课题学习 多边形的内角和（易错培优讲练）易错点拨+6个考点讲练+优选真题拔尖练 共43题-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

2025-2026学年苏教版数学四年级下册单元培优讲义【易错笔记】 课题学习 多边形的内角和『易错笔记培优讲练』 〔原卷版〕 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 模块二 易错点拨 思路指引 易错点一 对多边形内角和公式理解的误区 学生可能会误以为多边形的内角和是随着边数的增加而等差增加的。但实际上，多边形的内角和与边数的关系是二次函数关系，公式为(n-2)×180°，其中n为多边形的 边数。这个公式揭示了多边形内角和与边数之间的非线性关系。 易错点二 计算过程中的错误 在应用多边形内角和公式进行计算时，学生可能会在计算(n-2)的过程中出错，如将n的值减错或者忘记减2。此外，在乘以180°时，也可能会出现计算错误。 另外，学生在计算过程中可能会混淆内角和与外角和的概念，导致计算错误。多边形的外角和总是等于360°，与边数无关，这是与内角和不同的一个关键点。 易错点三 对多边形形状理解的误区 学生可能会误以为所有多边形的内角都是相等的，尤其是当学习到等边三角形和正方形时。但实际上，多边形的内角大小与其形状和边长都有关，只有等边多边形的内角才相等。 另外，学生可能会将多边形与圆或其他封闭图形混淆，导致在计算内角和时出现错误。多边形是由线段首尾顺次相接组成的封闭图形，与圆或其他由曲线构成的封闭图形有本质区别。 易错点四 对多边形分类的混淆 学生可能会将多边形按照边数的多少进行分类时混淆概念，如将五边形误认为是四边形或六边形。这会影响他们在应用多边形内角和公式时的准确性。 模块三 易错考点 讲练结合 高频易错考点一 看图列式计算角度 【典例精讲】（23-24四年级下·江苏南通·期末）用不同的方法分一分、算一算六边形的内角和是多少度？ 【变式训练1】（23-24四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。 【变式训练2】按要求计算，并写出计算过程。 ∠2＝________          ∠1＋∠2＝_________ 【变式训练3】（23-24四年级下·全国·暑假作业）算出下面每个四边形中未知角的度数。 （1） （2） 高频易错考点二 探究多边形内角和 【典例精讲】（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 【变式训练1】（24-25四年级下·贵州黔东南·期末）在解决问题时，我们常常要变换角度，大胆尝试不同的方法。如下面是求“四边形的内角和”的三种方法。 方法1：拼一拼     方法2：分成2个三角形180°×2＝360° 方法3：分成4个三角形180°×4－360°＝360° （1）请你选用合适的方法，在下图中画一画，并计算出这个五边形的内角和。 列式计算： （2）一个多边形的内角和是900°，它是（    ）边形。 【变式训练2】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期末）“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。在解决问题时，如果我们变换角度进行思考，可能会得到意想不到的结果。下面是两位同学在求四边形内角和使用的两种不同的方法。 小东：在四边形内任意取一个点，分别连接这个点与四边形的四个顶点。 四边形的内角和＝180×4－360＝360（度） 小贝：把四边形分成两个三角形。 四边形的内角和＝180×2＝360（度） 你喜欢谁的方法？请用这种方法算出下面多边形的内角和。 【变式训练3】（24-25四年级下·全国·单元复习）（1）如图，把三角形ABC的边AC延长到点D，你能推导出∠2＋∠3＝∠4吗？ 请把下面的推导过程填完整： 因为三角形的内角和是180°， 所以∠1＋∠2＋∠3＝　 　°， 所以∠2＋∠3＝180°－∠　 　。 又因为∠1＋∠4＝平角＝180°， 所以∠4＝180°－∠　 　， 所以∠2＋∠3＝∠4。 （2）如图，一个五边形的内角和是540°，试一试，推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。请写出你的推导过程。 高频易错考点三 作图题（计算角度大小） 【典例精讲】（24-25五年级上·山东滨州·期中）在求“四边形的内角和”时，我们可以多角度去思考，计算出其内角和。 按照以上研究思路，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，在图中画一画，并列式计算。 【变式训练1】（23-24四年级下·云南昭通·期末）探索多边形的内角和。 （1）我会画图：根据“三角形的内角和是180度”这一结论，分别将下面的四边形和五边形分成三角形来研究，请动手画一画。 （2）我分析：四边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）；五边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（    ）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为（    ）。 【变式训练2】（23-24四年级下·重庆开州·期末）本学期我们用剪一剪、拼一拼、分一分等方法求出了三角形、四边形的内角和，请你根据本期所学知识求出下图多边形的内角和。（保留作图痕迹，并用算式表示你的思考过程。） 【变式训练3】（24-25四年级下·全国·单元复习）（1）小娅在推导六边形内角和时，用了“分一分”的方法，请根据算式在六边形中用虚线画出算式所表示“分”的方法。 （2）在图①选一个小方格并涂上颜色，使它和原有的涂色部分方格形成一个轴对称图形；在图②中，画出三角形ABC中AB边上的高后，再画出三角形ABC向左平移4格后的图形。 高频易错考点四 裁剪分割问题 【典例精讲】24-25四年级下·山西大同·期末）如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是( )度，剪去的涂色部分是( )三角形。 【变式训练1】（24-25四年级下·广西百色·期末）丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如图），∠3＋∠4＝( )°。 【变式训练2】（24-25四年级下·广西桂林·期末）笑笑将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如图），( )°。 【变式训练3】（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝（    ）。 A．90° B．135° C．270° D．235° 高频易错考点五 分割问题 【典例精讲】（23-24四年级下·江苏苏州·期末）数学实践活动课上，小新和小乐用正方形纸剪出了一个特殊的三角形（如图①）。 (1)∠1＝( )°。 (2)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图②），那么在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°，∠4＋∠5＝( )°。 【变式训练1】（23-24四年级下·河北唐山·期末）将直角三角形中的一个锐角如下图所示折叠。∠2是多少度？ 【变式训练2】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）按照下面图1的步骤，可以把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)剪成的这个三角形按边分是( )三角形。你是怎么知道的，请你写一写( )。 (2)图1中，∠2＝( )°。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如上图2），在剩下的四边形中，∠5＋∠6＝( )°。 高频易错考点六 思维拓展题 【典例精讲】已知一个多边形的内角和是720°，它是（    ）。 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【变式训练1】实践与探究。 (1)先将下表中的多边形分成三角形，再填一填。 图形 边数 3 ( ) ( ) ( ) 内角和 180° 180°×( ) 180°×( ) 180°×( ) 我发现：多边形（边数≥3）的内角和＝( )。 (2)一个多边形的内角和是900°，它是一个( )边形。 【变式训练2】五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形    180° 60° 正方形      360° 90° 正五边形       （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图1中∠1的度数吗？ （3）图2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。 【变式训练3】阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有三个内角，也有三个外角哦。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少呢？我们一起来研究一下！ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180° 所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°， 又因为三角形的内角和＝180° 所以三角形的外角和＝540°－180°＝360°。    【解答应用】 （1）求四边形的外角和 因为四边形的内角和＋外角和＝4×180°＝720°， 又因为四边形的内角和＝360°， 所以四边形的外角和＝_____________。    （2）求五边形的外角和 因为五边形的内角和＋外角和＝_____________， 又因为五边形的内角和＝（    ）°， 所以五边形的外角和＝_____________。    （3）请你根据前面的推导过程，完成六边形外角和的探究过程吧！ （4）你发现多边形的外角和有什么规律吗？ __________________________________________________________________________________ 模块四 易错真题 提升训练 1．（24-25四年级下·四川达州·期末）小红画了一个多边形，这个多边形的内角和不可能是（    ）°。 A．540 B．600 C．720 2．（24-25四年级下·河南洛阳·期末）计算一个五边形的内角和时，我们可以把它分成3个三角形（如图），它的内角和就是180°×3＝540°。像这样，计算八边形内角和也可以把它分成几个三角形，那么八边形的内角和是（    ）。 A．900° B．1080° C．1260° 3．（24-25四年级下·河南新乡·期末）下面是求五边形内角和的方法，正确的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25四年级下·全国·课后作业）将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（    ）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大180° C．甲的内角和比乙的内角和大360° 5．（24-25四年级下·河北保定·期末）一个多边形的内角和是900°，这是个（    ）边形。 A．五边形 B．六边形 C．七边形 6．（23-24四年级下·浙江嘉兴·期末）如图，一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是( )°，剩下部分的内角和是( )。 7．（24-25四年级下·山东临沂·期末）如图，把长方形纸片的一个角折起来。∠1＋∠2＝( )°。将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个( )边形，这个图形的内角和是( )°。 8．（24-25四年级下·内蒙古赤峰·期末）图中未知角的度数是( )°，连接AD，把四边形分成了一个( )三角形和一个( )三角形。 9．如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 10．（24-25四年级下·山西临汾·期末）一个六边形，它的内角和是180°×4＝720°。( )（判断对错） 11．（24-25四年级下·河北石家庄·期末）长方形框架拉成平行四边形，每个角大小变了，而内角和不变。( )（判断对错） 12．（24-25四年级下·江西宜春·期末）一个多边形的内角和是720°，这是一个六边形。( )（判断对错） 13．（23-24四年级下·河北·课后作业）算一算下面多边形的内角和各是多少度。      14．（24-25四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”在解决问题时，我们经常通过变换角度进行思考。下面是两位同学在求多边形的内角和时使用的两种不同的方法。 明明：在四边形内随便取一个点，四边形的内角和。（如图1） 丽丽：分成两个三角形，四边形的内角和是180°×2＝360°。（如图2） 看完上面的材料，请你选一种方法，画一画，并求出下面多边形的内角和是多少度？ 15．（24-25四年级下·内蒙古兴安·期末）下图是一个六边形，其中有一个等边三角形。 （1）数一数，图中有（    ）个钝角三角形。 （2）求出六边形的内角和。 （3）∠1＝（    ）。以∠1为顶角，在图中画出等边三角形的高。 16．（24-25四年级下·山东德州·期末）法国著名的数学家帕斯卡在12岁时就发现了重要的数学定理：平面上任何一个三角形的内角和是180°。 在探究多边形的内角和时，李明同学想到了这样一种办法：通过把多边形分割成三角形来求多边形的内角和。如图所示。               因为长方形的4个角都是90°，所以长方形的内角和是360°。 在一个长方形中做一条辅助线，将长方形分成两个三角形，两个三角形内角和加起来是360°，正好等于长方形的内角和。 探索：你能运用类似的方法解决下面的问题吗？ 请你根据自己发现的规律画出以下图形的辅助线，并求出它们的内角和。 我这样分： 内角和：____________             ___________           ___________ 如果从一个顶点画出，用N表示图形的边数，那么你发现的所分三角形个数为_____个。 那么多边形的内角和度数＝_____ 应用：如果是十边形，那么它的内角和是多少度？ 17．（22-23六年级下·安徽蚌埠·期末）同学们，你认识多边形的外角吗？多边形的边与它邻边延长线组成的角就是它的外角。如图，∠1、∠2、∠3就是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7就是四边形的四个外角。 （1）仔细观察每个图形的内角与外角之间关系，画一画、算一算想办法推算出每个图形的外角的和各是多少度？ 推算过程。 （2）初步得出结论：三角形三个外角和是（    ）°；四边形四个外角的和是（    ）°。 （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 我的猜想 18．（24-25四年级下·浙江·期末）下面是小优同学在求多边形的内角和时使用的方法： ①根据如图规律，在图4中画一画。 ②每增加一条边，内角和就增加（    ）°，图4的内角和是（     ）° 19．（24-25四年级下·山西忻州·期末）在下面的长方形中剪一刀，剪出一个等腰三角形（画出一种情况即可，并保留作图痕迹）；剩下的图形的内角和是（    ）°。 20．（24-25六年级下·山东德州·期中）数学实践活动课上，欢欢、乐乐、玲玲、华华四位同学一起探讨解决四边形内角和的问题，他们在组内交流了自己的想法： （1）分析四位同学的解答方法，请在方法错误的同学名字下画“×”。 （2）请帮助错误的同学改正，写出你的思考过程。 （3）根据上面正确的解答方法，请你先画一画，再计算出下面多边形的内角和。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册单元培优讲义【易错笔记】 课题学习 多边形的内角和『易错笔记培优讲练』 〔解析版〕 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 模块二 易错点拨 思路指引 易错点一 对多边形内角和公式理解的误区 学生可能会误以为多边形的内角和是随着边数的增加而等差增加的。但实际上，多边形的内角和与边数的关系是二次函数关系，公式为(n-2)×180°，其中n为多边形的 边数。这个公式揭示了多边形内角和与边数之间的非线性关系。 易错点二 计算过程中的错误 在应用多边形内角和公式进行计算时，学生可能会在计算(n-2)的过程中出错，如将n的值减错或者忘记减2。此外，在乘以180°时，也可能会出现计算错误。 另外，学生在计算过程中可能会混淆内角和与外角和的概念，导致计算错误。多边形的外角和总是等于360°，与边数无关，这是与内角和不同的一个关键点。 易错点三 对多边形形状理解的误区 学生可能会误以为所有多边形的内角都是相等的，尤其是当学习到等边三角形和正方形时。但实际上，多边形的内角大小与其形状和边长都有关，只有等边多边形的内角才相等。 另外，学生可能会将多边形与圆或其他封闭图形混淆，导致在计算内角和时出现错误。多边形是由线段首尾顺次相接组成的封闭图形，与圆或其他由曲线构成的封闭图形有本质区别。 易错点四 对多边形分类的混淆 学生可能会将多边形按照边数的多少进行分类时混淆概念，如将五边形误认为是四边形或六边形。这会影响他们在应用多边形内角和公式时的准确性。 模块三 易错考点 讲练结合 高频易错考点一 看图列式计算角度 【典例精讲】（23-24四年级下·江苏南通·期末）用不同的方法分一分、算一算六边形的内角和是多少度？ 【答案】图见详解；720° 【易错思路引导】三角形内角和是180°，可以将六边形分成几个三角形，用180°乘三角形的个数，即可求出六边形的内角和是多少度；先找出六边形的中心点，将六边形所有的顶点与这个中心点连接，则分成了几个三角形，用三角形的个数乘180°，再减去中心点所形成的周角度数，即可求出六边形的内角和是多少度。 【规范解答】 方法一：（画法不唯一） 180°×4＝720° 方法二：（画法不唯一） 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 答：六边形的内角和是720°。 【变式训练1】（23-24四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。 【答案】125° 【易错思路引导】根据平角是180°，所以用180°减去125°即可求出∠3的度数；根据图示可知，∠1和∠2都是直角；然后根据四边形的内角和是360°，用360°分别减去∠1、∠2和∠3的度数，即可求出∠4的度数；如图。 【规范解答】∠3的度数： ∠4的度数： 未知角的度数是125°。 【变式训练2】按要求计算，并写出计算过程。 ∠2＝________          ∠1＋∠2＝_________ 【答案】55°；240° 【易错思路引导】 如图： ∠1和120°的角拼成一个平角，平角＝180°，则∠1＝180°－120°。三角形内角和等于180°，180°减去∠1的度数，再减去65°，即可算出∠2的度数； 如图：三角形内角和等于180°，则∠3＋∠4＝180°－60°。四边形的内角和是360°，则∠1＋∠2＝360°－（∠3＋∠4）＝360°－（180°－60°）。 【规范解答】∠2＝180°－65°－（180°－120°） ＝180°－65°－60° ＝115°－60° ＝55° ∠1＋∠2＝360°－（180°－60°） ＝360°－120° ＝240° 【变式训练3】（23-24四年级下·全国·暑假作业）算出下面每个四边形中未知角的度数。 （1） （2） 【答案】（1）120°     （2）120° 【易错思路引导】根据四边形的内角和为360°，用360°分别减去另外的三个内角即可求出未知角的度数。 【规范解答】（1）360°－120°－60°－60°＝120°     （2）360°－90°－90°－60°＝120° 高频易错考点二 探究多边形内角和 【典例精讲】（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 【答案】（1）360度；思考过程见分析 （2）画图和计算见详解；360度；360度 （3）任意多边形的外角和都是360° 【易错思路引导】（1）三角形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，平角度数180度，平角度数×3＝三个平角的度数和，三角形的内角和是180度，则三角形的外角和＝三个平角的度数和－三角形内角和。 （2）观察三角形外角与内角的关系，可以发现每个外角都与它所附的内角“成一直线”，即外角 ＋ 内角 ＝180°。由于三角形内角和是180°，那么当我们依次“转过”三角形的各个顶点时，三个外角一共就转了一整圈（360°）。因此，三角形的三个外角和是360°。 同上，画一画、四边形或五边形的每个外角，再将这些外角相加，你会发现四边形的四个外角和、五边形的五个外角和都一样是360°。 四边形可以分成2个三角形，四边形的内角和＝180度×（4－2），据此计算出四边形的内角和，四边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，四边形的外角和＝四个平角度数的和－四边形的内角和。 五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和＝180度×（5－2），据此计算出五边形的内角和，五边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的5个平角，五边形的外角和＝五个平角度数的和－五边形的内角和。 （3）根据以上计算出的三角形、四边形和五边形的外角和进行猜想即可。 【规范解答】（1）180×3－180 ＝540－180 ＝360（度） 答：三角形三个外角的和是360度。 （2） 180×4－180×（4－2） ＝720－180×2 ＝720－360 ＝360（度） 180×5－180×（5－2） ＝900－180×3 ＝900－540 ＝360（度） 答：四边形四个外角的和是360度，五边形五个外角的和是360度。 （3）三角形、四边形和五边形的外角和都是360°。 根据结论得到的猜想是：任意多边形的外角和都是360°。 【考点剖析】关键是掌握多边形内角和的计算方法，明确平角的度数。 【变式训练1】（24-25四年级下·贵州黔东南·期末）在解决问题时，我们常常要变换角度，大胆尝试不同的方法。如下面是求“四边形的内角和”的三种方法。 方法1：拼一拼     方法2：分成2个三角形180°×2＝360° 方法3：分成4个三角形180°×4－360°＝360° （1）请你选用合适的方法，在下图中画一画，并计算出这个五边形的内角和。 列式计算： （2）一个多边形的内角和是900°，它是（    ）边形。 【答案】（1）图见详解；540° （2）七 【易错思路引导】（1）把一个顶点和不与它相邻的顶点用线段连接起来，这样就可以把五边形分成3个三角形，把求五边形的内角和变成求3个三角形的内角和，用180°乘3即可解答。 （2）多边形的内角和＝180°×（n－2），n＝多边形的内角和÷180°＋2，所以用多边形的内角和除以180°，再加2即等于这个多边形的边数，据此即可解答。 【规范解答】 （1） 180°×3＝540° 这个五边形的内角和等于540°。 （2）900°÷180°＋2 ＝5＋2 ＝7 一个多边形的内角和是900°，它是七边形。 【变式训练2】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期末）“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。在解决问题时，如果我们变换角度进行思考，可能会得到意想不到的结果。下面是两位同学在求四边形内角和使用的两种不同的方法。 小东：在四边形内任意取一个点，分别连接这个点与四边形的四个顶点。 四边形的内角和＝180×4－360＝360（度） 小贝：把四边形分成两个三角形。 四边形的内角和＝180×2＝360（度） 你喜欢谁的方法？请用这种方法算出下面多边形的内角和。 【答案】我喜欢小贝的做法；720度 【易错思路引导】根据题意，求多边形内角和的思路是把多边形分割成多个三角形，每个三角形的内角和都是180度，分出多少个三角形就有多少个180度。小贝的做法，把四边形分成两个三角形。用180度乘2，就是360度。也可以如果在分割过程中出现了新的角，要把新的角的度数减掉，如小东的做法中，中间部分出现了四个新的角，这四个角组成了一个周角，所以小东减掉了360度。两种做法都正确，我认为小贝的做法更好，如图：把六边形分成，4个三角形，根据每个三角形的内角和都是180度，求出六边形的度数即可。 【规范解答】如图： 我喜欢小贝的做法。（不唯一） 180×4＝720（度） 答：这个多边形的内角和是72度。 【变式训练3】（24-25四年级下·全国·单元复习）（1）如图，把三角形ABC的边AC延长到点D，你能推导出∠2＋∠3＝∠4吗？ 请把下面的推导过程填完整： 因为三角形的内角和是180°， 所以∠1＋∠2＋∠3＝　 　°， 所以∠2＋∠3＝180°－∠　 　。 又因为∠1＋∠4＝平角＝180°， 所以∠4＝180°－∠　 　， 所以∠2＋∠3＝∠4。 （2）如图，一个五边形的内角和是540°，试一试，推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。请写出你的推导过程。 【答案】（1）180；1；1 （2）360；见详解 【易错思路引导】（1）三角形的三个内角的和是180°，又因为∠1和∠4组成一个平角，所以∠1＋∠4＝180°，∠4没变，所以∠4＝∠2＋∠3；以此答题即可。 （2）因为这个五边形的内角和是540°，所以∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10＝540°，相邻的两个角可以组成平角，据此发现推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）因为三角形的内角和是180° 所以∠1＋∠2＋∠3＝180° 所以∠2＋∠3＝180°－∠1 又因为∠1＋∠4＝平角＝180° 所以∠4＝180°－∠1 所以∠2＋∠3＝∠4。 （2）因为这个五边形的内角和是540° 所以∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10＝540° 又因为∠1＝180°－∠6，∠2＝180°－∠7，∠3＝180°－∠8，∠4＝180°－∠9，∠5＝180°－∠10； ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝180°－∠6＋180°－∠7＋180°－∠8＋180°－∠9＋180°－∠10 ＝180°×5－（∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10） ＝900°－540° ＝360° 所以，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°。 高频易错考点三 作图题（计算角度大小） 【典例精讲】（24-25五年级上·山东滨州·期中）在求“四边形的内角和”时，我们可以多角度去思考，计算出其内角和。 按照以上研究思路，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，在图中画一画，并列式计算。 【答案】画图见详解；720° 【易错思路引导】方法一：从六边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，把六边形分成4个三角形。因为一个三角形的内角和是180°，所以六边形的内角和为：180°×4＝720°。 方法二：从六边形的最下面的边向不相邻的顶点画虚线，将六边形分成5个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以这5个三角形的内角和是180°×5＝900°，因为还多一个平角（180°），所以还需减180°，六边形的内角和是900°－180°＝720°。 方法三：从六边形的中点出发，向各顶点画虚线，此时六边形被分成了6个三角形，一个三角形的内角和是180°，180°×6＝1080°，因为这样分会多一个周角（360°），所以还需减360°，即六边形的内角和是1080°－360°＝720°。 【规范解答】方法一：从六边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，把六边形分成4个三角形，如下图： 180°×4＝720° 方法二：从六边形的最下面的边向不相邻的顶点连线，将六边形分成5个三角形。 180°×5－180° ＝900°－180° ＝720° 方法三：从六边形的中点出发向各顶点连线，把六边形分成了6个三角形。 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 该六边形的内角和是720°。 【变式训练1】（23-24四年级下·云南昭通·期末）探索多边形的内角和。 （1）我会画图：根据“三角形的内角和是180度”这一结论，分别将下面的四边形和五边形分成三角形来研究，请动手画一画。 （2）我分析：四边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）；五边形可以分成（    ）个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为（    ）。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（    ）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为（    ）。 【答案】（1）作图见详解 （2）2；180°×2＝360°；3；180°×3＝540° （3）n－2；180°×（n－2） 【易错思路引导】（1）由题意得，直接将四边形和五边形分成几个三角形即可。 （2）由图可知，四边形可以分成2个三角形，那么它的内角和就等于2个三角形的内角和。求四边形的内角和，列式为：180°×2＝360°；五边形可以分成3个三角形，那么它的内角和就等于3个三角形的内角和。求五边形的内角和，列式为：180°×3＝540°。 （3）由（2）可知，四边形可以分成2个三角形，五边形可以分成3个三角形，那么n边形可以分成（n－2）个三角形，它的内角和就等于（n－2）个三角形的内角和。求n边形的内角和，列式为：180°×（n－2）。 【规范解答】（1） （画法不唯一） （2）四边形可以分成2个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为180°×2＝360°；五边形可以分成3个三角形，所以求它的内角和可以列式计算为180°×3＝540°。 （3）我发现：观察多边形的边数与分成的三角形的个数可知，如果一个多边形的边数为n，那么可以分成（n－2）个三角形，所以它的内角和可以列式计算为180°×（n－2）。 【变式训练2】（23-24四年级下·重庆开州·期末）本学期我们用剪一剪、拼一拼、分一分等方法求出了三角形、四边形的内角和，请你根据本期所学知识求出下图多边形的内角和。（保留作图痕迹，并用算式表示你的思考过程。） 【答案】 见详解；900° 【易错思路引导】根据三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°观察发现图中为一个七边形，连接七边形的任一个顶点和不相邻角的顶点，做辅助线，用一个三角形的内角和度数和两个四边形的度数和，可以计算出七边形的内角和是多少度；据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 360°＋360°＋180°＝900° 答：多边形的内角和是900°。 【变式训练3】（24-25四年级下·全国·单元复习）（1）小娅在推导六边形内角和时，用了“分一分”的方法，请根据算式在六边形中用虚线画出算式所表示“分”的方法。 （2）在图①选一个小方格并涂上颜色，使它和原有的涂色部分方格形成一个轴对称图形；在图②中，画出三角形ABC中AB边上的高后，再画出三角形ABC向左平移4格后的图形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【易错思路引导】（1）（多边形边数－2）×180°＝多边形内角和；多边形边数×180°－360°＝多边形内角和； （2）如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形； 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高； 平移画法：先把图形中的关键点都按题干要求的方向和格数移动，然后再连接各点。 【规范解答】（1）小娅在推导六边形内角和时，用了“分一分”的方法，根据算式在六边形中用虚线画出算式所表示“分”的方法如下： （2）画出三角形ABC向左平移4格后的图形如下： （图①答案不唯一） 高频易错考点四 裁剪分割问题 【典例精讲】24-25四年级下·山西大同·期末）如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是( )度，剪去的涂色部分是( )三角形。 【答案】 540 直角 【易错思路引导】如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（多边形边数－2）×180°，剪去的涂色部分是一个有直角的三角形，因为长方形的角是直角，所以有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【规范解答】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 由分析可知：图中一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是540度，剪去的涂色部分是直角三角形。 【变式训练1】（24-25四年级下·广西百色·期末）丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如图），∠3＋∠4＝( )°。 【答案】270 【易错思路引导】根据题意，先根据三角形的内角和是180°，求出原直角三角形中除直角外另外两个角∠1＋∠2度数和，再根据四边形内角和是360°，求出∠3＋∠4的度数。 【规范解答】根据分析可知： ∠1＋∠2＝180°－90°＝90° ∠3＋∠4＝360°－（∠1＋∠2）＝360°－90°＝270° 丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形，∠3＋∠4＝270°。 【变式训练2】（24-25四年级下·广西桂林·期末）笑笑将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如图），( )°。 【答案】270 【易错思路引导】根据三角形的内角和是180°，直角三角形有一个角是直角等于90°，则在直角三角形中两锐角度数和是90°，即∠1＋∠2＝90°；又根据四边形的内角和是360°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，也就是90°＋∠3＋∠4＝360°，所以∠3＋∠4＝360°－90°；据此解答。 【规范解答】因为∠1＋∠2＝90° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360° 即90°＋∠3＋∠4＝360° 则∠3＋∠4＝360°－90°＝270°。 所以，∠3＋∠4＝270°。 【变式训练3】（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝（    ）。 A．90° B．135° C．270° D．235° 【答案】C 【易错思路引导】根据题意，明确三角形的内角和是180度，先根据直角三角形的性质，求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1＋∠2的值。以此选择即可。 【规范解答】根据分析可知： ∠B＝90° ∠A＋∠C＝90° ∠A＋∠C＋∠1＋∠2＝360° ∠1＋∠2＝360°－90°＝270° 已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝270°。 故答案为：C 高频易错考点五 分割问题 【典例精讲】（23-24四年级下·江苏苏州·期末）数学实践活动课上，小新和小乐用正方形纸剪出了一个特殊的三角形（如图①）。 (1)∠1＝( )°。 (2)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图②），那么在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°，∠4＋∠5＝( )°。 【答案】(1)60 (2) 120 240 【易错思路引导】（1）通过观察图①可知，正方形经过两次折叠和裁剪后得到一个三角形。因为正方形的四条边都相等，经过折叠和裁剪后得到的三角形三条边都是原来正方形边长的一半，所以这个三角形的三条边相等，这个三角形是等边三角形。等边三角形的三个角都相等，也就是三个角的和是180°，求出三角形内角和÷3，商就是∠1的度数。 （2）原三角形中∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠1＝60°，∠2＋∠3的和就是三角形内角和－∠1；四边形的内角和是360°，用四边形内角和－（∠2＋∠3）＝∠4＋∠5。 【规范解答】（1）180°÷3＝60° 所以∠1＝60°。 （2）∠2＋∠3＝180°－∠1＝180°－60°＝120° ∠4＋∠5＝360°－（∠2＋∠3）＝360°－120°＝240° 所以在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝120°，∠4＋∠5＝240°。 【变式训练1】（23-24四年级下·河北唐山·期末）将直角三角形中的一个锐角如下图所示折叠。∠2是多少度？ 【答案】80度 【易错思路引导】三角形的内角和为180°，直角三角形中有一个直角，直角为90°，用180°减去90°，再减去50°，可以计算出直角三角形左下角那个角的度数；因为是折叠过去的，那么直角三角形左下角那个角就是∠1； 观察发现∠1和∠3合起来为平角，平角为180°，那么用180°减去∠1的度数，可以计算出∠3的度数； 四边形的内角和为360°，那么用360°依次减去90°、50°和∠3的度数，可以计算出∠2的度数；据此解答。 【规范解答】∠1：180°－90°－50°＝40° ∠3：180°－40°＝140° ∠2：360°－90°－50°－140°＝80° 答：∠2是80度。 【变式训练2】（23-24四年级下·江苏无锡·期末）按照下面图1的步骤，可以把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)剪成的这个三角形按边分是( )三角形。你是怎么知道的，请你写一写( )。 (2)图1中，∠2＝( )°。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如上图2），在剩下的四边形中，∠5＋∠6＝( )°。 【答案】(1) 等边 由图1第三步可知HC＝BC，又因为这个三角形是等腰三角形，HB＝HC，所以HC＝BC＝HB，那么这个三角形就是等边三角形。 (2)30 (3)240 【易错思路引导】（1）斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形三边相等，也就是等边三角形，据此解答。 （2）等边三角形三个角都是60°，而2个∠2＝60°，可以知道1个∠2的度数，据此解答。 （3）等边三角形三个角都是60°，所以∠3＋∠4＝60°＋60°＝120°，四边形的内角和为360°，所以∠5＋∠6＝360°－120°＝240°，据此解答。 【规范解答】（1）由图可知：HC＝BC＝HB，所以三角形是等边三角形； 理由：由图1第三步可知HC＝BC，又因为这个三角形是等腰三角形，HB＝HC，所以HC＝BC＝HB，那么这个三角形就是等边三角形。（答案不唯一） （2）60°÷2＝30° 所以∠2＝30°。 （3）∠3＋∠4＝60°＋60°＝120° ∠5＋∠6＝360°－120°＝240° 所以∠5＋∠6＝240° 高频易错考点六 思维拓展题 【典例精讲】已知一个多边形的内角和是720°，它是（    ）。 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】C 【易错思路引导】三角形的内角和是180°，先看720°里面有几个180°，用720除以180得4，即这个多边形可以被分为4个三角形，而过六边形的一个顶点连接对角线，可以将其分成4个三角形，据此解答。 【规范解答】720°÷180°＝4 4＋2＝6 这是一个六边形。 故答案为：C 【考点剖析】一个四边形可以分成2个三角形，一个五边形可以分成3个三角形，一个六边形可以分成4个三角形。 【变式训练1】实践与探究。 (1)先将下表中的多边形分成三角形，再填一填。 图形 边数 3 ( ) ( ) ( ) 内角和 180° 180°×( ) 180°×( ) 180°×( ) 我发现：多边形（边数≥3）的内角和＝( )。 (2)一个多边形的内角和是900°，它是一个( )边形。 【答案】(1) 4 5 6 2 3 4 180°×（边数－2） (2)七 【易错思路引导】（1）根据“把多边形的一个顶点分别和与它不相邻的顶点连接起来，这时多边形分成了几个三角形，它的内角和就是180°乘几”可知，多边形（边数≥3）的内角和＝180°×（边数－2）。 （2）根据“多边形的内角和＝180°×（边数－2）”可知，当一个多边形的内角和是900°时，可以分成（900°÷180°＝5）个三角形，它的边数就是（5＋2＝7）条，所以它是一个七边形。 【规范解答】（1）如图： 180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 如图： 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 如图： 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 填空如下： 图形 边数 3 4 5 6 内角和 180° 180°×2 180°×3 180°×4 我发现：多边形（边数≥3）的内角和＝180°×（边数－2） （2）900°÷180°＝5（个） 5＋2＝7（条） 所以，一个多边形的内角和是900°，它是一个七边形。 【考点剖析】本题考查的是多边形的内角和。三角形内角和是180°，多边形可以分成几个三角形，它的内角和就是180°乘几。 【变式训练2】五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形    180° 60° 正方形      360° 90° 正五边形       （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图1中∠1的度数吗？ （3）图2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。 【答案】（1）540°；108°； （2）36°； （3）180° 【易错思路引导】（1）多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，正五边形有5条边，5条边的长度相等，且5个内角也相等，依此计算。 （2）标准的五角星中，每条边的长度都相等，因此∠1所在的小三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，1平角是180°，因此用180°减正五边形其中一个内角的度数，即可计算出∠6的度数，三角形的内角和是180°，因此用180°减2个∠6的度数即可，依此计算。 （3）由（2）可知，一个标准的五角星的每个角都是36°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和为5个36°，依此计算。      【规范解答】（1）（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷5＝108°，即填表如下： 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形 180° 60° 正方形 360° 90° 正五边形 540° 108° （2）180°－108°＝72° 180°－72°－72°＝36° 答：图1中∠1的度数是36°。 （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝36°＋36°＋36°＋36°＋36° ＝180° 【考点剖析】解答此题的关键是要熟练掌握多边形的内角和的计算方法，以及应掌握平角的特点。 【变式训练3】阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有三个内角，也有三个外角哦。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少呢？我们一起来研究一下！ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180° 所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°， 又因为三角形的内角和＝180° 所以三角形的外角和＝540°－180°＝360°。    【解答应用】 （1）求四边形的外角和 因为四边形的内角和＋外角和＝4×180°＝720°， 又因为四边形的内角和＝360°， 所以四边形的外角和＝_____________。    （2）求五边形的外角和 因为五边形的内角和＋外角和＝_____________， 又因为五边形的内角和＝（    ）°， 所以五边形的外角和＝_____________。    （3）请你根据前面的推导过程，完成六边形外角和的探究过程吧！ （4）你发现多边形的外角和有什么规律吗？ __________________________________________________________________________________ 【答案】（1）720－360＝360° （2）5×180°＝900°；540°；900°－540°＝360° （3）六边形的内角和＋外角和＝6×180°＝1080° 又因为六边形的内角和＝720° 所以六边形的外角和＝1080°－720°＝360° （4）多边形的外角和都等于360°。 【易错思路引导】（1）由三角形的外角和计算过程可知，四边形的外角和＝四边形的外角和与内角和之和－四边形的内角和。据此解答。 （2）由三角形和四边形的外角和计算过程可知，是几边形，外角和与内角和之和就等于几个180°；五边形的内角和为（5－3）×180°；所以五边形的外角和就是2个180°。 （3）根据三角形、四边形、五边形外角和推导过程，写出六边形外角和推导过程即可。 （4）通过三角形、四边形、五边形、六边形外角和推导过程，可以发现几个图形的外角和都是360°。据此解答。 【规范解答】（1）由分析可知，四边形的外角和为：720°－360°＝360°。 （2）由分析可知，五边形的外角和＋内角和为：5×180°＝900° 五边形的内角和为： （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五边形的外角和为：900°－540°＝360° （3）因为六边形的内角和＋外角和＝6×180°＝1080°， 又因为六边形的内角和＝（6－2）×180°＝4×180°＝720°， 所以五边形的外角和＝1080°－720°＝360°。 （4）根据三角形、四边形、五边形、六边形外角和推导过程可知，多边形外角和都为360°。 【考点剖析】本题主要考查运用多边形内角和与平角的特性求多边形的外角和规律，解答此题时要注意根据已有推导入手。 模块四 易错真题 提升训练 1．（24-25四年级下·四川达州·期末）小红画了一个多边形，这个多边形的内角和不可能是（    ）°。 A．540 B．600 C．720 【答案】B 【易错思路引导】多边形都可以分成若干个三角形，所以多边形的内角和是180°的倍数，所以逐项判断哪一个角度不是180°的倍数就是答案。 【规范解答】A．540°÷180°＝3 B．600°÷180°＝3……60° C．720°÷180°＝4 即这个多边形的内角和不可能是600°。 故答案为：B 2．（24-25四年级下·河南洛阳·期末）计算一个五边形的内角和时，我们可以把它分成3个三角形（如图），它的内角和就是180°×3＝540°。像这样，计算八边形内角和也可以把它分成几个三角形，那么八边形的内角和是（    ）。 A．900° B．1080° C．1260° 【答案】B 【易错思路引导】三角形内角和是180°，计算多边形的内角和时，可以将多边形分成几个三角形组成，然后用三角形的个数乘180°，即可求出这个多边形的内角和，据此选择即可。 【规范解答】如图： 180°×6＝1080° 八边形的内角和是1080°。 故答案为：B 3．（24-25四年级下·河南新乡·期末）下面是求五边形内角和的方法，正确的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【易错思路引导】本题主要考查多边形内角和的计算方法，需要对每个方法进行分析。 【规范解答】根据多边形的内角和计算公式（n－2）×180°（n为边数，n≥3且n是整数），当n＝5时，代入公式（5－2）×180°，所以方法一正确； 由方法二的图可知：五边形被分成了5个小三角形，这5个小三角形的内角和是5×180°，但五边形的中间多出了一个周角，所以要减去这个周角，则这个五边形的内角和是5×180°－360°，所以方法二正确； 由方法三的图可知：五边形被分成了一个三角形和一个四边形，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，没有多出的角，则这个五边形的内角和是180°＋360°，所以方法三正确； 由方法四的图可知：∠1＋∠2＋∠3＝180°，2×180°－∠3＋（180°－∠1）＋（180°－∠2）＝2×180°－∠3＋180°－∠1＋180°－∠2＝2×180°＋180°＋180°－∠3－∠2－∠1＝2×180°＋180°＋180°－（∠3＋∠2＋∠1）＝2×180°＋180°＋180°－180°＝2×180°＋180°＝3×180°，所以方法四正确。 故答案为：D。 4．（24-25四年级下·全国·课后作业）将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（    ）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大180° C．甲的内角和比乙的内角和大360° 【答案】C 【易错思路引导】甲图裁剪方式：从一个顶点向对边上一点裁剪，裁剪后图形边数增加1，变为六边形 乙图裁剪方式：从相邻两条边上非顶点处裁剪，裁剪后图形边数减少1，变为四边形 根据多边形内角和公式：内角和＝（边数-2）×180°，分别计算甲和乙的内角和，再比较大小。 【规范解答】 甲变为六边形，边数为6， 内角和 乙变为四边形，边数为4， 内角和 ，所以甲的内角和比乙的内角和大360°。 故答案为C。 5．（24-25四年级下·河北保定·期末）一个多边形的内角和是900°，这是个（    ）边形。 A．五边形 B．六边形 C．七边形 【答案】C 【易错思路引导】计算多边形的内角和度数时，可将多边形分成几个三角形，由于一个三角形的内角和是180°，则这个多边形能被分成几个三角形，它的内角和就是几个180°，一个多边形可被分成（它的边数－2）个三角形，即多边形的内角和度数＝（多边形的边数－2）×180°，因此边数＝内角和度数÷180＋2，依此解答。 【规范解答】由分析可得： 900÷180＋2 ＝5＋2 ＝7 因此内角和是900°的多边形是7边形。 故答案为：C 6．（23-24四年级下·浙江嘉兴·期末）如图，一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是( )°，剩下部分的内角和是( )。 【答案】 55 360 【易错思路引导】三角形内角和是180°，剪去这个角的度数＝三角形的内角和－其余两个内角的度数；可以将剩下的图形分成几个三角形，用三角形的个数乘180°即可求出剩下部分的内角和是多少度。 【规范解答】180°－65°－60° ＝115°－60° ＝55° 如图： 180°×2＝360° 即一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是55°，剩下部分的内角和是360°。 7．（24-25四年级下·山东临沂·期末）如图，把长方形纸片的一个角折起来。∠1＋∠2＝( )°。将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个( )边形，这个图形的内角和是( )°。 【答案】 90 五 540 【易错思路引导】 折起来的是一个三角形，长方形的四个角都是直角，∠4＝90°，∠4＝∠3，三角形内角和等于180°，用180°－90°，即可求出∠1＋∠2的度数；将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（n－2）×180°，即可求出五边形的内角和。 【规范解答】180°－90°＝90° （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 把长方形纸片的一个角折起来。∠1＋∠2＝90°。将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个五边形，这个图形的内角和是540°。 8．（24-25四年级下·内蒙古赤峰·期末）图中未知角的度数是( )°，连接AD，把四边形分成了一个( )三角形和一个( )三角形。 【答案】 65 钝角 直角 【易错思路引导】 根据题意，给四边形左辅助线，连接AD，如图：三角形的内角和为180°，用180°乘2，可以求出四边形的内角和，四边形的内角和是360°，题图中已给出三个角：90°、95°和110°，用360°减去已给出三个角，求出未知角的度数； 按角分类： 三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。图中三角形ABD是钝角三角形，三角形ACD是直角三角形。 【规范解答】根据分析可知： 180°×2＝360° 360°－90°－95°－110° ＝270°－95°－110° ＝175°－110° ＝65° 图中未知角的度数是65°，连接AD，把四边形分成了一个钝角三角形和一个直角三角形。 9．如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【答案】(1) 30 60 (2)15 (3)240 【易错思路引导】（1）斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形三边相等，等边三角形三个角都是60°，而2个∠1＝∠2，所以∠1是∠2度数的一半； （2）因为正方形的边长等于三角形边长，而三角形为等边三角形，三角形的周长为三边之和； （3）等边三角形三个角都是60°，四边形的内角和为360°，所以∠3＋∠4＝360°－60°－60°；据此解答。 【规范解答】（1）60°÷2＝30°，所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是15厘米。 （3）360°－60°－60°＝240°，所以∠3＋∠4＝240°。 【考点剖析】掌握等边三角形的概念，以及四边形的内角和是解答本题的关键。 10．（24-25四年级下·山西临汾·期末）一个六边形，它的内角和是180°×4＝720°。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】三角形的内角和是180°，六边形可以分割成4个三角形，如图，所以六边形的内角和是4个三角形内角和相加即可。 【规范解答】根据分析可知，一个六边形，它的内角和是，所以题目计算过程正确。 故答案为：√ 11．（24-25四年级下·河北石家庄·期末）长方形框架拉成平行四边形，每个角大小变了，而内角和不变。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】根据题意，四边形的内角和恒为360°，形状变化不会改变内角和。长方形每个角为90°，拉成平行四边形后，直角变为锐角和钝角，因此每个角的大小改变。以此判断即可。 【规范解答】根据分析可知： 长方形和平行四边形都是四边形，内角和均为360°，故内角和不变。长方形拉成平行四边形时，形状改变导致每个角的大小由直角变为锐角或钝角，因此每个角的大小变化。原题说法正确。 故答案为：√ 12．（24-25四年级下·江西宜春·期末）一个多边形的内角和是720°，这是一个六边形。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】根据多边形内角和＝（边数－2）×180°，将边数6代入公式，看内角和是否为720°即可。 【规范解答】（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 因此，内角和为720°的多边形是六边形，判断正确。 故答案为：√ 13．（23-24四年级下·河北·课后作业）算一算下面多边形的内角和各是多少度。      【答案】360°；540° 【易错思路引导】从一个顶点作与它不相邻的顶点的连接线，即可将四边形分成2个三角形，2个三角形的内角和就是四边形的内角和；多边形内角和＝180°×（边数－2），据此即可解答。 从一个顶点作与它不相邻的顶点的连接线，即可将五边形分成3个三角形，3个三角形的内角和就是五边形的内角和；多边形内角和＝180°×（边数－2），据此即可解答。 【规范解答】 180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 所以，这个四边形的内角和是360°。      180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 所以，这个五边形的内角和是540°。 14．（24-25四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”在解决问题时，我们经常通过变换角度进行思考。下面是两位同学在求多边形的内角和时使用的两种不同的方法。 明明：在四边形内随便取一个点，四边形的内角和。（如图1） 丽丽：分成两个三角形，四边形的内角和是180°×2＝360°。（如图2） 看完上面的材料，请你选一种方法，画一画，并求出下面多边形的内角和是多少度？ 【答案】画图见详解；720度 【易错思路引导】明明的方法：在四边形内随便取一个点，把这个四边形分成4个三角形，用4个三角形内角之和再减去一个周角，即得到四边形的内角和； 丽丽的方法：从一个顶点出发，把四边形分成2个三角形，用1个三角形的内角和乘2，即得到四边形的内角和； 我选择丽丽的方法，从一个顶点出发，把六边形分成4个三角形，用1个三角形的内角和乘4，即得到六边形的内角和。 【规范解答】 180×（6－2） ＝180×4 ＝720（度） 答：这个多边形的内角和是720度。 15．（24-25四年级下·内蒙古兴安·期末）下图是一个六边形，其中有一个等边三角形。 （1）数一数，图中有（    ）个钝角三角形。 （2）求出六边形的内角和。 （3）∠1＝（    ）。以∠1为顶角，在图中画出等边三角形的高。 【答案】（1）3 （2）720° （3）60°；图见详解 【易错思路引导】（1）有一个钝角，两个锐角的三角形是钝角三角形；据此数出钝角三角形的个数即可。 （2）三角形的内角和是180°，如图所示，六边形分成了4个三角形，所以用180°×4即为六边形的内角和。 （3）三条边相等，三个角相等的三角形是等边三角形，所以∠1＝180°÷3＝60°。从三角形顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。据此解题。 【规范解答】（1）数一数，图中有3个钝角三角形。 （2）180°×4＝720° 答：六边形的内角和是720°。 （3）180÷3＝60° ∠1＝60°。以∠1为顶角，在图中画出等边三角形的高。 16．（24-25四年级下·山东德州·期末）法国著名的数学家帕斯卡在12岁时就发现了重要的数学定理：平面上任何一个三角形的内角和是180°。 在探究多边形的内角和时，李明同学想到了这样一种办法：通过把多边形分割成三角形来求多边形的内角和。如图所示。               因为长方形的4个角都是90°，所以长方形的内角和是360°。 在一个长方形中做一条辅助线，将长方形分成两个三角形，两个三角形内角和加起来是360°，正好等于长方形的内角和。 探索：你能运用类似的方法解决下面的问题吗？ 请你根据自己发现的规律画出以下图形的辅助线，并求出它们的内角和。 我这样分： 内角和：____________             ___________           ___________ 如果从一个顶点画出，用N表示图形的边数，那么你发现的所分三角形个数为_____个。 那么多边形的内角和度数＝_____ 应用：如果是十边形，那么它的内角和是多少度？ 【答案】360°；540°；720°； N－2； （N－2）×180°； 1440度   【易错思路引导】根据题意，由于一个四边形可以分割成两个三角形，多边形的边数是4的时候，相当于可以分割2个三角形；多边形的边数是5的时候，相当于可以分割3个三角形；六边形相当于可以分割4个三角形；三角形的内角和是180°；四边形可以分割成2个三角形，所以四边形的内角和是2个三角形内角和相加；五边形可以分割成3个三角形，所以五边形的内角和是3个三角形内角和相加；六边形可以分割成4个三角形，所以六边形的内角和是4个三角形内角和相加；由此可知，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°。 【规范解答】根据分析可知： 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4＝720° 内角和：360°                           540°                          720°   如果从一个顶点画出，用N表示图形的边数，那么你发现的所分三角形个数为N－2个。   那么多边形的内角和度数＝（N－2）×180° 应用：（10－2）×180 ＝8×180 ＝1440（度） 答：如果是十边形，那么它的内角和是1440度。 17．（22-23六年级下·安徽蚌埠·期末）同学们，你认识多边形的外角吗？多边形的边与它邻边延长线组成的角就是它的外角。如图，∠1、∠2、∠3就是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7就是四边形的四个外角。 （1）仔细观察每个图形的内角与外角之间关系，画一画、算一算想办法推算出每个图形的外角的和各是多少度？ 推算过程。 （2）初步得出结论：三角形三个外角和是（    ）°；四边形四个外角的和是（    ）°。 （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 我的猜想 。 【答案】见详解 【易错思路引导】 给三角形的三个顶点标上A、B、C，发现一个外角和与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，则三个平角的和是540°，三角形的内角和是180°，则三角形的外角和＝540°－内角和的180°。同理，四边形的四个顶点标上A、B、C、D，发现一个外角和与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，且四角形的内角和是360°，四边形的外角和＝四个平角－内角和的360°。将两个图形的外角和进行对比，进行初步的猜想。 【规范解答】（1）观察三角形： ∠1＋∠BAC＝180° ∠2＋∠ABC＝180° ∠3＋∠ACB＝180° ∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB ＝180°×3 ＝540° ∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180° ∠1＋∠2＋∠3 ＝540°－180° ＝360° 则三角形的外角和是360°。 观察四边形： ∠4＋∠ADC＝180° ∠5＋∠BAD＝180° ∠6＋∠ABC＝180° ∠7＋∠DCB＝180° ∠4＋∠ADC＋∠5＋∠BAD＋∠6＋∠ABC＋∠7＋∠DCB ＝180°×4 ＝720° ∠ADC＋∠BAD＋∠ABC＋∠DCB＝360° ∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝720°－360° ＝360° 则四边形的外角和是360°。 （2）初步得出结论：三角形三个外角和是360°；四边形四个外角的和是360°。 （3）根据结论得到的猜想是：任意边形的图形的外角和都是360°。 18．（24-25四年级下·浙江·期末）下面是小优同学在求多边形的内角和时使用的方法： ①根据如图规律，在图4中画一画。 ②每增加一条边，内角和就增加（    ）°，图4的内角和是（     ）° 【答案】①见详解 ②180；720 【易错思路引导】①从多边形顶点中选择一个点，从这个点开始把多边形分成三角形，四边形分成2个三角形，五边形分成3个三角形，那么六边形分成4个三角形，据此画一画。 ②每增加一条边，就增加了一个三角形，而三角形的内角和是180°，即每增加一条边内角和就增加180°；图4被分成了4个三角形，每个三角形的内角和是180°，180°乘4等于图4的内角和的度数。 【规范解答】 ① ②4×180°＝720° 根据分析，每增加一条边，内角和就增加180°，图4的内角和是720°。 19．（24-25四年级下·山西忻州·期末）在下面的长方形中剪一刀，剪出一个等腰三角形（画出一种情况即可，并保留作图痕迹）；剩下的图形的内角和是（    ）°。 【答案】图见详解；360或540 【易错思路引导】有两条边相等的三角形是等腰三角形。三角形内角和是180°，看剩下的图形可以分成几个三角形，剩下图形内角和就是几个180°。 【规范解答】 180°×2＝360° 剩下的图形的内角和是360°。 或 180°×3＝540° 剩下的图形的内角和是540°。 20．（24-25六年级下·山东德州·期中）数学实践活动课上，欢欢、乐乐、玲玲、华华四位同学一起探讨解决四边形内角和的问题，他们在组内交流了自己的想法： （1）分析四位同学的解答方法，请在方法错误的同学名字下画“×”。 （2）请帮助错误的同学改正，写出你的思考过程。 （3）根据上面正确的解答方法，请你先画一画，再计算出下面多边形的内角和。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）画一画见详解；900° 【易错思路引导】（1）欢欢：欢欢将四边形的四个角剪下来拼在一起形成一个周角。因为周角的度数是固定的360°这就直观地表明四边形的内角和为360°，所以欢欢的方法正确。 乐乐：乐乐用一条对角线把四边形分成了两个三角形。由于三角形的内角和是固定的180°，那么两个三角形的内角和就是180°×2＝360°，这两个三角形的内角和恰好就是原来四边形的内角和，所以乐乐的方法正确。 玲玲：玲玲用两条对角线把四边形分成了四个三角形。这四个三角形的内角总和为180°×4＝720°，但是在这四个三角形在四边形内时，中间形成了一个周角（360°），这个周角的度数不属于四边形的内角和，所以需要减去，即720°－360°＝360°，从而得到四边形内角和，所以玲玲的方法正确。 华华：华华把四边形分成三个三角形，这种分法错误。因为这样计算出的三个三角形内角和（180°×3＝540°）并不是四边形的内角和，多算了一些角度，所以在华华名字下画“×”。 （2）华华把四边形分成了三个三角形，三个三角形的内角和是四边形的内角和加上一个平角的度数，所以用三个三角形的内角和减去平角的度数就是四边形的内角和。 （3）对于给定的七边形，我们从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，这样可以把七边形分成5个三角形（如图所示）。因为每个三角形内角和是180°，用180°×5列式解答。 【规范解答】（1）如图： （2）三个三角形的内角和是四边形的内角和加上一个平角的度数，所以用三个三角形的内角和减去平角的度数就是四边形的内角和。 改正：180°×3－180° ＝540°－180° ＝360° （3）如图： 180°×5＝900° 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $