专题4 考点5 解直角三角形及其应用-（Word试题版）2026年中考数学真题分类汇编分层练

**基本信息** 本试卷为初中数学中考复习专题汇编，聚焦解直角三角形及其应用，整合2023-2025年多地区中考真题，覆盖基础计算与实际应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|13题|锐角三角函数定义、仰角俯角（如2025深圳天桥坡度计算）|结合生活场景（人行天桥、登山测量）| |填空题|5题|网格与坐标（2025南通网格面积）、七巧板应用（2024江西）|融入文化素材（七巧板、北纬37°纬线计算）| |解答题|4题|证明与计算（2025攀枝花三角函数证明）、复杂情境应用（2025湖南晾衣装置）|突出跨学科实践（化学实验装置、红色文化纪念塔测量）|

考点5 解直角三角形及其应用 ▶考向 解直角三角形 1．（2025常州）如图，在中，，，，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（2025南通）在中，，，，则的长为（ ） A．1 B．2 C． D．5 3．（2024临夏）如图，在中，，，则的长是（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 4．（2023益阳）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ） A． B． C． D． 5．（2025广州）如图，在中，，平分．已知，，则点到的距离为__________． 6．（2024江西）将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形，连接，则__________． 7．（2025南通）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为__________． 8．（2025攀枝花）如下图，已知中，，，，的对边分别为，，． （1）根据锐角三角函数的定义，证明：． （2）若，求的值． 9．（2025乐山）如下图，在中，，，． （1）求的长． （2）求点到线段的距离． 10．（2024浙江）如下图，在中，，是边上的中线，，，． （1）求的长． （2）求的值． ▶考向② 解直角三角形的应用 11．（2025深圳，有改动）如图所示的为人行天桥的示意图．若高长为，斜道长为，则的值为（ ） A． B．3 C． D． 12．（2025长春，有改动）如图，已知某山峰的海拔为．一位登山者到达海拔为的点处，测得山峰顶端的仰角为，则，两点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 13．（2025宁夏，有改动）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，测角仪支架的高度为．为达成目的，还需测量的数据是（ ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，，的度数 D．的长，，的度数 14．（2025眉山，有改动）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是__________（结果精确到，参考数据：，，）． 15．（2024西宁）阅读相关资料：①如图①，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬37°；③如图②，赤道半径约为，弦，以为直径的圆的周长就是北纬37°纬线的长度．根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为__________（参考数据：，，，）． 16．（2024宁夏）图①是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图②是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为__________（结果精确到，参考数据：，，，）． 17．（2025广元，有改动）为传承红色文化，广元人民在九华岩战斗遗址修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点处，测得五角星最高点的仰角，最低点的仰角，点到塔底中心的距离为．求五角星的高度（结果保留整数，参考数据：，）． 18．（2025资阳，有改动）如下图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为30°，在处测得的仰角为60°，斜坡的坡度，，（点，，，在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度． （2）求建筑物的高度（的长）． 19．（2023江西）图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图．已知点，，，均在同一直线上，，测得，，（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． （1）连接，求证：． （2）求雕塑的高（点到直线的距离）． 20．（2025湖南，有改动）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图①，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于，求该连衣裙的长度． （2）如图②，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧）．若，则此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米（结果保留整数，参考数据：，，）？ 21．（2024呼和浩特，有改动）实验是培养学生创新能力的重要途径．图①是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成图②所示的示意图，已知试管，，试管倾斜角为12°． （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上）．经测得，，．求线段的长度． （结果用含非特殊角的三角函数表示） 22．（2025山西）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图①为该景点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径，图中点，，，在同一条直线上． 图②为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内 数据测量 在点处测得点和点的俯角分别为，，．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 讲评式解析 考点5 解直角三角形及其应用 1．C 【解析】在中，，，， ，． 2．C 【解析】如图，在中，，． ，． 3．B 【解析】如图，过点作的垂线，垂足为． 在中，，，． 又，． 4．C 【解析】如图，过点作交延长线于点． ，，，， ，，，． 5．10 【解析】如图，过点作于点． ，， 设，，则． 平分，，，． 设点到的距离为，则有，解得． 6． 【解析】如图，令与的交点为． ，． 又，四边形是平行四边形， 与互相平分，． ，． 在中，． 7． 【解析】如图，设． ，． ，，． ，． 的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1， ，． 即，， 解得，（舍去）． 经检验，是分式方程的根． ， ，． 8．解：（1）证明：在中，， ，，， ． （2），，， 或（舍去），即的值为． 9．解：（1）如图，过点作于点． 在中，，， ，． 在中，，． （2）如图，过点作于点． 由（1）可知，， ，即点到线段的距离为． 10．解：（1），，， ． ，， ． （2）是边上的中线，，． ，， ． 11．D 【解析】在中，， ，，． 12．B 【解析】依题意可知，在中，， ，，． 13．D 【解析】由题意知，． 在中，，，． 在中，，，． ，， ， 故还需测量的数据是的长，，的度数． 14．1.8 【解析】如图，过点作于点． ，，， ， 人字梯顶端离地面的高度约是． 15．30720 【解析】过点作于点，如图， ． ，，． 在中，，， ， ， 以为直径的圆的周长为 ， 北纬37°纬线的长度约为． 16．34.1 【解析】如图，过点作，垂足为， 过点作，交的延长线于点． ，． 在中，，． 在中，，， ． 器身底部距地面的高度为， 该陶盉管状短流口距地面的高度， 该陶盉管状短流口距地面的高度约为． 17．解：延长交于点，如图， 则四边形是矩形，，． 在中，，． 在中，，， ．故五角星的高度大约是． 18．解：（1）如图，过点作于点． 斜坡的坡度为1∶3，，． 在中，， 即，（负值已舍去）． 故平台的高度为． （2）如图，延长交于点，则， 四边形为矩形，，． 设，则． 在中，，， ，． 在中，，则． 由（1）可知，， ，解得． 故建筑物的高度为． 19．解：（1），，． ，， ，，． （2）如图①，过点作，交的延长线于点． 在中，，，， ，． 在中，， ． 故雕塑的高约为． 一题多解法 （1），点，，在同一直线上， 点，，在以点为圆心，为直径的圆上，，即． （2）如图②，过点作，交的延长线于点，过点作于点， 则四边形是矩形，，，． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 故雕塑的高约为． 20．解：（1）由题意可知，在中，， ，． ，， ，该连衣裙的长度为． （2）如图，过点作于点． 在中，，， ． ，， ， 该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为． 21．解：（1），，． 在中，，即，． （2）在中，，． 如图，延长，交于点， 四边形是矩形， ， ． ，，， ，， ． 22．解：由题意得，，， ，． 设，则， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ，解得，． 故内栏墙围成泉池的直径的长约为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $