题型十 二次函数的综合题-（Word试题版）2026年中考数学真题分类汇编分层练

**基本信息** 精选2023-2025年多地区中考真题，聚焦二次函数综合应用，涵盖线段、面积、角、特殊图形存在性等6类探究题型，梯度设计适配中考复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |二次函数综合题|9题|含解析式求解（如2025凉山题）、线段最值（2023全昌题）、面积关系（2023泸州题）、特殊三角形/四边形存在性（2025青海/西宁题）等|以动态几何（动点运动）、分类讨论（如2025南充题钝角条件）为核心，融合数形结合思想，真题情境真实，适配中考命题趋势|

题型十 二次函数的综合题 类型1 与线段有关的问题探究 1．（2023全昌）如图①，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． （1）求抛物线的表达式． （2）当时，请在图①中过点作交抛物线于点，连接，．判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图②，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 2．（2025凉山）如下图，二次函数的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点在直线下方的抛物线上运动，求点到直线的最大距离． （3）动点在抛物线的对称轴上，作射线．若射线绕点逆时针旋转90°与抛物线交于点，是否存在点使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型2 与面积有关的问题探究 3．（2023泸州）如下图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于，，三点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的解析式． （2）点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、直线交于点，． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标． 类型3 与角有关的问题探究 4．（2025大庆）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． （1）求二次函数的表达式． （2）判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由． （3）点为轴上的一个动点，且为钝角．请直接写出实数的取值范围． 5．（2025南充）抛物线（）与轴交于，两点，是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标． （2）如图①，抛物线上两点，．若，求的值． （3）如图②，点．如果不垂直于轴的直线与抛物线交于点，，满足．探究直线是否过定点．若直线过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 类型4 与特殊三角形存在类有关的问题探究 6．（2025青海）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）①求点的坐标； ②当时，根据图象直接写出的取值范围：________． （3）连接交轴于点，在轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 类型5 与特殊四边形存在类有关的问题探究 7．（2025西宁）如下图，在平面直角坐标系中，以为顶点的抛物线的解析式为（），点的坐标是，以原点为中心，把点顺时针旋转90°，得到点． （1）直接写出点的坐标和抛物线的对称轴． （2）当时，有最大值，求抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，若点在轴上，点在坐标平面内，是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型6 与二次函数性质有关的问题探究 8．（2025扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与，分别交于点，，与轴交于点． （1）求，的值． （2）当点在线段上时，求的最大值． （3）设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有________个；当时，对应的值有________个；当时，对应的值有________个；当时，对应的值有________个． 9．（2025北京）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示． （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 讲评式解析 题型十 二次函数的综合题 1．解：（1）抛物线过点， ，， 抛物线的表达式为． （2）如图①，作交轴于点，交抛物线于点，连接，，． 四边形是平行四边形．理由如下： 点在直线上，，． ，， ，，． ，， ． 当时，， ，． 轴，轴，， 四边形是平行四边形． （3）如图②，连接，在上方作，使得，，连接． 由（2）可知，，， ，． ，，， ，，， 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为． ， ． 故的最小值为． 2．解：（1）二次函数的图象经过，，三点， 抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为（）． ，， 直线的解析式为． 如图①，过点作轴交于点，连接，． 设（），则，． ， ， 当取最大值时，取最大值． ，，， 当，即时，取最大值，最大值为， 的最大值为． ，，． 在中，． 设点到直线的距离为， ，． 当取最大值时，取最大值，的最大值为， 点到直线的最大距离为． （3）存在点使，此时点的坐标为或． 【解析】（3）如图②，当点在轴下方时，设抛物线对称轴交轴于点， 过点作交直线于点． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，，． ，． 设点的坐标为，则． 由旋转的性质可得． 又， ，． 又，， ，，， 点的横坐标为，纵坐标为，． 点在抛物线上，， 解得，（舍去），此时点的坐标为； 如图②，当点在轴上方时，过点作轴， 分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， ．由旋转的性质可得， ，． 又，， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，． 点在抛物线上，， 解得，（舍去），此时点的坐标为． 综上所述，存在点使，此时点的坐标为或． 3．解：（1）由题意得解得 抛物线的解析式为． （2）令，解得，， 点，的坐标分别为，． ①设． 由点，的坐标得，直线的解析式为．① 当时，， ，． 由点，的坐标得，直线的解析式为．② 联立①②得， 解得，． 由点，的坐标得，． ，，解得（舍去），． 经检验，是分式方程的根，的长为． ②如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，． ，，同高， 其面积比为边的比，即． ，，与轴分别垂直，， ，， ， 即，整理得． 由（2）①知，，，则，解得（负值已舍去）． 经检验，是分式方程的根，点的坐标为． 4．解：（1）二次函数图象的对称轴为轴，． 二次函数图象经过原点，，． 将代入，，解得， 二次函数的表达式为． （2）直线与二次函数的图象的公共点只有一个．理由如下： 如图，设延长交轴于点，延长交轴于点，直线与轴的交点为． 设直线的表达式为，，解得， 直线的表达式为，． ，． ，， ，，． 平分，． ，，，． 在中，，， ，，． 设直线的表达式为，解得 直线的表达式为． 当时，整理得，， 直线与二次函数的图象的公共点只有一个． （3）的取值范围是． 【解析】（3）当时，解得，， ．设线段的中点为． ，，． 当时，，， 解得，， 当时，为钝角． 5．解：（1）把代入，解得， 抛物线的解析式为． 令，则，解得，，． （2），是抛物线顶点，． 设直线的解析式为． ，，解得 直线的解析式为． ，可设直线的解析式为． 由题意，得，， 且，解得． （3）设直线的解析式为，直线与抛物线相交于点，． 联立得， ，． 如图，分别过点，作，，垂足分别为，， 则，，，． ，， 即，， ， ， ， ，． 直线不垂直于轴，，，， 直线的解析式为． 无论为何值，存在，使等式成立，直线过定点． 6．解：（1）将，代入（）得， 解得抛物线的解析式为． （2）①令，则， 解得，，点的坐标为． ② （3）符合条件的点的坐标为或． 【解析】（3）设点的坐标为． ，，， ，． 分以下两种情况讨论： ①当为斜边时，， ，解得，； ②当为斜边时，， ，解得，． 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 7．解：（1），抛物线的对称轴为直线． （2）抛物线的对称轴为直线，， 当时，随的增大而减小． ，当时，有最大值，为， ，抛物线的解析式为． （3）点的坐标为或． 【解析】（3）， 当时，，． 设，．由（1）知． 分三种情况讨论： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，，轴，轴，，； ②当以为对角线时，则解得 ，． ，， 解得，； ③当以为对角线时，要满足，，，为顶点的四边形是矩形， 则需要满足是以为直角的直角三角形， 即轴，与题意不符，故此种情况不存在． 综上所述，或． 8．解：（1）在二次函数中， 令，得，解得，，，． 令，得，． 把，代入中，得解得 故的值为4，的值为3． （2）由（1）知，的表达式为． 由题意，得，， ，的最大值为． （3）2 0 4 无数 【解析】（3）如图，过点作于点， 过点作于点，设交于点． ，，由待定系数法可知直线的表达式为． ，，，，． ，，，． 在中，令，得，， ，，，． ①当时，，． 当时，，由图可知， 当或时，共有2种情况满足题意，故对应的值有2个； ②当时，，这与相矛盾，故对应的值有0个； ③当时，由可得，， ，，或， 解得，，，，故对应的值有4个； ④当时，恒成立，对应的值有无数个． 9．解：（1）将代入，得， 该抛物线的解析式为． 将代入，得，解得． （2）①若，则该抛物线及直线的解析式分别为，． 如图①，当时，点的坐标为． 轴，． 将代入，得，即． 将代入，得，即，． ②轴，，． 将代入，得，即，． 将代入，得，即， ． 令，即，解得，． 若，则，即点在轴右侧，如图②． 当时，，其图象开口向下，对称轴为直线． 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大，则，解得． 当时，其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若，则，即点在轴左侧，如图③． 当时，，其图象开口向上，对称轴为直线． 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得，． 综上所述，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $