21.7 正方形（第1课时）（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

21.7 正方形 （第一课时） 第二十一章 四边形 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 21.1多边形 21.2 平行四边形性质 21.4三角形中位线 四边形内外角和 多边形内外角和 性质定理一 性质定理二 21.5矩形 中位线定理 性质定理三 21.3 平行四边形的判定 判定定理一 判定定理二 判定定理三 矩形的性质 矩形的判定 21.6菱形 菱形的性质 菱形的判定 21.7正方形 21.8梯形 正方形的性质 正方形的判定 学 习 目 标 1 2 3 理解正方形的定义，掌握正方形的性质，明确正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系，能运用性质进行计算与证明 经历正方形性质的探究、猜想与归纳过程，体会类比、转化、数形结合的数学思想，提升逻辑推理与几何分析能力 在探究与辨析中感受正方形的对称性与数学美，培养严谨的几何思维，体会正方形在生活中的应用价值 情景导入 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 那么，有一组邻边相等的矩形是什么图形呢? 有一个角是直角的菱形又是什么图形呢? 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 有一个角是直角 矩形 正方形 有一组邻边相等 有一个角是直角 新知探究 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 注意事项： 平行四边形加上 “一个角是直角” 变成矩形，矩形再加上 “一组邻边相等” 就变成了正方形； 平行四边形加上 “一组邻边相等” 变成菱形，菱形再加上 “一个角是直角” 也变成了正方形。 因此，正方形既是矩形，又是菱形，它是特殊的平行四边形 新知探究 探究活动 正方形是中心对称图形吗? 如果是中心对称图形，那么它的对称中心在哪里? 正方形是轴对称图形吗? 如果是轴对称图形，那么它有哪几条对称轴? 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； 同时它也是轴对称图形，有 4 条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在的直线. A B C D A B(D) C B(D) A(C) O A B C D O 对折 再对折 展开 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质. 新知探究 正方形的性质 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 四条边相等 对边平行 四条边都相等 对角相等 邻角互补 四个角都是直角 四个角都是直角 互相平分 相等且互相平分 相等 互相垂直平分 平分对角 中心对称 中心对称 轴对称 中心对称 轴对称 四个角都是直角 互相垂直平分 平分对角 中心对称 轴对称 典例分析 例1 已知:如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上. 求证:BE=DE. 证明: 四边形ABCD 是正方形, AB=AD,∠BAC=∠DAC. 又 AE=AE △AEB△AED BE=DE 利用正方形边长相等，对角线平分对角的性质证明三角形全等，继而得证BE=DE 典例分析 例2 已知:如图，在正方形ABCD 中， △BCE 是等边三角形. 求证:∠EAD=∠EDA=15 证明: 四边形ABCD 是正方形 AB=BC,∠ABC=∠BAD=90° △BCE 是等边三角形 BC=BE，∠EBC=60° AB=BE，∠ABE=∠ABC∠EBC==30° ∠BAE=∠BEA= ∠EAD=∠BAD∠BAE= 同理 ∠EDA=15° ∠EAD=∠EDA=15° 正方形 + 等边三角形→等腰三角形→利用等腰三角形性质求角 →与正方形内角作差得结论 即学即练 方法技巧 本题是典型的 “一线三垂直” 模型：直线 AD 上有三个直角，利用 “同角的余角相等” 快速构造全等三角形，是正方形中证明线段相等的高频模型 已知:如图，点 E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，AD 和CD 上，且EF⊥FG，AF=DG. 求证:EF=FG. 证明： 四边形ABCD是正方形 ∠A = ∠D = 90° ∠AEF + ∠AFE = 90° EF⊥FG ∠EFG = 90° ∠AFE + ∠DFG = 90° ∠AEF = ∠DFG 在△AEF和△DFG中 ∠A = ∠D， ∠AEF = ∠DFG， AF = DG △AEF △DFG(AAS) EF = FG 即学即练 方法技巧 先利用正方形性质，求出对角线与边的夹角 45°。 再利用菱形 “对角线平分内角” 的性质，得到角平分线关系，直接计算出目标角的度数 遇到 “正方形 + 菱形 + 求角度” 的问题，优先利用两种图形的对角线性质（平分内角），快速找到角的倍数关系，是这类题的核心解法 如图，正方形ABCD 的对角线AC为菱形AEFC的一边，求∠FAB 的度数 解： 四边形ABCD是正方形， ∠CAB = 45° 四边形AEFC是菱形， AF平分∠CAE 即 ∠FAB = ∠CAB。 ∠FAB = × 45° = 22.5° 课堂练习 1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　D　） A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 D 解：A项只有正方形符合 B项只有矩形和正方形符合 C项只有菱形和正方形符合 D项是菱形、矩形、正方形都具有的性质 课堂练习 2. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE，DE. 若∠CED＝70°，则∠ABE的度数为 ⁠. 25°　 解：∠CED=70° ∠ADE=70°45°=25° 易得△ADE△ABE ∠ABE=∠ADE=25° 课堂练习 3. 如图，在正方形ABCD中，G是边BC上任意一点，连接AG，过点 B，D分别作BF⊥AG，DE⊥AG，垂足分别为F，E. 若DE＝8，BF ＝6，则EF的长为 ⁠. 2　 解：∠BAF+∠DAE=90° ∠BAF=∠ADE 在△ADE与△BAF中 △ADE△BAF AF=DE=8，AE=BF=6 EF=AF-AE=8-6=2 课堂练习 4. 如图，E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB， EA，延长BE交边AD于点F. （1） 求证：△ADE≌△BCE； 解：（1） 四边形ABCD是正方形， ∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝DC. △CDE是等边三角形， ∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝DC. ∠ADE＝∠ADC－∠CDE＝30°，∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝30° ∠ADE＝∠BCE. 在△ADE和△BCE中， △ADE△BCE 课堂练习 （2） 求∠AFB的度数. 解：（2） AD＝BC＝DC，DE＝CE＝DC BC＝CE ∠CBE＝∠CEB ∠BCE＝30° ∠CBE＝∠CEB＝ （180°－∠BCE）＝75° 四边形ABCD是正方形 AD//BC ∠AFB＝∠CBE＝75° 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $