安徽宣城市郎溪中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中检测数学试题

高二4月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.某校开展社团招新，有3个科技类社团和4个文艺类社团.若某同学打算报名1个科技类 社团和1个文艺类社团，则不同的报名方式共有 A.7种 B.12种 C.16种 D.24种 2.已知等比数列{an}中，a2=3,5=24,则ag= A.192 B.81 C.72 D.45 3.已知函数f(x)=f'(-1)e*+3x,则f'(-1)= A.3 "e-1 B.e D.3e ‘e-1 4.已知函数f(x)的定义域为R,且其图象是一条连续的平滑曲线，若(x+1)f'(x)≥0，则 A.f(-2)+f(0)≤2f(-1) B.f(-1)+f(0)<2f(-2) C.f(-2)+f(0)≥2f(-1)》 D.f(-1)+f(0)>2f(-2) 5.为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演.队形被设计成一个由多个同 心圆组成的图案.从最内圈开始，逐圈向外增加队员.最内圈（第1圈）站了12名同学，为了 方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人.若这次团体操表演总 共动用了300名同学，则这个队形的圈数为 A.6 B.8 C.10 D.12 数学第1页（共4页） 6.某科技公司研发了5个不同的人工智能大模型算法，准备应用到智慧医疗、自动驾驶、智能 客服这3个不同的应用场景中.要求每个应用场景至少应用1个算法，且每个算法只能应 用于1个应用场景，则不同的应用方案共有 A.150种 B.120种 C.90种 D.60种 7.在长方体ACD-AB,CD,中，AB=3,AM,=2,A0=1,向量证=子证+2Ad+,则 41 ICPI= A.22 B.89 C.310 D.v②3 2 4 4 2 8儿知e=n01心=8，且a>1,6>e,则日+为 A.1 2 c.1+1 D.1 e e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.函数f(x)=ax3+3x+3(a∈R)的大致图象可能是 10.已知点P在圆C1:x2+(y-3)2=4上运动，过点P作圆C2:x2+(y+1)2=1的两条切线， 切点分别为A,B,则 A.圆C1与圆C2外切 B.当直线PC2与圆C,相切时，△PC,C2的面积为2√3 C.IPAI的最小值为√3 D.PA·PB的最小值为22-3 数学第2页（共4页） 11.设Sn,T,n分别为数列{an},{bn}的前n项和.已知a1=2,Sn=nan-2n(n-1),Tn=4bn-3.若 数列c满足(，公，则下列说法正确的是 A.{an}是等差数列 B.{bn}是等比数列 C.{cn}是递减数列 D.若cn≤k恒成立，则k的最小整数值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.计算：C。·A= ·（用数字作答)》 13.对于整数a和正整数m,定义a mod m为a除以m所得的非负余数.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(an+1+2an）mod5,则a2026= 14.已知函数f(x)=xlx2-a21(a>0),若Vx∈[0,4]fx)≤16，则a= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知引 的展开式中第5项为常数项， (1)求n; (2)求展开式中所有的有理项. 16.(15分) 已知数列{an}满足a1=1,2an+1-2an=n+2(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列日}的前a项和为S,证明：8<号 数学第3页（共4页） 17.（(15分) 已知函数f(x)=x子-3ax之. (1)当a=1时，判断经过点(1，-2)的曲线y=f(x)的切线有多少条； (2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为-4w2,求实数a的值. 18.(17分) 已知双曲线C的焦点在x轴上，且C过点(3,2√3)，一条渐近线的方程为y=√2x. (1)求C的方程. (2)已知斜率存在的直线1与C交于A,B两点，且与C的两条渐近线分别交于点M,N. (i)求证：MN与AB的中点相同； (ⅱ)若MN的中点的纵坐标为2，且1与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为 子，求1的方程 19.(17分) 已知函数f(x)=xlnx+ax-a(a∈R). (1)当a=-1时，求f(x)的极值； (2)当a=2时，Hx∈(1，+∞)，均有f(x)>mx-m-1,求m的最大整数值； (3)若f(x)有且仅有1个零点，求a的取值范围. 附：当x>0,且x0时，xlnx0. 数学第4页（共4页）高二4月数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查分步乘法计数原理。 解析由分步乘法计数原理，可知共有3×4=12种不同的报名方式 2.答案A 命题透析本题考查等比数列的性质， 解析因为{an}是等比数列，所以a=a2a,即242=3as,解得as=192 3.答案D 命题透析本题考查导数的计算， 解析因为)=f八-1)e+3,所以了)=f-10。+3,所以/(-)=f(-1e1+3,解得-1)-。3号 4.答案C 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析由(x+1)f'(x)≥0，分情况讨论：当x≥-1时，x+1≥0，则f'(x)≥0：当x<-1时，x+1<0,则f'(x)≤0. 所以f(0)≥f(-1)f(-2)≥f(-1),则f(-2)+f(0)≥2f(-1) 5.答案C 命题透析本题考查等差数列基本量的计算 解析每一圈的人数构成首项a1=12,公差d=4的等差数列，其前n项和S。=300,则s,=12n+n(n,1)× 2 4=300,解得n=10(负值舍去). 6.答案A 命题透析本题考查排列组合的应用. 解析将5个算法分为3组，每组至少1个算法，分组形式为3,1,1或2,2,1，不同的应用方案共有 (C+2 ×3!=150种. 7.答案B 命题透析本题考查空间向量的应用， 一1 解析以D为坐标原点，以直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dyz,如图所示，则A(1,0,0), B(1,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),41(1,0,2),所以43=(0,3,0)，Ad=(-1,0,0),A4=(0,0,2),AC=(-1,3,0),所以 =4+20+4=403,0)+2(-1,00)+4(00,2)=(-7）,所以㎡=-d ()-(-1,3.0=(分是)所以=√()+()+(=罗 D B 8 5-- D B 8.答案D 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质， 解析由e=。2可得a+e-ae=0,由e=-,可得6=(6-1)h6,即b+nb-bhb=0,设)=x+ e-xe,则f'(x)=1+e-e-xe=1-xe,当x>1时f'(x)<0,所以f(x)在(1，+o)上单调递减.因为a>1, nb>lne=l,且(lhb)=lnb+b-lnb=0,又f(a)=a+e-ae”=0,所以a=lnb,所以1+1=a+b- +b-ab a Inbtb_bn b=1. bin b bln b 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ABC 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质和图象. 解析因为f(x)=ax3+3x+3(aeR),所以f'(x)=3ax2+3. 当a=0时，f(x)=3x+3,可能是A中的图象； 当a>0时，'(x)=3ax2+3>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，可能是B中的图象； 当a<0时，令f'()<0,得x<-√日或x>,令'()>0，得-V-<x<√故()在 (-“,飞日√石+上单阔递该，科(-√石√日）上单调适猫，可能是C中的图象，但 不可能是D中的图象. 2 10.答案BC 命题透析本题考查圆与圆、直线与圆的位置关系. 解析对于A,因为圆C,:x2+(y-3)2=4的圆心为C,(0,3),半径为11=2，圆C2:x2+(y+1)2=1的圆心为 C2(0,-1),半径为r2=1,且1C,C2|=4>r1+2=3,所以圆C,与圆C2外离，故A错误； 对于B,当PC,与圆C,相切时，1PC,1=VC,G,-PC,下=V④-2=25，所以△PC,C,的面积为2× 2×23=23,故B正确； 对于C,连接PC2,C,A,则1PAI=√PC22-IC,A下=√PC,2-1,当1PC,取最小值时1PA1取得最小值，又 1PC,lmn=1C,C-71=4-2=2,所以1 PAl=√22-1=3，故C正确； 对于D,设∠APB=29,则Pi.P店=1Pi1×1P响1×cos20=1Pcas20,在R△PAC,中，in9=PC, IC,AI P心则ms20=1-2m0=1p2由对c的分析知A=1PP-1,所以网.防=1aw20- (Ic,P-1-p,)令1=c,,则≥40=-11-）=1+2-3≥4+子-3=（当=4 时等号成立)，故D错误 11.答案ABD 命题透析本题考查数列的递推关系式及前n项和. 解析对于A,由Sn=na-2n(n-1),可得当n≥2时，Sn-1=(n-1)a.-1-2(n-1)(n-2),两式作差，得 an=na.-2n(n-1)-(n-1)a.-1+2(n-1)(n-2)=na,-(n-1)an-1-4(n-1),移项整理得(n-1)a。= (n-1)an-1+4(n-1),因为n≥2，所以n-1≠0，两边同时除以(n-1),得an=an-1+4,所以{an}是以2为首 项，4为公差的等差数列，故A正确： 对于B,由Tn=4bn-3,得T1=4b1-3=b1,解得b1=1,当n≥2时，Tn-1=4b-1-3,两式作差，得bn=4bn 4私1，则3弘，=46-1，所以6，=号61，所以6，是以1为首项，号为公比的等比数列，故B正确： 对于C,D曲对AB的分析，知a-26-(广则=会=(a-2(艺-领号×子 7 2n+,令>1，得n<可知，当n=1,23时，c1>c,当n≥4时，61<6，所以4<9<9<4> c. ,>6,>,又5<0，-<6，所以k的最小整数值为6，故C错误，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案900 命题透析本题考查排列数与组合数的计算， 解析C0=C2。=10×9=45,A=5×4=20,所以C3。·A=45x20=90,. 2 —3 13.答案2 命题透析本题考查数列新定义及周期数列. 解析由题意，a3=(2+2×1)mod5=4,a4=(4+2×2)mod5=8mod5=3,a5=(3+2×4)mod5=11mod5=1, a6=(1+2×3)m0d5-7mod5=2,则{an}是周期为4的周期数列，又2026÷4=5062，所以a26=a2=2. 14.答案23 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. rx(x2-a2),x≤-a或x≥a 解析fx)=xx2-a21= 当x≤-a或x≥a时，f'(x)=3x2-a2>0,f(x)单调递 x(a2-x2),-a<x<a, 增，当-a<<a时f()=0-3,令f()<0,得-a<-原或。<ca,令f)>0,得- <放)在0.厚上单调透增，在（号，…小上单调递改，在(a,+)上单阔递指当0<a<4时，） 在(0，上单调递增，在（停，上单调递减，在(a,4)上单调递增，要使Vxe[0,41,j(x)≤16，则 川（停-2g26 ra≤23， 解得 所以a=25;当a≥4时，(） f(4)=4116-a21≤16， 23≤a<4, 复（停--2≤16，解得a<2,与≥4矛盾，放舍去综上a=25 9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.命题透析本题考查二项式定理的相关概念。 解析( =(-2).C·x4-号，…(3分) 因为第5项为常数项，所以当，=4时，--0。 解得n=6. (6分) (2)由(1)知，展开式的通项为T,1=(-2)C56-号，其中r=0,1,2,…,6.…(7分) 展开式中的有理项即x的指数为整数的项，分别为 当r=0时，T1=(-2)"Cgx6=x6, 当r=2时，T3=(-2)2C%x3=60x3, 当r=4时，T,=(-2)4C4=240, 当r=6时，T,=(-2)6Cx3=64x3. (13分) 一4 16.命题透析本题考查数列的通项公式与前n项和. 解析(1)因为a1=1,2a.+1-2an=n+2, 所以a1-0,=分+1， (1分) 所以当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2）+…+(a。-an-1) =1+(合+++++兮=112a-》-a- (n-1)(1+n-1) =1+?+(n-1 2 =1+n(n-1D+(n-1） 4 =n(n+3)-m+3n 4 41 (6分) 当n=1时，a1=1也满足上式，… (7分) 故a,}的通项公式为a,=n+3n 4 (8分) 2自奥a4号日+） (10分) 则s,=1++1++1+1+ 一十 an-2 4n-1 an [-4)+(分)+（兮-6）++(n2n)+(1+2+(分n3】 ++52 <(+分+）音x8-号 …(15分） 17.命题透析本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的性质. 解析(1)由题可知f(x)的定义域为[0，+∞)， (1分) 当a=1时到=后-3f()=-多=(x-0，…(2分) 所以曲线)=)在点()处的切线方程为y-定+3对=(，-1)(x-小 …(4分) 将1，-2)代人上式，得-2-房+3=(。-1)1- 化简得x行-4x0+3=0.…(6分) 令t=√x,则≥0，设g(t)=t-41+3,则g'(t)=4r3-4, —5 令g'(t)=0,得t=1,所以当t∈[0,1)时，g'(t)<0,g(t)单调递减，当te(1,+∞)时，g'(t)>0,g(t)单调 递增， 所以g(t)mm=g(1)=0,g()在[0，+∞)上有唯一的零点， 所以经过点(1，-2)的曲线y=(x)的切线仅有1条。 ………(8分） (2f()=-m青=(x-w）-30, 2 令f'(x)<0,得x<a,令∫'(x)>0,得x>a. (9分) ①当a≤0时，f'(x)≥0在(0,4]上恒成立，故f(x)在[0,4]上单调递增， 所以f(x)m=f(0)=0≠-42，不符合题意；…(I1分) ②当0<a<4时，f(x)在[0，a]上单调递减，在[a,4]上单调递增， 所以f(x)mn=f(a)=-2a2,由-2a2=-42, 解得a=2;…(13分) ③当a≥4时，f'(x)≤0在(0,4]上恒成立f(x)在[0,4]上单调递减， 所以f八x)mn=f(4)=2(4-3a)≤-16<-42，不符合题意，舍去. 综上，a=2.…(15分） 18.命题透析本题考查双曲线的几何性质及双曲线与直线的位置关系. 解析(1)由题可设双曲线的方程为号一 =1(a>0,b>0). 因为C的一条渐近线的方程为y=√2x, 所以b=2,即b=2a,①… (1分) 又因为C过点(3,23)，所以3-（25 62 -=1,② (2分) 联立①②，解得=√3，b=√6.… (3分) 所以C的方程为- (4分) (2)(i)设1的方程为y=kx+m. ry=kx +m, 联立得 消去y,得(2-2)x2-2hmx-(m2+6)=0,… (5分) 36=1, 则2-k2≠0， 由△=(-2km)2+4(2-2)(m2+6)>0,得3k2<m2+6, —6 设4()，8队).测+046中点的横坐标为。 x+x2。km 22-2 …(7分) C的渐近线方程为y=±√2x, 联立1的方程与y=2x,得Mm,2m …(8分) √2-k'-k 联立l的方程与y=-2x,得N二m,2m (9分) 2+k'√2+k 则MN中点的横坐标为中=2(2一k*2+2所以中= 1 m+m km …(10分) 又两个中点都在1上，所以y中=y'中， 故MN与AB的中点相同.…(11分) (i)将年2代入y=短+m,得=+m=k 2-2+m= km 2m 2-k2 由)2三2.得213 (12分) 1与两条坐标轴的交点的坐标分别为(0，m)和(-公，0 m>0. [m >0 因为1与两条坐标轴的正半轴相交，所以 即 (13分) m>0,k<0 因为1与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为2， 所以2(-）=3，化简得m2=-k,④ (14分) 将④代入③，得m=2-2=2-m,即m+m=2, (15分) 因为m>0,所以m=1,则k=-1,满足3k2<m2+6. 故l的方程为y=-x+1,即x+y-1=0.… (17分) 19.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.。 解析(1)当a=-1时，f(x)=xnx-x+1,x∈(0，+o)f'(x)=lnx,…(1分) 令f(x)<0,得0<x<1,令f'(x)>0,得x>1, 所以f八x)在(0,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增.…(2分) 因此f代x)极小值=f(1)=0,无极大值.…(3分) (2)当a=2,xe(L,+o)时x)>mx-m-1即nx+2x-2>mx-m-l,也即m<nx+2x-1 x-1 令0血测g》 x-1 ,…(4分) 令h(x)=-nx+x-2,xe(1,+0),则h'(x)=x-1>0, 7 所以h(x)在(1，+的)上单调递增，…(5分) 又h(3)=-ln3+1<0,h(4)=-2ln2+2>0, 所以存在唯一的x0∈(3,4)，使得h(xo)=0,即lnx0=x0-2,… (6分)】 故当xe(1,x)时，h(x)<0,g(x)单调递减，当xe(xo,+)时，h(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)≥g()=n+2。-1后-1 %o-1 0-1=+1, 则m<X0+1.… (8分) 因为x0∈(3,4)，所以x0+1∈(4,5)， 所以m的最大整数值为4.… (9分) (3)由题可知f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)=lnx+1+a, 令f'(x)<0,得x<ea+),令f(x)>0,得x>ea+, 所以f代x)在(0，ea+D)上单调递减，在(ea+,+∞)上单调递增， f(x)min =f(e-(1))=e-(a+DIn e-(a+1)+ae-(a+1)-a =-(a+1)e-(a+1)+ae-(a+1》-a=-e-(a+10-a.… (11分) 当a>0时fx)m=-e(a+)-a<0,且当x0*时，f(x)一-a<0,当x→+0时，f(x)一+0，故存在唯一 零点。…(12分) 当a=0时f八x)=xnx,零点为x=1,仅有1个零点.…(13分) 当a<0时，f(x)m=-ea+-a,令t=-(a+1),则t>-1fx)n=-c+t+1. 令s(t)=-e+t+1,t>-1,则s'(t)=-e+1, 当-1<t<0时，s'(t)>0,当t>0时，s'(1)<0, 故s(t)在(-1,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 故s(t)mx=s(0)=0, 所以当t=0,即a=-1时f(x)m=-e《-1+》-(-1)=0,此时f(x)有且仅有1个零点，…(15分) 当1≠0，即a≠-1，也即a∈(-∞，-1)U(-1,0)时，s(t)<0,即f(x)m<0,又当x→0时，f(x)→-a>0, 当x→+∞时，f(x)→+的，数形结合易知此时f八x)有2个零点.…(16分) 综上，实数a的取值范围是{-1}U[0,+∞).…(17分) —8