数学（福建卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学模拟卷，以稀土储量、泉州非遗等真实情境为载体，融合《九章算术》文化元素，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查代数、几何、统计核心知识，体现数学眼光观察现实、思维分析问题、语言表达规律的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、中心对称图形、科学记数法等|结合稀土储量考科学记数法，体现科技前沿| |填空题|6/24|反比例函数、概率、正方形翻折等|电路图概率题，联系实际生活情境| |解答题|9/86|圆的证明、抛物线综合、密码学应用等|第24题密码学情境，考查数学建模与运算；第25题圆综合，层次递进考查推理能力|

画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A 0 B C C D B A & 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11.-1(答案不唯一) 12名 13. 14.12 15.x≥1 16.2√10 三、解答题（本大题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 【详解】解：原式=2√5+3-√5-3…(6分) =√5.…(8分) 18. 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， ABI‖CD,AB=CD, LABE=∠F, :点E是AD的中点， AE=DE,…（(3分) 在△ABE和△DFE中， ∠ABE=∠F ∠AEB=∠DEF, AE=DE △ABE2△DFE(AAS),·(6分) .AB DF, 1/12 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DF=CD.…(8分) 19. 【详解】解：原式= a+34）.a2-2a+1 a+3a+3 2a+6 =a-1(a-102 a+32(a+3) -a-l×2(a+3) a+3(a-1)2 2 a-1:…(6分) 将a=V2代入，原武=2，=22+2…（8分) √2-1 20. 【详解】(1)证明：：AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE, 又：FE=BE,∠AEF=∠DEB, △AEF≌aDEB(ASA), ∴AF=DB, :AD是ABC中BC边上的中线， .DB=DC, .AF=DC, :四边形ADCF为平行四边形；…(4分) (2)解：DA=DC=5,DB=DC, CDA-DC=DB-BC BC-10 ·点A,B,C都在以BC为直径的圆上， ∴ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， .AB=BC2-AC2 =8 Sc=24B1C=2×8×6=24.…(8分) 21. 【详解】(1)解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下： 第一次第二次 2 2 乘积 2/12 画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积a=2(即获得8折优惠)的结果有8种 82 所以获得8折优惠的概率为 …(4分) 123 (2)解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为：300-66=234（元） 若颗客选择方案二，由（1)可知：P10=-名对应9折，实际付款300x09=270元 P(a=2=2 ，对应8折，实际付款300x0.8=240元 P0=46对应7折，实际付意300x0,1=20元 方案二的平均实际付款为：2×270+名×240+2×210=45+160+35=240（元） 6 3 6 因为234<240， 所以顾客选择方案一更为实惠.…(8分) 22. 【详解】(1)解：如图①，点E即为所求作；…(4分) D 图① 理由如下：：∠ABE=∠DCM,∠BCD+∠DCM=I80°， :∠ABE+LBCD=180°； (2)证明：如图②，过点B作BF⊥CE交EC的延长线于点F, 3/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 1111111 E H 个y F 图② .∠BFC=90°， :∠BCE=135°， ∴∠BCF=180°-∠BCE=45°， :BCF为等腰直角三角形， BF=CF,∠CBF=45°， 连接AF交BC于点H, AB=AC, .AF垂直平分BC, .∠BHF=90°， ·cos∠CBF=c0s450=BH=V2 BF 2 ∠BCE=135°， .∠ABE=180°-∠BCE=45°，即∠ABE=∠FBC, ∴LABE+LEBH=LFBC+∠EBH .∠ABH=∠EBF, :cos∠ABH=coS∠EBF, BH BF AB BE :.AB_BH BE BF2 BE=√2AB.…(10分) 23. 【详解】(1)解：：m=-1,n=1, M-1,1、N(1,1, 把M(-1,1,N(1,1分别代入y=-x2+bx+c, 1=-1-b+c 得 1=-1+b+c' 4112 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 b=0 解得c=2 y=-x2+2,…(4分) (2)解：“抛物线y=-x2+bx+c经过点M(m,m2)、N(n,n2), :m2=-m2+bm+c,n2 =-n2+bn+c, 整理2m2-bm-c=0,2n2-bn-c=0 即m,n是方程2x2-bx-c=0的两个实数根， 由韦达定理得m+n=-b_b 221 :b=2(m+n),c=-2mn, .y=-x2+2(m+n)x-2mn 令y=0时，则0=-x2+2(m+nx-2mn, 解得x= -2(m+m)±V[2(m+m)]'-4x-lx(-2mm =(m+n±Vm+n-2mn, 2×(-1 X<XB, :.x=(m+n)-(m+n)2-2mn,xg=(m+n)+(m+n)2-2mn, 设K=V(m+m)2-2mm, K=(m+n)2-2mn =Jm2+n2+2mn-2mn m2+n2, ..x=m+n-K,xg=(m+n+K, :.xa-m=(m+n)-K-m=n-K ;xa-n=(m+n)+k-n=m+K ”K=Vm2+n2, :m+n>0且m<n, .n>0 K=Vm2+n2≥√n2=n>0 则n-K≤0， :x-m =n-K =K-n, 5112 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则K=√m2+n>√m=m>0 K>m .K+m>0, 则xg-n=m+K=K+m, :m+n>0, ∴.1m>-n, .m+K>-n+K, 即K+m>K-n, 即xg-n>4-m,…(10分) 24. 【详解】(1)解：：a=2,b=5,将明文中字母H(m=8)转换成所对应的密文， 则S=2×8+5=21, 1<21<26, .21对应的字母是U, .明文中字母H对应的密文是字母； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W; .“H”加密后的密文是“UW”;…(3分) (2)解：根据题意可知S=am+b=3x2+b, :M对应的数是13， .6+b=13, 解得b=7;…(6分) 7a+b=15 (3)根据题意，得 3a+b=11 a=1 解得b=8 根据题意，得3a+b=1山 7a+b=15+26 解得a=7.5,不是整数，不符合题意， 6112 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 7a+b=15 根据题意，得3a+b=11+26 解得a=-5.5,不符合题意；…(9分) (4)解：：T和N对应的数是20,14，且a=1,b=8,设明文对应的数是x,y, .x+8=20,y+8=14, 解得x=12,y=6, :12对应的字母是L,6对应的字母是F, .密文“TN”解密获得的明文为“LF”.…(12分) 25. 【详解】(1)证明：如图1，连接EQ, ○ 图1 :∠AOE=∠CO0=90°， .∠AOE+∠DOQ=∠COQ+∠DOQ, 、.∠AO0=∠EOC, 0A=0E,00=0C, .△A0Q≌△E0C(SAS, .AO=EC, ·AQ=EC, :40-E0 EC-EO, .AE=CO, :.∠AQE=∠CEQ, :OT=ET, :AO-OT =EC-ET AT=CT;…(3分) 7112 色学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)证明：如图2，连接OS, S 图2 AS=EO, :AS+SE=E0+SE, :AE=SO, .∠AOE=∠S0Q=90°， :∠C00+∠S0Q=180°， 点C、O、S三点共线， .CS是00的直径， .∠CWS=90°， .CW⊥SW;…(6分) (3)解：①：当0Q与OE重合时，则∠AOE+∠CO9=180°， .点C、O、A三点共线， :AC是⊙0的直径， ∠AEC=90°. :∠CMB=60°， ∠MCE=30°， 设ME=a,则CM=2a,CE=√5a. ∠A0E=∠C0E=90°，A0=E0=C0, .LCAE=L0EA=LACE=∠0EC=45°， .AE=CE=√5a AM AE-ME=(3-1)a. BM=2AM=(25-2a, :BE=BM-ME=(23-3)a ǒ11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DE=DE, ∠EAF=∠BAE, AE=CE,∠AEC=∠CEB=90°， .△AEF≌△CEB(ASA), :EF EB=(213-1)a, ·tan∠DAE= F(25-34-2-5:…（10分) AE 3a ②如图3-1，设OE与CM交于点L,连接AL,BL,过K作KP⊥AC于点P,则∠CPK=90°， D M B 图3-1 当00与OE重合时，则∠AOE+∠COQ=180°， :点C、O、A三点共线， ∴.AC是⊙0的直径，OE垂直平分AC, ∠ADC=∠AEC=90°，AL=CL, :∠ACL=∠LAC, ∠AOE=∠C0Q=90°，0A=0E=0C, .∠CAE=∠AE0=LACE=L0EC=45°， :∠CMB=∠CAE+∠ACM=60°，∠CMB+∠MCE=90°， ∠ACL=∠LAC=15°， .∠LAM=∠CAE-∠CAL=45°-15°=30°， :LCME=∠LAM+LALM=60°， :∠LAM=∠ALM=30°， :AM LM, 如图3-2，取BM中点X,连接LX, 9112 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B E(O》 图3-2 .BM =2MX =2BX, 2AM BM .MX ML :∠CMB=60°， :△MLX是等边三角形， .MX ML =LX BX :点B、M、L在以X为圆心，BM为直径的圆上， .∠BLM=90°=LBLC, ∴∠MBL=∠LAB=30°， :AL=BL =CL, :△CBL是等腰直角三角形， ∴∠LBC=∠LCB=45°， .LBCE=LLCB-∠MCE=45°-30°=15°=∠BAD=∠ACM, :∠CAD=LCAE-∠BAD=45°-15°=30°， .LACD=60°， :0C=0D, :△OCD是等边三角形， ∴0C=CD=0D,∠C0D=∠CD0=60°， :aOCH≌△OCK(ASA, .CH=CK, :∠CPK=90°， ∠PCK=∠PKC=45°， .PK=CP, ∠HCF=∠FDH=30°， 1U/1 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 点C、D、F、H四点共圆， E(O) 图3-3 ∠ADC+∠CHF=180°， .LCHF=LGHF=90°， LCME=∠BAD+∠AGM=60°， .∠AGM=45°， ·∠FGH=∠AGM=45°， .∠FGH=LHGF=45°， ∴.GH=FH, L0CD=60°，∠0PK=90°， .∠0KP=30°， 0p0 设0P=x,则0K=2x, :PK=JOK2-OP2=(2x)2=x, :PC=PK=3x, CK=PC+PK)+)6x, :CK=CH=6x, 在RtCHF中，∠FCH=30°， :FH=CF,即cF=2, ∴.CH2+FH2=CF2, :(6x)+FH2=(2FH2, :FH=2x, 11/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴GF=V2FH=2x, S.com-S.MFK=S.com+S.cKu)-(S.mK+S.cku)=S.cok-S.cFu=3-3, .0CxPK-CHxFH-3-5 (PC+P)xPK-CHxFH-3- 5x+水5x-6xx=3-5 (3-V5x2=6-2W5 解得：x=√2（负值已舍去）， .GF=2V2, .GF的长为2√2.…(14分) 12/122026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 12. 13 15 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) D 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) C F D E B A 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) D 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) C 0好 W O. T o D 707 y B E E A M E(O) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 2．下列图案中，不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位．用科学记数法表示44000000为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的内接四边形的对角线经过圆心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．为弘扬泉州非遗文化，某校组织学生参与“妆糕人技艺进校园“实践活动，记录了6个小组完成一件作品的耗时《单位：分钟》：23，23，24，26，27，38．则这组数据的中位数是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 7．如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 10．已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______． 12．已知a、b是一元二次方程的两根，则______． 13．电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____．            14．如图，在中，．若，，则________． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点，则不等式的解集为______． 16．如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 21．（8分）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 22．（10分）如图，已知和射线，，． (1)在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，若，求证：． 23．（10分）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； 24．（12分）阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； (3)小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； (4)利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 25．（14分）已知中，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在上取一点，使，连接并延长，交圆于点，连接，求证：； (3)如图3，当与重合时，连接并延长，在延长线上取一点，连接交圆于点，连接，交于点，在边上有一点，连接，且满足：交于点，交于点，连接， ①求的值； ②当时，直接写出的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 12. 13. 15 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) E B 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) D E 的 A 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) D B 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) C C W D G E E A M S E(O) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．下列图案中，不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断，即可得解． 【详解】解：A、图形是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，不符合题意； C、图形是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，符合题意． 3．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位．用科学记数法表示44000000为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．如图，的内接四边形的对角线经过圆心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为的直径，得出，根据已知可得，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B． ，即选项B错误； C．，即选项C正确； D．，即选项D错误． 6．为弘扬泉州非遗文化，某校组织学生参与“妆糕人技艺进校园“实践活动，记录了6个小组完成一件作品的耗时《单位：分钟》：23，23，24，26，27，38．则这组数据的中位数是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】根据中位数的计算规则，对已排序的数据取中间位置两个数的平均数即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据已经按从小到大排序，共有个数据，数据个数为偶数，中位数为排序后第个和第个数据的平均数， 又∵第个数据为，第个数据为， ∴这组数据的中位数为． 7．如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的定义结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案． 【详解】解：如图：连接BE， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键 10．已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大， ∴ ∴ ∴写出一个符合条件的a的值为（答案不唯一）． 12．已知a、b是一元二次方程的两根，则______． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到，再利用通分把变形为然后整体代入的方法即可求解． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两根， ∴， ． 13．电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____．            【答案】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种， ∴同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率是， 14．如图，在中，．若，，则________． 【答案】12 【分析】根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：，， ， ， ， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方时的范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴不等式的解集为． 16．如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】设与交于点，延长交于点，过点作延长线于点，根据翻折的性质得到，证明，得到，设，，证明是等腰直角三角形，得到，推出，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设与交于点，延长交于点，过点作延长线于点， 在正方形中， ， ， 将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部）， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根，绝对值，负整数指数幂，再加减即可． 【详解】解：原式……（6分） ．……（8分） 18．（8分）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ，……（3分） 在和中， ， ，……（6分） ， ．……（8分） 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据分式混合运算进行化简，再将数值代入，分母有理化进行求值． 【详解】解：原式 ；……（6分） 将代入，原式……（8分） 20．（8分）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、三角形中线的定义得到，根据平行四边形的判定即可得到结论； （2）证明是直角三角形，且， 根据直角三角形的性质和勾股定理求出相应的边长，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；……（4分） （2）解：∵，， ∴，， ∴点A，B，C都在以为直径的圆上， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴．……（8分） 21．（8分）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 【答案】(1) (2)选择方案一更为实惠 【分析】（1）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，数出获得8折优惠的结果数，根据概率公式计算概率即可； （2）分别计算方案一的实际付款金额，和方案二的平均实际付款金额，比较大小后即可判断哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下： 第一次第二次    乘积 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积（即获得8折优惠）的结果有8种． 所以获得8折优惠的概率为．……（4分） （2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为： （元） 若顾客选择方案二，由（1）可知： ，对应9折，实际付款元 ，对应8折，实际付款元 ，对应7折，实际付款元 方案二的平均实际付款为： （元） 因为， 所以顾客选择方案一更为实惠．……（8分） 22．（10分）如图，已知和射线，，． (1)在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长，作出，与的交点即为点E； （2）过点B作交的延长线于点F，推导出为等腰直角三角形，得到，，连接交于点H，推导出垂直平分，得到，继而推导出，得到，则，得到，可推导出，即可解答． 【详解】（1）解：如图①，点E即为所求作；……（4分） 理由如下：∵，， ∴； （2）证明：如图②，过点B作交的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 连接交于点H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．……（10分） 23．（10分）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）结合，得、，再运用待定系数法进行解方程，得，即； （2）把点、分别代入，整理得是方程的两个实数根，根据韦达定理得，然后运用求根公式得，，再分别化简，又因为，得，即，即， 【详解】（1）解：∵， ∴、， 把，分别代入， 得， 解得， ∴，……（4分） （2）解：∵抛物线经过点、， ∴ 整理 即是方程的两个实数根， 由韦达定理得， ∴， ∴ 令时，则， 解得， ∵， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴ ∵， ∵且， ∴ ∴ 则， ∴ 则 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 即，……（10分） 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，一元二次方程的根与系数，一次函数的其他应用，勾股定理，两点间的距离公式，公式法求一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，难度中等，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（12分）阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； (3)小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； (4)利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【分析】（1）根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； （2）先确定M对应的数，再结合计算方法求出b即可； （3）根据要求列出方程组，求出符合题意的解； （4）根据（3）中两个密钥，再根据计算要求解答． 【详解】（1）解：∵，，将明文中字母H（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是U， ∴明文中字母H对应的密文是字母U； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W； ∴“”加密后的密文是“”；……（3分） （2）解：根据题意可知， ∵M对应的数是， ∴， 解得；……（6分） （3）根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得，不是整数，不符合题意， 根据题意，得， 解得，不符合题意；……（9分） （4）解：∵T和N对应的数是20，14，且，，设明文对应的数是x，y， ∴，， 解得，， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“”解密获得的明文为“”．……（12分） 25．（14分）已知中，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在上取一点，使，连接并延长，交圆于点，连接，求证：； (3)如图3，当与重合时，连接并延长，在延长线上取一点，连接交圆于点，连接，交于点，在边上有一点，连接，且满足：交于点，交于点，连接， ①求的值； ②当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)①；②的长为． 【分析】（）连接，先证明，所以，则，所以，由圆周角定理得，然后通过等角对等边得，再通过线段的和与差即可求证； （）连接，由，则，所以，得，则点三点共线，所以是的直径，故有，从而得； （）①先证明点三点共线，是的直径，设，则，，进而求出， ，，，证明得，然后根据正切定义求解即可； ②如图，设与交于点，连接，，过作于点，则，点三点共线，得，如图，取中点，连接，证明是等边三角形，所以，证明，又，则点四点共圆，设，则，则，，通过勾股定理可得，由，然后代入求出，则． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；……（3分） （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴是的直径， ∴， ∴；……（6分） （3）解：①∵当与重合时，则， ∴点三点共线， ∴是的直径， ∴． ∵， ∴， 设，则，． ∵，， ∴， ∴ ∴． ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；……（10分） ②如图，设与交于点，连接，，过作于点，则， 当与重合时，则， ∴点三点共线， ∴是的直径，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取中点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在以为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：（负值已舍去）， ∴， ∴的长为．……（14分） 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 2．下列图案中，不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位．用科学记数法表示44000000为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的内接四边形的对角线经过圆心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．为弘扬泉州非遗文化，某校组织学生参与“妆糕人技艺进校园“实践活动，记录了6个小组完成一件作品的耗时《单位：分钟》：23，23，24，26，27，38．则这组数据的中位数是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 7．如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 10．已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______． 12．已知a、b是一元二次方程的两根，则______． 13．电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____．            14．如图，在中，．若，，则________． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点，则不等式的解集为______． 16．如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 21．（8分）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 22．（10分）如图，已知和射线，，． (1)在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，若，求证：． 23．（10分）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； 24．（12分）阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； (3)小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； (4)利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 25．（14分）已知中，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在上取一点，使，连接并延长，交圆于点，连接，求证：； (3)如图3，当与重合时，连接并延长，在延长线上取一点，连接交圆于点，连接，交于点，在边上有一点，连接，且满足：交于点，交于点，连接， ①求的值； ②当时，直接写出的长． 2 / 6 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $