题型十二 创新题-（Word试题版）2026年中考数学真题分类汇编分层练

**基本信息** 初中数学创新题汇编，精选2023-2025年多地中考真题，涵盖综合实践、项目式学习、教材回归三大类型，以洗衣节水、莲叶疏水性、传统板凳等真实情境为载体，考查数学建模与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |综合实践题|3道|浓度计算、几何作图、二次函数应用|结合生活实践（洗衣节水策略）与自然现象（莲叶疏水性），需建立数学模型解决问题| |项目式学习题|2道|一次函数、数据分析|以618购物车运输、传统板凳结构为项目背景，考查数据处理与方案设计| |回归教材题|1道|菱形判定与性质|源于教材定理证明（对角线垂直的平行四边形是菱形），延伸应用拓展|

题型十二 创新题 类型1 综合实践题 1．（2024广西）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中，分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度，为单次漂洗所加清水量（单位：）． 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%． 【动手操作】请按要求完成下列任务： （1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？ （2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ （3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 2．（2025扬州，有改动）【材料的疏水性】 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，如图①，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图②所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角，图②中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图③中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （2）材料的疏水性随着接触角的变大而________（填“变强”“不变”或“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径（），求出的度数，进而求出接触角的度数（如图④）． （3）请探索图④中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图④中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 3．（2024山西）综合与实践 问题情境：如图①，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图②，，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与点，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完材料，需确定与的长．为此，欣欣在图②中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图②中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式． （2）求材料恰好用完时与的长． （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图②设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．请直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 类型2 项目式学习 4．（2024深圳，有改动） 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图①，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车 素材 上图为某商场叠放的购物车，图②为购物车叠放在一起的示意图．若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 问题解决 任务1 若该商场采购了辆购物车，求车身总长（单位：）与购物车辆数的表达式 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，则直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车 任务3 在任务2的条件下，若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，现要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案 5．（2024吉林）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中，的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 类型3 回归教材 6．（2023江西）【课本再现】 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【定理证明】 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图①），并写出了“已知”和“求证”．请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形． 【知识应用】 （2）如图②，在中，对角线和相交于点，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 讲评式解析 题型十二 创新题 1．解：（1）依题意，得，． 将其代入浓度关系式，得，解得． 检验：当时，． 故是原分式方程的解． 答：需要清水． （2）． 第一次漂洗后浓度：． 第二次漂洗后浓度：． 答：进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）示例：达到相同的清洗效果，分两次漂洗更节约水（合理即可）． 2．解：（1）如图①． ①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，，连接，； ②分别作，的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，即为所求． （2）变强 （3）．理由如下： 如图②，连接，则，． 为的切线，，． ，． ，， ． （4）示例：设水滴弧的长度为，圆心角为，半径为． 水滴弧的长度为，， 可以根据的大小进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强． 3．解：（1）建立平面直角坐标系如图①所示． 所在直线是的垂直平分线，且， ，点的坐标为． ，点的坐标为． 点是抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为． 点在抛物线上，，， 抛物线的函数表达式为（）． （2）点，在抛物线上，设点的坐标为． ，且交轴于点， ，，． 在中，，， （点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ． 材料恰好用完，，， 解得，（不符合题意，舍去），， ，． 故的长为，的长为． （3）． 【解析】（3）如图②，设矩形灯带为． 由，，得，直线和的表达式分别为，． 设，，，， 则矩形的周长为 ． 故当时矩形周长有最大值，最大值为． 4．解：任务1 一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加， ． 任务2 已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车， ，解得，一次性最多可以运输18辆购物车． 任务3 设使用次扶手电梯，则使用次直立电梯． 根据题意，可列方程，解得． 为整数，且，．故共有四种运输方案． 5．解：（1）它们在同一条直线上． 设，则解得 这条直线所对应的函数解析式为． （2）当时，，解得， 当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是． 6．解：（1）证明：四边形是平行四边形，． 又，是的垂直平分线，，是菱形． （2）①证明：四边形是平行四边形，，，， ，． 在中，，， 是直角三角形，且，，是菱形． ②由①知，四边形是菱形，． ，． ，，． 如图，过点作交于点．， ，，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $