第25章 一次函数（单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第25章 一次函数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【详解】解：正比例函数的一般形式为 （ 为非零常数），即函数的常数项为， ∵ 函数 是正比例函数， ∴ ， 解得 ． 2．已知，均在直线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵在直线中，， ∴y随x的增大而减小， ∵，均在直线上，且， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，当时，， 即不等式的解集为． 4．对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，，若，则 【答案】C 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，A结论正确． ∵一次函数与轴交点为，即交点为，纵坐标为负， ∴图象与轴交于负半轴，B结论正确． 若，可得不等式，移项得，解得，即当时，因此C结论错误． ∵，随的增大而减小，∴若，则，D结论正确． 5．某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 【答案】D 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故A错误，不符合题意； ∵由函数图象可知，一次性充满电后，共享电动车最多行驶，电池能量最多， ∴ ∴， ∴共享电动车每行驶消耗电量，故B错误，不符合题意； ∵， ∴共享电动车充满电后，行驶超过将自动报警，故C错误，不符合题意． ∵由函数图象可知，当时，， ∴一次性充满电后，共享电动车最多行驶，故D正确，符合题意． 6．如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【详解】解：作于点M，如图1所示， 由图象和题意可得，，，， ∴， ∵直线平行直线， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积是：． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：要使函数有意义，根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数需大于0，即： 移项得 系数化为1得 8．一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 【答案】 【详解】解：当时，可得解得， 因此一次函数的图象与轴的交点坐标为． 9．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 10．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 当时，．观察图像可知，函数随的增大而增大， 当时，，即． 不等式的解集为． 11．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 【答案】 【详解】解：将直线沿轴向下平移个单位， ∴新直线的解析式为 轴上的点纵坐标为，令，得 解得 因此该新直线与轴的交点坐标是． 12．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 【答案】5 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线解析式为． ∵直线经过点， ∴将，代入解析式，得： ， 解得． 13．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 【答案】①② 【详解】解：①、由图可得小明家距离学校1200米， ②、小华从家到学校用时5分钟，距离为1200米路程除以时间可得速度，即米每分钟， ③、平均速度是路程除以总时间，为60米/分． 14．如图，一次函数的图象为直线，经过和D两点；一次函数的图象为直线，与x轴交于点C，两直线，相交于点．则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：把和分别代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则，解得：， ∴， 由图象得不等式的解集为：． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线过原点且与直线相交于点C，点P为y轴上一动点，当的值最小时，此时点P的坐标为 _______ ． 【答案】 【详解】解：直线①与直线②相交于点， 联立①②解得，，， ； 在中，当时，， ， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图： 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令时， 点． 16．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 17．在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 【答案】 【详解】解：∵点在直线：上， ∴，解得， ∴ 交点 P的坐标为由函数图像可知，当 时，直线 的图像在直线 的图像上方或重合，即溶解氧浓度不低于污染物浓度 ∴ x的范围是 ． 18．如图，平面直角坐标系中，点C是直线：上一点，坐标为，点D是x轴上一点，坐标为，点M为直线上的一点，点N为平面内一点，当以点C，M，N，D为顶点的四边形是矩形时，点N的横坐标为______． 【答案】11或 【详解】解：当为对角线时，如图，设的交点为， 四边形为矩形， 为的中点，， ，， ， 设， 根据可得 ， 解得，， 的横坐标为， 设的横坐标为， ， 解得； 当为对角线时，如图，设的交点为， 四边形为矩形， ， 设， 根据可得 ， 解得， 的横坐标为， 设的横坐标为， ， 解得； 当为对角线时，以点C，M，N，D为顶点的四边形无法构成矩形， 综上，点N的横坐标为11或． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）若与成正比例关系，且时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)为何值时，？ 【详解】（1）解：∵与成正比例关系， 设，， 当时，， 可得， 解得， ∴；……（4分） （2）解：当时，， 解得．……（6分） 20．（6分）某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件． (1)写出与之间的函数表达式； (2)若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得：，且，为整数；……（2分） （2）解：由题意得：， 解得：， ∵中， ∴随的增大而增大， ∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元）， ∴（件）， ∴生产A产品60件，B产品20件，获利总额最大，最大总额为元．……（6分） 21．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把代入上式，得：，解得：， ∴；……（3分） （2）解：当时，， 则当函数过时，， 当时，两个函数图象交点在直线的右侧； 当时，直线与直线平行， 当且时，两个函数图象交点在直线的右侧； ∴m的取值范围为：或或．……（6分） 22．（6分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出取值范围）； (2)若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 【详解】（1）解：学校购买A型号机器人模型个，则购买B型号机器人模型个． 根据题意，总花费， 化简得， 即与之间的函数关系式为；……（3分） （2）解：根据题意，得， 解得． 在函数中，， 因此随的增大而增大， 所以当时，取得最小值， 代入得（元）． 答：购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元．……（6分） 23．（6分）如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． (1)求直线的表达式： (2)如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 【详解】（1）解：， ， 将代入得， ， 则；……（3分） （2）解：设直线的表达式，则由题意可知，， 将代入得， ， 即， ， ， 解得或（舍） 则， 将，代入得， ，解得， 则直线的表达式． 24．（9分）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【详解】（1）解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，；……（4分） （2）解：当，， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点H， 同上可证明：， ∴， ∴；……（6分） （3）解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为．……（9分） 25．（9分）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴令时，则，解得，即， 令时，则，即， ∵过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 故答案为：；……（3分） （2）解：由（1）得，， ∵折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ∴， 设， 则，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为．……（6分） ②存在，过程如下： 经过点D的双曲线与线段交于点F，且点D的坐标为． ∴， ∴， ∴， 点F的纵坐标等于点B的纵坐标，即， 把代入， 得， ∴， ∴点F的坐标为， ∵四边形是以为底的等腰梯形， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ∵，且点在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线的解析式为， 即直线与直线重合， 设， ∵，且点D的坐标为． ∴， ∵点F的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 当时，则， ∵， 此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去， 当时，则不平行， 即， 此时四边形为等腰梯形，符合题意， ∴， ∴．……（9分） 26．（10分）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． (1)求点B的坐标； (2)求直线AE的表达式； (3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． (4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 则，；……（2分） （2）解：过点作，垂足为（如图1所示）， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 设，则有，， 在中，，，， 根据勾股定理得：， 解得：， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 则直线的表达式为；……（5分） （3）解：延长交轴于点（如图2所示）， 平分， ， 又， ， 在和中， ， ， ，即为的中点， 又为直角三角形， ， 为等腰三角形， 过点作，垂足为（如图2所示）， ，， ， 点的横坐标为， 设，将代入，得：， ， 则；……（8分） （4）解：在中，，， 根据勾股定理得：， 又，（等积法）， ，又， 则．……（10分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第25章 一次函数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 2．已知，均在直线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，，若，则 5．某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 6．如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．函数的自变量的取值范围是______． 8．一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 9．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 10．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 11．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 12．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 13．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 14．如图，一次函数的图象为直线，经过和D两点；一次函数的图象为直线，与x轴交于点C，两直线，相交于点．则关于x的不等式的解集是________． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线过原点且与直线相交于点C，点P为y轴上一动点，当的值最小时，此时点P的坐标为 _______ ． 16．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 17．在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 18．如图，平面直角坐标系中，点C是直线：上一点，坐标为，点D是x轴上一点，坐标为，点M为直线上的一点，点N为平面内一点，当以点C，M，N，D为顶点的四边形是矩形时，点N的横坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）若与成正比例关系，且时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)为何值时，？ 20．（6分）某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件． (1)写出与之间的函数表达式； (2)若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 21．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 22．（6分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出取值范围）； (2)若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 23．（6分）如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． (1)求直线的表达式： (2)如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 24．（9分）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 25．（9分）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 26．（10分）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． (1)求点B的坐标； (2)求直线AE的表达式； (3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． (4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第25章 一次函数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 2．已知，均在直线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，，若，则 5．某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 6．如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．函数的自变量的取值范围是______． 8．一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 9．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 10．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 11．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 12．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 13．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 14．如图，一次函数的图象为直线，经过和D两点；一次函数的图象为直线，与x轴交于点C，两直线，相交于点．则关于x的不等式的解集是________． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线过原点且与直线相交于点C，点P为y轴上一动点，当的值最小时，此时点P的坐标为 _______ ． 16．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 17．在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 18．如图，平面直角坐标系中，点C是直线：上一点，坐标为，点D是x轴上一点，坐标为，点M为直线上的一点，点N为平面内一点，当以点C，M，N，D为顶点的四边形是矩形时，点N的横坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）若与成正比例关系，且时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)为何值时，？ 20．（6分）某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件． (1)写出与之间的函数表达式； (2)若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 21．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 22．（6分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出取值范围）； (2)若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 23．（6分）如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． (1)求直线的表达式： (2)如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 24．（9分）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 25．（9分）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 26．（10分）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． (1)求点B的坐标； (2)求直线AE的表达式； (3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． (4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第25章一次函数.参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 5 6 D A D C 0 B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 8.(1,0 9.-2 10.x<2 11.（-6,0 12.5 13.①② 14.2≤x<5 15. 16.22025 17.x24 18.11或19 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(6分) 【详解】(1)解：：y与x成正比例关系， 设y=,(k≠0)， 当x=2时，y=10, 可得10=2k, 解得k=5, .y=5x;…(4分) (2)解：当y=-15时，5x=-15, 解得x=-3.…(6分) 20.(6分) 【详解】(1)解：设生产两种产品的获利总额为y(元)，生产B产品x件，则生产A产品(80-x件，依题 意得：y=600(80-x+800x=200x+48000,且0≤x≤80，x为整数；…(2分) (2)解：由题意得：80-x≥3x, 解得：x≤20， :y=200x+48000中200>0， y随x的增大而增大， 当x20时，获利总额最大，最大总额为：200×20+48000=52000（元）， 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .80-20=60(件)， 生产A产品60件，B产品20件，获利总额最大，最大总额为52000元.…(6分) 21.(6分) 【详解】(1)解：：一次函数y=kx+bk≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到， k=1, .y=x+b, 把2,1)代入上式，得：1=2+b,解得：b=-1, ∴y=x-1;…(3分) (2)解：当x=-2时，y=-2-1=-3, 则当函数=mx(m≠0过(-2，-3)时，m=, 3 当m>2时，两个函数图象交点在直线x=-2的右侧： 当m=1时，直线y=mx(m≠0)与直线y=x-1平行， 当m<1且m≠0时，两个函数图象交点在直线x=-2的右侧； 3 .m的取值范围为：m<0或0<m<1或m> …(6分) 22.(6分) 【详解】(1)解：学校购买A型号机器人模型x个，则购买B型号机器人模型（⑤0-x)个. 根据题意，总花费y=400x+240(50-x), 化简得y=160x+12000, 即y与x之间的函数关系式为y=160x+12000:…(3分) (2)解：根据题意，得50-x≤2x, 31 解得x≥30. 在函数y=160x+12000中，160>0， 因此y随x的增大而增大， 所以当x=30时，y取得最小值， 代入得y=160×30+12000=16800(元). 答：购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元.…(6分) 23.(6分) 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：1∥1， k=2, 将A0,-2代入y=2x+b得， b=-2, 则y=2x-2;…(3分) (2)解：设直线的表达式y=k+b,则由题意可知，C(0,b')(b'>0), 将B2,m代入y=2x-2得， m=2×2-2=2, 即B2,2, S.4BC=6, ×2xb+2=6, 1 解得b'=4或b'=-8(舍) 则C(0,4, 将C(0,4),B(2,2)代入y=x+b得， [2=2k'+b 「k'=-1 4=b ，解得 4=b’ 则直线的表达式y=-x+4. 24.(9分) 【详解】(1)解：当x=0,y=2, B(0,2,即0B=2, ①当BA=BF,∠ABF=90°，记直线y=6交y轴于点D,如图： y 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :直线y=6与y轴垂直， ∠A0B=∠BDF=90°， ∠ABF=90°， ∴.∠1=∠2=90°-∠3， .△AOB≌△BDF(AAS), DF=0B=2,BD=0A=6-2=4 F(2,6),A4,0), 将A4,0)代入y=x+2得，4k+2=0, 解得：k=一2 ②AB=AF,∠BAF=90°，过点F作FD⊥x轴于点D,如图： y F B D 衣 同理可证明：△AOB≌△FDA(AAS), .OB=AD=2,0A=FD=6, .F(8,6),A6,0), 将A6,0)代入y=k+2得，6k+2=0, 解得：太= 当FB=FA,∠AFB=90°，记直线y=6交y轴于点D,过点A作直线y=6的垂线，垂足为点H,如图： y D B 同理可证明：△FDB≌△AHF(AAS), 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FD=AH=6, FH=DB=6-2=4, .0A=DH=6+4=10, F(6,6),A10,0), 将A10,0)代入y=x+2得，10k+2=0, 第得：人= 综上所达：P21,质=碳P,人=写或P166,=写…4分》 (2)解：当y=0,kx+2=0, 2 解得：x= :.0A=发 2 过点H作HK⊥x轴于点H, B H 0 同上可证明：△BOA≌△AKH, .HK=OA= …(6分) (3)解：当k= 时，y=2 +2, 2 令=0，则2x+2=0, 解得x=-4, A-4,0), 过点B作BP⊥I交直线I于点P,过点B作y轴的垂线，分别过点A,P作垂线的垂线，垂足为点M,N, 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 0 图3 :∠BAC=45°，BP⊥1， ∴∠BPA=∠BAP=45°， BA=BP, 同上可证明：△BMA≌△PNB, .PN=BM=4,BN AM=2, .P2,-2, 设直线l表达式为：y=mx+n, -4k+b=0 代入P(2,-2),A-4,0得： 2k+b=-2' 1 k= 解得： 3 b=- 3 :直线l表达式为y=- 14 3-3 …(9分) 25.(9分) 【详解】(1)解：：y=-3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B, 令y=0时，则0=-3x+6,解得x=2,即A0=2, 令x=0时，则y=-3×0+6=6,即B0=6, :过点A作CA⊥x轴，垂足为A,过点B作CB⊥y轴，垂足为B,两条垂线交于点C. ·∠CB0=∠B0A=L0AC=90°， 四边形OACB是矩形， BC=0A=2,AC=B0=6, 则AB=√B02+A02=36+4=2V10, 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：6,2,210；…(3分) (2)解：由(1)得BC=0A=2,AC=B0=6,AB=2√10， :折叠ABC,使点A与点B重合，折痕DE交AC于点D,交AB于点E. :AD BD, 设D(2,r）, 则AD=BD=r,CD=6-r, 在Rt△BCD中，BD2=CD2+BC2, 即r2=(6-r2+22, ∴.r2=36-12r+r2+4, r=0 10 :点D的坐标为23 …(6分) ②存在，过程如下： 经过点D的双曲线y=k≠O)与线段BC交于点F,且点D的坐标 29 .10k 32’ 6=20 , 20 “y=3=20, x 3x 点F的纵坐标等于点B的纵坐标，即y=6, 把y,=6代入y= 20 3x” 得6= 20 3x 10 .X= 9 10 :点F的坐标为96 :四边形ADFP是以DF为底的等腰梯形， ∴FD‖AP,PF=AD, 设直线FD的解析式为y=x+bm≠O), 7/11 0学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 $$\left( \frac { 1 0 } { 9 } ， 6 \right) ， \left( 2 ， \frac { 1 0 } { 3 } \right)$$ 分别代入 y=mx+b， $$6 = \frac { 1 0 } { 9 } m + b$$ 得 $$\frac { 1 0 } { 3 } = 2 m + b$$ 解得 $$b = \frac { 2 8 } { 3 } ，$$ $$\therefore y = - 3 x + \frac { 2 8 } { 3 } ，$$ OA=2， 且A点在x轴的正半轴上， ∴A(2，0)， ∵FD∥AP， ：设直线 A 的解析式为 y=-3x+n， A( (2，0)代入 y=-3x+n 得 0=-3×2+n， ∴n=6， AP 的解析式为 y=-3x+6， 即直线AP与直线AB重合， 设 P(r，-3r+6)， ∵PF=AD， ，且点D的坐标为 $$\left( 2 ， \frac { 1 0 } { 3 } \right) .$$ $$\therefore P F = \frac { 1 0 } { 3 } ，$$ ∵ 点F的坐标为 $$\left\{ \frac { 1 0 } { 9 } ， 6 \right\} ， P \left( r ， - 3 r + 6 \right) ，$$ $$\therefore \left( r - \frac { 1 0 } { 9 } \right) ^ { 2 } + \left( - 3 r + 6 - 6 \right) ^ { 2 } = P F ^ { 2 } = \frac { 1 0 0 } { 9 } ，$$ $$\therefore r ^ { 2 } - \frac { 2 0 } { 9 } r + \frac { 1 0 0 } { 8 1 } + 9 r ^ { 2 } = \frac { 1 0 0 } { 9 }$$ $$\therefore 1 0 r ^ { 2 } - \frac { 2 0 } { 9 } r - \frac { 8 0 0 } { 8 1 } = 0 ，$$ $$\triangle = \left( - \frac { 2 0 } { 9 } \right) ^ { 2 } + 4 \times 1 0 \times \frac { 8 0 0 } { 8 1 } = \frac { 4 0 0 } { 8 1 } + \frac { 3 2 0 0 0 } { 8 1 } = \frac { 3 2 4 0 0 } { 8 1 } ，$$ 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20,32400 r=9V81 20±180， 20 180 20+18010 20-1808 .万= 或5= 180 9 180 91 10 当r=时，则PF∥AD, 9 PF AD, 此时四边形ADFP为平行四边形，不符合题意，故舍去， 当r=-8时，则PF,4D不平行， 91 即PF=AD, 此时四边形ADFP为等腰梯形，符合题意， -3×-8+6=8+6=26 9 3 3 826 P 9’3 …(9分) 26.(10分) 【详解】(1)解：对于y=x+6, 3 当x=0时，y=6;当y=0时，x=8, .0A=6,0B=8, 在RIAAOB中，根据勾股定理得：AB=10, 则A0,6),B8,0);…(2分) (2)解：过点E作EG⊥AB,垂足为G(如图1所示)， y G 合：AE平分∠B40,E01A0,EG1AG, 万 图1 :EG=0E, 在RIAAOE和Rt△AGE中， AE=AE EO=EG' 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .R1AAOE≌R1△AGE(HL, :AG=A0, 设0E=EG=x,则有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4, 在Rt△BEG中，EG=x,BG=4,BE=8-x, 根据勾股定理得：x2+42=(8-x)2, 解得：x=3, E3,0), 设直线AE的表达式为y=kx+b(k≠0)， 将A0,6,E(3,0)代入y=kx+b得： b=6 3k+b=0' [b=6 解得：1k=-2 则直线AE的表达式为y=-2x+6;…(5分) (3)解：延长BF交y轴于点K(如图2所示)， y A H Bx:AE平分LBA0, 图2 ∠KAF=∠BAF, 又BF⊥AE, LAFK=∠AFB=90°， 在△AFK和△4FB中， [∠KAF=∠BAF AF=AF ∠AFK=∠AFB △AFK兰△AFB(ASA, 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FK=FB,即F为KB的中点， 又：△BOK为直角三角形， :.OF=BK BF, △OFB为等腰三角形， 过点F作FH⊥OB,垂足为H(如图2所示)， :OF=BF,FH⊥OB, :.OH =BH=4, F点的横坐标为4， 设F(4,y),将F(4,y)代入y=-2x+6,得：y=-2, FH=-2=2, 则Sar-08-FH=×8x2=8,…(8分) (4)解：在R1A40E中，OE=x,0A=6, 根据勾股定理得：AE=√OE2+0=√x2+36, 又BE=0B-0E=8-,Se号4E~BF-8E,40(等积法. BF=BE:A0_618-0<x<8,又BE=y, AEx2+36 则y-618-(0<x<8.…（10分) Vx2+36 11/11