专题2 考点5 方程（组）与不等式（组）的综合应用-（Word试题版）2026年中考数学真题分类汇编分层练

**基本信息** 精选2023-2025年眉山、绍兴等多地中考真题，聚焦方程（组）与不等式（组）综合应用，通过超市进货、抹茶生产、健康饮食等真实情境，考查建模与解决实际问题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|1题|分式方程与不等式组结合（如2025眉山题）|含参数取值范围与正整数解综合| |解答题|8题|二元一次方程组应用（书架摆放、生产线生产）、一元二次方程增长率（商品进价）、方案设计（租车优化）|情境贴近生活（健康饮食营养计算），分层设计（基础应用到方案优化，如2023怀化题三问递进）|

考点5 方程（组）与不等式（组）的综合应用 1．（2025眉山）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ） A．8 B．14 C．18 D．38 2．（2023绍兴）已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于的方程有实数根．当为正整数时，求不等式的解． 3．（2024江西）如下图，书架宽，在该书架上按下图所示的方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，书架上数学书和语文书各多少本？ （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 4．（2025泸州，有改动）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率． （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，最少购进多少件甲种商品？ 5．（2025贵州，有动改）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装，两种型号生产线．已知同时开启1条型和1条型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启1条型和2条型生产线每月可以生产抹茶共． （1）1条型和1条型生产线每月各生产抹茶多少吨？ （2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的，两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于．至少需要安装多少条型生产线？ 6．（2025连云港）如下图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？ 7．（2025眉山，有改动）国家卫生健康委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有，两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量/ 蛋白质/ 脂肪/ 碳水化合物/ 240 12 7.5 29.8 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用，两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从，两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用，两种食品各多少份？ 8．（2025湖北）某商店销售，两种水果，水果标价为14元/，水果标价为18元/． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了，两种水果共，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买，两种水果，要求水果比水果多买，合计付款不超过50元．设小明买水果． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现，两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折；一次购买水果不超过不优惠，超过后，超过的部分打七五折（“打七五折”指按标价的75%出售）．若小明合计付款48元，求的值． 9．（2023怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用，两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆220元，种客车租金为每辆300元，应该怎样租车才最划算？ 讲评式解析 考点5 方程（组）与不等式（组）的综合应用 1．B 【解析】解不等式①，得，解不等式②，得． 该不等式组至少有两个正整数解，该不等式组的解集为，，解得． 分式方程可化简为，解得． 解为正整数且，则，且为整数，，且为偶数， 或8，所有满足条件的整数的值之和为． 2．解：设方程的两个根为，，则 由题意，得，即且，， 方程为． 当，即时，关于的方程为，有实数根． 不等式即为， 则，或； 当，即时，，． 又是正整数，且，， 但使不等式的分母，不等式无意义，舍去． 综上，不等式的解为或． 3．解：（1）设书架上数学书有本，则语文书有本． 根据题意，得，解得，． 故书架上数学书有60本，语文书有30本． （2）设数学书还可以摆本． 由题意，得，解得．故数学书最多还可以摆90本． 4．解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为． 由题意，得，解得，（不符合题意，舍去）． 故乙种商品每件进价的年平均下降率为20%． （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件． 由题意，得， 解得，的最小值为40．故最少购进40件甲种商品． 5．解：（1）设1条型生产线每月生产抹茶，1条型生产线每月生产抹茶． 由题意，得解得 故1条型生产线每月生产抹茶，1条型生产线每月生产抹茶． （2）设需要安装型生产线条，则安装型生产线条． 由题意，得，解得． 为正整数，的最小值为3．故至少需要安装3条型生产线． 6．解：（1）设恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个． 根据题意，得解得 故恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）设制作乙种纸盒个，需要张正方形硬纸片． 由题意，得． 由，得随的增大而增大，当最小时，有最小值． 根据题意，得，解得，的最小整数解为34． 当时，．故至少需要134张正方形硬纸片． 7．解：（1）设分别选用，两种食品份和份． 由题意，得解得 分别选用，两种食品3份和2份． （2）设选用种食品份． 依题意，得，即选用种食品份． 由题意，得，解得． 设能量为，则． ，随的增大而减小， 当时，能量最低，即． 故应选用种食品2份，种食品4份． 8．解：（1）设水果买了，水果买了． 依题意，得解得 故水果买了，水果买了． （2）①已知小明买水果，则买水果． 由题意，得，解得． 结合实际可得． ②由题意，得，，解得． 9．解：（1）设原计划租用种客车辆． 根据题意，得，解得， ． 故原计划租用种客车26辆，这次研学去了1200人． （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆． 根据题意，得解得． 又为正整数，可以为5，6，7，该校共有3种租车方案， 方案1：租用5辆种客车，10辆种客车； 方案2：租用6辆种客车，19辆种客车； 方案3：租用7辆种客车，18辆种客车． （3）选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）； 选择方案3的总租金为（元）． ， 租用5辆种客车，20辆种客车最划算． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $