江西南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高一数学 命题人：谢妹颖审题人：张志明 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求) 1.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b2-c2=-√3ab,则C=() A.3 2π B. C. D.π 6 2.要得到函数)=3n2x+孕到)的图象，只需将y=3n2x的图象（） A.向左平移无个单位 B.向右平移个单位 8 C.向左平移死个单位 D.向右平移”个单位 4 3.如图，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=() A. B+AC B.-54B+1AC 61 6 6 6 c C. D.-S4B+C 3 6 4.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,满足OA-4OB+3OC=0,则BC在AC上的投影向量为() A.AC B.ic C. D.-4C 2 5.如图，在边长为2的正五边形ABCDF中，AF·AB+BC)=() A.2 B.4 2π B.4sin 5 D.6sin 2 5 6.在△4BC中，若3b=23 asin B,cosA=cosC，,则△4BC形状为() A.等腰但不等边三角形B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7.已知函数)=如a+X0>0,若方程/()=号在@刘上恰有两个不同的实靓则@的取值 范围为() 2 c.(2 D.(2 高一数 AB AC 8.已知非零向量AB与AC满足 AB BC=0,且AB-AC=22,AB+AC=4V2,点D是 AC △ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为() A.-1 B.-1 4 c.-I 5 D.-2 5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数()=cos0r-到引。>0)的最小正周期为，则(） A.0=2 B. 2 C.f)的图象关于点（任0对称 D.(✉)在0上的最小值为 10.下列说法中正确的是（) A已知向做后与华位向同向，且4心-月，叶5同，见一(5到 B.若△4BC是钝角三角形且4=k,b=k+2,C=k+4,则实数k的取值范围为(0,6) C.已知AB=(2V3,2),AC=（-1,-V3),则AB在AC上的投影向量的坐标为(V3,3 D.0是AMBC所在平面内一点，若40=；B+号C,则△1B0的面积是AMC0的面积的2倍 5 11.如图，△ABC是边长为2V3的等边三角形，O是△4BC的外接圆圆心，延长AO与BC交于点D, P是外接圆上一点，则() A.AP的最大值为4 B.AB.DB=3 C.BO=IBA+2BD D.当AP.AB取最大值时，A,D,P三点共线 3 B 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 已知[， 12. 则不等式2sinx+1≥0的解集为 13.在△ABC中，C=30°，c=2,b=x,若满足条件的△4BC有两个，则x的取值范围是 14.在梯形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，AB=2CD=3,AD=2,若EF在线段AB上运动，且 EF=1,则CE.CF的最小值为· 学第1页 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15.(13分)已知平面内三个向量a=(1,3),b=(-1,2),c=(2,1) (I)若a+kc)/(2b-a,求实数k的值： (2)已知teR,求a+tb的最小值， 16.(15分)已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C; (I)求角A的大小： (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且b=4,C=5,求AD的长度. 17.(15分)已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,V3b),n=(cos m/n· (1)求角A; (2)若a=√21，b=4,求△4BC的面积： (3)若a=4,求△ABC周长的取值范围. 18。(17分)如图，已知函数f()=2sin(or+p)o>0,o<号的图象过点4(0，)和 B(x,-2)(x>0), 且满足AB=√3. (I)求f(x)的解析式： (2)求∫(x)的递增区间和对称轴方程： 6当x[时 求函数f(x)值域. 19.(17分)如图，设Ox,Oy是平面内相交成a(0<a<)的两条射线，g,e,分别为Ox,Oy同向的 单位向量，若向量OP=x+y吧，，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系a-xOy中的坐标，记为 OP=(xy). e ,sinB)且 (在斜坐标系胥0中，0M=(65列，求oM: ②在斜坐标系a-0中，0P=(2,00=.-,且0n与00的夹角0=骨 ①求a; ②4，B分别在射线Ox,O上，1HB=3,E,F为线段HB上两点，且AE=B,AF=B,求 3 3 OE.OF的最小值. 高一数学第2页 2025-2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高一数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D A B A A D AC ACD ABC 12. π7π 66 13.x∈(2,4) 14. 513.75 15. 【详解】(1)因为a+kc=(1+2k,3+k),2b-a=(-3,1), 又(a+kc)/(2b-a, 所以1×(1+2k)[-3(3+k)]=0,即-3(3+k)=1+2k,解得k=-2. (2)因为a+tb=(1,3)+t(-1,2)=(-t+1,2t+3), 所以a+=V-1+12+(21+32=V5t+02+5≥V5, 所以当t=-1时，a+b取最小值5. 16. 【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理及2 asin A=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得： 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,化简可得：b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理得c0sA=。2bc=2,又0<A<π，所以A=27 3 (2)AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC= 3 由SMBc=S.ABD+S,cD可得 x ADxsinbx ADxsin I bcsin 27=1c 32 因为5=4，c=5,即有20-5D+44D,放D-。 17. 【详解】(1)因为向量m=(a,V3b),n=(cosA,sinB)且m/m,所以asin B=V3 bcosA. 高 又由正弦定理得sin Asin B=√3 sin BcosA,因为sinB>0,所以tanA=√5 又因为0<4<，所以4=骨 (2)因为△ABC中，a=2i,b=4,由(D知4-号由余弦定理a2-+c2-2 abecs, 即21=16+c2-4c,所以c2-4c-5=0,解得c=5或c=-1(舍去). 所以△1c的面积5-cm1方45x5-55 ^2 (3)由(1)知A-骨且a=4,由余弦定理G=+2-2ccsA, 得16=+c-c=6+e-c≥b+-b9-b+e, 即(b+c)2≤64，b+c≤8，当且仅当b=c时等号成立. 所以b+c的最大值为8. 又b+c>4 △4BC的周长取值范围为(8,12] 18. 【详解】(1)由A(0,1),B(x,-2)(x>0),AB=V3,得x6+9=13,x>0,则x。=2 又o)-1,即sn(o)24<号得p-君 61 由f(2)=-2,得sin2o+卫 62，解得0= +π-3π 2π 根据图象可知2o 3 (2) 25x+[-+2+2 36L2 2πx= 2+2kπ，31 3xL +2kπ xe-1+3k.+3kkeZ :八)的递将区间为-1+3站+3keZ 数学第3页 令2πx+见=7+kz x+ 362 解得x=)+k,kE2 22 因此函数∫(x)的对称轴为x= 22 (2x+e[0,, 闭=2n（行+引e62小.即/e)的值线为2斗 19. 【详解】(1)因为OM=(6,5),所以0M=6e,+5e, 所以0M=(6e+5e,)=36e+60e,·e,+25e,=91, 所以OM=91. (2)①因为0p=(2,1)=2g+6,00=(1,-1)=g-6, 所以o丽-2g+8可-5+46，og--e可-2-28e, 得到0P.00=(2g+8)8-6)=2-1-286+gg=1-g8, 0p.00 则cos0= 1-g82 1 0n-o@5+4ee2-2ge2' 化简并整理得2(g·6)-g·g-1=0, 解得gg=cosa=或6g=cosa=1（舍去)，则a ②依题意设OA=me,OB=ne,,(m>0,n>0), AE-AB 3 3 3 ne2 同理 AF= 3 3 3 3 则 (22 m2o2m 在△01B中，∠40B-5,A6=3,o=-mG=m,06=m吗=n, 依据余弦定理得cos∠AOB= +od-8时9 20A0B 2mn 整理得m+-9=-mn m2+n2=9-mn 所以 0E-0F= 2m2+2n2-5m 2m 1 5 18-2mn- (1-mn 9 ,m2+n2=9-mn≥2mn .mn≤3，当且仅当m=n=√3时等号成立 0丽0r-9*3月 即0E.0F的最小值为2 高一数学第4页