精品解析：北京市东城区2024-2025学年高三下学期第二次综合练习数学试题

北京市东城区2024-2025学年度第二学期高三综合练习（二）数学 2025.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】，且， 则. 故选：A 2. 已知，则复数的实部为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据实部的概念求解即可. 【详解】因为，所以， 所以复数的实部为. 故选：. 3. 已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 4. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意，从第二轮开始，该模型参数增加的数量为等比数列， 设首项为，公比为， 则通项公式为， 第一轮参数为, 第二轮参数增加的数量为, 第三轮参数增加的数量为, 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为, 所以第五轮训练的模型参数的数量为.. 故选：C. 5. 若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题，，解得. 故选：D. 6. 已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数图象判断即可. 【详解】对于A选项：如图，不符， 对于B选项：如图，符合， 对于C选项：如图，不符， 对于D选项：如图，不符， 故选：B. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断. 【详解】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可. 【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示， 依题意直线l与圆C至少有一个交点， ①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角； ②当直线l的斜率存在时，设为，则，即 依题意，解得或， 此时直线l的倾斜角 综上所述，直线l的倾斜角， 故直线l的倾斜角的最大值为． 故选：C. 9. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当马赫数分别为8和13时，由指对运算计算得，，即可求解. 【详解】当马赫数为8时，速度， 解得，即，， 当马赫数为13时，速度， 解得，即，， 所以,. 故选：C. 10. 设无穷数列满足，则（） A. 存在，为等差数列 B. 存在，为等比数列 C. 存在，为递减数列 D. 存在，为递增数列 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，等差数列要求为常数，即恒定；对于B，等比数列要求为常数，即与成比例；对于C，递减数列需，但时；对于D，递增数列需，结合的范围分析其单调性. 【详解】选项A：若存在，数列为等差数列， 则（常数），即对所有成立， 则必须满足，且， 唯一可能解为，此时，但不包含端点，故A错误； 选项B：若存在，数列为等比数列， 则（常数），即，即， 若，则与成正比， 由的图象可知，无法保证与的变式速度相同； 若，则，仅当时成立，但，故B错误； 选项C：若存在，则，数列不是递减数列，故C错误； 选项D：若存在，数列为递增数列， 则，即，故，数列递增，故D正确. 故选：D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在中，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理即可求出sinA，结合三角形大边对大角的性质即可求出答案. 【详解】由正弦定理，，则，，且，即，故. 所以本题答案为. 【点睛】本题考查正弦定理的应用和三角形大边对大角的性质，注意仔细审题，认真计算，属基础题. 12. 已知，则实数_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 13. 已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：先根据抛物线焦点坐标求出点的坐标，进而求出直线斜率；空2：根据反射法将距离之和进行转化，最后根据最小值求出的值. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为. 因为过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程，可得，因为点在第一象限，所以，即. 已知直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，因为，两边同时除以得； 当时，已知，焦点，准线为. 设焦点关于准线的对称点，则. 因为，故其最小值为， 又. 所以，可得. 故答案为： ；. 14. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土_____立方米. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得四边形为等腰梯形，再根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】因为与平面所成角均为，且, 所以四边形为等腰梯形， 因为, 所以等腰梯形的高， 故， 所以直四棱柱体积. 故答案为：. 15. 已知曲线.给出下列四个结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线与直线有两个交点； ③曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线上任意两点，，当时，.其中正确结论的序号是_____. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，将假设曲线的对称中心为代入曲线化简后通过对照系数，如果能求出，则说明曲线为中心对称图形；对于②，联立方程求解即可；对于③，对方程进行变形，通过分析可知必须为整数，故或，对应的整数点有两个；对于④，三点共线时取得最小值，因此先求出的取值范围即可判断④. 【详解】对于①，假设曲线的对称中心为，将对称点代入原方程： ， 整理得， 与原方程比较系数，有，解得， 说明曲线关于点对称，故①正确； 对于②，联立与， 消去并整理可得，此时， 故曲线与直线有一个交点，故②错误； 对于③，当时，原方程不成立，故曲线可变形为， 若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或； 当时，，当时，， 故曲线恰好经过两个整点和，故③正确； 对于④，由③可知， 因为， 令，，， ， 当且仅当即时等号成立， 同理， 由①知曲线关于点成中心对称，所以当和都最小时，三点共线， 此时最小，所以，故④错误. 故选：①③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接， 因为底面是正方形，所以是的中点，点在棱上，因为平面，平面， 且平面平面，所以，所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）求出平面与平面两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数. （1）若的最小值为，求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换将解析式变形为，根据三角函数的性质可得最小值，即可求解； （2）由，即可求解，可得；若选择条件①：由已知可得，，求解函数的对称轴，将和代入可知函数存在且不唯一；若选择条件②：根据单调区间可得，将点代入，可得，根据的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解；若选择条件③：由可知，再根据可知或，结合的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解. 【小问1详解】 ， 因为的最小值为，所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以， 若选择条件①：函数的图象的对称轴为， 所以，所以，， 因为，所以，， 所以，即， 因为，故，且，对应的满足题意， 所以函数存在且不唯一； 若选择条件②：因为在区间上单调，所以， 所以，又，所以， 因为的图象关于点对称，所以， 所以，所以， 所以，解得，因为，所以，即， 所以，此时当时，， 故在上单调减，故符合题设要求. 因为，所以， 所以，所以； 若选择条件③：因为的最小正周期，所以， 所以，又，所以， 因为，所以， 所以或， 所以或， 当时，，因为，所以，此时， 当时，，因为，所以不存在满足不等式的，此时无解，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以. 18. 已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示. （1）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； （2）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； （3）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由图结合古典概型的概率计算公式求解即可； （2）先确定满足的冬季周期的个数，然后利用组合数计算即可求解； （3）根据图表中数据的特点分析即可. 【小问1详解】 由图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017，2018，2020，2022， 所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为； 【小问2详解】 由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期分别为， 满足的有个， 从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为； 【小问3详解】 不能预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度，理由如下： 从图2可以看出，1月平均高温数据虽有波动，但没有明显的单调递增或递减的线性趋势，数据的波动是随机的，没有足够的依据能从过去10年的数据直接推断2026年1月平均高温低于4摄氏度. （答案也可以为可预测，言之有理即可） 19. 已知椭圆的一个顶点为.且过点. （1）求椭圆的方程及焦距 （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 【答案】（1）椭圆方程，焦距为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过顶点和点构造方程求得，由此可得椭圆方程； （2）设过点的直线为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由解得，再由弦长公式求以及点到直线的距离，最后求即可. 【小问1详解】 由题意，因为椭圆的一个顶点为,且过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，焦距为. 【小问2详解】 设过点的直线为，， 由，化简得， 则，即， 所以， 即， 则， 所以直线方程为，， 故， 且点到直线的距离， 所以. 20. 设函数，其中. （1）当时，求的零点： （2）当时，证明： （i）1为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 【答案】（1）1 （2） （i）当时，函数，定义域为， ，则， 当时，所以， 故在区间上单调递减， 当时，所以， 故在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故1为的极小值点. （ii）已知， 故曲线在点处的切线斜率为， 在点处的切线斜率为， 因为与互为相反数，所以， 令，， 则， 当时，单调递增，且， 根据零点存在定理可知：存在，使得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，故函数在区间上的值域为， 令，， 则， 当时，单调递减，且， 故时，恒成立，所以函数在区间单调递减， 故的值域为， 因为当时，， 所以是的子集， 故对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 【解析】 【分析】（1）由已知函数解析式，直接令函数等于0，即可求得结果； （2）（i）利用极小值定义即可证明结论； （ii）先根据题干得到，令函数，求得其在区间上的值域，再令函数，求其在区间上的值域，有交集即可证明结论. 【小问1详解】 已知，定义域为，令， 则，解得（舍去）或（舍去）或，故的零点为1. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. （1）已知数列，请写出中所有满足的数列； （2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 【答案】（1）；；；. （2）不存在，理由见解析； （3）7 【解析】 【分析】（1）分析得，再写出满足题意的数列即可； （2）假设存在满足条件的数列，则分析有是偶数，则得到与条件相反的结论，即可证明不存在； （3）首先分析得当时，有，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为数列，所以中的数列满足．因为， 所以中所有满足的数列有 ；；；. 【小问2详解】 假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列． 【小问3详解】 当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1． 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，． ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）． ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东城区2024-2025学年度第二学期高三综合练习（二）数学 2025.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则复数的实部为（ ） A. B. 1 C. D. 3 3. 已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为（） A. B. C. D. 9. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设无穷数列满足，则（） A. 存在，为等差数列 B. 存在，为等比数列 C. 存在，为递减数列 D. 存在，为递增数列 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在中，，，则___________． 12. 已知，则实数_____ 13. 已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____. 14. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土_____立方米. 15. 已知曲线.给出下列四个结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线与直线有两个交点； ③曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线上任意两点，，当时，.其中正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若的最小值为，求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示. （1）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； （2）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； （3）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由. 19. 已知椭圆的一个顶点为.且过点. （1）求椭圆的方程及焦距 （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 20. 设函数，其中. （1）当时，求的零点： （2）当时，证明： （i）1为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. （1）已知数列，请写出中所有满足的数列； （2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $