题型九 圆的综合题-（Word试题版）2026年中考数学真题分类汇编分层练

**基本信息** 汇编2023-2025年辽宁、福建等多地区中考圆综合真题，含性质证明与切线计算两类题型，梯度设计适配中考复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |圆的综合题|10道|圆的性质、切线证明、内接四边形、内心、中点问题|第4题以“特殊到一般”探究体现创新思维，第2、3题通过多问设计实现从基础证明到综合计算的能力梯度，适配中考命题趋势|

题型九 圆的综合题 类型1 与圆的性质有关的证明与计算 1．（2025辽宁）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图①，连接，求的度数． （2）如图②，若点为的中点，且，求的长． 2．（2025福建）如下图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点．是上一点，交于点，且，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，，求的周长． 3．（2024烟台）如下图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数． （2）找出图中所有与相等的线段，并证明． （3）若，，求的周长． 4．（2024扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点在上（），连接，，． 【特殊化感知】 （1）如图①，若，点在延长线上，则与的数量关系为________________________________． 【一般化探究】 （2）如图②，若，点，在同侧，判断与的数量关系并说明理由． 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出，，满足的数量关系（用含的式子表示）． 类型2 与切线有关的证明与计算 5．（2023烟台）如下图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线． （2）已知的半径与菱形的边长之比为5∶8，求的值． 6．（2024枣庄，有改动）如下图，在四边形中，，，．以点为圆心，长为半径作，交于点，以点为圆心，长为半径作，交于点，连接交于点，连接． （1）求证：为所在圆的切线． （2）求图中阴影部分的面积． 7．（2025南充）如下图，中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 8．（2025内蒙古）如下图，是的直径，半径，垂足为，．是延长线上一点，连接，交于点，连接，，过点作的切线，切点为，交的延长线于点． （1）求的长． （2）求的度数． （3）求的值． 9．（2024广西）如图，已知是的外接圆，．，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求证：与相切． （3）若，，求的半径长． 10．（2025长沙）如图①，点是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，，均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切． （2）当半径时，令，，，，比较与的大小，并说明理由． （3）在（1）的条件下，如图②，当半径时，若点为与该半圆的切点，与交于点，连接并延长交于点，连接，，令，，求关于的函数解析式（不考虑自变量的取值范围）． 讲评式解析 题型九 圆的综合题 1．解：（1）如图①，连接． 在中，，，． ，，． 设，． 在四边形中，， ，． （2）如图②，连接． ，为的中点，， ，为等边三角形，， ，的长为． 2．解：（1）证明：，． ，． ，． （2）证明：，． 由（1）知，． ，， ． ，，． ，． ，， ，，． （3）连接并延长交于点，如图． ，，，， ． 设，则，， ．设． ，，． 由（1）可知，． ，，， ，，，． 四边形为圆的内接四边形， ，． ，，， ，．，． ，，，． 由（2）可知，，， 的周长 ． 3．解：（1）是的直径，． 又，． 四边形是的内接四边形， ，． （2）． 证明：如图，连接． 点为的内心， ，， ，，． ，， ，． （3）如图，过点分别作，，，垂足分别为，，． 点为的内心，即点为的内切圆的圆心， ，，分别为该内切圆与三边的切点， ，，． ，，，． ，，，， 的周长为 ． 4．解：（1） （2）若，点，在同侧，与的数量关系为． 理由：延长至点使，连接，如图①． ，，为等边三角形， ． 四边形为圆的内接四边形，． ，． ，为等边三角形， ，， ． ，． ，． 在和中， ，． ， ，． （3）当点，在同侧时，； 当点，在两侧时，． 【解析】（1），， 为等边三角形，． 为的直径， ，， ，． （3）①当点，在同侧时， 延长至点，连接，使，过点作于点，如图②． ，，． 四边形为圆的内接四边形，． ，． ，，． ，， ，． ， ，． ，． 在和中， ，． ，． ②当点，在两侧时， 延长至点，使，连接，过点作于点，如图③． ，，． 四边形为圆的内接四边形，． ，． 在和中，， ，，， ，即． ，． ，， ，． ，． 综上所述，当点，在同侧时，； 当点，在两侧时，． 5．解：（1）证明：如图，连接，则，． ，，． 四边形是菱形，，，， ，即． 是的半径，是的切线． （2），，，． 设，则，． ，， ． ，， ，的值是2． 6．解：（1）证明：连接，如图． 根据题意可知，，． 又，． ，． ，四边形是平行四边形，． ，是等边三角形， ，，， ，， ，即． 又为所在圆的半径，为所在圆的切线． （2）如图，过点作于点． 在中，，， ， ， ， ， ． 7．解：（1）证明：如图，连接． 为的直径，点在上，． 在和中， ，． ，，，即． 又是的半径，是的切线． （2）如图，连接． ，， ，，． ，． 为的直径，． 在中，． 设，，由勾股定理得． ，，解得， ，． ，， ． ，． 是的外角，， ，， ，，． 在中，，，． 8．解：（1）如图，连接． ，，是等边三角形，． ，的长为． （2），，． ，． （3）如图，连接． 为的切线，． ，． ，． ，，． 9．解：（1）证明：，分别是，的中点，，． 又，， ，，， ，，四边形是平行四边形． （2）证明：如图①，连接． ，为的中点，，过圆心． ，． 又为的半径，为的切线，即与相切． （3）如图②，过点作于点，连接，． ，． 设，则，， ，， ，，． ，，， ，． 设的半径长为，则． ，， ，解得，的半径长为10． 10．解：（1）证明：如图①，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 与均为该半圆的切线，，， ，，． 在与中， ，． ，， ，，即平分． 又，，， 即为该半圆的半径，与该半圆相切． （2）．理由如下： 如图②，连接，，过点作，交于点， 则四边形为矩形，． 在中，由勾股定理可得． ，， ，， ． （3），，均为该半圆的切线，，． ，，，， ，． ，， ，，， ，，，． 同理可得，，， ，． 由（2）可知， ． 在中，， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $