20.1 勾股定理及其应用 课件2025-2026学年 人教版八年级数学下册

　20.1 勾股定理及其应用 数学　八年级下册 　勾股定理的证明及简单应用 数学　八年级下册 1.如图，画一个Rt△ABC，使得a＝3，b＝4， 测得c＝ ， 则a2＋b2＝ ， c2＝ ， 所以a2＋b2 c2. 提出问题：以上结论对任意直角三角形都成立吗？ 5 25 25 ＝ 数学　八年级下册 2.（新教材P24赵爽弦图改编）如图，用4个全等的直角三 角形拼成一个大正方形，则： (1)大正方形的面积为 　 ； (2)大正方形的面积还可以 表示为 ； (3)于是得到等式 ， 化简为 ． (a＋b)2　 c2＋2ab (a＋b)2＝c2＋2ab a2＋b2＝c2 数学　八年级下册 勾股定理：直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 几何语言：如图, ∵ , ∴ ． ∠C＝90° a2＋b2＝c2 数学　八年级下册 3. (新教材P25 T1改编)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°, BC＝5,AC＝12,求AB的长． 解：在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∴AB＝ ＝ ＝13. 数学　八年级下册 4.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝6,AC＝8,求AB的长． 解：在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∴AB＝ ＝ ＝10. 数学　八年级下册 5.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c.若 a＝2,b＝2 ,求c及△ABC的周长． 解：在Rt△ABC中,∠C＝90°, ∴c＝ ＝ ＝4. ∴△ABC的周长为 a＋b＋c＝2＋2 ＋4＝6＋2 . 数学　八年级下册 6.(新教材P26 T3改编)如图,在平面直角坐标系中有点 A(5,0),B(0,4),C(－4,0). (1)求A,B两点间的距离； (2)△BOC的周长＝ ． 解：(1)在Rt△AOB中,根据勾股定理, AB2＝OA2＋OB2＝42＋52＝41, ∴AB＝ . 数学　八年级下册 7.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝6,BC＝3,求AC的长 及△ABC的面积． 解：在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∴AC＝ ＝ ＝3 . ∴S△ABC＝ AC·BC＝ ×3 ×3＝ . 数学　八年级下册 总结： (1)已知直角三角形任意两边,必可用勾股定理求出第三边． (2)若直角三角形的三边是正整数,则称这三个数为勾股数． (3)常见勾股数：①3,4,5；② 6,8,10；③5,12,13. 数学　八年级下册 8.在Rt△ABC中,斜边BC＝ ,则BC2＋AB2＋AC2＝ ． 9.(新教材P26 T3改编)在平面直角坐标系中,点P(－15,8)到 原点的距离是 ． 4 17 数学　八年级下册 10.(新教材P23探究改编)如图,每个小方格的面积均为1, △ABC为直角三角形,∠ACB＝90°,三个正方形的面积分 别为S1, S2, S3. (1)S1＝ , S2＝ , S3＝ ； (2)S1, S2, S3之间的数量关系为 ． 4 9 13 S1＋S2＝S3 数学　八年级下册 11.(新教材P26 T2改编)如图是一株美丽的勾股树, 其中所有 的四边形都是正方形, 所有的三角形都是直角三角形． 若正方形A, B, C, D的面积分别是3, 5, 2, 3, 则正方形E 的面积是 , 正方形F的面积是 , 正方形G的面积是 ． 8 5 13 数学　八年级下册 12.(新教材P29 T2)如图, 等边三角形ABC的边长为6, 求： (1)高AD的长； (2)等边三角形ABC的面积． 数学　八年级下册 解：(1)∵△ABC是等边三角形, AD为高, ∴BD＝CD＝ BC＝ ×6＝3. 在Rt△ABD中, AD＝ ＝ ＝3 . (2)∵BC＝6, AD＝3 , ∴S△ABC＝ BC·AD＝9 . 数学　八年级下册 13.(新教材P32阅读与思考改编)勾股定理的证明方法有400 多种, 其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和 Rt△DEC按如图所示的方式摆放, 使点A, E, D在同一条 直线上, ∠A＝∠D＝90°, 则可借助图中几何图形的面积 关系来证明a2＋b2＝c2.请写出证明过程． 数学　八年级下册 证明：如图, 连接BC. ∵Rt△ABE≌Rt△DEC, ∴∠AEB＝∠DCE, BE＝EC＝c. ∵∠D＝90°, ∴∠DCE＋∠DEC＝90°. ∴∠AEB＋∠DEC＝90°. ∴∠BEC＝90°.∴△BEC是等腰直角三角形． 数学　八年级下册 ∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△CDE＋SRt△BEC, ∴ . ∴ . ∴a2＋b2＝c2. 数学　八年级下册 　勾股定理的应用(1) 数学　八年级下册 1. (新教材P27 T2改编)如图, 长13 m的梯子靠在墙上, 梯 子的底部离墙角5 m, 求梯子的顶端离地面的距离AB的值． 解：在Rt△ABC中, ∠ABC＝90°, ∴AB＝ ＝ ＝12(m). 数学　八年级下册 2.(新教材P30 T2改编)如图, 一棵树在离地面6米处(点B)折 断, 树顶部(点A)落在离树底部(点C)8米处, 则树折断前有 多高？ 解：在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∴AB＝ =10(米). ∴AB＋BC＝10＋6＝16(米). 答：树折断前高16米． 数学　八年级下册 3. (新教材P26例2改编)一个门框的尺寸如图所示． (1)求AC的长． (2)一块长3 m, 宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？( ≈2.24) 解：(1)在Rt△ABC中, 根据勾股定理, AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5, ∴AC＝ ≈2.24 m. (2)∵2.24>2.2, ∴一块长3 m, 宽2.2 m的长方形薄木板能从门框内通过． 数学　八年级下册 4.(新教材P30 T4改编)一个长方形零件的尺寸(单位：mm) 如图所示, 求两孔中心A和B的距离． 解：依题意, 得AC＝150－60＝90(mm), BC＝180－60＝120(mm). 在Rt△ABC中, 根据勾股定理, AB2＝AC2＋BC2＝902＋1202＝1502.∴AB＝150 mm. ∴两孔中心A和B的距离为150 mm. 数学　八年级下册 5. 如图, 一架长25 m的梯子AB斜靠在竖直的墙上, 梯子 底端离墙7 m. (1)此时梯子顶端离地面多少米？ (2)若梯子顶端下滑4 m, 则梯子底端将向 左滑动多少米？ 数学　八年级下册 解：(1)依题意, 得AB＝25 m, BE＝7 m. 在Rt△ABE中, ∠E＝90°, 答：此时梯子顶端离地面24 m. ∴AE＝ ＝24(m). (2)依题意, 得CD＝25 m,CE＝24－4＝20(m). 在Rt△CDE中, ∠E＝90°, ∴DE＝ ＝15(m). ∴BD＝DE－BE＝15－7＝8(m). 答：梯子底端将向左滑动8 m． 数学　八年级下册 6.(新教材P26例3改编)如图, 一架长5 m的梯子AB斜靠在一 竖直的墙上, 这时AO的距离为4 m．如果梯子的顶端A沿 墙下滑1 m, 那么梯子底端B外移多少米？ 解：∵AB＝5 m, AO＝4 m, ∠AOB＝90°, ∴BO＝ ＝3(m). ∵OC＝AO－AC＝4－1＝3(m),CD＝5 m, ∠COD＝90°, ∴OD＝ ＝4(m). ∴BD＝OD－OB＝1(m). 答：梯子底端B外移1 m． 数学　八年级下册 7.(新教材P28引例改编)如图, O为数轴原点, 首先在数轴上 找出表示3的点A, 则OA＝3, 然后过点A作直线l垂直于OA, 在l上取点B, 使AB＝2.最后以原点O为圆心, OB长为半径 作弧, 则弧与数轴正半轴的交点C表示的实数为 ． 数学　八年级下册 8.(2025·海珠区期末改编)如图, 在数轴上, 以原点O为圆心、 OB为半径画弧交数轴于点A.若点A所表示的数为x, 则x 的值为 ( ) A． B．－　　　 C．2　　　 D．－1 B 数学　八年级下册 9.如图, 根据图形中的已知条件, 可求得阴影部分(半圆)的 面积是 cm2. 8π 数学　八年级下册 10.如图, 有一块长方形花圃, 有少数人为了避开拐角走“捷 径”, 在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 m 的路, 却踩伤了花草． 4 数学　八年级下册 11.如图, 在边长为1的小正方形网格中, 线段AB的端点都在 格点上(小正方形的顶点叫格点). (1)【实践与操作】在网格内以AB为边作正方形ABCD； (点C, D在格点上) (2)【应用与计算】线段AB的长为 , 正方形ABCD的面 积为 ． 解：(1)如图, 正方形ABCD即为所求． 20 数学　八年级下册 12.如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, AC＝ , BC＝2 . (1)AB＝ ； (2)已知D是AB上一点, 连接CD, 当CD的长度最短时, AD ＝ ． 5 1 数学　八年级下册 13.(新教材P28思考改编)在八年级上册中, 我们曾经通过探 究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等, 学习了勾股定理后, 你能证明这一结论吗？ 先画出图形, 再写出已知、求证如下： 已知：如图, 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, ∠C＝∠C′＝90°, AB＝A′B′, AC＝A′C′. 数学　八年级下册 求证： ． 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, ∠C＝∠C′＝90°, 根据勾股定理, BC＝ , B′C′＝ ． 又∵AB＝A′B′, AC＝A′C′, ∴ ． ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). △ABC≌△A′B′C′ BC＝B′C′ 数学　八年级下册 　勾股定理的应用(2) 数学　八年级下册 直角三角形中, 已知任意两边求第三边 1.如图, 在Rt△ABC中, BC＝5, AB＝13, 则AC＝ . 2.一直角三角形的两边长分别为1, 2, 则第三边的长为 ． 12 数学　八年级下册 勾股定理与方程思想 3. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, 已知BC＝5, AB＝AC ＋1, 求AC的长． 解：在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∴AC2＝AB2－BC2＝(AC＋1)2－25, 解得AC＝12. 数学　八年级下册 4.(新教材P44 T7改编)如图, 大风把一棵树刮断, 已知被刮 断前树高8 m, AC＝4 m, 求树折断处与地面的距离(即BC 的长). 解：在Rt△ABC中,∠C＝90°, AB＝8－BC, ∴(8－BC)2＝BC2＋16, 解得BC＝3. 答：树折断处与地面的距离为3 m． 数学　八年级下册 勾股定理与折叠 5. (新教材P31 T11改编)如图, 在Rt△ABC中, ∠B＝90°, AB＝3, AC＝5.将△ABC折叠, 使点C与点A重合, 折痕为 DE, 求BE的长． 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 BC＝ ＝ ＝4. 由折叠知AE＝EC,∴AE＋BE＝4. 在Rt△ABE中, ∠B＝90°,∴AE2＝AB2＋BE2. ∴(4－BE)2＝32＋BE2,解得BE＝ . 数学　八年级下册 6.如图, 在Rt△ABC中, ∠B＝90°, AB＝6, BC＝8.将 △ABC折叠, 使点B恰好落在斜边AC上, 与点B′重合, AE 为折痕, 求EB′的长． 解：设EB′＝x. ∵∠B＝90°, AB＝6,BC＝8, ∴AC＝ ＝10. 由折叠的性质可知,BE＝EB′＝x, 数学　八年级下册 AB′＝AB＝6, ∠EB′A＝∠B＝90°, ∴CB′＝AC－AB′＝4, EC＝BC－BE＝8－x. 在Rt△EB′C中, 由勾股定理, 得EB′2＋CB′2＝EC2, 即x2＋42＝(8－x)2, 解得x＝3. ∴EB′＝3. 数学　八年级下册 总结：①由折叠区域全等, 得对应边、对应角相等； ②在“非折叠区域(一般是直角三角形)”, 设x列方程 求解． 数学　八年级下册 7.在Rt△ABC中, ∠C＝90°, AC＝6, BC＝8, 则斜边上的高 是( ) A．10 B．2.4 C．4.8 D．5 C 数学　八年级下册 8.在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC∶AC＝3∶4, AB＝25 cm, 则BC＝ . 15 cm 数学　八年级下册 9.(新教材P31 T9改编)如图, 一处台阶的高h＝20 cm, 为了 行走方便, 准备在台阶处修建一个水泥坡道．如果所修坡 道的坡度 为 , 那么所修坡道的长度l为多少？(结果保 留根号) 解：∵h＝20 cm, ＝ , ∴d＝200 cm. 数学　八年级下册 由勾股定理, 得 l2＝h2＋d2＝40 400. ∴l＝ ＝20 (cm). 答：所修坡道的长度l为20 cm. 数学　八年级下册 10.(新教材P31 T10改编)如图, 池底是一个正方形, 边长为 10尺, 在水池的正中央有一根芦苇, 它高出水面1尺．如 果把这根芦苇拉向水池一边的中点, 它的顶端恰好到达 池边的水面, 求这根芦苇的长度． 解：设这根芦苇的长度为x尺． 依题意, 得(x－1)2＋(10÷2)2＝x2, 解得x＝13. 答：这根芦苇的长度为13尺． 数学　八年级下册 11.【重要模型】如图, 在平面直角坐标系中, 将长方形 AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上), 折叠后顶点D恰好 落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10, 8), 求点E的 坐标． 解：依题意, 设点E的坐标为(10, m). 由折叠可知,EF＝DE＝8－m,AF＝AD＝10. 数学　八年级下册 又∵AO＝CD＝8, ∴在Rt△AOF中, 根据勾股定理, 可得 OF＝ ＝6. ∴CF＝OC－OF＝10－6＝4. 在Rt△CEF中, 根据勾股定理, 可得 CE2＋CF2＝EF2, 即m2＋42＝(8－m)2,解得m＝3. ∴点E的坐标为(10, 3). 数学　八年级下册 12.如图, 在Rt△ABC中 , ∠ACB＝90°, AB＝5 cm, AC＝ 3 cm.动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动, 设 运动的时间为t s． (1)求边BC的长； (2)当△ABP为直角三角形时, 求t的值． 解：(1)在Rt△ABC中, 由勾股定理, 得 BC＝ ＝ ＝4 (cm)． 数学　八年级下册 (2)依题意, 得BP＝t cm. ①当∠APB为直角时, 如答图1, 点P与点C重合, BP＝BC＝4 cm, ∴t＝4； 数学　八年级下册 ②当∠BAP为直角时, 如答图2, BP＝t cm, CP＝(t－4) cm, AC＝3 cm. 在Rt△ACP中, AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2. 在Rt△BAP中, AP2＝BP2－AB2＝t2－52. ∴32＋(t－4)2＝t2－52,解得t＝ . 综上所述, 当△ABP为直角三角形时, t的值为4 或 . 数学　八年级下册 勾股定理的应用(3)——特殊直角三角形 数学　八年级下册 勾股定理与等腰直角三角形 1. 如图所示, 求下列三角形中未知的两条边长． 解：①∵∠C＝90°, ∠A＝45°, ∴BC＝AC＝2. ∴AB＝ ＝2 . 数学　八年级下册 ②∵∠C＝90°, ∠A＝45°, ∴AC＝BC, AC2＋BC2＝AB2＝4. ∴AC＝BC＝ . 数学　八年级下册 2.(新教材P30 T7(2)改编)如图, 在△ABC中, ∠C＝90°, ∠A＝45°, AB＝10, 求BC, AC的长． 解：∵∠C＝90°, ∠A＝45°, AB＝10, ∴BC＝AC, BC2＋AC2＝AB2＝100. ∴BC＝AC＝5 . 数学　八年级下册 勾股定理与含30°角的直角三角形 3. 根据图中信息解答下列问题． (1)图1中, AB＝ , BC＝ ； (2)图2中, AC＝ , BC＝ ； 4 1 数学　八年级下册 (3)图3中, 求AC的长． 解：(3)设AC＝x, 则AB＝2x. 在Rt△ABC中, 由勾股定理, 得(2x)2＝x2＋22, 解得x＝ . ∴AC＝ . 数学　八年级下册 4.(新教材P30 T7(1)改编)如图, 在△ABC中, ∠C＝90°, ∠A＝30°. (1)若BC＝3, 则AB＝ , AC＝ ； (2)若AC＝3, 求AB和BC的长． 6 解：(2)设BC＝x, 则AB＝2x. 在Rt△ABC中, 由勾股定理,得(2x)2＝x2＋32, 解得x＝ , ∴AB＝2 , BC＝ . 数学　八年级下册 总结：①等腰直角三角形的三边长之比为1∶1∶ ； ②含30°角的直角三角形的三边长之比为1∶2∶ ； ③含30°或45°角的直角三角形中, 已知任一边可 求另外两边． 数学　八年级下册 5.如图, 在△ABC中, BC＝2, ∠A＝45°, ∠B＝60°, 求AC 的长． 解：如图, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D. ∵∠B＝60°, ∠BDC＝90°, BC＝2, ∴BD＝ BC＝1. ∴CD＝ ＝ . ∵∠A＝45°, ∠ADC＝90°,∴AC＝ CD＝ . 数学　八年级下册 6.如图, 在△ABC中, ∠B＝30°, ∠C＝45°, AC＝ , 求 BC的长． 解：如图, 过点A作AD⊥BC于点D. ∵∠C＝45°, ∠ADC＝90°, AC＝ , ∴AD＝CD＝ ＝ ＝1. ∵∠B＝30°, ∠ADB＝90°, ∴BD＝ AD＝ . ∴BC＝BD＋CD＝ ＋1. 数学　八年级下册 【方法技巧】在含“30°, 45°”或“60°, 45°”的三角形中, 常通过作高得到两个共边的特殊直角三角形求解． 数学　八年级下册 7.如图, 一建筑物AB的高为6 m, 当太阳光与地面的夹角为 60°时, 求其影子AC的长度． 解：由题意, 得∠ACB＝60°,AB⊥AC, ∴∠ABC＝90°－∠ACB＝30°. ∴AC＝ ＝ ＝2 (m). ∴其影子AC的长度为2 m． 数学　八年级下册 8.如图, 在△ABC中, ∠BCA＝90°, ∠A＝30°, AB＝4, CD⊥AB于点D, 求CD的长． 解：∵∠BCA＝90°, ∠A＝30°, ∴BC＝ AB＝ ×4＝2. ∴AC＝ ＝2 . 在Rt△ACD中, ∠A＝30°, ∴CD＝ AC＝ . 数学　八年级下册 9.【易错题】如图, 已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角 形．以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰 Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个 等腰Rt△ADE…… 依此类推, 则第2 026个等腰直角三角 形的斜边长是 . 21 013 数学　八年级下册 10.如图, 强台风过境时, 斜坡上一棵6 m高的大树被刮 断．已知斜坡的坡角α＝30°, 大树顶端A与底部C之间 的距离为2 m, 则这棵大树的折断处与底部的距离BC＝ m. 3.2 数学　八年级下册 11.(新教材P32 T14改编)如图, 已知△ABC和△ADE均为等 腰直角三角形, ∠BAC＝∠DAE＝90°, D为边BC上一点, 连接EC.求证： (1)△AEC≌△ADB； (2)∠ECD＝90°； (3)DE2＝BD2＋CD2； (4)BD2＋CD2＝2AD2. 数学　八年级下册 证明：(1)∵∠DAE＝∠BAC, ∴∠CAE＋∠CAD＝∠BAD＋∠CAD. ∴∠CAE＝∠BAD. ∵△ADE和△ABC均为等腰直角三角形, ∴AE＝AD, AC＝AB. ∴△AEC≌△ADB(SAS). 数学　八年级下册 (2)∵△ABC是等腰直角三角形, ∠BAC＝90°, ∴∠B＝∠ACB＝45°. 由(1)得△AEC≌△ADB, ∴∠ECD＝∠ACB＋∠ACE＝90°. ∴∠ACE＝∠B＝45°. 数学　八年级下册 (3)由(1)得△AEC≌△ADB, ∴CE＝BD. 在Rt△ECD中, 由勾股定理, 得DE2＝CE2＋CD2. ∴DE2＝BD2＋CD2. (4)∵△ADE是等腰直角三角形, ∠DAE＝90°, ∴DE2＝2AD2. 由(3)得DE2＝BD2＋CD2, ∴BD2＋CD2＝2AD2. 数学　八年级下册 $