山东青岛西海岸新区2025-2026学年高一下学期期中学业水平检测数学试题

**基本信息** 高一数学期中卷聚焦立体几何、向量、解三角形核心内容，融入婆罗摩笈多结论等数学文化与游船航行等实际情境，考查直观想象、逻辑推理及数学应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|斜二测画法、向量夹角、复数方程|第7题以婆罗摩笈多结论考查四边形面积最值，体现文化传承| |多选|3/18|截面图形、向量性质|第9题探究正三棱锥截面形状，发展空间观念| |填空|3/15|复数分解、游船航行|第13题游船航行问题，强化数学应用与数学语言表达| |解答|5/77|复数运算、解三角形面积、正n边形向量综合|第19题结合单位圆与正n边形，考查向量证明与运算，突出逻辑推理|

2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1--8： D C B A C B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．ABC 10．BC 11．ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．； 13．； 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解：（1） 4分 所以 6分 （2）因为复数是纯虚数，所以设， 则，得， 9分 ，解得，因为，所以， 在复平面对应的点的坐标为 13分 16．（15分） 解：（1）因为，由正弦定理得 2分 即 所以 因为，所以 因为，所以 7分 （2） 9分 由余弦定理得 11分 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立 所以，即 13分 所以，故的面积最大值为 15分 17．（15分） 解：（1）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系如图所示： 则，，，，，， 2分 ， 则， 又因为， 所以， 解得，，则 7分 （2）设， 则，． 所以 12分 函数的对称轴为， 所以时，的最小值为 15分 18．（17分） 解：（1）由正弦定理得，即，所以 因为，所以或 2分 当时，， 当时，， 所以或 7分 （2）证明： 9分 由正弦定理得，所以 11分 所以 12分 （3）法一： 由（2）知 14分 所以，因为，所以 所以 17分 法二：由（2），对任意都成立 令代替，，则 化简得， 14分 由（2）知， 所以，因为，所以 15分 所以 17分 19．（17分） 解：（1）所以时， 因为是单位圆的内接三角形，所以为的重心，所以 所以为定值，与的位置无关 4分 （2）考虑到正多边形中心与正多边形各个顶点之间的连线所夹角均相等，可知每相邻三个顶点与正多边形中心的连线恰好构成一组角与其角平分线，故可以得到以下式子： ，，，…… 求和得知，即 由普遍性可知，不恒为，所以 12分 （3） 由题意，，由（2）知， 所以 17分 高一数学参考答案 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测 高一数学试题 2026．05 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用斜二测画法画一个边长为的正方形的直观图，则此直观图的面积为 A． B． C． D． 2．已知向量的夹角为，，，则 A． B． C． D． 3．已知是关于的方程的一个根，则实数的和为 A． B． C． D． 4．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．已知向量在上的投影向量为，且，则 A． B． C． D． 6．已知等腰直角三角形底边长是，该三角形绕其底边旋转一周得到一个旋转体，用垂直于底边的 平面去截此旋转体，则所得截面面积最大值为 A． B． C． D． 7．印度数学家婆罗摩笈多对凸四边形进行研究时，总结出如下结论：“若给定凸四边形的四条边长， 当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大”．在凸四边形中，若，，则四边形面积取得最大值时角的大小为 A． B． C． D． 8．在中，为边上靠近点的三等分点，为边上一点，若，则 的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是 A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 10．已知向量，则 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若夹角为钝角，则 11．如图，是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则 A． B． C． D．与夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．在复数范围内可将多项式分解成一次因式的积，若，请尝试分解：_________． 13．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，水流的速度为向东，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，方向为北偏西，则游船到达对岸的时间为________． 14．已知分别为三个内角的对边，，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数． （1）求； （2）若复数是纯虚数，且满足，求在复平面内对应点的坐标． 16．（15分） 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17．（15分） 如图，在直角梯形中，，，，为上一点，且． （1）若，求的值； （2）若是上一点，求的最小值． 18．（17分） 已知分别为三个内角的对边，设． （1）若，，，求； （2）证明：； （3）若，，求的值． 19．（17分） 已知正边形的顶点在单位圆上. 记. （1）若，为圆上任意一点，判断的值与的位置是否有关？并说明理由； （2）证明：； （3）若点满足，求的值. 高一数学试题 第 2 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $