北京市东城区2025-2026学年度第二学期高三综合练习(二) 数学

北京市东城区2025—2026学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数与的图象关于轴对称，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 5. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面向量为不全相等的单位向量，.设平面向量为非零向量，令，，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 存在，使得 D. 当时， 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 二项式的展开式中，含项的系数为_______. 12. 已知为等比数列，，.若，则______；若，则的前4项和为_____. 13. 已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 14. 在三棱锥中，，，. （1）若平面，，则三棱锥的体积为_____； （2）若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12，则三棱锥体积的最大值为_____. 15. 已知无穷数列与都不是常数列.给出下列四个结论： ①设等差数列，的公差分别为，，若的项均为的项，则； ②设等比数列，的公比分别为，，若的项均为的项，则； ③设等差数列，的公差分别为，，且，，若的项均为的项，又均为的项，则； ④设等比数列，的公比分别为，，且，，若的项均为的项，则. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，，. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 如图，在几何体中，平面平面，，，，，，M为中点，点B，D在直线两侧. （1）求证：平面； （2）已知，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得几何体存在，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：； 条件②：； 条件③：点D到平面的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品A，B的收益数据（单位：万元），如下表： 门店 产品 1 2 3 4 5 6 7 8 A 5.8 7.2 8.5 9.5 11.2 11.9 12.9 13.7 B 3.7 5.7 7.9 9.6 13.2 15.1 17.9 19.5 用频率估计概率. （1）从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的概率； （2）从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B收益的门店个数，求X的分布列及数学期望； （3）这8个门店中，设门店的产品A，B的收益分别为，，记，，，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的右焦点为，且经过点. （1）求椭圆W的方程； （2）已知点，.设直线分别与直线，交于点M，N，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，直线交椭圆W于另一点R，求证：P，Q，R三点共线. 20. 已知函数，.当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，且. （1）求的值； （2）当时，求证：与的交点位于y轴右侧； （3）已知，与y轴交于点A，与x轴交于点B.若存在（e为自然对数的底），使得，求b的最大值. 21. 已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. （1）已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； （2）求证：序列中存在具有性质的项； （3）求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 北京市东城区2025—2026学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. 8 ②. 【13题答案】 【答案】（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连接，， 因为，所以， 因为为中点，所以，因为，所以， 所以、、三点共线，即，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）条件①不合题设，选条件②或③： 【18题答案】 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 . （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 由(1)可知，则. 已知， 直线MT满足，即直线的方程为； 直线NT满足，即直线NT的方程为； 令，代入直线MT的方程可得：，解得，所以； 令，代入直线NT的方程可得：，解得，所以； 已知， 直线AT满足，即直线AT方程为， 联立，化简得. 因为是方程的一个根(点A的横坐标)，设， 由韦达定理得，即， 代入得，所以. 当直线斜率存在时，直线PQ的斜率， 直线PR的斜率 因为，且直线PQ与直线PR有公共点P，所以P、Q、R三点共线； 当时，直线MT：，；直线NT：，； 直线AT：，，此时三点均在直线上，所以P、Q、R三点共线； 综上所述，P、Q、R三点共线. 【20题答案】 【答案】（1） （2） 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，又，所以， 所以当时， 与的交点位于y轴右侧； （3） 【21题答案】 【答案】（1），，， （2） 以序列中的项为坐标的点记作，连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具有性质． 故中存在具有性质的项． （3） 将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即． 所以． 同理． 所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $