江西南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高二数学 命题人：揭芬芳审题人：叶淑英 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的。 1.在数列{an}中，a,=2,an1=an+n 则ao的值为() 101 A.2+ln99 B.2+ln100 C.2+ln101 D.2+In 2 2.己知公差为9的等差数列{an}的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则 数列{an}的项数为() A.20 B.40 C.60 D.80 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a,=-28,S=-100,则当Sn取最小值时，n=() A.6或7 B.7 C.8 D.7或8 4.已知数列{an}是等比数列，a>0,则“对任意的正整数n都有an<an+2”是“数列{an}是单调递增数列” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数f(x)=x+sinx在区间O,π]上的平均变化率为() A.1 B C.2 D.3 6.设f(x)是可导函数，且lim Ax>0 fI+3△)-f0=2,则f'0)=(） △x A.2 C.6 D.-2 7.已知函数f()-=sinx+f(o),则f5（) A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知过原点O的直线1与函数f(x)=x-3x-16的图象相切，则1的斜率为() A.7 B.8 C.9 D.10 高二数学 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列{an}的首项a=1,且a1=3an+2”,则下列结论正确的有（) A.42=6 B.数列{an}是递增数列 C.数列{an+2}是等比数列 D.an=2”+3” 10.下列求函数的导数正确的是() B.（x3-2+1'=3x2-21n2 C.(xsinx)'=sinx+xcosx 11.己知函数f(x)=2f'(1)lnx+x2,则() A.f'(1)=-2 B.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2x+y-3=0 C.f(x)恰有2个极值点 D.f(x)的图象与x轴恰有2个交点 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S=2,So-Ss=8,则S。= 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2Sn，,a,=2,则an= 14.函数f(x)=x3-2ax2+3x+1在区间[1,2]上单调递减，则实数a的取值范围为 四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 15.(本题13分)己知数列{an}满足4+ +号+学++异-2-1 (1)求{an}的通项公式： 1,1 ,1 (2已知b,=log6a,求hb,+b,4b.b +…+ 第1页 16.(本题15分)已知函数fx=x-ar2+1. (1)若曲线y=f(x)在点-1，f(-1)处的切线1与直线y=-。x垂直， 3 (2)讨论f(x)的单调性. 17.(本题15分)已知函数f(x)=x2-3x-2lnx. (1)求函数f(x)的极值： (2)求函数f(x)在1,4上的值域： （③)设g()=x2-3x+2-2,证明：f(x)≤g(x). 18.(本题17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若b,=2”an,求数列{bn}的前n项和Tn. (③)若对任意N,不等式系≤+口恒成立，且，“为帝数， 19.(本题17分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值. 求1的方程： (I)求函数f(x)的解析式 (2)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程. 6若（多3时，函数8(）=()-e有三个点，求c的取值范围 已知2=2，求4的最小值， 高二数学第2页 高二数学期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 答案 B B D C A B C C BC BC 题号 11 答案 AB 2,n=1 12.6 13. 2-,n≥2 14. 15.(1)an=6" (2) n+l 【详解】(1)当n=1时，a,=2-1=1 当n≥2时，4+号+学+是-2-1，且a+号+学+…+=-21-1 两式作差得品=2”-2=2，所以0，=6，显然a符合上式，a,=6 (2)根据(1)中的结果得，bn=log6an+1=l0g66”=n, 1s1 11 b,b1n×(n+l）nn+1’ 1.1 1 则 -十·十 bb2 bab bb -g…日 1、1 n+1 n n+1 16.(1)9x-3y+8=0 (2)当a=0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(-o,2a), (0,+∞)上单调递增，在(2a,0)上单调递减：当a>0时，f(x)在(-∞，0)，(2a,+∞)上单调递增，在 (0,2a）上单调递减. 【详解】(1Df()=r-2ax,则f-)=1+2a,因为f(-)×=-l,所以1+2a=3,得 a=1.又/=写1+1=写所以1的方程为y-3(x+)行即9-3y+8=0, (2)f'(x)=x2-2ax=x(x-2a). 高二数 当a=0时，f'(x)=x2≥0，则f(x)在R上单调递增. 当a<0时，令f'(x)>0,得x<2a或x>0,令f'(x)<0,得2a<x<0, 所以f(x)在(-o,2a),(0,+∞)上单调递增，在(2a,0)上单调递减. 当a>0时，令f'(x)>0,得x<0或x>2a,令f'(x)<0,得0<x<2a, 所以f(x)在(-oo,0),(2a,+oo)上单调递增，在(0,2a)上单调递减. 17.(1)极小值为-2-2ln2,无极大值(2)[-2-2ln2,4-4ln2] (3)证明见解析 【详解】(1)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 则f(x)=2x-3-2-2x2-3x-2_(2x+10(x-2) X 因x>0,故2x+1>0,令'(x)=0得x=2, 当x>2时，f'(x)>0,f(x)在(2，+∞)单调递增； 当0<x<2时，f'(x)<0,f(x)在(0,2)单调递减， 因此f(x)只有极小值，无极大值，且极小值为f(2)=-2-2l2,无极大值. (2)由(1)的单调性可知f(x)在[1,2]单调递减，在2,4单调递增， 因此最小值为f(2)=-2-2n2,计算区间端点值f()=-2,f(4)=4-41n2, 因为0<n2(1→f(4)=4-4ln2)0,所以f(4)>f(), 故f(x)在[1,4]上的最大值为f(4)=4-4ln2, 因此f(x)在[1,4]上的值域为[-2-2n2,4-4ln2]. (3)因为f(x)=x2-3x-2nx,g()=x2-3x+2-2, 由f(x)sg(),得x2-3x-2nx≤2-3x+2-2,即1mr+1-120, 令=+6>0.则w6闭--. 令h(x)<0,得0<x<1;令h'(x)>0,得x>1, 学第3页 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 则h(x)≥h()=lnl+1-1=0,即Ir+1-1≥0恒成立，所以f(x)≤g(x). 18.(1)an=2n-1(2)Tn=(2n-3)×2m+6 3)3 2 【详解】(1)当n=1时，a=S=1,当n≥2时，an=Sn-Sn1=n2-(n-1)2-2n-1, 显然41=1也满足an=2n-1,所以an=21-1. (2)由(1)知b,=2”an=(2n-1)2”, 则Tn=1×2+3×22+…+(2n-1)×2"①， 2Tn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2+1②， ①-②得-Tn=1×2+2×22++2×2”-(2n-1)×2, -Tn=2+2 2×40=2）-(2n-l2=-6+0-2m小x2,所以7.=(2m-3x2+6 1-2 9把红代入系-2-32+6-2n-3+6,已知1=2. )+ 2+1 所以系≤+u等价于2n-3+名≤2n+4,即公≥-3+ 2m,对任意n∈N恒成立， 所以(3+） 设a)=3+2名，显然a)递减，当n=1时，八m)取最大值/0=-3+氵 63 3 3 所以4之-2业的最小值 19.(1)f(x)=x3-3x:(2)9x-y-16=0: 【详解】(1)易知f'(x=3ax2+2bx-3, f'(1)=3a+2b-3=0 a=1 所以 /(-1)=3a-2b-3=0'解得 =0’ 经检验符合题意， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-3x: (2)由(1)可得f'(x)=3x2-3,所以f'(2)=9,又f(2)=2, 因此切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0 (3)易知f”(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)=0可得x=-1或x=1: 因此当xe(时，(k0,当xe(-或)时，f)>0: 所以函数()在(-)上单调递减，在(-或(L3)上单调递增， 易知（引8-）=2f0=-26)=18, 面出函数在x(名时的图象如下图所示。 y=f(x V=C 3 根据函数g(x)=f(x)-c有三个零点可知函数f(x)的图象与y=c有3个交点， 因此可得c的取值范围为 高二数学第4页