精品解析：新疆喀什地区英吉沙县实验中学等校2025-2026学年第二学期学科素养大赛高一数学测试卷

2025–2026学年第二学期学科素养大赛 高一数学 测试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷选择题 一、单选题(每题5分，共40分) 1. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可求答案. 【详解】因为，所以； 因为，所以. 故选：D. 2. 在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是(　　) . A. 170° B. 190° C. －190° D. －170° 【答案】C 【解析】 【详解】与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－<k<－， ∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190° 3. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. －16 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解. 【详解】由题意得，， 因为B，C，D三点共线， 所以， 则，得. 故选：A. 4. 以下说法正确的是（ ） A. 零向量与任意非零向量平行 B. 若，，则 C. 若(为实数)，则必为零 D. 和都是单位向量，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的性质和定义即可逐一判断. 【详解】解：对于A,零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误； 对于C,时，或，故错误； 对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误． 故选：A． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和的余弦公式展开即可. 【详解】，， 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知式求得，然后再由余弦的二倍角公式求值． 【详解】由，得，， ， ∴． 故选：C. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式的二倍角公式，解题关键是结合已知角和未知角的关系确定选用什么公式． 7. 在平行四边形中，O为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：在平行四边形中，O为对角线的交点， 易知， 所以． 故选：D 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式和诱导公式对所求式子进行化简，然后根据齐次式进行求值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 二、多选题(每题6分，共18分) 9. 下列向量组中，能作为同一平面内所有向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】判断出两向量是否平行，得到其能否作为基底. 【详解】A选项，因为，所以不平行，可以作为基底，A正确； B选项，因为，所以不平行，可以作为基底，B正确； C选项，因为，所以不平行，可以作为基底，C正确； D选项，因为，所以平行，不能作为基底，D错误. 故选：ABC 10. 下列命题错误的是（ ） A. 若是平面内的三点，则 B. 若是两个单位向量，则 C. 若是任意两个向量，则 D. 向量可以作为平面内所有向量的一组基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的减法法则分析判断，对于BC，举例判断，对于D，根据基底的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，若，则是两个单位向量，而，所以B错误， 对于C，当共线同向时，，所以C错误， 对于D，若共线，则，所以， ，方程组无解，所以不共线， 所以可以作为平面内所有向量的一组基底，所以D正确. 故选：ABC 11. 函数（，，）的部分图像如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 该函数图像的对称中心为， D. 函数的图像可由函数先将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数图像的变换判断即可. 【详解】由图可知：，，所以. 故，所以，又因为图像过. 所以，因为，所以. 所以A正确，B正确，所以 令，，显然不是函数图像的对称中心，所以C错误. 函数先将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，再向右平移个单位长度得到，所以D正确. 故选：ABD 第Ⅱ非选择题 三、填空题(每题5分，共15分) 12. 设分别是第二象限角，则点落在第___________象限. 【答案】四 【解析】 【分析】由是第二象限角，判断，的符号，进而可得结果． 【详解】∵是第二象限角，∴，， ∴点在第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查三角函数的符号，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题. 13. 化简 ________________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用向量的加法运算律求解即可. 【详解】. 14. 已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 则，， 故 ， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：. 四、解答题(共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，判断△的形状 【答案】等腰三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】利用余弦定理将已知条件角化边，再根据所得条件求得边关系，即可判断三角形形状. 【详解】因为，则由余弦定理得： ，则， 即，， ∴，∴， ∴，∴或， ∴或 当时，，△为等腰三角形； 当时，△为直角三角形， 故△为等腰三角形或直角三角形. 16. 在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3）若，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算，利用基底表示，再利用数量积的运算律求出长. （2）利用数量积及模求出向量的夹角的余弦值. （3）利用数量积的运算律，结合已知建立等式即可. 【小问1详解】 在中，令，，则； ，，， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 因此， 又， ， . 【小问3详解】 ， ， 则， 即， ，化简得：， 所以. 17. 如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为． （1）求. （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的平行四边形法则表示出，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出结果； （2）利用向量的减法法则，得到，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出结果； 【小问1详解】 由题知，所以， 得到，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 得到，解得， 所以与的夹角的余弦值为. 18. 已知是定义在上的奇函数 （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为，在上单调递增， 所以在上单调递减，证明如下： 证明： ． 设，则， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上是减函数； （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数型复合函数单调性判断，再利用定义证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、下结论即可； （2）根据奇函数和单调性原不等式等价于，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为函数是奇函数， 所以成立，等价于成立， 因为在上是减函数， 所以，，即，解得：， 所以实数的取值范围为． 19. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的余弦公式可得，然后结合同角三角函数的平方关系及二倍角的正弦公式求解即可； （2）由，再结合两角和的余弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 则. 故. （2）因为，所以. 因为，所以，， 则 . 因为，所以， 由（1）知，所以， 所以， 故. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，重点考查了两角和的余弦公式及角的拼凑，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026学年第二学期学科素养大赛 高一数学 测试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷选择题 一、单选题(每题5分，共40分) 1. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是(　　) . A. 170° B. 190° C. －190° D. －170° 3. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. －16 B. 16 C. D. 4. 以下说法正确的是（ ） A. 零向量与任意非零向量平行 B. 若，，则 C. 若(为实数)，则必为零 D. 和都是单位向量，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，O为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(每题6分，共18分) 9. 下列向量组中，能作为同一平面内所有向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题错误的是（ ） A. 若是平面内的三点，则 B. 若是两个单位向量，则 C. 若是任意两个向量，则 D. 向量可以作为平面内所有向量的一组基底 11. 函数（，，）的部分图像如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 该函数图像的对称中心为， D. 函数的图像可由函数先将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到 第Ⅱ非选择题 三、填空题(每题5分，共15分) 12. 设分别是第二象限角，则点落在第___________象限. 13. 化简 ________________ 14. 已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为__________. 四、解答题(共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，判断△的形状 16. 在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3）若，求的值. 17. 如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为． （1）求. （2）求与的夹角的余弦值． 18. 已知是定义在上的奇函数 （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $