第五单元 运算律（易错笔记培优讲练）易错点拨+15个考点讲练+优选真题拔尖练 共50题-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

2025-2026学年苏教版数学四年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第五单元 运算律『易错笔记培优讲练』 〔解析版〕 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 模块二 易错点拨 思路指引 1、没有理解加法交换律 解决此类题时不仅要看到添加小括号运用了加法结合律,还要注意加数位置的改变。 2、减法运算性质中忽略了括号的必要性 用被减数减去两个减数的和时,要把两个减数的和用小括号括起来。 3、对乘法运算定律理解不透彻 在应用乘法运算定律简算时,有时会同时用到两种或两种以上的运算定律。 4、混淆了乘法分配律和乘法结合律 在使用运算定律前一定要观察算式的结构及数的特点,不能盲目运用运算定律计算。 5、除法运算性质中因凑整而忽略了算式的运算顺序 当乘、除混合运算不具备简算条件时,应按照从左往右的顺序计算。 模块三 易错考点 讲练结合 高频易错考点一 整数加法交换律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃张掖·期末）认真算一算，怎样简便就怎样算。 125×13×8       239＋112＋361＋188      864÷［（27－18）×2] 【答案】13000；900；48 【易错思路引导】第一题，125×13×8，利用乘法交换律，先算125×8得1000，再乘13。 第二题，观察发现239和361可以凑整，112和188可以凑整，运用加法交换律和加法结合律简算。 第三题，根据四则混合运算顺序，先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外的除法，据此计算。 【规范解答】125×13×8 ＝125×8×13 ＝1000×13 ＝13000 239＋112＋361＋188 ＝（239＋361）＋（112＋188） ＝600＋300 ＝900 864÷［（27－18）×2] ＝864÷［9×2] ＝864÷18 ＝48 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）在计算365＋251＋49＋235＝（365＋235）＋（251＋49）时，运用了（    ）。 A．加法结合律 B．加法交换律 C．加法交换律和加法结合律 【答案】C 【易错思路引导】加法交换律：指两个数相加，交换加数的位置，和不变。原式365＋251＋49＋235变成365＋235＋251＋49，交换了235和251、49的位置，用到了加法交换律。 加法结合律：指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。接着把（365＋235）、（251＋49）分别结合相加，用到了加法结合律。 【规范解答】根据分析可知，这道题同时运用了加法交换律和加法结合律。 故答案为：C 高频易错考点二 整数加法交换律的应用 【典例精讲】（24-25四年级上·山西吕梁·期中）实验小学艺术小组上一学期制作的作品统计如下： 种类 根雕 石膏雕塑 陶器 葫芦画 数量（件） 44 102 156 98 艺术小组上一学期一共制作了多少件作品？ 【答案】400件 【易错思路引导】将四种作品的件数相加可算出一共制作了多少件作品，列式为：44＋102＋156＋98，利用加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）可将算式变成：（44＋156）＋（102＋98）进行简算。 【规范解答】44＋102＋156＋98 ＝44＋156＋102＋98 ＝（44＋156）＋（102＋98） ＝200＋200 ＝400（件） 答：艺术小组上一学期一共制作了400件作品。 【变式训练】（25-26四年级上·四川巴中·期中）通江某小学四年级参加劳动实践活动“摘花生”，四一班摘了158千克，四二班摘了209千克，四三班摘了191千克，四四班摘了142千克。四个班共摘了多少千克？ 【答案】 700千克 【易错思路引导】根据题意，已知四一班摘了158千克，四二班摘了209千克，四三班摘了191千克，四四班摘了142千克。根据加法的定义，求多个数量的总和需要将它们相加。列式计算即可。可以利用加法的交换律和结合律进行简算。 【规范解答】根据分析可知： 158＋209＋191＋142 ＝158＋142＋209＋191 ＝（158＋142）＋（209＋191） ＝400＋300 ＝700（千克） 答：四个班共摘了700千克。 高频易错考点三 整数加法结合律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁营口·期末）脱式计算。（能简算必须简算） 45×102        38×25＋62×25        （360－120）÷15×23 4×（125×25）        46＋189＋54＋11        840÷[（25－18）×12] 【答案】4590；2500；368； 12500；300；10 【易错思路引导】（1）把102化成（100＋2），然后利用乘法分配律简算； （2）根据乘法分配律：是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；a×c＋b×c＝（a＋b）×c； （3）先算小括号里的减法，再按照从左到右的顺序依次计算； （4）根据乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变；（a×b）×c＝a×（b×c），再利用乘法交换律交换125和25的位置，简算即可； （5）先利用加法交换律，交换189和54的位置，再利用加法结合律简算； （6）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后计算中括号外的除法。 【规范解答】（1）45×102 ＝45×（100＋2） ＝45×100＋45×2 ＝4500＋45×2 ＝4500＋90 ＝4590 （2）38×25＋62×25 ＝（38＋62）×25 ＝100×25 ＝2500 （3）（360－120）÷15×23 ＝240÷15×23 ＝16×23 ＝368 （4）4×（125×25） ＝4×125×25 ＝4×25×125 ＝100×125 ＝12500 （5）46＋189＋54＋11 ＝46＋54＋189＋11 ＝（46＋54）＋（189＋11） ＝100＋（189＋11） ＝100＋200 ＝300 （6）840÷[（25－18）×12] ＝840÷[7×12] ＝840÷84 ＝10 【变式训练】（25-26四年级上·福建泉州·期末）递等式计算，能简算的用简便方法计算。 608÷[（78－59）×4]          835＋637＋165＋363 342×15－42×15                7×25×44 【答案】8；2000 4500；7700 【易错思路引导】（1）608÷[（78－59）×4]，先算减法，再算乘法，最后算除法，依次计算。           （2）835＋637＋165＋363，利用加法交换律和结合律，先求835＋165、637＋363的和，然后再把和相加，据此简便计算。 （3）342×15－42×15，利用乘法分配律，先求342－42的差，再用差乘15，据此简便计算。                 （4）7×25×44，把44拆成4×11，再利用乘法结合律和交换律，先求7×11、25×4的积，再把积相乘，据此简便计算。 【规范解答】（1）608÷[（78－59）×4] ＝608÷[19×4]     ＝608÷76 ＝8      （2）835＋637＋165＋363 ＝835＋165＋637＋363 ＝（835＋165）＋（637＋363） ＝1000＋1000 ＝2000 （3）342×15－42×15     ＝（342－42）×15 ＝300×15 ＝4500             （4）7×25×44 ＝7×25×4×11 ＝7×11×25×4 ＝（7×11）×（25×4） ＝77×100 ＝7700 高频易错考点四 整数加法结合律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·山东·课后作业）青岛某海豚馆国庆节期间第一天卖出456张门票，第二天上午卖出167张，下午卖出233张。这两天一共卖出多少张门票？ 【答案】856张 【易错思路引导】根据题意，已知青岛某海豚馆国庆节期间第一天卖出456张门票，第二天上午卖出167张，下午卖出233张。用167加上233，求出第二天卖的门票数，再加上456，求出这两天一共卖出多少张门票，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 167＋233＋456 ＝400＋456 ＝856（张） 答：这两天一共卖出856张门票。 【变式训练】（24-25四年级上·陕西汉中·期中）中秋节假期，小宇一家从西安到兰州去看望爷爷。爸爸开车行驶24千米到达高速收费站，在高速上行驶185千米到达某服务区，休息一会后继续行驶276千米到达定西，继续行驶115千米到达爷爷家。爸爸开车共行驶了多少千米？ 【答案】 600千米 【易错思路引导】将行驶的四段路程相加即可求出一共行驶的路程。利用加法交换律和加法结合律进行简便计算。 【规范解答】 （千米） 答：爸爸开车共行驶了600千米。 高频易错考点五 整数减法的性质的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·上海嘉定·期末）递等式计算（能简便计算的要简便计算）。 768－（432－108）÷18       104×25 1554÷[（72－58）×3]       1678－（678－345）＋55 79×42＋79＋79×57          99＋999＋9999＋99999 【答案】750；2600； 37；1400； 7900；111096 【易错思路引导】第一题先去括号再除以18计算，再减法；第二题把104拆成100＋4，用乘法分配律简化；第三题按先算小括号、再算中括号、最后算除法的顺序计算；第四题去括号后，先算1678678凑整，再算345＋55凑整，最后相加；第五题提取公因数79，把剩下的数相加凑成100再相乘；第六题把每个数凑成整十、整百、整千、整万的数，再减去多算的4个1即可。 【规范解答】 【变式训练】（25-26四年级上·上海普陀·期末）递等式计算，写出必要的计算过程。（能简便的要用简便方法计算） 7428－1643－357＋582              125×（80－8）×25 3672÷18＋28×18                  79×79－79＋22×79 3570÷[661－16×（21＋19）] 【答案】6010；225000； 708；7900； 170 【易错思路引导】根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），将7428－1643－357＋582变成7428－（1643＋357）＋582再计算； 先根据乘法交换律a×b＝b×a，将算式变成125×25×（80－8），再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成125×25×80－125×25×8再计算，再利用乘法交换律a×b＝b×a，将算式变成125×80×25－125×8×25再计算； 根据四则运算法则先计算乘除法，再计算加法； 利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成：79×（79－1＋22）再计算； 根据四则运算法则先计算小括号内加法，再计算中括号内乘法，再计算中括号内减法，最后计算除法。 【规范解答】7428－1643－357＋582 ＝7428－（1643＋357）＋582 ＝7428－2000＋582 ＝5428＋582 ＝6010 125×（80－8）×25 ＝125×25×（80－8） ＝125×25×80－125×25×8 ＝125×80×25－125×8×25 ＝10000×25－1000×25 ＝250000－25000 ＝225000 3672÷18＋28×18 ＝204＋504 ＝708 79×79－79＋22×79 ＝79×（79－1＋22） ＝79×100 ＝7900 3570÷[661－16×（21＋19）] ＝3570÷[661－16×40] ＝3570÷[661－640] ＝3570÷21 ＝170 高频易错考点六 整数减法的性质的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·广东珠海·期中）爸爸带800元钱去超市，买了一台电风扇用去198元，又买了一个电饭煲用去202元，还剩多少元？ 【答案】400元 【易错思路引导】根据题意，用爸爸带的钱依次减去买电风扇用去的钱数和买电饭煲用去的钱数，即可求出还剩多少元，根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），据此简便计算即可。 【规范解答】800－198－202 ＝800－（198＋202） ＝800－400 ＝400（元） 答：还剩400元。 【变式训练】（24-25四年级下·浙江杭州·期中）阅读红色书籍。学校开展红色书籍阅读周，每位同学都积极参加。聪聪读了一本598页的《红岩》，第一周读了124页，第二周读了76页，第三周读了98页，还剩下多少页没有读？ 【答案】300页 【易错思路引导】根据题意，用总页数依次减去第一周、第二周、第三周读的页数，就是剩下的页数。 也可以先将第一周和第二周读的页数相加。再用总页数减去第三周的页数，再减去两周页数之和，也是还剩多少页没有读。这里运用了减法的性质，和带符号搬家。第二种在计算时比较简便。 【规范解答】598－124－76－98 ＝598－98－（124＋76） ＝500－200 ＝300（页） 答：还剩300页没有读。 高频易错考点七 整数乘法交换律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃定西·期中）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 5988875( )599999   15×420( )420×5×3 10000000( )1亿    95×99( )195×100 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＜ 【易错思路引导】根据整数大小比较规则，位数多的数更大；根据乘法结合律和乘法交换律去解答；1亿＝100000000，根据整数大小比较规则，位数多的数更大；计算出两边算式的结果后再比较。 【规范解答】（1）5988875＞599999 （2）420×5×3＝420×（5×3）＝420×15 15×420＝420×15 所以15×420＝420×5×3 （3）1亿＝100000000 10000000＜100000000 所以10000000＜1亿 （4）95×99＝9405 195×100＝19500 9405＜19500 所以95×99＜195×100 【变式训练】（25-26四年级上·山东济南·期中）我会用简便方法计算。 38＋165＋62          12×105          85×199＋85 56×134＋56×66     125×7×8        269－（69＋145） 【答案】265；1260；17000 11200；7000；55 【易错思路引导】观察算式发现，38＋62＝100，因此根据加法交换律，交换165与62的位置，然后从左往右依次计算即可； 把105看作（100＋5），再根据乘法分配律，将算式改写为12×100＋12×5，然后先算乘法，再算加法即可； 把85看作85×1，然后再根据乘法分配律的逆运用，将算式改写为85×（199＋1），然后先算小括号里面的加法，再算乘法即可； 根据乘法分配律的逆运用，将算式改写为56×（134＋66），然后先算小括号里面的加法，再算乘法即可； 观察算式可知，125×8＝1000，根据乘法交换律，交换7与8的位置，然后再从左往右依次计算即可； 根据减法的性质，a－b－c＝a－（b＋c），将算式改写成 269－69－145，然后再从左往右依次计算即可。 【规范解答】38＋165＋62 ＝38＋62＋165 ＝100＋165 ＝265 12×105 ＝12×（100＋5） ＝12×100＋12×5 ＝1200＋60 ＝1260 85×199＋85 ＝85×199＋85×1 ＝85×（199＋1） ＝85×200 ＝17000 56×134＋56×66 ＝56×（134＋66） ＝56×200 ＝11200 125×7×8 ＝125×8×7 ＝1000×7 ＝7000 269－（69＋145） ＝ 269－69－145 ＝200－145 ＝55 高频易错考点八 整数乘法交换律的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山东青岛·期中）某小学运动会开幕式上有4支队伍，每支队伍有6排，每排25人，每人手上拿4个气球，学校准备2000个气球够吗？ 【答案】不够 【易错思路引导】先计算每支队伍的人数：已知每支队伍有6排，每排25人，那么用排数乘每排的人数得出每支队伍是150人；再计算4支队伍的总人数：因为有4支队伍，每支队伍150人，队伍数乘每支队伍的人数得出4支队伍是600人；接着计算总共需要的气球数：每人手上拿4个气球，总共有600人，那么总共需要的气球数就是总人数乘每人拿的气球数；最后比较所需气球数和学校准备的气球数，得出结论够还是不够。 【规范解答】6×25×4×4 ＝6×4×（25×4） ＝6×4×100 ＝24×100 ＝2400（个） 2400＞2000 答：学校准备2000个气球不够。 【变式训练】（23-24四年级下·山东菏泽·期中）为防控“新冠肺炎”疫情，某医疗器械厂计划将库存的25箱额温枪捐赠出来。每箱有18盒，每盒装有4支，该医疗器械厂一共捐赠了多少支额温枪？ 【答案】1800支 【易错思路引导】已知有25箱额温枪，每箱有18盒，那么总盒数就是箱数乘每箱的盒数，即25×18＝450（盒），又因为每盒装有4支，总盒数为450盒，所以总支数就是总盒数乘每盒的支数，即450×4＝1800（支），可利用乘法交换律将18与4交换位置进行简算。 【规范解答】25×18×4 ＝25×4×18 ＝100×18 ＝1800（支） 答：该医疗器械厂一共捐赠了1800支额温枪。 高频易错考点九 整数乘法结合律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁大连·期末）脱式计算，能简算的要简算。 25×15×4     36×45＋45×64      （240－63÷21）×6    684÷[（78－76）×19] 【答案】1500；4500；1422；18 【易错思路引导】计算25×15×4，利用乘法交换律，交换15和4的位置，即25×4×15； 计算36×45＋45×64，利用乘法分配律，原式可变为45×（36＋64）； 计算（240－63÷21）×6，先算括号内的除法，再算括号内的减法，最后算括号外的乘法； 计算684÷[（78－76）×19]，先算小括号内减法，再算中括号内乘法，最后算除法。 【规范解答】25×15×4 ＝25×4×15 ＝100×15 ＝1500 36×45＋45×64 ＝45×（36＋64） ＝45×100 ＝4500 （240－63÷21）×6 ＝（240－3）×6 ＝237×6 ＝1422 684÷[（78－76）×19] ＝684÷[2×19] ＝684÷38 ＝18 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）能简算的要简算。 63×201－63    25×44    600÷25 【答案】12600；1100；24 【易错思路引导】63×201－63，此题运用乘法分配律进行简算； 25×44，此题先将“44”看成“4×11”，然后进行简算； 600÷25，此题运用除法商不变性质，将被除数和除数同时乘4，进行简算。 【规范解答】63×201－63 ＝63×201－63×1 ＝63×（201－1） ＝63×200 ＝12600 25×44 ＝25×（4×11） ＝25×4×11 ＝100×11 ＝1100 600÷25 ＝（600×4）÷（25×4） ＝2400÷100 ＝24 高频易错考点十 整数乘法结合律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃天水·期末）某市棚户区改造建成的新成小区有25幢楼，每幢楼有5个单元，每个单元可以住16户。一共可以住多少户？（用简便方法计算） 【答案】 2000户 【易错思路引导】根据题意，已知新成小区有25幢楼，每幢楼有5个单元，每个单元可以住16户。用5乘16，求出每幢楼的总户数，再乘25，就是一共可以住多少户，列式计算即可。计算时可以把16改写成4×4，再根据乘法结合律，进行简便计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 5×16×25 ＝5×4×4×25 ＝（5×4）×（4×25）   ＝20×100   ＝2000（户） 答：一共可以住2000户。 【变式训练】（24-25四年级下·贵州遵义·期末）华华用计算器计算“1235×49”时，发现按键“4”坏了。如果还用这个计算器，可以怎样计算？请写出算式和计算过程（不用计算结果）。 【答案】1235×7×7（答案不唯一） 【易错思路引导】按键“4”坏了，可以把49拆成7×7，再根据乘法结合律进行计算，结果相同，据此解答即可。 【规范解答】1235×49 ＝1235×（7×7） ＝1235×7×7 答：可以用算式“1235×7×7”来计算“1235×49”的结果。 高频易错考点十一 整数乘法分配律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）脱式计算。（能简算的要简算） 336÷[（36－29）×6]        78×101－78 125×88        24×[（153－78）÷15] 【答案】8；7800； 11000；120 【易错思路引导】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法。   （2）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，变算式为：78×（101－1），再进行计算。 （3）先把88改写成8×11，再根据乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：125×8×11，再进行计算。 （4）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算乘法。 【规范解答】336÷[（36－29）×6]    ＝336÷[7×6]         ＝336÷42 ＝8   78×101－78   ＝78×（101－1） ＝78×100 ＝7800 125×88 ＝125×8×11 ＝1000×11 ＝11000             24×[（153－78）÷15] ＝24×[75÷15] ＝24×5 ＝120 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁锦州·期末）脱式计算。（能简算的用简便方法计算） （1）125×25×320      （2）64÷[（5－3）×2]      （3）25×44 （4）125×（80＋8）    （5）215－76－24            （6）142＋284＋58＋16 【答案】（1）1000000；（2）16；（3）1100； （4）11000；（5）115；（6）500 【易错思路引导】（1）首先把320拆分成8×40，变成125×25×8×40，再根据乘法交换律，交换25和8的位置，最后利用乘法结合律简算即可； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后计算中括号外的除法； （3）把44拆分成（40＋4），再利用乘法分配律简算； （4）乘法分配律：是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；a×c＋b×c＝（a＋b）×c，据此简算即可； （5）根据减法的性质，一个数连续减两个数等于减这两个数的和，据此简算即可； （6）根据加法交换律，先交换284和58的位置，再利用加法结合律简算。 【规范解答】（1）125×25×320 ＝125×25×8×40 ＝125×8×25×40 ＝（125×8）×（25×40） ＝1000×（25×40） ＝1000×1000 ＝1000000 （2）64÷[（5－3）×2] ＝64÷[2×2] ＝64÷4 ＝16 （3）25×44 ＝25×（40＋4） ＝25×40＋25×4 ＝1000＋100 ＝1100 （4）125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 （5）215－76－24 ＝215－（76＋24） ＝215－100 ＝115 （6）142＋284＋58＋16 ＝142＋58＋284＋16 ＝（142＋58）＋（284＋16） ＝200＋300 ＝500 高频易错考点十二 整数乘法分配律的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·河北邢台·期末）热干面是武汉的特色美食，口感筋道，香气扑鼻。幸福小吃摊上午卖出85份热干面，下午卖出115份。每份12元。 （1）上午和下午卖热干面一共收入多少元？ （2）下午比上午卖热干面多收入多少元？ 【答案】（1）2400元 （2）360元 【易错思路引导】（1）已知上午卖出85份，下午卖出115份，每份12元。先根据“单价×数量＝总价”，分别求出上午、下午各卖出的钱数，再相加，即是总收入。计算时可根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 （2）先根据“单价×数量＝总价”，分别求出上午、下午各卖出的钱数，再相减，即是下午比上午卖热干面多的收入。计算时可根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【规范解答】根据分析可知： （1）85×12＋115×12 ＝（85＋115）×12 ＝200×12 ＝2400（元） 答：上午和下午卖热干面一共收入2400元。 （2）115×12－85×12 ＝（115－85）×12 ＝30×12 ＝360（元） 答：下午比上午卖热干面多收入360元。 【变式训练】（24-25四年级下·福建漳州·期末）今年的“六一”遇上了“端午”，在假日里，同学们沉浸式体验民俗文化的魅力。在“六一”当天，四年级劳动社团的23名男生和17名女生参加了民俗活动“包粽子”，他们在工作人员的指导下每人包了25个粽子。劳动社团的同学们一共包了多少个粽子？ 【答案】 1000个 【易错思路引导】根据题意，可先求出四年级劳动社团一共的人数，再乘每人包的粽子个数25个；也可以分别求出男生和女生包的总个数，即把他们的人数分别乘每人包的个数25个，再把结果相加；从而体会乘法分配律在两种方法之间的联系。据此解答。 【规范解答】方法一： （23＋17）×25 ＝40×25 ＝1000（个） 方法二： 23×25＋17×25 ＝（23＋17）×25 ＝40×25 ＝1000（个） 答：劳动社团的同学们一共包了1000个粽子。 高频易错考点十三 整数除法的性质的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·江苏盐城·期末）用递等式计算，能简便运算的就简便运算。 68×25－36÷3        800÷16÷5       250÷[150÷（81－78）] 【答案】1688；10；5 【易错思路引导】（1）根据整数混合运算的顺序，先算乘除，再算减法。 （2）利用除法的性质进行计算。 （3）根据整数混合运算的顺序，先算小括号里面，再算中括号里面，最后算中括号外面。 【规范解答】68×25－36÷3         ＝1700－12 ＝1688 800÷16÷5              ＝800÷（16×5） ＝800÷80 ＝10 250÷[150÷（81－78）] ＝250÷[150÷3] ＝250÷50 ＝5 【变式训练】（25-26四年级上·上海黄浦·期中）递等式计算（能巧算的要巧算）。 127＋465－573       1400÷（28×25）         7400÷4÷25 500÷4×（387－362）           （32×5＋32×2＋32）×125 【答案】19；2；74 3125；32000 【易错思路引导】算式中只有加法和减法，从左往右依次计算即可； 算式中有小括号，先算小括号里面的乘法，再算小括号外面的除法即可； 根据除法的性质，将算式改写为7400÷（4×25），然后先算小括号里面的乘法，再算小括号外面的除法即可； 算式中有小括号，先计算出小括号里面的减法，再从左往右依次计算即可； 把32看作32×1，然后再根据乘法分配律的逆运算，将算式改写为32×（5＋2＋1）×125，然后先算出小括号里面的加法，再根据乘法结合律，先用小括号里求出的和与125相乘，再与32相乘即可。 【规范解答】127＋465－573 ＝592－573 ＝19 1400÷（28×25） ＝1400÷700 ＝2     7400÷4÷25 ＝7400÷（4×25） ＝7400÷100 ＝74 500÷4×（387－362） ＝500÷4×25 ＝125×25 ＝3125    （32×5＋32×2＋32）×125 ＝（32×5＋32×2＋32×1）×125 ＝32×（5＋2＋1）×125 ＝32×8×125 ＝32×（8×125） ＝32×1000 ＝32000 高频易错考点十四 整数除法的性质的应用 【典例精讲】学校收到捐赠图书930册，学校有6个年级，每个年级5个班，平均每个班可以分到多少册？ 【答案】31册 【易错思路引导】根据题意可知，图书的总册数÷年级数÷每个年级的班级数＝平均每个班可以分到的册数，图书的册数÷（年级的个数×每个年级的班级数）＝平均每个班可以分到的册数，依此列式并根据除法的性质进行简算即可。 【规范解答】930÷6÷5 ＝930÷（6×5） ＝930÷30 ＝31（册） 答：平均每个班可以分到31册。 【变式训练】（23-24四年级下·河南郑州·期中）每年4月24日为“中国航天日”，为激励广大少年儿童发扬中国航天精神，某企业为彤彤所在的学校捐赠了720册航天类图书，学校共5个年级，每个年级8个班，平均每个班分到多少册？ 【答案】18册 【易错思路引导】先用720除以5计算出平均每个年级分到多少册，再除以8计算出平均每个班分到多少册；计算时可以运用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），据此解答。 【规范解答】720÷5÷8 ＝720÷（5×8） ＝720÷40 ＝18（册） 答：平均每个班分到18册。 高频易错考点十五 相遇问题 【典例精讲】（25-26四年级上·山东·期末）大雪过后，工人师傅开着除雪车清除马路上的积雪。甲、乙两辆除雪车分别从马路两头同时出发相对而行。甲车每分钟行180米，乙车每分钟比甲车多行40米。5分钟后相遇，这条马路长多少米？ 【答案】2000米 【易错思路引导】根据题意，已知甲、乙两辆除雪车分别从马路两个尽头同时出发，相对而行，甲车每分钟行180米，用180加40，先求出乙车每分钟行多少米。5分钟后相遇。根据相遇问题中“总路程＝速度和×相遇时间”的公式，将甲车和乙车的速度相加得到速度和，再乘相遇时间5分钟，即可求出这条马路的长度。据此解答即可。 【规范解答】180＋40＝220（米） （180＋220）×5 ＝400×5 ＝2000（米） 答：这条马路长2000米。 【变式训练】（25-26四年级上·浙江杭州·期中）周末，小欣和小芳同时从自己家里出发向对方家走去（如下图）。12分钟后，他们在途中的某处相遇。 （1）用▲在图上标出他们相遇时的大致位置。 （2）小欣家和小芳家的距离是多少米？ （3）从出发到相遇，小欣比小芳少行多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）1740米 （3）180米 【易错思路引导】（1）根据题意可知，小芳每分钟比小欣的速度快，则小芳12分钟后会超过中点，靠近小欣家方向，据此作图； （2）根据速度和×相遇时间＝总路程，求出小欣家和小芳家的距离； （3）根据速度差×相遇时间＝少行的路程，求出从出发到相遇，小欣比小芳少行的路程。 【规范解答】 （1） （2）（65＋80）×12 ＝145×12 ＝1740（米） 答：小欣家和小芳家的距离是1740米。 （3）（80－65）×12 ＝15×12 ＝180（米） 答：从出发到相遇，小欣比小芳少行180米。 模块四 易错真题 提升训练 1．（25-26四年级上·北京昌平·期末）第一个式子（□＋5）×2和第二个式子□×2＋5中的□代表同一个数。第一个式子和第二个式子的运算结果进行比较，下面说法正确的是（    ）。 A．第一个式子运算结果大 B．第二个式子运算结果大 C．两个式子运算结果相等 【答案】A 【易错思路引导】乘法分配律，第一个式子（□＋5）×2用乘法分配律是□×2＋5×2＝□×2＋10，两个式子中□代表同一个数，第一个式子和第二个式子的运算结果进行比较第一个式子运算结果大。 【规范解答】（□＋5）×2 ＝□×2＋5×2 ＝□×2＋10 10＞5 所以，第一个式子和第二个式子的运算结果进行比较第一个式子运算结果大。 故答案为：A 2．（25-26四年级上·辽宁大连·期末）下列图示中不能说明算式“46×32＋54×32＝（46＋54）×32”成立的是（    ）。 A． B． C．46个32加54个32就是（46＋54）个32 D． 【答案】D 【易错思路引导】根据题意可知为乘法分配律，在下面选项中逐项分析找出不能说明算式成立的选项，即可解答。 【规范解答】A．图中一件上衣46元和一条裤子54元。32套总价可以表示为：，也可以先算一套的价格元，再算32套的总价：，所以这个图能说明等式成立。 B．图中是一个大长方形，由长 54、宽 32 和长 46、宽 32 的两个小长方形组成。 总面积可以表示为：，也可以看作一个长，宽 32 的大长方形，面积为：，所以这个图能说明等式成立。 C．这句话直接描述了乘法分配律的含义：46个32加54个32，等于个32。 完全对应等式，所以这个选项能说明等式成立。 D．图片中题目是“32盆奶糖 1盆水果糖共多少千克？” 奶糖每盆46千克，水果糖每盆54千克。 总重量是：，所以这个选项不能说明等式成立。 故答案为：D 3．（25-26四年级上·北京顺义·期末）如果甲数＝16×（▲＋23），乙数＝16×▲＋46，那么（    ）。 A．甲数＞乙数 B．甲数＝乙数 C．甲数＜乙数 D．无法确定甲数和乙数的大小 【答案】A 【易错思路引导】先运用乘法分配律把甲数的表达式展开，得到 16×（▲＋23）＝16×▲＋16×23＝16×▲＋368，再和乙数 16×▲＋46 比较，因为两个式子都有 16×▲，而 368＞46，所以可以直接得出甲数＞乙数。 【规范解答】 甲数＝ 乙数＝16×▲＋46 故答案为：A 4．（24-25四年级下·山东德州·期中）下列选项（    ）没有运用乘法分配律。 A． B． C．小轩用这种方法求面积： D．25×36＝25×4×9＝100×9＝900 【答案】D 【易错思路引导】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。字母表示：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。 用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。据此分析各算式即可求解。 【规范解答】A．观察上图，可以发现2×4＋3×2中根据乘法分配律，提取相同的因数2，再把与2相乘的数进行相加，即2×（4＋3），刚好符合上图右边的式子，因此A选项运用了乘法分配律。 B．观察上图，竖式计算中先用21中的个位1去乘32，再用21中的十位2去乘32，其21拆分出来就是20＋1，因此B选项运用了乘法分配律。 C．观察上图，长方形的面积公式为：长×宽，图中两个长方形，则用大长方形的面积加上小长方形的面积，即7×11＋7×4。根据乘法分配律将式子7×11＋7×4变成7×（11＋4）。且下图中的长方形面积为7×（11＋4），因此C选项运用了乘法分配律。 D．式子25×36＝25×4×9＝100×9＝900中，将36拆分成4乘9，没有运用乘法分配律。 故答案为：D 【考点剖析】熟练掌握乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c是解答本题的关键。 5．（25-26四年级上·上海徐汇·期末）小亚把7×（□－9）错写成7×□－9，他算出的得数与正确答案相差______。 【答案】54 【易错思路引导】正确算式是7×（□－9），根据乘法分配律的定义可知，7×（□－9）＝7×□－7×9；错误算式是7×□－9。将错误算式与正确算式相减，即可解答。 【规范解答】7×（□－9） ＝7×□－7×9 ＝7×□－63 7×□－9－（7×□－63） ＝7×□－9－7×□＋63 ＝（7×□－7×□）＋63－9 ＝0＋54 ＝54 则他算出的得数与正确答案相差54。 6．（25-26四年级上·甘肃定西·期末）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 50400000( )504万        75×2( )2×75 3600÷600( )36÷6        46×102( )46×100＋2 【答案】 ＞ ＝ ＝ ＞ 【易错思路引导】（1）根据大数的比较方法，由高到低逐位比较即可，先把504万改写成5040000，再与50400000比较大小。 （2）两、三位数乘一个数时，将两、三位数与另一个数，按个位对齐逐位相乘，从个位开始计算，每位乘积超过10时，向高位进位，将所有部分积相加。 （3）根据商不变的规律，被除数和除数同时除以一个数（不为0），商不变，先计算，再比较。 （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，进行比较。 【规范解答】根据分析可知： 504万＝5040000，50400000＞5040000，50400000＞504万              75×2＝150，2×75＝150，75×2＝2×75   3600÷600＝（3600÷100）÷（600÷100）＝36÷6＝6，3600÷600＝36÷6              46×102＝46×（100＋2）＝46×100＋46×2＝4600＋92＝4692，46×100＋2＝4600＋2＝4602，4692＞4602，46×102＞46×100＋2 7．（24-25四年级下·全国·课后作业）根据运算律和性质填空。 (1)6000÷125÷8＝6000÷（______×______） (2)8100÷（9×3）＝8100÷______÷_____ (3)25×44＝25×______＋25×______ (4)36×101＝36×（______＋______） (5)720÷24＝720÷（______×______）＝720÷______÷______ 【答案】(1) 125 8 (2) 9 3 (3) 40 4 (4) 100 1 (5) 8 3 8 3 【易错思路引导】（1）利用一个数连续除以两个数等于这个数除以后两个数的积进行填空； （2）利用一个数除以后两个数的积等于这个数连续除以两个数进行填空； （3）先把44拆成，再根据乘法分配律进行简便计算； （4）把101拆成，把转化成进行简便计算； （5）把24拆成，转化成，再利用一个数除以后两个数的积等于这个数连续除以两个数进行填空。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） （5） 8．（23-24四年级下·山东德州·期中）如果a＋b＝50，那么24×a＋24×b＝( )；如果a×b＝25，那么100÷a÷b＝( )。 【答案】 1200 4 【易错思路引导】本题涉及乘法分配律和除法的性质。对于第一个式子，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×，可将24×a＋24×b转化为24×（a＋b）进行计算；对于第二个式子，根据除法的性质100÷a÷b＝a÷（b×c），可将100÷a÷b转化为100÷（a×b）进行计算 【规范解答】（1）计算24×a＋24×b的值：已知a ＋ b ＝ 50，根据乘法分配律24×a＋24×b ＝ 24×（a ＋ b）。将a ＋ b ＝ 50代入式子，得到24×50 ＝ 1200。 （2）计算100÷a÷b的值：已知a×b ＝ 25，根据除法的性质100÷a÷b＝100÷（a×b）。将a×b ＝ 25代入式子，得到100÷25 ＝ 4。 所以，如果a＋b＝50，那么24×a＋24×b＝（1200）；如果a×b＝25，那么100÷a÷b＝（4）。 【考点剖析】理解并灵活运用乘法分配律和除法的性质是解答此类题的关键。 9．（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）98×102＝（100－2）×102这里运用了乘法的分配律。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】将98拆分为100－2的形式，即（100－2）×102，再根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式（100－2）×102变成100×102－2×102，然后按运算顺序计算即可。 【规范解答】98×102 ＝（100－2）×102 ＝100×102－2×102 ＝10200－204 ＝9996 98×102＝（100－2）×102这里运用了乘法的分配律，原题说法正确。 故答案为：√ 10．（25-26四年级上·山东济南·期中）97×100＋97＝97×（100＋1）。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】把97看作97×1，然后根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c将等号左边的算式改写为97×（100＋1），再与右边的算式进行比较，即可解答。 【规范解答】左边算式： 97×100＋97 ＝97×100＋97×1 ＝97×（100＋1） 右边算式：97×（100＋1） 因此，左边等于右边，原题说法正确。 故答案为：√ 11．（25-26四年级上·辽宁丹东·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 ①42×73＋127×42        ②360÷［144÷（32－20）］ ③88×125        ④400－257－43 【答案】①8400；②30 ③11000；④100 【易错思路引导】①利用乘法分配律，先计算73＋127的和，再计算和与42的积； ②根据混合运算的顺序，先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外边的除法； ③88可以写作（80＋8），利用乘法分配律展开计算； ④根据减法的性质，连续减去两个数，等于减去这两个数的和，据此计算即可。 【规范解答】①42×73＋127×42 ＝42×（73＋127） ＝42×200 ＝8400 ②360÷［144÷（32－20）］ ＝360÷［144÷12］ ＝360÷12 ＝30 ③88×125 ＝（80＋8）×125 ＝80×125＋8×125 ＝10000＋1000 ＝11000 ④400－257－43 ＝400－（257＋43） ＝400－300 ＝100 12．（25-26四年级上·吉林长春·期末）脱式计算（能简算的可以简算）。 99×[（125－75）÷5]    278＋527＋22 17×25×4    28×19＋81×28 【答案】990；827； 1700；2800 【易错思路引导】99×[（125－75）÷5]先算小括号内的减法，再算中括号内的除法，最后算中括号外的乘法； 278＋527＋22利用加法交换律变为278＋22＋527，然后从左至右依次计算加法； 17×25×4利用乘法结合律变为17×（25×4），然后先算小括号内的乘法，再算小括号外的乘法； 28×19＋81×28利用乘法分配律变为28×（19＋81），然后先算小括号内的加法，再算小括号外的乘法。 【规范解答】99×[（125－75）÷5] ＝99×[50÷5] ＝99×10 ＝990 278＋527＋22 ＝278＋22＋527 ＝300＋527 ＝827 17×25×4 ＝17×（25×4） ＝17×100 ＝1700 28×19＋81×28 ＝28×（19＋81） ＝28×100 ＝2800 13．（24-25四年级上·四川成都·期中）商场某日上午卖出48台取暖器，下午卖出52台，每台取暖器的价钱是298元，这个商场这天卖取暖器共收入多少元？（用两种方法解答） 【答案】 29800元 【易错思路引导】第一种方法：先把上午卖出的数量加上下午卖出的数量相加，求出总销量，再根据总价＝单价×数量，用总销量乘单价即可求解。 第二种方法：根据总价＝单价×数量，分别用上午卖出的数量和下午卖出的数量乘单价，分别计算上午和下午的收入，再相加。计算过程利用乘法分配律进行简便计算。 【规范解答】方法一： （元） 答：这个商场这天卖取暖器共收入29800元。 方法二： （元） 答：这个商场这天卖取暖器共收入29800元。 14．（25-26四年级上·辽宁沈阳·月考）甲、乙两辆车从同一地点向相反方向行驶，甲车的速度是53千米/时，乙车的速度是47千米/时，5小时后，两车相距多远？ 【答案】 500千米 【易错思路引导】根据甲车的路程＋乙车的路程＝总路程，先用甲车和乙车的速度分别乘共同行驶的时间5小时，求出甲乙两车各行的路程，再把它们的路程相加求出甲乙两车相距的路程；也可以根据速度和×共同行驶的时间＝总路程，先把甲乙两车的速度相加，求出甲乙两车行1小时相距的路程，再乘共同行驶的时间5小时，求出甲乙两车相距的路程；从而体会乘法分配律在两种方法之间的联系。据此解答。 【规范解答】方法一：53×5＋47×5 ＝265＋235 ＝500（千米） 方法二：（53＋47）×5 ＝100×5 ＝500（千米） 答：两车相距500千米。 15．（25-26四年级上·陕西咸阳·期中）轻轨列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客127人。这列车共载乘客多少人？ 【答案】356人 【易错思路引导】根据题意，已知列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客121人。用156加上73，再加上121，就是这列车共载乘客的人数，计算时可以根据加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），进行简便计算，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 156＋73＋127 ＝156＋（73＋127） ＝156＋200 ＝356（人） 答：这列车共载乘客356人。 16．（25-26四年级上·全国·课后作业）小宇和小恒分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知小宇每分钟走70米，小恒走完全程要30分钟；相向而行10分钟后，两人还差300米才相遇。那么小恒每分钟走多少米？ 【答案】50米 【易错思路引导】将题中的部分信息在下面线段图中表示： 小恒走完全程要30分钟，他已经走了10分钟，那么剩下的路程他20分钟就可以走完，而这一段路程就是小宇10分钟行走的路程再加上300米，所以小恒每分钟走。 【规范解答】 答：小恒每分钟走50米。 【考点剖析】理解相遇时小宇走的路程转化为小恒走的20分钟路程。 17．（24-25四年级下·四川资阳·期末）甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分30米、50米、60米。甲和乙在A地，丙在B地，他们三人同时出发相向而行，丙和乙相遇10分钟后，丙和甲相遇。A、B两地相距多少米？ 【答案】4950米 【易错思路引导】如下图可知，丙遇乙后10分钟和甲相遇，甲和丙10分钟走的路程就是乙和丙相遇时乙比甲多走的路程，乙比甲每分钟多走50－30＝20米，可求得乙和丙的相遇时间，乙和丙的速度和乘它们相遇时行走的时间即等于A、B两地站的路程，据此即可解答。 【规范解答】（30＋60）×10÷（50－30） ＝90×10÷20 ＝900÷20 ＝45（分钟） （50＋60）×45 ＝110×45 ＝4950（米） 答：A、B两地间相距4950米。 【考点剖析】求出丙和乙相遇时乙比甲多走的路程是解答本题的关键。 18．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地的路程为600km，张叔叔开车从甲地开往乙地，从甲地到乙地的最高速度是每时120km，最低速度是每时60km。 （1）张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是（    ）时，最长时间是（    ）时。 （2）王叔叔开车从乙地出发前往甲地，与张叔叔同时出发，张叔叔比王叔叔平均每时多行驶20km，3时后两人相遇，相遇后两人继续行驶，各自到达目的地停止，求两人各自的平均速度。 （3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个充电站A，B，并且A，B相距200km，当张叔叔到达B充电站时，王叔叔恰好到达A充电站（两车换电的时间忽略不计），求甲地到充电站B的路程。 【答案】（1）5；10； （2）110千米/时；90千米/时 （3）220千米或440千米 【易错思路引导】（1）根据时间＝路程÷速度，可以求出甲地开往乙地的最短时间是和最长时间； （2）根据相遇问题的公式：路程和＝速度和×相遇时间，可以求出二人的速度和，再结合速度差求出各自的速度即可； （3）若A充电站靠近甲，B充电站靠近乙，那么两人的路程和为600＋200＝800千米，用时为800÷200＝4时，此时甲和B充电站相距4×110＝440千米；若A充电站靠近乙，B充电站靠近甲，那么两人的路程和为600－200＝400千米，用时为400÷200＝2时，此时甲和B充电站相距2×110＝220千米；据此解答即可。 【规范解答】（1）600÷120＝5（时）600÷60＝10（时） 张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是5时，最长时间是10时。 （2）600÷3＝200（千米/时） （200＋20）÷2 ＝220÷2 ＝110（千米/时） 200－110＝90（千米/时） 答：张叔叔的平均速度为110千米/时，王叔叔的平均速度为90千米/时。 （3）①（600－200）÷（110＋90） ＝400÷200 ＝2（时） 110×2＝220（千米） ②（600＋200）÷（110＋90） ＝800÷200 ＝4（时） 110×4＝440（千米） 答：甲地到充电站B的路程为220千米或440千米。 【考点剖析】本题主要考查了相遇问题，明确路程、速度、时间之间的关系是解答此题的关键。 19．（23-24四年级下·贵州贵阳·期末）海纳酒店在录制现场的正西方向1300米处，百川酒店在录制现场的正东方向1100米处。住在海纳酒店的李叔叔和住在百川酒店的王叔叔两人约好晚上8时到录制现场，两人在晚上7时35分，分别从两个酒店出发走向录制现场，约定相遇后才一起去录制现场。从出发到两人相遇用了20分钟，王叔叔每分钟步行65米，李叔叔每分钟步行多少米？要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是多少？ 【答案】55米；每分钟40米 【易错思路引导】李叔叔所在酒店到录制现场的路程与王叔叔所在酒店到录制现场的路程的和是李叔叔与王叔叔相遇时所行的总路程，用总路程除以他们相遇的时间即是他们的速度和，用他们的速度和减去王叔叔的速度，就是李叔叔的速度； 7时35分距离8时还有25分钟，它们相遇又用去20分钟，所以相遇时距离8时还有5分钟，用李叔叔的速度乘相遇时间，求出相遇时李叔叔行了多少米，用李叔叔所在酒店到录制现场的路程减去相遇时李叔叔走了的路程，就是他们的相遇点与录制现场之间的路程，用这个路程除以距离8时还有的时间，就是他们相遇后一起步行的最低速度；据此解答。 【规范解答】（1300＋1100）÷20－65 ＝2400÷20－65 ＝120－65 ＝55（米/分） 8时－7时35分＝25（分钟） （1300－55×20）÷（25－20） ＝（1300－1100）÷5 ＝200÷5 ＝40（米/分） 答：李叔叔每分钟步行55米，要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是每分钟40米。 【考点剖析】解答此题的关键在于掌握时间、速度、路程三者之间的关系，同时需要理解速度和的意义。 20．（2024四年级下·江苏·专题练习）如图，王明和李红两家相隔一个书店。王明每分钟走65米，李红每分钟走77米。两人同时从家出发，经过15分钟在书店相遇。 （1）王明和李红两家相距多少米？ （2）两人相遇后同时从书店去学校，步行速度不变。李红走到学校门口突然发现忘记带课本了，于是原路返回，返回途中在离学校150米处与王明相遇，这时王明离书店多少米？ 【答案】（1）2130米（2）1625米 【易错思路引导】（1）根据路程和＝速度和×时间可知，要求出总路程，直接用两人的速度之和乘上15分钟即可。 （2）李红走到学校门口突然发现忘记带课本了，于是原路返回，返回途中在离学校150米处与王明相遇。李红走的路程是书店到学校的距离加上150米，而王明走的路程是书店到学校的距离减去150米，说明李红比王明多走两个150米。李红每分钟比王明多走77－65＝12（米），一共多走了150×2＝300（米），用除法即可求出两人从书店出发到他们第二次相遇经过的时间，最后再乘上王明的速度即可求出此时王明距书店的距离。 【规范解答】（1）（65＋77）×15 ＝142×15 ＝2130（米） 答：王明和李红两家相距2130米。 （2）150×2＝300（米） 300÷（77－65） ＝300÷12 ＝25（分钟） 65×25＝1625（米） 答：这时王明离书店1625米。 【考点剖析】（1）根据路程＝（王明的速度＋李红的速度）×时间即可求出两地的距离。 （2）两人从书店出发，然后在离学校150米处相遇。两人走路的时间相同，而路程相差两个150米，用路程差除以速度差即可求出经过的时间。然后再用乘法即可解决问题。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第五单元 运算律『易错笔记培优讲练』 〔原卷版〕 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 模块二 易错点拨 思路指引 1、没有理解加法交换律 解决此类题时不仅要看到添加小括号运用了加法结合律,还要注意加数位置的改变。 2、减法运算性质中忽略了括号的必要性 用被减数减去两个减数的和时,要把两个减数的和用小括号括起来。 3、对乘法运算定律理解不透彻 在应用乘法运算定律简算时,有时会同时用到两种或两种以上的运算定律。 4、混淆了乘法分配律和乘法结合律 在使用运算定律前一定要观察算式的结构及数的特点,不能盲目运用运算定律计算。 5、除法运算性质中因凑整而忽略了算式的运算顺序 当乘、除混合运算不具备简算条件时,应按照从左往右的顺序计算。 模块三 易错考点 讲练结合 高频易错考点一 整数加法交换律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃张掖·期末）认真算一算，怎样简便就怎样算。 125×13×8       239＋112＋361＋188      864÷［（27－18）×2] 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）在计算365＋251＋49＋235＝（365＋235）＋（251＋49）时，运用了（    ）。 A．加法结合律 B．加法交换律 C．加法交换律和加法结合律 高频易错考点二 整数加法交换律的应用 【典例精讲】（24-25四年级上·山西吕梁·期中）实验小学艺术小组上一学期制作的作品统计如下： 种类 根雕 石膏雕塑 陶器 葫芦画 数量（件） 44 102 156 98 艺术小组上一学期一共制作了多少件作品？ 【变式训练】（25-26四年级上·四川巴中·期中）通江某小学四年级参加劳动实践活动“摘花生”，四一班摘了158千克，四二班摘了209千克，四三班摘了191千克，四四班摘了142千克。四个班共摘了多少千克？ 高频易错考点三 整数加法结合律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁营口·期末）脱式计算。（能简算必须简算） 45×102        38×25＋62×25        （360－120）÷15×23 4×（125×25）        46＋189＋54＋11        840÷[（25－18）×12] 【变式训练】（25-26四年级上·福建泉州·期末）递等式计算，能简算的用简便方法计算。 608÷[（78－59）×4]          835＋637＋165＋363 342×15－42×15                7×25×44 高频易错考点四 整数加法结合律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·山东·课后作业）青岛某海豚馆国庆节期间第一天卖出456张门票，第二天上午卖出167张，下午卖出233张。这两天一共卖出多少张门票？ 【变式训练】（24-25四年级上·陕西汉中·期中）中秋节假期，小宇一家从西安到兰州去看望爷爷。爸爸开车行驶24千米到达高速收费站，在高速上行驶185千米到达某服务区，休息一会后继续行驶276千米到达定西，继续行驶115千米到达爷爷家。爸爸开车共行驶了多少千米？ 高频易错考点五 整数减法的性质的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·上海嘉定·期末）递等式计算（能简便计算的要简便计算）。 768－（432－108）÷18       104×25 1554÷[（72－58）×3]       1678－（678－345）＋55 79×42＋79＋79×57          99＋999＋9999＋99999 【变式训练】（25-26四年级上·上海普陀·期末）递等式计算，写出必要的计算过程。（能简便的要用简便方法计算） 7428－1643－357＋582              125×（80－8）×25 3672÷18＋28×18         79×79－79＋22×79 3570÷[661－16×（21＋19）] 高频易错考点六 整数减法的性质的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·广东珠海·期中）爸爸带800元钱去超市，买了一台电风扇用去198元，又买了一个电饭煲用去202元，还剩多少元？ 【变式训练】（24-25四年级下·浙江杭州·期中）阅读红色书籍。学校开展红色书籍阅读周，每位同学都积极参加。聪聪读了一本598页的《红岩》，第一周读了124页，第二周读了76页，第三周读了98页，还剩下多少页没有读？ 高频易错考点七 整数乘法交换律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃定西·期中）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 5988875( )599999   15×420( )420×5×3 10000000( )1亿    95×99( )195×100 【变式训练】（25-26四年级上·山东济南·期中）我会用简便方法计算。 38＋165＋62          12×105          85×199＋85 56×134＋56×66     125×7×8        269－（69＋145） 高频易错考点八 整数乘法交换律的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山东青岛·期中）某小学运动会开幕式上有4支队伍，每支队伍有6排，每排25人，每人手上拿4个气球，学校准备2000个气球够吗？ 【变式训练】（23-24四年级下·山东菏泽·期中）为防控“新冠肺炎”疫情，某医疗器械厂计划将库存的25箱额温枪捐赠出来。每箱有18盒，每盒装有4支，该医疗器械厂一共捐赠了多少支额温枪？ 高频易错考点九 整数乘法结合律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁大连·期末）脱式计算，能简算的要简算。 25×15×4     36×45＋45×64      （240－63÷21）×6    684÷[（78－76）×19] 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）能简算的要简算。 63×201－63    25×44    600÷25 高频易错考点十 整数乘法结合律的应用 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃天水·期末）某市棚户区改造建成的新成小区有25幢楼，每幢楼有5个单元，每个单元可以住16户。一共可以住多少户？（用简便方法计算） 【变式训练】（24-25四年级下·贵州遵义·期末）华华用计算器计算“1235×49”时，发现按键“4”坏了。如果还用这个计算器，可以怎样计算？请写出算式和计算过程（不用计算结果）。 高频易错考点十一 整数乘法分配律的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）脱式计算。（能简算的要简算） 336÷[（36－29）×6]        78×101－78 125×88        24×[（153－78）÷15] 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁锦州·期末）脱式计算。（能简算的用简便方法计算） （1）125×25×320      （2）64÷[（5－3）×2]      （3）25×44 （4）125×（80＋8）    （5）215－76－24            （6）142＋284＋58＋16 高频易错考点十二 整数乘法分配律的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·河北邢台·期末）热干面是武汉的特色美食，口感筋道，香气扑鼻。幸福小吃摊上午卖出85份热干面，下午卖出115份。每份12元。 （1）上午和下午卖热干面一共收入多少元？ （2）下午比上午卖热干面多收入多少元？ 【变式训练】（24-25四年级下·福建漳州·期末）今年的“六一”遇上了“端午”，在假日里，同学们沉浸式体验民俗文化的魅力。在“六一”当天，四年级劳动社团的23名男生和17名女生参加了民俗活动“包粽子”，他们在工作人员的指导下每人包了25个粽子。劳动社团的同学们一共包了多少个粽子？ 高频易错考点十三 整数除法的性质的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·江苏盐城·期末）用递等式计算，能简便运算的就简便运算。 68×25－36÷3        800÷16÷5       250÷[150÷（81－78）] 【变式训练】（25-26四年级上·上海黄浦·期中）递等式计算（能巧算的要巧算）。 127＋465－573       1400÷（28×25）         7400÷4÷25 500÷4×（387－362）           （32×5＋32×2＋32）×125 高频易错考点十四 整数除法的性质的应用 【典例精讲】学校收到捐赠图书930册，学校有6个年级，每个年级5个班，平均每个班可以分到多少册？ 【变式训练】（23-24四年级下·河南郑州·期中）每年4月24日为“中国航天日”，为激励广大少年儿童发扬中国航天精神，某企业为彤彤所在的学校捐赠了720册航天类图书，学校共5个年级，每个年级8个班，平均每个班分到多少册？ 高频易错考点十五 相遇问题 【典例精讲】（25-26四年级上·山东·期末）大雪过后，工人师傅开着除雪车清除马路上的积雪。甲、乙两辆除雪车分别从马路两头同时出发相对而行。甲车每分钟行180米，乙车每分钟比甲车多行40米。5分钟后相遇，这条马路长多少米？ 【变式训练】（25-26四年级上·浙江杭州·期中）周末，小欣和小芳同时从自己家里出发向对方家走去（如下图）。12分钟后，他们在途中的某处相遇。 （1）用▲在图上标出他们相遇时的大致位置。 （2）小欣家和小芳家的距离是多少米？ （3）从出发到相遇，小欣比小芳少行多少米？ 模块四 易错真题 提升训练 1．（25-26四年级上·北京昌平·期末）第一个式子（□＋5）×2和第二个式子□×2＋5中的□代表同一个数。第一个式子和第二个式子的运算结果进行比较，下面说法正确的是（    ）。 A．第一个式子运算结果大 B．第二个式子运算结果大 C．两个式子运算结果相等 2．（25-26四年级上·辽宁大连·期末）下列图示中不能说明算式“46×32＋54×32＝（46＋54）×32”成立的是（    ）。 A． B． C．46个32加54个32就是（46＋54）个32 D． 3．（25-26四年级上·北京顺义·期末）如果甲数＝16×（▲＋23），乙数＝16×▲＋46，那么（    ）。 A．甲数＞乙数 B．甲数＝乙数 C．甲数＜乙数 D．无法确定甲数和乙数的大小 4．（24-25四年级下·山东德州·期中）下列选项（    ）没有运用乘法分配律。 A． B． C．小轩用这种方法求面积： D．25×36＝25×4×9＝100×9＝900 5．（25-26四年级上·上海徐汇·期末）小亚把7×（□－9）错写成7×□－9，他算出的得数与正确答案相差______。 6．（25-26四年级上·甘肃定西·期末）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 50400000( )504万        75×2( )2×75 3600÷600( )36÷6        46×102( )46×100＋2 7．（24-25四年级下·全国·课后作业）根据运算律和性质填空。 (1)6000÷125÷8＝6000÷（______×______） (2)8100÷（9×3）＝8100÷______÷_____ (3)25×44＝25×______＋25×______ (4)36×101＝36×（______＋______） (5)720÷24＝720÷（______×______）＝720÷______÷______ 8．（23-24四年级下·山东德州·期中）如果a＋b＝50，那么24×a＋24×b＝( )；如果a×b＝25，那么100÷a÷b＝( )。 9．（25-26四年级上·黑龙江大庆·期末）98×102＝（100－2）×102这里运用了乘法的分配律。( )（判断对错） 10．（25-26四年级上·山东济南·期中）97×100＋97＝97×（100＋1）。( )（判断对错） 11．（25-26四年级上·辽宁丹东·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 ①42×73＋127×42        ②360÷［144÷（32－20）］ ③88×125        ④400－257－43 12．（25-26四年级上·吉林长春·期末）脱式计算（能简算的可以简算）。 99×[（125－75）÷5]    278＋527＋22 17×25×4    28×19＋81×28 13．（24-25四年级上·四川成都·期中）商场某日上午卖出48台取暖器，下午卖出52台，每台取暖器的价钱是298元，这个商场这天卖取暖器共收入多少元？（用两种方法解答） 14．（25-26四年级上·辽宁沈阳·月考）甲、乙两辆车从同一地点向相反方向行驶，甲车的速度是53千米/时，乙车的速度是47千米/时，5小时后，两车相距多远？ 15．（25-26四年级上·陕西咸阳·期中）轻轨列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客127人。这列车共载乘客多少人？ 16．（25-26四年级上·全国·课后作业）小宇和小恒分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知小宇每分钟走70米，小恒走完全程要30分钟；相向而行10分钟后，两人还差300米才相遇。那么小恒每分钟走多少米？ 17．（24-25四年级下·四川资阳·期末）甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分30米、50米、60米。甲和乙在A地，丙在B地，他们三人同时出发相向而行，丙和乙相遇10分钟后，丙和甲相遇。A、B两地相距多少米？ 18．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地的路程为600km，张叔叔开车从甲地开往乙地，从甲地到乙地的最高速度是每时120km，最低速度是每时60km。 （1）张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是（    ）时，最长时间是（    ）时。 （2）王叔叔开车从乙地出发前往甲地，与张叔叔同时出发，张叔叔比王叔叔平均每时多行驶20km，3时后两人相遇，相遇后两人继续行驶，各自到达目的地停止，求两人各自的平均速度。 （3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个充电站A，B，并且A，B相距200km，当张叔叔到达B充电站时，王叔叔恰好到达A充电站（两车换电的时间忽略不计），求甲地到充电站B的路程。 19．（23-24四年级下·贵州贵阳·期末）海纳酒店在录制现场的正西方向1300米处，百川酒店在录制现场的正东方向1100米处。住在海纳酒店的李叔叔和住在百川酒店的王叔叔两人约好晚上8时到录制现场，两人在晚上7时35分，分别从两个酒店出发走向录制现场，约定相遇后才一起去录制现场。从出发到两人相遇用了20分钟，王叔叔每分钟步行65米，李叔叔每分钟步行多少米？要想准时到录制现场观看，他们相遇后一起步行的速度至少是多少？ 20．（2024四年级下·江苏·专题练习）如图，王明和李红两家相隔一个书店。王明每分钟走65米，李红每分钟走77米。两人同时从家出发，经过15分钟在书店相遇。 （1）王明和李红两家相距多少米？ （2）两人相遇后同时从书店去学校，步行速度不变。李红走到学校门口突然发现忘记带课本了，于是原路返回，返回途中在离学校150米处与王明相遇，这时王明离书店多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $