精品解析： 山东省青岛实验高级中学（山东省青岛第十五中学）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

青岛实验高中2024-2025学年度第二学期 第三学段质量检测 高一数学试卷 命题人：邱瑶 审核人：于照 2025年5月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量加法求出，再利用向量共线的性质列出等式，最后求解. 【详解】已知，，则. 因为，，三点共线，所以与共线.可得. 即.等式两边同时除以（因为，若，则，此时），得到. 故选：B. 3. 圆锥的底面半径为，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍， 因为圆锥的底面半径为a，故圆锥的母线长为2a，故圆锥的侧面积，故选A. 4. 已知点是的外心，，若，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】取边的中点，则.由题中条件分析可知点与点重合，为的中点.根据点是的外心，可得，利用向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】取边的中点，则. ∵，∴，即，∴点与点重合，为的中点. 又∵点是的外心，∴是以为斜边的直角三角形，∴. ∵，，∴，解得. 故选：D. 5. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，求出四边形的面积，然后根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】解：根据题意，四边形为矩形， 因为，所以， 所以矩形的面积为， 所以直棱柱的体积为. 故选：C. 6. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 7. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用水的体积不变计算可求解. 【详解】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示逐一判断即可. 【详解】选项A：，，所以，A正确； 选项B：，所以，B错误； 选项C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误； 选项D：向量在向量上的投影向量为，D正确； 故选：AD 10. 下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】由点线面的关系，结合平面的基本性质判断A、B、C的真假，根据圆锥的性质及三角形面积公式，知：面积最大的截面为母线夹角最大，即知D的真假. 【详解】A：且为不同的三个点，若为不同平面且，，，，则，则为异面直线与题设矛盾，故为同一平面，正确； B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误； C：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，错误； D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面，若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误； 故选：BCD 11. 如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量运算求得，，然后利用结合数量积运算律建立方程求解判断C，由向量线性运算得，然后结合数量积的运算律及模的运算求解判断D，利用平面向量基本定理和三点共线的向量推论求得判断A，利用向量的线性运算求得判断B. 【详解】因为，， 所以 ，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确； 设，则，又三点共线， 所以， 由平面向量基本定理得，解得，所以， 则， 所以，故A正确，B错误. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，由求解. 【详解】因为向量，对应的复数分别是，， 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题. 13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3. 【答案】 【解析】 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为： 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 【答案】40 【解析】 【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案. 【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到、，根据和的虚部为2联立方程组解出、，再根据复数在复平面上对应点在第一象限得到复数； （2）分别求出、，得到点、、的坐标，求出. 【小问1详解】 设，，， 由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以. 【小问2详解】 ，，， 所以对应的点，，，从而，，. 16. 为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）海里 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，再中，利用正弦定理，即可求解； （2）根据题意求得，在中，由余弦定理求得，再在中，利用余弦定理求得，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，在中，，，且海里. 可得， 又因为，所以， 由正弦定理，可得. 【小问2详解】 因为，且，， 可得，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得， 即（海里）所以间的距离为海里. 17. 设的内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的值； （2）若，．，边上的两条中线，相交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，再利用余弦定理求解； （2）法1：由，，利用余弦定理求得边a，再利用中线长公式求得MC，BN，由是的重心，得到MP，NP，在中，利用余弦定理求解；法2：利用向量法，由，，利用夹角公式求解；法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系，利用夹角公式求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以由正弦定理得：， 整理得：， 所以， 又因为， 所以； 【小问2详解】 法1：因为，， 所以， 由中线长公式知：，， 得，， 又因为是的重心， 所以，， 连结，则， 在中，； 法2：（向量法），， ， ， ， 故，同理得， 所以； 法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系， 则，，， 所以，， 所以 18. 蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚊虫密度值的数据如下表； 2 5 8 11 42 82 42 2 （1）从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由； （2）在（1）的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式； （3）今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？ 【答案】（1），理由见解析 （2） （3）月 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性即可选出适合. （2）根据数据判断，得到，再利用最大值与最小值即可求出， 再代入特殊点进去即可求得解析式. （3）利用三角函数的单调性与周期性即可得到结果. 【小问1详解】 适合. 当与时，，而，且与，且均为单调函数， 所以适合. 【小问2详解】 由5月份蚊虫最多，11月份最少，得，所以，得， 由，得， 所以，将代入得， 即，又，所以， 故. 【小问3详解】 令，得， 即，得， 又，故， 即养殖场应准备在月采取灭蚊措施. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 即. 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛实验高中2024-2025学年度第二学期 第三学段质量检测 高一数学试卷 命题人：邱瑶 审核人：于照 2025年5月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 圆锥的底面半径为，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是 A. B. C. D. 4. 已知点是的外心，，若，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 11. 如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________. 13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3. 14. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 16. 为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 17. 设的内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的值； （2）若，．，边上的两条中线，相交于点，求． 18. 蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚊虫密度值的数据如下表； 2 5 8 11 42 82 42 2 （1）从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由； （2）在（1）的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式； （3）今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？ 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $