20.1勾股定理及其应用 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1勾股定理及其应用 A，B，C的面积有什么关系？ 数学家毕达哥拉斯有一次去朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察左面的图案，看看你能发现什么. 打卡点1 : 历史背景站 勾股定理 的历史 打卡点2 : 实验探究站 勾股定理 的发现及证明 毕达哥拉斯 特殊 a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. 边长为，a，b的正方形 分割4个全等的三角形和1个正方形 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b- a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 等面积法证明勾股定理 方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： 左图： 右图： 你还有其他办法求C的面积吗？ 根据前面求出的 C 的面积直接填出下表： A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 思考 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 探究新知 A C B SA  SB  SC A B C 面积/格 13 4 9 ？ 探究新知 类比得到 A'，B'，C' 的面积关系？ A' C' B' A' B' C' 面积/格 16 9 25 SA'SB'SC' 2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　) A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 C 知识点三 利用勾股定理求最短距离 例4 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3，问梯子最短需多少米? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 针对练习 1.作 8 个全等的直角三角形(2 条直角边长分别为 a、b斜边长为 c)再作3个边长分别为 a、b、c 的正方形把它们拼成两个正方形(如图)你能利用这两个图形验证勾股定理吗? 写出你的验证过程. 解:由图可知大正方形的边长为：a+b则面积为(a+b)2，图中把大正方形的面积分成了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为b，宽为a的长方形.根据同一个图形面积相等，由左图可得(a+b)2=a2+b2+4× ab，由右图可得(a+b)2=c2+4× ab.所以a2+b2=c2. 例4 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、 C都在格点上，求AB边上的高. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 典例精析 A B C 网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高. D A B C 解：如图所示. 练一练 如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 画出一个三角形的长分别为 . 初步应用定理 练习1 求下列直角三角形中未知边的长度．　　 A B C 4 6 x C B A 5 10 x 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？ 9米 12米 绝对挑战 作业布置 【知识技能类作业】必做题：  3.如图，点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°，AE=6, BE=8，则阴影部分的面积是( ) A.48 B.60 C.76 D.80 4.如图，网格的边长为1，在△ABC中，边长为无理数的边数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C D 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 5.设a＝，b＝2，c＝.若a，b，c 为Rt△ABC 三边长，求x的值. 解：(2)方法一：分三种情况①当a2＋ 解：(2)方法一：分三种情况： ①当a2＋b2＝c2，即8－x＋4＝6，解得x＝6； ②当a2＋c2＝b2，即8－x＋6＝4，解得x＝10； ③当b2＋c2＝a2，即4＋6＝8－x，解得x＝－2. 又∵x≤8，∴x＝6或－2. 方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边且c＞b， ∴存在两种情况： ①当a2＋b2＝c2，即8－x＋4＝6，解得x＝6； ②当b2＋c2＝a2，即4＋6＝8－x，解得x＝－2. ∴x＝6或－2. 小结 勾股定理的应用 利用勾股定理在数轴上表示出无理数的点 利用勾股定理验证“HL” 利用勾股定理求两点之间的距离. 谢谢同学们的聆听 $