精品解析：江苏镇江市京口区2025-2026学年第二学期阶段性学习评价Ⅰ 七年级数学

2025-2026学年第二学期阶段性学习评价Ⅰ 七年级数学 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：∵ ，故选：A． 2. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可． 【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意； B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意； C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意； D、太极曲线是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．根据幂的运算法则，完全平方公式，合并同类项的法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4. 下列各式可以利用平方差公式计算的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式的结构为，要求相乘的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A:，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可得，可以用平方差公式计算，此项符合题意． 选项B:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项C:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项D:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 5. 若是一个完全平方，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式、根据平方项确定出这两个数是解题的关键．本题先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的结构特征即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：A． 6. 如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据图形的对称性，用除以计算即可得解，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 【详解】解：， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是， 故选：B． 7. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 125° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】在图a中，由题意可得：，则，，再根据折叠的性质求解即可． 【详解】解：在图a中，由题意可得：， ∴，， 在图b中，由折叠的性质可得：， ∴ 在图c中，由折叠的性质可得：， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 8. “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：D． 10. 如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （ ）种． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有4种． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 若，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， 故答案为：9． 13. 计算______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 已知，，则a，b的大小关系是______（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算法则将原式化为同指数幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 15. 如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 16. 如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】设AC=m，BC=n，可得m+n=10，m2+n2=60，然后根据完全平方公式求出mn即可． 【详解】解：设AC＝m，BC＝n， ∵AB＝10， ∴m+n＝10， 又∵S1+S2＝60， ∴m2+n2＝60， 由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴102＝60+2mn， ∴mn＝20， ∴S阴影部分＝mn＝10， 即：阴影部分的面积为10． 故答案是：10． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键． 三．解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）1 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用零指数幂、负整数指数幂、乘方化简，再进行加减； （2）先根据积的乘方，同底数幂乘除法计算，再合并同类项； （3）先利用平方差公式和单项式乘多项式计算，然后合并同类项即可； （4）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 18. 在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． （1）类型一：简便计算 ； （2）类型二：代数式求值 若，，则① ；② ． （3）类型三：解方程 解关于x的方程：如果，求x的值． 【答案】（1） （2）17；72 （3） 【解析】 【分析】（1）利用积的乘方逆运算进行简便计算； （2）①先根据同底数幂乘法逆运算法则计算，然后求和；②先利用同底数幂乘法逆运算法则转化后代入计算即可； （3）将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ①； ②； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 19. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1）绿化部分的总面积为平方米 （2）绿化部分的总面积为13200平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化部分的总面积 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 原式（平方米）． 答：绿化部分的总面积为13200平方米． 20. 已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： （1）的值为___________； （2）___________； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再计算，即可作答． （2）根据，得，再计算，即可作答． （3）根据，得，再结合完全平方公式进行变形，得，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，； 【小问2详解】 解：依题意，， 【小问3详解】 解：依题意， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 解得． 21. 如图，已知． （1）在图1中，作出边上的垂直平分线l，交于点O． 下列说法正确的是______（填写序号）； ①点O是线段的中点； ②点B和点C关于l对称； ③点B和点C关于点O中心对称； ④点B绕点O旋转与点C重合． （2）在图2中，用两种不同的方法作∠B的角平分线． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹． 【答案】（1）如图1，直线l即为所求的垂直平分线， ； ①②③④； （2） 解：如图2，射线BP即为所求的角平分线．（答案不唯一） 【解析】 【分析】题目主要考查垂线及角平分线的作法、垂直平分线的性质，理解题意，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意作出垂直平分线即可，然后利用垂直平分线的性质依次判断即可； （2）根据作角平分线的方法作图即可． 【小问1详解】 解：∵边上的垂直平分线l，交于点O， ∴点O是线段的中点，点B和点C关于l对称，点B和点C关于点O中心对称，点B绕点O旋转与点C重合，故①②③④正确； 故答案为：①②③④； 【小问2详解】 略 22. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． （1）的面积为 ； （2）平移，使点移动到点的位置，得到，、的对应点分别是、，请在图中画出平移后的； （3）连接、，则线段、的关系为 ； （4）将绕点按顺时针方向旋转得到，请在图2中画出． 【答案】（1）3 （2） 解：如图所示即为所求 （3）平行且相等 （4） 解：如图所示，即为所求 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （2）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （3）根据平移的性质即可求解； （4）根据旋转的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 线段、的关系为平行且相等； 【小问4详解】 略 23. 【数学问题】试证明：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 【解法讨论】小彤说：“连续奇数的差是2，我们可以设其中较小的数为x，则较大的数为．然后再利用平方差公式来推理．” 小园说：“赞同你的想法，不过有一个漏洞，你这种设法不能表明这两个数一定是奇数．” 小彤说：“嗯，你说的有道理，那么设较小的数为可以吗？” 【问题解决】请你按照小彤和小园讨论的思路，完成问题的证明过程． 【迁移运用】探究：两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论． 【答案】问题解决： 解：设较小的数为，则较大的数为，为整数， ∴ ， ∵为整数， ∴一定能被8整除， 故两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 迁移运用：不是， 证明：设两个连续的偶数分别为：，， ∵， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数． 【解析】 【分析】问题解决：设较小的数为，利用平方差公式计算差，根据结果判断即可； 迁移运用：首先设两个连续的偶数分别为，，再计算，根据结果判断． 【详解】解：问题解决：略 迁移运用：略 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式． 24. 将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，已知，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则 ． （2）现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图所示，求的度数； （3）将（2）中的固定，如图所示，将绕点顺时针旋转，旋转角为，当的边与的一条边平行时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质， 即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 解：如图，设交于点 ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：如图，当时，延长交于点，过点作 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即旋转角为 当时，如图， 同理可得 ∴ ∴ ∴，即旋转角为 当时，如图，延长交于点，设交于点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即旋转角为． 综上所述，旋转角的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期阶段性学习评价Ⅰ 七年级数学 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各式可以利用平方差公式计算的是( ) A. B. C. D. 5. 若是一个完全平方，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 125° D. 130° 8. “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （ ）种． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 12. 若，则的值为______． 13. 计算______ ． 14. 已知，，则a，b的大小关系是______（请用字母表示，并用“”连接）． 15. 如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 16. 如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为 _____． 三．解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． （4）． 18. 在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． （1）类型一：简便计算 ； （2）类型二：代数式求值 若，，则① ；② ． （3）类型三：解方程 解关于x的方程：如果，求x的值． 19. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 20. 已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： （1）的值为___________； （2）___________； （3）已知，且，求的值． 21. 如图，已知． （1）在图1中，作出边上的垂直平分线l，交于点O． 下列说法正确的是______（填写序号）； ①点O是线段的中点； ②点B和点C关于l对称； ③点B和点C关于点O中心对称； ④点B绕点O旋转与点C重合． （2）在图2中，用两种不同的方法作∠B的角平分线． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹． 22. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． （1）的面积为 ； （2）平移，使点移动到点的位置，得到，、的对应点分别是、，请在图中画出平移后的； （3）连接、，则线段、的关系为 ； （4）将绕点按顺时针方向旋转得到，请在图2中画出． 23. 【数学问题】试证明：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 【解法讨论】小彤说：“连续奇数的差是2，我们可以设其中较小的数为x，则较大的数为．然后再利用平方差公式来推理．” 小园说：“赞同你的想法，不过有一个漏洞，你这种设法不能表明这两个数一定是奇数．” 小彤说：“嗯，你说的有道理，那么设较小的数为可以吗？” 【问题解决】请你按照小彤和小园讨论的思路，完成问题的证明过程． 【迁移运用】探究：两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论． 24. 将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，已知，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则 ． （2）现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图所示，求的度数； （3）将（2）中的固定，如图所示，将绕点顺时针旋转，旋转角为，当的边与的一条边平行时，请直接写出旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $