4×（125×25） ＝4×125×25 ＝4×25×125 ＝100×125 ＝12500 （5）46＋189＋54＋11 ＝46＋54＋189＋11 ＝（46＋54）＋（189＋11） ＝100＋（189＋11） ＝100＋200 ＝300 （6）840÷[（25－18）×12] ＝840÷[7×12] ＝840÷84 ＝10 【变式训练】（25-26四年级上·上海嘉定·期末）递等式计算（能简便计算的要简便计算）。 768－（432－108）÷18       104×25 1554÷[（72－58）×3]       1678－（678－345）＋55 79×42＋79＋79×57          99＋999＋9999＋99999 【答案】750；2600； 37；1400； 7900；111096 【思路引导】第一题先去括号再除以18计算，再减法；第二题把104拆成100＋4，用乘法分配律简化；第三题按先算小括号、再算中括号、最后算除法的顺序计算；第四题去括号后，先算1678678凑整，再算345＋55凑整，最后相加；第五题提取公因数79，把剩下的数相加凑成100再相乘；第六题把每个数凑成整十、整百、整千、整万的数，再减去多算的4个1即可。 【规范解答】 高频考点四 整数加法结合律的应用 【典例精讲】（24-25四年级上·广东佛山·期中）国庆节放假，奇思和爸爸乘火车从A市到E地看望奶奶，火车从A市到E地一共行驶了多少千米？ 【答案】1000千米 【思路引导】求从A市到E地的总路程，需要把A到B、B到C、C到D、D到E各段的路程相加，运用加法运算来求解。已知A到B的路程是255千米，B到C的路程是248千米，C到D的路程是252千米，D到E的路程是245千米，将各段路程相加即可解答。 【规范解答】255＋248＋252＋245 ＝（255＋245）＋（248＋252） ＝500＋500 ＝1000（千米） 答：火车从A市到E地一共行驶了1000千米。 【变式训练】（23-24四年级上·陕西西安·期中）郊外有一个养牛场，前年养了9头牛，去年养了99头牛，今年养牛的头数比999头还多3头。这个养牛场三年一共养了多少头牛？ 【答案】1110头 【思路引导】由题意得，郊外有一个养牛场，前年养了9头牛，去年养了99头牛，今年养牛的头数比999头还多3头，可以先用999加上3算出今年养牛的数量。求这个养牛场三年一共养了多少头牛，用加法计算。计算时，可以把3看成1＋1＋1，然后利用加法交换律和加法结合律使计算简便。 【规范解答】9＋99＋999＋3 ＝9＋99＋999＋1＋1＋1 ＝9＋1＋99＋1＋999＋1 ＝（9＋1）＋（99＋1）＋（999＋1） ＝10＋100＋1000 ＝110＋1000 ＝1110（头） 答：这个养牛场三年一共养了1110头牛。 高频考点五 整数减法的性质的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·上海黄浦·期末）递等式计算，能简便的用简便方法计算。 1650－78－222＋350     125×（8＋40）×25       225＋275÷25×4 81×18＋18＋18×21      72×[﹙959＋1364﹚÷23] 【答案】1700；150000；269； 1854；7272 【思路引导】第一个利用加法交换律和结合律以及减法的基本性质进行计算； 第二个利用乘法分配律进行计算； 第三个先算除法，再算乘法，最后算加法； 第四个利用乘法分配律进行计算； 第五个先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； 【规范解答】1650－78－222＋350 ＝（1650＋350）－（78＋222）   ＝2000－300              ＝1700 125×（8＋40）×25 ＝125×8×25＋125×40×25    ＝25000＋125000                 ＝150000 225＋275÷25×4 ＝225＋11×4 ＝225＋44 ＝269 81×18＋18＋18×21 ＝18×（81＋1＋21） ＝18×103 ＝18×（100＋3） ＝18×100＋18×3 ＝1800＋54 ＝1854   72×[﹙959＋1364﹚÷23] ＝72×[2323÷23] ＝72×101 ＝7272 【变式训练】（25-26四年级上·上海浦东新·期末）递等式计算。（能简便的用简便方法计算） 87×13＋1313÷13      125×（8＋40）×25       1876－353－576－247 1000－300÷25×4    45×54＋45×45＋45    [348－（5895－720）÷15]×160 【答案】1232；150000；700 952；4500；480 【思路引导】87×13＋1313÷13，根据四则运算顺序，先算乘除，后算加法； 125×（8＋40）×25，根据乘法分配律，把原式变为125×8×25＋125×40×25＝125×8×25＋125×（40×25），再按照运算顺序计算； 1876－353－576－247，根据交换律，先把原式变为1876－576－353－247，再根据结合律和减法的性质，把式子变为（1876－576）－（353＋247），再简便计算； 1000－300÷25×4，根据四则运算顺序，先计算除法，再计算乘法，最后计算减法； 45×54＋45×45＋45，原式可以写成45×54＋45×45＋45×1，根据乘法分配律，把式子变为45×（54＋45＋1），再简便计算； [348－（5895－720）÷15]×160，根据四则运算顺序，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，再计算中括号里的减法，最后计算中括号外的乘法。 【规范解答】87×13＋1313÷13 ＝1131＋101 ＝1232 125×（8＋40）×25 ＝125×8×25＋125×40×25 ＝125×8×25＋125×（40×25） ＝1000×25＋125×1000 ＝25000＋125000 ＝150000 1876－353－576－247 ＝1876－576－353－247 ＝（1876－576）－（353＋247） ＝1300－600 ＝700 1000－300÷25×4 ＝1000－12×4 ＝1000－48 ＝952 45×54＋45×45＋45 ＝45×54＋45×45＋45×1 ＝45×（54＋45＋1） ＝45×100 ＝4500 [348－（5895－720）÷15]×160 ＝[348－5175÷15]×160 ＝[348－345]×160 ＝3×160 ＝480 高频考点六 整数减法的性质的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·四川眉山·期中）中国是瓷器的故乡，瓷器是劳动人民的一个历史结晶，瓷器小小的身板中体现了先辈高超的技艺，炼泥，制胚，上釉，简单的步骤，凝聚了先辈们的心血，方能使其经久不衰，得以让我们见证古人的智慧。景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉、明如镜、薄如纸、声如磬”之称，品种齐全，总计3000多种。刘叔叔的瓷器店里有503件景德镇瓷器，上午卖出159件，下午卖出141件，这个瓷器店还剩下多少件景德镇瓷器？ 【答案】203件 【思路引导】根据题意，已知刘叔叔的瓷器店里有503件景德镇瓷器，上午卖出159件，下午卖出141件，用总件数减去上午卖出的件数，再减去下午卖出的件数，就是这个瓷器店还剩下的件数，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 503－159－141 ＝503－（159＋141） ＝503－300 ＝203（件） 答：这个瓷器店还剩下203件景德镇瓷器。 【变式训练】（24-25四年级下·海南省直辖县级单位·期末）某商店第二季度卖出甲、乙、丙3种饮料共489箱，甲饮料卖了128箱，乙饮料卖了86箱，丙饮料卖出了多少箱？ 【答案】275箱 【思路引导】用共卖出的饮料箱数减去甲饮料卖的箱数，再减去乙饮料卖的箱数，就是丙饮料卖出的箱数。 【规范解答】489－128－86 ＝489－（128＋86） ＝489－214 ＝275（箱） 答：丙饮料卖出了275箱。 高频考点七 整数乘法交换律的计算 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课后作业）用简便方法计算。          【答案】1700；3600；22300 【思路引导】计算时，利用乘法交换律：和乘法结合律：进行简便运算即可解答。 计算时，把原式看作，再利用乘法分配律的逆运算：进行简便运算即可解答。 计算时，把各数凑整为20000、2000、200、100，减去多加的部分后加上8，据此进行简便运算。 【规范解答】                    【变式训练】（25-26四年级上·辽宁大连·期末）脱式计算，能简算的要简算。 25×15×4      36×45＋45×64    （240－63÷21）×6     684÷[（78－76）×19] 【答案】1500；4500；1422；18 【思路引导】计算25×15×4，利用乘法交换律，交换15和4的位置，即25×4×15； 计算36×45＋45×64，利用乘法分配律，原式可变为45×（36＋64）； 计算（240－63÷21）×6，先算括号内的除法，再算括号内的减法，最后算括号外的乘法； 计算684÷[（78－76）×19]，先算小括号内减法，再算中括号内乘法，最后算除法。 【规范解答】25×15×4 ＝25×4×15 ＝100×15 ＝1500 36×45＋45×64 ＝45×（36＋64） ＝45×100 ＝4500 （240－63÷21）×6 ＝（240－3）×6 ＝237×6 ＝1422 684÷[（78－76）×19] ＝684÷[2×19] ＝684÷38 ＝18 高频考点八 整数乘法交换律的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西安康·期末）千层油酥饼是陕西汉族的特色小吃，具有色泽金黄、层次鲜明、油而不腻、香酥适口等特点。一家陕西特色食品店出售千层油酥饼，一箱千层油酥饼内装有25盒千层油酥饼，每盒售价13元，小李打算购买4箱千层油酥饼作为礼物赠送给朋友，他一共需要支付多少钱？ 【答案】1300元 【思路引导】由题意得，一箱千层油酥饼内装有25盒千层油酥饼，每盒售价13元，可以先用25乘13算出一箱千层油酥饼需要多少钱。小李打算购买4箱千层油酥饼作为礼物赠送给朋友，直接用前面的得数乘上4即可算出小李一共需要支付多少钱。计算时，利用乘法交换律可使计算简便。 【规范解答】25×13×4 ＝25×4×13 ＝100×13 ＝1300（元） 答：小李一共需要支付1300元。 【变式训练】（24-25四年级下·广西玉林·期末）实验小学开设的机器人编程课程深受同学们喜爱。把报名参加该课程的同学分成4个班，每班分成6组，每组有25名同学。报名的同学一共有多少名？ 【答案】600名 【思路引导】根据题意可知，用4个班乘每班分成的组数，求出一共有多少组；再用组数乘每组的人数，即可算出一共有多少同学；计算时，可利用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算；据此解答。 【规范解答】4×6×25 ＝4×25×6 ＝100×6 ＝600（名） 答：报名的同学一共有600名。 高频考点九 整数乘法结合律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃兰州·期末）脱式计算，最后两题用简算的方法计算。 6000÷25÷4          250－150÷25 360÷45              125×24 【答案】60；244； 8；3000 【思路引导】第一题，先算左侧的除法，再算右侧的除法。 第二题，先算右侧的除法，再算左侧的减法。 第三题将45变为9×5，利用除法的性质打开括号，将式子变为360÷9÷5，先算左侧的除法，再算右侧的除法，即可简算。 第四题，将24变为8×3，利用乘法结合律，先算125×8的积，再用其结果乘3，即可简算。 【规范解答】6000÷25÷4 ＝240÷4 ＝60 250－150÷25 ＝250－6 ＝244 360÷45 ＝360÷（9×5） ＝360÷9÷5 ＝40÷5 ＝8 125×24 ＝125×（8×3） ＝（125×8）×3 ＝1000×3 ＝3000 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）简便计算。 84×61＋78×42           24×99＋24           88×125 【答案】8400；2400；11000 【思路引导】（1）仔细观察算式及数据特点可知，根据积不变的性质将算式78×42转化为39×84（一个乘数除以2，另一个乘数乘上2），然后再利用乘法分配律的逆运算将原式转化为84×（61＋39）可使计算简便。 （2）仔细观察算式及数据特点可知，根据乘法分配律的逆运算将原式转化为24×（99＋1）可使计算简便。 （3）仔细观察算式及数据特点可知，先把88转化为11×8，然后再利用乘法结合律将原式转化为11×（8×125）可使计算简便。 【规范解答】84×61＋78×42 ＝84×61＋（78÷2）×（42×2） ＝84×61＋39×84 ＝84×（61＋39） ＝84×100 ＝8400 24×99＋24 ＝24×（99＋1） ＝24×100 ＝2400 88×125 ＝（11×8）×125 ＝11×（8×125） ＝11×1000 ＝11000 高频考点十 整数乘法结合律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·山东·课后作业）为推进义务教育优质均衡发展，某地政府为当地小学新建了一个四层教学楼，每层楼有5个教室，每个教室有25张双人课桌。该教学楼能坐多少人？ 【答案】1000人 【思路引导】根据题意，用每个教室双人课桌的张数乘2求出每个教室可以坐多少人，再乘每层教室的个数，求出每层可以坐多少人，最后乘教学楼的层数，即可求出该教学楼能坐多少人，可以根据乘法结合律简便计算。 【规范解答】25×2×4×5 ＝（25×2）×（4×5） ＝50×20 ＝1000（人） 答：该教学楼能坐1000人。 【变式训练】（25-26四年级上·全国·课后作业）张爷爷家的水果今年大丰收，每个果园有176棵果树，每棵果树能收获125千克水果。张爷爷家的8个果园今年一共能收获多少千克水果？ 【答案】176000千克 【思路引导】由题意可知，张爷爷家有8个果园，每个果园的果树棵树有176棵果树，每棵果树能收获125千克水果，求收获水果总重量＝果园数量×每个果园棵树×每棵果树收获水果重量。计算过程中可用乘法结合律简便计算。 【规范解答】 （千克） 答：张爷爷家的8个果园今年一共能收获176000千克水果。 高频考点十一 整数乘法分配律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·上海黄浦·期末）递等式计算，能巧算的用巧算。 4×8×（25＋125）                43×83＋17＋42×17 18×420＋180－18×380           30×[14＋（84－28）÷14] 【答案】4800；4300； 900；540 【思路引导】4×8×（25＋125），根据乘法分配律可得：4×8×25＋4×8×125，根据乘法交换律和结合律可得：8×（4×25）＋4×（8×125），进一步计算即可简算； 43×83＋17＋42×17，把17看作17×1，原式变为：43×83＋17×1＋42×17，根据乘法分配律可得：43×83＋17×（1＋42），进而可得：43×83＋17×43 ，根据乘法分配律可得：43×（83＋17），进一步计算即可简算； 18×420＋180－18×380，把180看作18×10，原式变为：18×420＋18×10－18×380，根据乘法分配律可得：18×（420＋10－380） ，进一步计算即可简算； 30×[14＋（84－28）÷14]，含有中括号的运算，先算小括号里面减法，再算中括号里面的除法，接着计算中括号里面的加法，最后计算中括号外面的乘法。 【规范解答】4×8×（25＋125） ＝4×8×25＋4×8×125 ＝8×（4×25）＋4×（8×125） ＝ 8×100＋4×1000 ＝ 800＋4000 ＝ 4800 43×83＋17＋42×17 ＝43×83＋17×1＋42×17 ＝43×83＋17×（1＋42） ＝43×83＋17×43 ＝43×（83＋17） ＝43×100 ＝4300 18×420＋180－18×380 ＝18×420＋18×10－18×380 ＝18×（420＋10－380） ＝18×50 ＝900 30×[14＋（84－28）÷14] ＝30×[14＋56÷14] ＝30×[14＋4] ＝30×18 ＝540 【变式训练】（25-26四年级上·福建泉州·期末）用你喜欢的方法计算。 16×25×125        101×68－68        132×[336÷（563－551）] 【答案】50000；6800；3696 【思路引导】（1）16＝8×2，按照乘法交换律和结合律，式子可写为：（25×2）×（125×8），然后计算即可； （2）根据乘法分配律，式子可写为：68×（101－1）然后计算即可； （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外的乘法。 【规范解答】16×25×125 ＝8×2×25×125 ＝（25×2）×（125×8） ＝50×1000 ＝50000 101×68－68 ＝101×68－68×1 ＝68×（101－1） ＝68×100 ＝6800 132×[336÷（563－551）] ＝132×[336÷12] ＝132×28 ＝3696 高频考点十二 整数乘法分配律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）沈阳文旅预计在2025－2026跨年及元旦期间，打造全城联动的欢乐嘉年华，彰显沈阳作为东北亚国际化中心城市的冰雪魅力。为迎接游客，王大爷进了大批冻梨和冻柿子，用25辆卡车才运完，每辆卡车上装了24箱冻梨和26箱冻柿子，一共有多少箱？（用两种方法解答） 【答案】1250箱 【思路引导】方法一：用每辆车上装的冻梨箱数乘25，计算出一共有多少箱冻梨。用每辆车上装的冻柿子箱数乘25，计算出一共有多少箱冻柿子，然后再相加，即可算出两种物品一共有多少箱。 方法二：先计算出每辆车上一共装了多少箱，再乘25，即可算出一共有多少箱。据此解答。 【规范解答】方法一： 24×25＋26×25 ＝600＋650 ＝1250（箱） 方法二： （24＋26）×25 ＝50×25 ＝1250（箱） 答：一共有1250箱。 【变式训练】（24-25四年级上·福建南平·期末） 我的猜想：如果除法有分配律，那么（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c（c≠0） 举例验证： 所以：（12＋18）÷2＝12÷2＋18÷2 （1）我发现：猜想是（    ）的。（填“成立”或“不成立”） （2）模仿：再列举一组算式验证猜想。 （3）情境验证：研学是一种将学习与旅行相结合的教育方式。光明小学四年级有360人，三年级有240人。三年级和四年级的学生一起参加研学活动，每12人分一组，一共可以分多少组？（用两种方法计算，验证猜想是否成立。） 【答案】（1）成立 （2）见详解 （3）50组 【思路引导】（1）由题意得，（12＋18）÷2＝30÷2＝15，12÷2＋18÷2＝6＋9＝15。15＝15，所以（12＋18）÷2＝12÷2＋18÷2。由这两个算式可知，关于除法分配律的猜想是成立的。 （2）由题意得，可以举例来验证除法分配律是否成立。如算式（45＋55）÷5和算式45÷5＋55÷5，可以先分别算出两个算式的结果，然后看它们的结果是否相等即可。 （3）由题意得，光明小学四年级有360人，三年级有240人。三年级和四年级的学生一起参加研学活动，每12人分一组。求一共可以分多少组，可以先用360加上240算出一共有多少人，然后再除以12即可算出一共可以分多少组。也可以用360和240分别去除以12算出四年级和三年级各自可以分多少组，然后再把得数相加即可算出一共可以分多少组。 【规范解答】（1）由分析得，猜想是成立的。 （2） 所以（45＋55）÷5＝45÷5＋55÷5。（答案不唯一） （3）第一种方法：（360＋240）÷12 ＝600÷12 ＝50（组） 第二种方法：360÷12＋240÷12 ＝30＋20 ＝50（组） 结果相同，猜想成立。 答：一共可以分50组。 高频考点十三 整数除法的性质的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）能简算的要简算。 （1）[196－（96＋4）]÷6    （2）9000÷125    （3）85×99＋85 【答案】（1）16；（2）72；（3）8500 【思路引导】（1）先计算小括号内的加法，再计算中括号的减法，最后计算除法； （2）125可以变化为（25×5），则9000÷125变化为9000÷（25×5），去掉小括号变化为9000÷25÷5，然后按从左到右的顺序计算； （3）85×99＋85可以变化为85×99＋85×1，把85提出来变化为85×（99＋1），然后先计算括号内的加法，再计算括号外的乘法。 【规范解答】（1）[196－（96＋4）]÷6 ＝（196－100）÷6 ＝96÷6 ＝16 （2）9000÷125 ＝9000÷（25×5） ＝9000÷25÷5 ＝360÷5 ＝72 （3）85×99＋85 ＝85×99＋85×1 ＝85×（99＋1） ＝85×100 ＝8500 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）脱式计算（能简算的要简算）。 84×69－39×84        125×23×8 165÷[3×（47－42）]        700÷25 【答案】2520；23000； 11；28 【思路引导】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：84×（69－39），再进行计算。 （2）根据乘法交换律：a×b＝b×a和乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c），变算式为：23×（125×8），再进行计算。 （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法。 （4）先把25改写成5×5，再根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），变算式为：700÷5÷5，再进行计算。 【规范解答】84×69－39×84 ＝84×（69－39） ＝84×30 ＝2520             125×23×8 ＝23×（125×8） ＝23×1000 ＝23000 165÷[3×（47－42）]     ＝165÷[3×5]         ＝165÷15 ＝11 700÷25 ＝700÷（5×5） ＝700÷5÷5 ＝140÷5 ＝28 高频考点十四 整数除法的性质的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·河南许昌·期末）图书管理员把新增的750本文艺类书籍平均分到2个书架上，每个书架有5层。每层放了多少本？（温馨提示：要简便计算） 【答案】75本 【思路引导】总书籍数＝ 书架个数×每个书架的层数×每层放书数量，因此每层放书数量＝总书籍数÷书架个数÷每个书架的层数。观察到“2个书架”和“每个书架5层”可先结合计算总层数，再用总书籍数除以总层数。 【规范解答】750÷2÷5 ＝750÷（2×5） ＝750÷10 ＝75（本） 答：每层放75本。 【变式训练】（24-25四年级下·山西忻州·期末）代县小米米粒匀称，色泽金黄，米香醇厚，口感光滑，是山西省忻州市特产，也是全国农产品地理标志。爸爸购买了6千克小米分装在250克的小袋里，每8小袋装一箱，这些小米可以装满几箱？ 【答案】3箱 【思路引导】根据1千克＝1000克，即6千克＝6000克，用爸爸购买小米的质量除以每小袋装的质量，求出装小袋的总袋数，再用装小袋的总袋数除以每箱装的小袋数，即可求出这些小米可以装满几箱。计算时可以用除法性质进行简便计算。 【规范解答】6千克＝6000克 6000÷（250×8） ＝6000÷2000 ＝3（箱） 答：这些小米可以装满3箱。 高频考点十五 相遇问题 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁大连·期末）一项户外拓展项目中，淘气和笑笑分别从相距540米的A、B两地同时出发相向而行。淘气每分钟走50米，笑笑每分钟走40米。 (1)他们几分钟后相遇？ (2)请在上图中用▲标出他们相遇的大概位置。 【答案】(1)6分钟 (2)见详解 【思路引导】（1）两人从相距540米的两地相向而行，相遇时两人走的路程之和等于总距离（540米）。先算两人的速度和，再用“总路程÷速度和”得到相遇时间。 （2）相遇位置的标注：先算出相遇时两人各自走的路程，再根据路程确定位置。 【规范解答】（1）速度和：50＋40＝90（米/分钟） 相遇时间：540÷90＝6（分钟） 答：他们6分钟后相遇。 （2）淘气走的路程：50×6＝300（米） 笑笑走的路程：40×6＝240（米） 标注如下： 【变式训练】（25-26四年级上·山东泰安·期中）“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还，两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。”是李白的一首七言绝句。白帝城位于重庆市奉节县，江陵即湖北省荆州市，小明和小刚分别从奉节县和荆州市开车出发，小明开车速度为每小时85千米，小刚开车速度为每小时115千米，10小时相遇，问奉节县与荆州市相距多少千米？ 【答案】 2000千米 【思路引导】根据题意，已知小明和小刚分别从奉节县和荆州市开车出发，小明开车速度为每小时85千米，小刚开车速度为每小时115千米，10小时相遇。明确相遇问题中，两人相向而行，总路程＝两人速度之和×相遇时间。列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： （85＋115）×10 ＝200×10 ＝2000（千米） 答：奉节县与荆州市相距2000千米。 模块五 真题演练 实战操作 【真题演练1】（25-26四年级上·福建漳州·期中）一辆货车和一辆轿车分别从A、B两地出发，相向而行，货车每小时行驶60千米，轿车每小时行驶80千米。两车在距离中点20千米处第一次相遇。 （1）请在下面的线段图中用“”标出两车相遇的大致位置。 （2）相遇时，轿车比货车多行驶多少千米？ （3）A、B两地相距多少千米？ 【答案】（1）见详解； （2）40千米； （3）280千米 【思路引导】（1）轿车速度（80千米/时）比货车（60千米/时）快，相遇时轿车行驶的路程超过中点，货车行驶的路程不到中点。因此相遇位置在中点靠近A地（货车出发地）的一侧，距离中点20千米处（在A到B的线段上，标记在中点与A地之间，靠近中点的位置）。 （2）相遇时轿车比货车多行驶的距离两车在距离中点20千米处相遇，说明轿车比中点多走20千米，货车比中点少走20千米，因此轿车比货车多行驶：20×2＝40（千米）； （3）求A、B两地的距离，先求相遇时间：轿车每小时比货车多行驶80－60＝20（千米），已知总共多行驶40千米，因此相遇时间为40÷20＝2（小时）。再求总距离：两车速度和为60＋80＝140（千米/时），相遇时间2小时，因此A、B两地相距：140×2＝280（千米）。 【规范解答】（1）作图如下： （2）20×2＝40（千米） 答：相遇时，轿车比货车多行驶40千米。 （3）80－60＝20（千米） 40÷20＝2（小时） 60＋80＝140（千米/时） 140×2＝280（千米） 答：A、B两地相距280千米。 【真题演练2】（25-26四年级上·江苏盐城·期末）用递等式计算，能简便运算的就简便运算。 68×25－36÷3        800÷16÷5       250÷[150÷（81－78）] 【答案】1688；10；5 【思路引导】（1）根据整数混合运算的顺序，先算乘除，再算减法。 （2）利用除法的性质进行计算。 （3）根据整数混合运算的顺序，先算小括号里面，再算中括号里面，最后算中括号外面。 【规范解答】68×25－36÷3         ＝1700－12 ＝1688 800÷16÷5              ＝800÷（16×5） ＝800÷80 ＝10 250÷[150÷（81－78）] ＝250÷[150÷3] ＝250÷50 ＝5 【真题演练3】（25-26四年级上·湖南邵阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 125×12        720÷16÷5       25×44        560÷[（205－198）×4] 【答案】1500；9；1100；20 【思路引导】把125看成25×5，12看成3×4，通过乘法交换律和结合律计算即可； 利用除法的性质进行简便计算； 把44写成4×11，计算即可； 先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算除法即可。 【规范解答】 【真题演练4】（23-24四年级下·贵州贵阳·期末）海纳酒店在录制现场的正西方向1300米处，百川酒店在录制现场的正东方向1100米处。住在海纳酒店的李叔叔和住在百川酒店的王叔叔两人约好晚上8时到录制现场，两人在晚上7时35分，分别从两个酒店出发走向录制现场，约定相遇后才一起去录制现场。从出发到两人相遇用了20分钟，王叔叔每分钟步行65米，李叔叔每分钟步行多少米？要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是多少？ 【答案】55米；每分钟40米 【思路引导】李叔叔所在酒店到录制现场的路程与王叔叔所在酒店到录制现场的路程的和是李叔叔与王叔叔相遇时所行的总路程，用总路程除以他们相遇的时间即是他们的速度和，用他们的速度和减去王叔叔的速度，就是李叔叔的速度； 7时35分距离8时还有25分钟，它们相遇又用去20分钟，所以相遇时距离8时还有5分钟，用李叔叔的速度乘相遇时间，求出相遇时李叔叔行了多少米，用李叔叔所在酒店到录制现场的路程减去相遇时李叔叔走了的路程，就是他们的相遇点与录制现场之间的路程，用这个路程除以距离8时还有的时间，就是他们相遇后一起步行的最低速度；据此解答。 【规范解答】（1300＋1100）÷20－65 ＝2400÷20－65 ＝120－65 ＝55（米/分） 8时－7时35分＝25（分钟） （1300－55×20）÷（25－20） ＝（1300－1100）÷5 ＝200÷5 ＝40（米/分） 答：李叔叔每分钟步行55米，要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是每分钟40米。 【考点剖析】解答此题的关键在于掌握时间、速度、路程三者之间的关系，同时需要理解速度和的意义。 【真题演练5】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）用你喜欢的方法计算。 327＋189＋573       125×（补上两位数，并使之能简便计算） 88×37＋88×63             840÷[（96－89）×5] 【答案】1089；11000； 8800；24 【思路引导】按照加法交换律计算，将189和573交换位置，得到327＋573＋189，据此计算；可以填88，然后再把88看成8×11，再按照乘法结合律计算；按照乘法分配律的逆运算将该式子写成88×（37＋63），据此计算；先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法。 【规范解答】327＋189＋573 ＝327＋573＋189 ＝900＋189 ＝1089 125×88 ＝125×（8×11） ＝（125×8）×11 ＝1000×11 ＝11000 88×37＋88×63 ＝88×（37＋63） ＝88×100 ＝8800 840÷[（96－89）×5] ＝840÷[7×5] ＝840÷35 ＝24 模块六 分层训练 突破自我 基础夯实 能力提升 1．（25-26四年级上·福建泉州·期末）中国空间站每分钟大约飞行474千米，这个速度确保了空间站能够稳定绕地球飞行。根据如图竖式，下面说法错误的是（    ）。 A．这个竖式运用了乘法分配律 B．中国空间站5分钟飞行2370千米 C．中国空间站15分钟飞行7110千米 D．圈起来的数表示中国空间站10分钟飞行474千米 【答案】D 【思路引导】三位数乘两位数时，相同数位要对齐。先用两位数的个位上的数分别与三位数的每一位数相乘，再用两位数的十位上的数分别与三位数的每一位数相乘，乘得结果要与十位对齐，然后两个结果相加就得到三位数乘两位数的结果；据此分析各个选项即可。 【规范解答】A．这个竖式把15拆成5＋10，先算474×5＝2370，再算474×10＝4740，最后相加，正是乘法分配律 a×（b＋c）＝a×b＋a×c 的应用，原题说法正确； B．474×5＝2370（千米），与竖式第一行结果一致，原题说法正确； C．474×15＝7110（千米），与竖式最终结果一致，原题说法正确； D．圈起来的 “474” 实际是474×10＝4740，代表10分钟飞行4740千米，不是474千米，原题说法错误。 故答案为：D 2．（25-26四年级上·上海浦东新·期末）“200×25×5×4＝（200×5）×（25×4）”运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律和乘法分配律 【答案】C 【思路引导】两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。叫做乘法交换律。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。 乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 由此可做出选择。 【规范解答】200×25×5×4 ＝200×5×25×4 ＝（200×5）×（25×4） ＝1000×100 ＝100000 该题在第一步使用了乘法交换律，第二步使用了乘法结合律。 故答案为：C 3．（25-26四年级上·福建泉州·期末）在括号里填入“＞”“＜”或“＝”。 606006( )606060          783－199( )783－200－1 42×500( )420×50         600÷25( )2400÷100 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＝ 【思路引导】（1）整数的大小比较：位数不相同的两个数，位数多的数较大；位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数较大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。根据整数的大小比较方法判断大小。 （2）根据减法的性质，连续减去两个数，等于减去两个数的和，783－200－1＝783－201，再根据被减数相同，减数大的差小进行比较。 （3）一个因数乘一个数（0除外），另一个因数除以相同的数，积不变。 （4）被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。 【规范解答】（1）606006＜606060           （2）783－200－1＝783－（200＋1）＝783－201，783－199＞783－201，所以783－199＞783－200－1 （3）42×500＝（42×10）×（500÷10）＝420×50          （4）600÷25＝（600×4）÷（25×4）＝2400÷100 4．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）根据运算律，在里填上合适的数，在里填上合适的运算符号。 316×＝14× （25＋55）×＝××4 （15×25）×＝25×（6） 【答案】14；316； 4；25；4；＋；55； 6；15；× 【思路引导】乘法交换律，两数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法结合律，三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变；乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘，再相加。据此解答即可。 【规范解答】根据乘法交换律：316×14＝14×316 根据乘法分配律：（25＋55）×4＝25×4＋55×4 根据乘法交换律和结合律：（15×25）×6＝25×（15×6） 5．（25-26四年级上·湖南邵阳·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 370－65－35( )370－（65＋35）    39＋41×9( )（39＋41）×9 640÷4÷2( )640÷8        720－330÷6( )（720－330）÷6 【答案】 ＝ ＜ ＝ ＞ 【思路引导】第一题根据减法的性质判断；第二题和第四题根据四则运算顺序计算两边结果后比较大小；第三题根据除法的性质判断即可； 【规范解答】根据减法的性质：一个数连续减两个数，等于这个数减两个减数的和，因此； ，则； 根据除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个除数的积，因此； ，则。 6．（24-25四年级上·四川自贡·期末）用计算器计算1432－298时，按键8坏了，可以输入，结果不变。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】，再根据减法的性质可知1432－（300-2）＝1432-300＋2，据此解答即可。 【规范解答】1432－298 ＝1432－（300-2） ＝1432-300＋2 即用计算器计算1432－298时，按键8坏了，可以输入，结果不变。原题表述错误。 故答案为：× 7．（25-26四年级上·吉林长春·期末）用你喜欢的方法计算下面各题。 138＋297＋103＋262                19×66＋81×66 25×37×4                         864÷[（27－23）×12] 【答案】800；6600； 3700；18 【思路引导】（1）根据加法交换律和结合律，式子可写为：（138＋262）＋（297＋103），然后计算； （2）根据乘法分配律，式子可写为：（19＋81）×66，然后计算； （3）根据乘法交换律和结合律，先算25×4，然后再乘37即可； （4）先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法。 【规范解答】138＋297＋103＋262 ＝（138＋262）＋（297＋103） ＝400＋400 ＝800 19×66＋81×66 ＝（19＋81）×66 ＝100×66 ＝6600 25×37×4 ＝25×4×37 ＝100×37 ＝3700 864÷[（27－23）×12] ＝864÷[4×12] ＝864÷48 ＝18 8．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）田间课堂学知识，农业劳动促成长。太阳小学有一块劳动教育示范基地，种植的土豆和白菜各收获了12袋，土豆每袋62千克，白菜每袋38千克。土豆和白菜一共收获了多少千克？ 【答案】1200千克 【思路引导】根据题意可知，用每袋土豆的质量乘袋数，求出土豆的总质量；用每袋白菜的质量乘袋数，求出白菜的总质量，然后把土豆的总质量和白菜的总质量相加，即可求出土豆和白菜一共多少千克；计算时，可根据乘法分配律简算。 【规范解答】62×12＋38×12 ＝（62＋38）×12 ＝100×12 ＝1200（千克） 答：土豆和白菜一共收获了1200千克。 9．（25-26四年级上·辽宁营口·期末）希望小学准备买25捆笔记本奖励优秀学生，每捆笔记本有24本，每本单价4元。共需要多少元？ 【答案】2400元 【思路引导】根据题意可知，每本笔记本的价钱乘每捆的本数等于每捆笔记本的价钱，再乘准备买的捆数，即等于买25捆笔记本总共需要的钱，计算时利用乘法交换律进行简算；据此即可解答。 【规范解答】4×24×25 ＝4×25×24 ＝100×24 ＝2400（元） 答：共需要2400元。 10．（25-26四年级上·山东滨州·期末）校园里的紫藤长廊南北贯通，小语和小航想知道长廊的长度，便从长廊两端同时出发，相向而行，并在长廊间往返行走。小语的速度是65米/分，小航的速度是75米/分，经过9分钟两人第二次相遇。你能算出这条紫藤长廊的长度是多少米吗？ 【答案】420米 【思路引导】两人从长廊两端同时出发相向而行，并在长廊间往返行走，第二次相遇时两人共走了3个长廊的长度，用小语行走的速度加上小航行走的速度，求出两人的速度和，再用速度和乘行走的时间，求出行走的总路程，然后再用行走的总路程除以3，即可求出这条紫藤长廊的长度是多少米。 【规范解答】（65＋75）×9÷3 ＝140×9÷3 ＝1260÷3 ＝420（米） 答：这条紫藤长廊的长度是420米。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26四年级上·北京房山·期末）小强在计算24×199时，将算式转化成24×（199＋1）进行计算，计算结果比正确结果（    ）。 A．多24 B．少24 C．多199 D．少199 【答案】A 【思路引导】小强将原算式24×199转化为24×（199＋1），即计算了24×200。正确结果是24×199，24×200比24×199多24×1＝24，因此计算结果比正确结果多24。 【规范解答】正确计算：24×199。 小强计算：24×（199＋1）＝24×200。 24×200＝24×199＋24×1＝24×199＋24。 所以，计算结果比正确结果多24。 故答案为：A 2．（25-26四年级上·福建泉州·期末）下面的图，能表示5×3×2＝5×2×3的是（    ）。 A．线段的长度是多少？ B．大长方形的面积是多少？ C．大长方形的面积是多少？ D．共有多少颗草莓？ 【答案】D 【思路引导】A．计算线段的长度是多少，用三段线段依次相加，也可先将两个短的线段相加，再加上最长的线段，即可求得结果。 B．计算大长方形的面积是多少，将大长方形的长用两个小长方形的长相加再乘宽，即可求得大长方形的面积；利用长乘宽，分别求得两个小长方形的面积，二者相加，即可求得大长方形的面积。 C．图中大长方形长为（5－1）cm，宽为2cm，用长乘宽，即可求得大长方形的面积。 D．计算共有多少颗草莓，左侧图用每列5颗草莓乘3列，再用结果乘2堆，可求得总的草莓颗数；右侧图用每列5颗草莓乘2列，再用结果乘3堆，即可求得总的草莓颗数，二者相等，可列得等式。 【规范解答】A．求线段的长度是多少：5＋3＋2＝5＋（3＋2），A错误。 B．大长方形的面积是多少：（5＋3）×2＝5×2＋3×2，B错误。 C．大长方形的面积是多少：（5－1）×2＝5×2－1×2，C错误。 D．共有多少颗草莓：5×3×2＝5×2×3，D正确 故答案为：D 3．（25-26四年级上·辽宁大连·期末）奇思用计算器计算1250×48。他依次按键后，计算器上显示出10000。这时，奇思发现自己在按第二个因数时少按了。如果要得到1250乘48的正确结果，但又不取消重按，那么应该继续依次按（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】根据乘法的结合律，1250×48＝1250×（8×6）＝1250×8×6，所以如果要得到1250乘48的正确结果，但又不取消重按，那么应该继续依次按“×、6、＝”，据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知：1250×48可把48拆分成8×6，也就是1250×8×6，他已经按完了1250×8，那么应该继续依次按“×6＝”。 故答案为：C 4．（25-26四年级上·浙江宁波·期末）在括号填入“＞”“＝”或“＜”。 75÷25( )（75×5）÷（25÷5）    12×210( )36×7 178×28( )178×2＋178×8 【答案】 ＜ ＞ ＞ 【思路引导】（1）在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；被除数75乘5，商扩大到原来的5倍，除数25除以5，商再扩大到原来的5倍，因为5×5＝25，所以右边算式结果是左边算式的25倍，则75÷25＜（75×5）÷（25÷5）； （2）通过观察12×3＝36，即左边的因数12乘3得到36，根据积不变的规律，要使左边的积不变，则另一个因数210要除以3，即210÷3＝70；12×210＝36×70，因为70＞7，所以12×210＞36×7； （3）根据乘法分配律公式：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，178×2＋178×8＝178×（2＋8）＝178×10，因为28＞10，所以178×28＞178×2＋178×8。 【规范解答】根据分析可知： 75÷25＜（75×5）÷（25÷5） 12×210＞36×7 178×28＞178×2＋178×8 5．（25-26四年级上·上海浦东新·期末）63×( )＋( )×59＝6300（运用乘法分配律填空）。 【答案】 41 63 【思路引导】乘法分配律：两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘再相加，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；由题意得，在算式63×（      ）＋（      ）×59＝6300中，6300可以看成63×100，而左边的乘法算式中有一个63，说明第二个括号里应该填63，即原算式为63×（    ）＋63×59＝63×100＝6300。而100－59＝41，所以第一个括号里应该填41，即原算式为63×41＋63×59＝6300。 【规范解答】由分析可得，63×41＋63×59＝6300。 6．（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）98×102＝（100－2）×102＝100×102－2×102，这里运用了乘法分配律。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】乘法分配律：两个数的和或差与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘再相加或相减，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或（a－b）×c＝a×c－b×c。由题意得，计算98×102时，先把98转化为100－2，然后再利用乘法分配律将原式转化为100×102－2×102。 【规范解答】98×102 ＝（100－2）×102 ＝100×102－2×102，即原算式运用了乘法分配律。原题说法正确。 故答案为：√ 7．（25-26四年级上·江苏盐城·期末）脱式计算，能简便的要简便计算。 3600÷5÷8          （65＋79）÷（83－67）         450÷[555÷（282–245）] 【答案】90；9；30 【思路引导】3600÷5÷8利用除法的性质进行简便运算； （65＋79）÷（83－67）先算小括号内的加法和减法，再算小括号外的除法； 450÷[555÷（282–245）]先算小括号内的减法，再算中括号内的除法，最后算中括号外的除法。 【规范解答】3600÷5÷8 ＝3600÷（5×8） ＝3600÷40 ＝90 （65＋79）÷（83－67） ＝144÷16 ＝9 450÷[555÷（282–245）] ＝450÷[555÷37] ＝450÷15 ＝30 8．（25-26四年级上·辽宁大连·期末）冬季我国的蔬菜供应主要是以蔬菜大棚种植为主。如图，李叔叔有甲、乙两个蔬菜种植大棚。两个大棚所占土地面积共多少平方米？ 【答案】480平方米 【思路引导】两个大棚可看作一个大长方形（甲、乙的宽相同），长为（13＋27）米，宽为12米。长方形面积＝长×宽，据此解答。也可以分别求出两个大棚的面积后再相加。 【规范解答】方法一：12×（13＋27） ＝12×40 ＝480（平方米） 方法二：12×13＋12×27 ＝12×（13＋27） ＝12×40 ＝480（平方米） 答：两个大棚所占土地面积共480平方米。 9．（25-26四年级上·北京海淀·期末）本学期我们学习了运算律，在计算80×（125＋90）时，淘气产生了用运算律使计算简便的想法，他这样做： 淘气的做法正确吗？对此同学们和他一起进行了深入地思考。 (1)同学们用计算的方法判断出淘气做法是错误的，他们发现淘气计算出的结果与正确结果不一致。80×（125＋90）的正确结果是多少？请你也来算一算。 (2)淘气知道了自己的做法是错误的，他还想和同学们一起进一步分析错误的原因，可以怎样分析？为此老师提供了三个帮助分析的工具（如下图），请你也从中选择一个，借助它进行分析吧！ 我选择工具（    ），借助它我这样分析： (3)你对怎样才能用好运算律有什么建议？或者还想继续研究与运算律有关的什么问题？结合以上研究，我的建议或问题是：______________________________。 【答案】(1)17200 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据四则运算顺序，先算括号内的加法，再算乘法。 （2）工具①，借助它我这样分析：80×（125＋90）表示80套衣服的价钱，也就是80件上衣和80条裤子的价钱，80×125＋90表示80件上衣和1条裤子的价钱，它们表示的价钱不一样。 工具②，借助它我这样分析：80×（125＋90）表示的是长215厘米、宽80厘米的大长方形面积，80×125＋90表示的是长125厘米、宽80厘米的长方形面积与长90厘米相加，没有实际意义，两个算式意思不同，大小也不相等。 工具③，借助它我这样分析：80×（125＋90）可以表示（125＋90）个80相加，也就是一共有215个80相加，可以看成125个80与90个80相加，80×125＋90可以表示125个80与90相加，两个算式不相等。 （3）建议：使用运算律前，先明确运算律的“含义”（比如乘法分配律是“一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再相加”），也可以结合实际情境（像工具①的“购物”、工具②的“长方形面积”）理解运算律的本质，避免漏乘或错用。 【规范解答】（1）80×（125＋90） ​＝80×215 ＝17200​ （2）工具①，借助它我这样分析：80×（125＋90）表示80套衣服的价钱，也就是80件上衣和80条裤子的价钱，80×125＋90表示80件上衣和1条裤子的价钱，它们表示的价钱不一样。 （3）建议：使用运算律前，先明确运算律的“含义”（比如乘法分配律是“一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再相加”），也可以结合实际情境（像工具①的“购物”、工具②的“长方形面积”）理解运算律的本质，避免漏乘或错用（答案不唯一）。 10．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地的路程为600km，张叔叔开车从甲地开往乙地，从甲地到乙地的最高速度是每时120km，最低速度是每时60km。 （1）张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是（    ）时，最长时间是（    ）时。 （2）王叔叔开车从乙地出发前往甲地，与张叔叔同时出发，张叔叔比王叔叔平均每时多行驶20km，3时后两人相遇，相遇后两人继续行驶，各自到达目的地停止，求两人各自的平均速度。 （3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个充电站A，B，并且A，B相距200km，当张叔叔到达B充电站时，王叔叔恰好到达A充电站（两车换电的时间忽略不计），求甲地到充电站B的路程。 【答案】（1）5；10； （2）110千米/时；90千米/时 （3）220千米或440千米 【思路引导】（1）根据时间＝路程÷速度，可以求出甲地开往乙地的最短时间是和最长时间； （2）根据相遇问题的公式：路程和＝速度和×相遇时间，可以求出二人的速度和，再结合速度差求出各自的速度即可； （3）若A充电站靠近甲，B充电站靠近乙，那么两人的路程和为600＋200＝800千米，用时为800÷200＝4时，此时甲和B充电站相距4×110＝440千米；若A充电站靠近乙，B充电站靠近甲，那么两人的路程和为600－200＝400千米，用时为400÷200＝2时，此时甲和B充电站相距2×110＝220千米；据此解答即可。 【规范解答】（1）600÷120＝5（时）600÷60＝10（时） 张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是5时，最长时间是10时。 （2）600÷3＝200（千米/时） （200＋20）÷2 ＝220÷2 ＝110（千米/时） 200－110＝90（千米/时） 答：张叔叔的平均速度为110千米/时，王叔叔的平均速度为90千米/时。 （3）①（600－200）÷（110＋90） ＝400÷200 ＝2（时） 110×2＝220（千米） ②（600＋200）÷（110＋90） ＝800÷200 ＝4（时） 110×4＝440（千米） 答：甲地到充电站B的路程为220千米或440千米。 【考点剖析】本题主要考查了相遇问题，明确路程、速度、时间之间的关系是解答此题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第五单元 运算律『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题） 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点 考点名称 考点 考点名称 高频考点一 整数加法交换律的计算 高频考点九 整数乘法结合律的计算 高频考点二 整数加法交换律的应用 高频考点十 整数乘法结合律的应用 高频考点三 整数加法结合律的计算 高频考点十一 整数乘法分配律的计算 高频考点四 整数加法结合律的应用 高频考点十二 整数乘法分配律的应用 高频考点五 整数减法的性质的计算 高频考点十三 整数除法的性质的计算 高频考点六 整数减法的性质的应用 高频考点十四 整数除法的性质的应用 高频考点七 整数乘法交换律的计算 高频考点十五 相遇问题 高频考点八 整数乘法交换律的应用 模块二 导图指引 梳理脉络 模块三 知识精讲 单元小结 知识点一 加法交换律和加法结合律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a+b=b+a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示：a+b+c=a+(b+c)。 知识点二 减法运算性质 1. 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，用字母表示为a－b－c=a－(b＋c)。 2. 在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变，用字母表示为a－b－c=a－c－b。 知识点三 乘法交换律和乘法结合律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 知识点四 乘法分配律 两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减，这叫做乘法分配律。 1. 乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。 2. 乘法分配律的逆运算：a×b+a×c=a×（b+c）。 知识点五 除法运算性质 1. 除法的运算性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个数的积，用字母表示为a÷b÷c=a÷（b×c）（b、c均不为0）。 2. 在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变，用字母表示为 a÷b÷c÷d=a÷c÷b÷d=a÷d÷b÷c（b、c、d均不为0）。 模块四 考点讲练 培优提升 高频考点一 整数加法交换律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）用简便算法计算下面各题。 326×25×4         8×11×125             135＋46＋65 42×23＋58×23     456＋201＋44＋299      460＋725＋275 【变式训练】（25-26四年级上·上海奉贤·期末）用递等式计算。（能简便计算的要用简便方法计算） 25×404                           199×99＋99 756－[（418－222）÷4]×3         123＋（96＋77）＋204 105×19＋285÷19                  8×32×125 高频考点二 整数加法交换律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·四川巴中·期中）通江某小学四年级参加劳动实践活动“摘花生”，四一班摘了158千克，四二班摘了209千克，四三班摘了191千克，四四班摘了142千克。四个班共摘了多少千克？ 【变式训练】你会用高斯配对求和的方法计算1＋3＋5＋7＋…＋57＋59吗？试试吧！ （1）算一算：1＋3＋5＋7＋…＋57＋59 （2）我发现：配对求和的解题关键：先观察算式中数据的特点，若算式中数据两两（    ）可以凑成某个（    ）的数，可利用（    ）法将数据两两结合再进行计算。分组时注意一共分成了多少组，有没有数据遗漏。 高频考点三 整数加法结合律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁营口·期末）脱式计算。（能简算必须简算） 45×102        38×25＋62×25        （360－120）÷15×23 4×（125×25）        46＋189＋54＋11        840÷[（25－18）×12] 【变式训练】（25-26四年级上·上海嘉定·期末）递等式计算（能简便计算的要简便计算）。 768－（432－108）÷18       104×25 1554÷[（72－58）×3]       1678－（678－345）＋55 79×42＋79＋79×57          99＋999＋9999＋99999 高频考点四 整数加法结合律的应用 【典例精讲】（24-25四年级上·广东佛山·期中）国庆节放假，奇思和爸爸乘火车从A市到E地看望奶奶，火车从A市到E地一共行驶了多少千米？ 【变式训练】（23-24四年级上·陕西西安·期中）郊外有一个养牛场，前年养了9头牛，去年养了99头牛，今年养牛的头数比999头还多3头。这个养牛场三年一共养了多少头牛？ 高频考点五 整数减法的性质的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·上海黄浦·期末）递等式计算，能简便的用简便方法计算。 1650－78－222＋350     125×（8＋40）×25       225＋275÷25×4 81×18＋18＋18×21      72×[﹙959＋1364﹚÷23] 【变式训练】（25-26四年级上·上海浦东新·期末）递等式计算。（能简便的用简便方法计算） 87×13＋1313÷13      125×（8＋40）×25       1876－353－576－247 1000－300÷25×4    45×54＋45×45＋45    [348－（5895－720）÷15]×160 高频考点六 整数减法的性质的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·四川眉山·期中）中国是瓷器的故乡，瓷器是劳动人民的一个历史结晶，瓷器小小的身板中体现了先辈高超的技艺，炼泥，制胚，上釉，简单的步骤，凝聚了先辈们的心血，方能使其经久不衰，得以让我们见证古人的智慧。景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉、明如镜、薄如纸、声如磬”之称，品种齐全，总计3000多种。刘叔叔的瓷器店里有503件景德镇瓷器，上午卖出159件，下午卖出141件，这个瓷器店还剩下多少件景德镇瓷器？ 【变式训练】（24-25四年级下·海南省直辖县级单位·期末）某商店第二季度卖出甲、乙、丙3种饮料共489箱，甲饮料卖了128箱，乙饮料卖了86箱，丙饮料卖出了多少箱？ 高频考点七 整数乘法交换律的计算 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课后作业）用简便方法计算。          【变式训练】（25-26四年级上·辽宁大连·期末）脱式计算，能简算的要简算。 25×15×4      36×45＋45×64    （240－63÷21）×6     684÷[（78－76）×19] 高频考点八 整数乘法交换律的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西安康·期末）千层油酥饼是陕西汉族的特色小吃，具有色泽金黄、层次鲜明、油而不腻、香酥适口等特点。一家陕西特色食品店出售千层油酥饼，一箱千层油酥饼内装有25盒千层油酥饼，每盒售价13元，小李打算购买4箱千层油酥饼作为礼物赠送给朋友，他一共需要支付多少钱？ 【变式训练】（24-25四年级下·广西玉林·期末）实验小学开设的机器人编程课程深受同学们喜爱。把报名参加该课程的同学分成4个班，每班分成6组，每组有25名同学。报名的同学一共有多少名？ 高频考点九 整数乘法结合律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃兰州·期末）脱式计算，最后两题用简算的方法计算。 6000÷25÷4          250－150÷25 360÷45              125×24 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）简便计算。 84×61＋78×42           24×99＋24           88×125 高频考点十 整数乘法结合律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·山东·课后作业）为推进义务教育优质均衡发展，某地政府为当地小学新建了一个四层教学楼，每层楼有5个教室，每个教室有25张双人课桌。该教学楼能坐多少人？ 【变式训练】（25-26四年级上·全国·课后作业）张爷爷家的水果今年大丰收，每个果园有176棵果树，每棵果树能收获125千克水果。张爷爷家的8个果园今年一共能收获多少千克水果？ 高频考点十一 整数乘法分配律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·上海黄浦·期末）递等式计算，能巧算的用巧算。 4×8×（25＋125）                43×83＋17＋42×17 18×420＋180－18×380           30×[14＋（84－28）÷14] 【变式训练】（25-26四年级上·福建泉州·期末）用你喜欢的方法计算。 16×25×125        101×68－68        132×[336÷（563－551）] ＝3696 高频考点十二 整数乘法分配律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）沈阳文旅预计在2025－2026跨年及元旦期间，打造全城联动的欢乐嘉年华，彰显沈阳作为东北亚国际化中心城市的冰雪魅力。为迎接游客，王大爷进了大批冻梨和冻柿子，用25辆卡车才运完，每辆卡车上装了24箱冻梨和26箱冻柿子，一共有多少箱？（用两种方法解答） 【变式训练】（24-25四年级上·福建南平·期末） 我的猜想：如果除法有分配律，那么（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c（c≠0） 举例验证： 所以：（12＋18）÷2＝12÷2＋18÷2 （1）我发现：猜想是（    ）的。（填“成立”或“不成立”） （2）模仿：再列举一组算式验证猜想。 （3）情境验证：研学是一种将学习与旅行相结合的教育方式。光明小学四年级有360人，三年级有240人。三年级和四年级的学生一起参加研学活动，每12人分一组，一共可以分多少组？（用两种方法计算，验证猜想是否成立。） 高频考点十三 整数除法的性质的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）能简算的要简算。 （1）[196－（96＋4）]÷6    （2）9000÷125    （3）85×99＋85 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）脱式计算（能简算的要简算）。 84×69－39×84        125×23×8 165÷[3×（47－42）]        700÷25 高频考点十四 整数除法的性质的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·河南许昌·期末）图书管理员把新增的750本文艺类书籍平均分到2个书架上，每个书架有5层。每层放了多少本？（温馨提示：要简便计算） 【变式训练】（24-25四年级下·山西忻州·期末）代县小米米粒匀称，色泽金黄，米香醇厚，口感光滑，是山西省忻州市特产，也是全国农产品地理标志。爸爸购买了6千克小米分装在250克的小袋里，每8小袋装一箱，这些小米可以装满几箱？ 高频考点十五 相遇问题 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁大连·期末）一项户外拓展项目中，淘气和笑笑分别从相距540米的A、B两地同时出发相向而行。淘气每分钟走50米，笑笑每分钟走40米。 (1)他们几分钟后相遇？ (2)请在上图中用▲标出他们相遇的大概位置。 【变式训练】（25-26四年级上·山东泰安·期中）“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还，两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。”是李白的一首七言绝句。白帝城位于重庆市奉节县，江陵即湖北省荆州市，小明和小刚分别从奉节县和荆州市开车出发，小明开车速度为每小时85千米，小刚开车速度为每小时115千米，10小时相遇，问奉节县与荆州市相距多少千米？ 模块五 真题演练 实战操作 【真题演练1】（25-26四年级上·福建漳州·期中）一辆货车和一辆轿车分别从A、B两地出发，相向而行，货车每小时行驶60千米，轿车每小时行驶80千米。两车在距离中点20千米处第一次相遇。 （1）请在下面的线段图中用“”标出两车相遇的大致位置。 （2）相遇时，轿车比货车多行驶多少千米？ （3）A、B两地相距多少千米？ 【真题演练2】（25-26四年级上·江苏盐城·期末）用递等式计算，能简便运算的就简便运算。 68×25－36÷3        800÷16÷5       250÷[150÷（81－78）] 【真题演练3】（25-26四年级上·湖南邵阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 125×12        720÷16÷5       25×44        560÷[（205－198）×4] 【真题演练4】（23-24四年级下·贵州贵阳·期末）海纳酒店在录制现场的正西方向1300米处，百川酒店在录制现场的正东方向1100米处。住在海纳酒店的李叔叔和住在百川酒店的王叔叔两人约好晚上8时到录制现场，两人在晚上7时35分，分别从两个酒店出发走向录制现场，约定相遇后才一起去录制现场。从出发到两人相遇用了20分钟，王叔叔每分钟步行65米，李叔叔每分钟步行多少米？要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是多少？ 【真题演练5】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）用你喜欢的方法计算。 327＋189＋573       125×（补上两位数，并使之能简便计算） 88×37＋88×63             840÷[（96－89）×5] 模块六 分层训练 突破自我 基础夯实 能力提升 1．（25-26四年级上·福建泉州·期末）中国空间站每分钟大约飞行474千米，这个速度确保了空间站能够稳定绕地球飞行。根据如图竖式，下面说法错误的是（    ）。 A．这个竖式运用了乘法分配律 B．中国空间站5分钟飞行2370千米 C．中国空间站15分钟飞行7110千米 D．圈起来的数表示中国空间站10分钟飞行474千米 2．（25-26四年级上·上海浦东新·期末）“200×25×5×4＝（200×5）×（25×4）”运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律和乘法分配律 3．（25-26四年级上·福建泉州·期末）在括号里填入“＞”“＜”或“＝”。 606006( )606060          783－199( )783－200－1 42×500( )420×50         600÷25( )2400÷100 4．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）根据运算律，在里填上合适的数，在里填上合适的运算符号。 316×＝14× （25＋55）×＝××4 （15×25）×＝25×（6） 5．（25-26四年级上·湖南邵阳·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 370－65－35( )370－（65＋35）    39＋41×9( )（39＋41）×9 640÷4÷2( )640÷8        720－330÷6( )（720－330）÷6 6．（24-25四年级上·四川自贡·期末）用计算器计算1432－298时，按键8坏了，可以输入，结果不变。( )（判断对错） 7．（25-26四年级上·吉林长春·期末）用你喜欢的方法计算下面各题。 138＋297＋103＋262                19×66＋81×66 25×37×4                         864÷[（27－23）×12] 8．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）田间课堂学知识，农业劳动促成长。太阳小学有一块劳动教育示范基地，种植的土豆和白菜各收获了12袋，土豆每袋62千克，白菜每袋38千克。土豆和白菜一共收获了多少千克？ 9．（25-26四年级上·辽宁营口·期末）希望小学准备买25捆笔记本奖励优秀学生，每捆笔记本有24本，每本单价4元。共需要多少元？ 10．（25-26四年级上·山东滨州·期末）校园里的紫藤长廊南北贯通，小语和小航想知道长廊的长度，便从长廊两端同时出发，相向而行，并在长廊间往返行走。小语的速度是65米/分，小航的速度是75米/分，经过9分钟两人第二次相遇。你能算出这条紫藤长廊的长度是多少米吗？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26四年级上·北京房山·期末）小强在计算24×199时，将算式转化成24×（199＋1）进行计算，计算结果比正确结果（    ）。 A．多24 B．少24 C．多199 D．少199 2．（25-26四年级上·福建泉州·期末）下面的图，能表示5×3×2＝5×2×3的是（    ）。 A．线段的长度是多少？ B．大长方形的面积是多少？ C．大长方形的面积是多少？ D．共有多少颗草莓？ 3．（25-26四年级上·辽宁大连·期末）奇思用计算器计算1250×48。他依次按键后，计算器上显示出10000。这时，奇思发现自己在按第二个因数时少按了。如果要得到1250乘48的正确结果，但又不取消重按，那么应该继续依次按（    ）。 A． B． C． 4．（25-26四年级上·浙江宁波·期末）在括号填入“＞”“＝”或“＜”。 75÷25( )（75×5）÷（25÷5）    12×210( )36×7 178×28( )178×2＋178×8 5．（25-26四年级上·上海浦东新·期末）63×( )＋( )×59＝6300（运用乘法分配律填空）。 6．（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）98×102＝（100－2）×102＝100×102－2×102，这里运用了乘法分配律。( )（判断对错） 7．（25-26四年级上·江苏盐城·期末）脱式计算，能简便的要简便计算。 3600÷5÷8          （65＋79）÷（83－67）         450÷[555÷（282–245）] 8．（25-26四年级上·辽宁大连·期末）冬季我国的蔬菜供应主要是以蔬菜大棚种植为主。如图，李叔叔有甲、乙两个蔬菜种植大棚。两个大棚所占土地面积共多少平方米？ 9．（25-26四年级上·北京海淀·期末）本学期我们学习了运算律，在计算80×（125＋90）时，淘气产生了用运算律使计算简便的想法，他这样做： 淘气的做法正确吗？对此同学们和他一起进行了深入地思考。 (1)同学们用计算的方法判断出淘气做法是错误的，他们发现淘气计算出的结果与正确结果不一致。80×（125＋90）的正确结果是多少？请你也来算一算。 (2)淘气知道了自己的做法是错误的，他还想和同学们一起进一步分析错误的原因，可以怎样分析？为此老师提供了三个帮助分析的工具（如下图），请你也从中选择一个，借助它进行分析吧！ 我选择工具（    ），借助它我这样分析： (3)你对怎样才能用好运算律有什么建议？或者还想继续研究与运算律有关的什么问题？结合以上研究，我的建议或问题是：______________________________。 10．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地的路程为600km，张叔叔开车从甲地开往乙地，从甲地到乙地的最高速度是每时120km，最低速度是每时60km。 （1）张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是（    ）时，最长时间是（    ）时。 （2）王叔叔开车从乙地出发前往甲地，与张叔叔同时出发，张叔叔比王叔叔平均每时多行驶20km，3时后两人相遇，相遇后两人继续行驶，各自到达目的地停止，求两人各自的平均速度。 （3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个充电站A，B，并且A，B相距200km，当张叔叔到达B充电站时，王叔叔恰好到达A充电站（两车换电的时间忽略不计），求甲地到充电站B的路程。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $四年级数学（苏教版）第五单元知识点笔记 单元主题：运算定律 核心思想与知识概述 本单元是对整数四侧运算定律的系统总结和提升，核心目标是理解运算定律、掌握简便算法，提高计算能力和思维灵活性。 核心思想：“凑整”先算一通过灵活运用运算定律，将能蔆成整十、整百、整干的数结合在一起先算，使运算过程更简便、 结果更准确。 二、五大运算定律与两大运算性质 1.加法运算定律 3.减法与除法运算性质 1.加法运算定律 880 3.减法性质 容量：两个加数交换位置，和不变。 减性性一：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。 加法交换律 代做：a+b=b+a 代数：a-b-c=a-(b+) 应用：改变运算顺序，寻找“凑整”伙伴。 应用：当b+c能凌整时，计算更简便。 例如：36+48+64=36+64+48=100+48=148 例如：234-66-34=234-(66+34)=234-100=134 容量： 先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 物性性二：在连减运算中，任意交换减数的位置，差不变。（可借助交换律理解） 代数：(a+b)+c=a+(b+c) 代数：a-b-c=a-c-b 加法结合律 应用：将能凌整的敞结合成一组先算。 2.除法性质 例如：(65+28)+72=65+(28+72)=65+100=165 除性性一：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。 实践中常与加法交换律配合使用。 代数：a÷b÷c=a÷(b×c)(b,c0) 2.乘法运算定律 应用：当b×c能凌整时，计算更简便。 如：3200÷25÷4=-3200÷(25×4)=3200÷100=32 容量：两个因数交换位置，积不变。 乘法交换律 代数：a×b=b×a 物性性二：在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变。 代数：a÷b÷c=a+c+b(b,c≠0) 应用： 寻找方便计算的组合（如25×4）。 如：25×37×4=25×4×37=100×37=3700 容量：先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 三、常见简便计算的 “凑整”伙伴 乘法结合律 代数：(axb)xc=ax(b×c) 应用：创造条件"凌整 熟记以下“黄金搭档”，快速识别简算机会： 如：125×(8×13)=(125×8)×13=1000×13=13000 运算 常见"“澳整”伙伴 结果 两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这 1+9,2+8,3+7,4+6,5+5 10 加法 个数相乘，再相加（回或相减）。 按近整十、整百数（如98+2,199+1） 100,200 正向：(a+b)×c=axc+bxc 25×4 100 正向（差）：(a-b)×c=a×c-bxc 乘法 125×8 1000 乘法分配律 逆向：a×c+b×c=(a+b)×c 100 (重难点) 逆向（差）：a×c-b×c=(a-b)×c 50×2 理解：像“分发”礼物一样，将括号外的数c分别发给括 25×8,125×4 200,500 号内的每个数。 除法 除以100（小数点左移两位） 分解（正向）：如(100+2)×45=100×45+2×45 除以25（可看作÷100×4） 组合（逆向）：如36×58+64×58=(36+64)×58 进阶技巧：拆分接近整百、整干的数。 隐藏“1”：如99×38+38=99×38+1×38=(99+1)×38 加法之友：98=100-2；103=100+3 拆分组合：如25×41=25×(40+1)=25×40+25×1 乘法之友：99=100-1；101=100+1；98=100-2 四、常见易错点与解题策略 1.五大常见易错点 2.简便计算四步策略 ·混淆定律与性质：如误称a-(b+c)=a-b-c为“减法结合律” (实为 一审：观察算式的整体结构和数字特征。 减法性质)。 二想：联想运算定律、性质以及“凑整伙伴”。 ·乘法分配律应用错误（高频）： 三变：合理改变运算顺序或拆分组合数字，向“凑整”靠拢。 漏乘：(a+b)×c=a+b×c(漏乘a)。 四算：依据定律或性质进行简便计算，检查结果。 符号错误：(a-b)×c=a×c-b×c误写成a×c+b×c。 分配不彻底：只对括号内的各项应用。 典型的思维： 。除法性质应用错误： 看到“25”、"125”→找”4"”、"8” 误认为a÷(b+c)=a÷b+a÷c(除法没有分配律！)。 看到"”接近整百、整干的数（如98、99、102）”+考虑拆分成 (100±某数)，再用乘法分配律。 在a÷(b×c)=a÷b÷c中，忘记将乘号变为除号。 ·随意去括号导致符号错误： 看到“几个乘积的和/差，有相同因数”→考虑乘法分配律逆向使用。 如a-(b-c)=a-b-c(正确应为a-b+c)。 看到“连减几个数”→考虑是否能凑整，利用减法性质。 ● “简”变"“繁”：未看清题目特征，生搬硬套定律，反而使计算更复杂。 看到 “连除几个数”→考虑是否能凑整，利用除法性质。 单元学习目标总结：理解并掌握加法和乘法的五大定律（交换、结合、分配）及减法、除法运算性质；能灵活、准确地运用这些定律和 性质进行简便计算，形成“凑整”先算的意识；提高计算准确性、速度和思维灵活性，为后续小数、分数简便计算的学习打下坚实基础。