吉林松原市实验高级中学2025-2026学年度下学期期中考试高三数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1,若复数之满足上=一1一i,则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 段，第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合A=(-1,0,1},B={yly=x2,x∈A),则A∩B= A.(-1,0,1} B.{0,1} C.(-1,1}》 D.(1) 3.春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有 A.240 B.300 C.360 D.480 4.若双曲线-y=1的离心率为2，则实数m= m A.√5 B停 C.3 R号 5.设△ABC满足：AB·AC=0,(Ai+AC)·BC=0,BC=2,则AB= A.2 B.√3 C.2 D.1 6.已知P是抛物线C:y2=2x(p>0)上的动点，若点P到直线y=x十3距离的最小值为√2，则p= A.1 B.2 C.4 D.10 【学业评估·数学第1页（共4页）】 X-G 7.已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若角A,B,C成等差数列，则sinA十sinB+ sinC的取值范围是 A停，3) B(佰含2，) C. (±，9] xln x,x>0, 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=[f(x)]2+(2a十1)f(x)+2a有4个零点，则 |x2+2x-1|,x≤0， 实数a的取值范围是 A.[0,1] B.(1,2] c(-&,) n(-1,-J] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t(℃)和每天凉茶的销售数量n(单位：杯)，得到以下数据： t(℃) 3 0 57 9 12 n(单位：杯) 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为n=bt十a,则 A.t和n正相关 B.点(6,29)在回归直线上 C.<0 D.含4-0(%-列=191 10.已知函数f(x)=|sinx|十|cosx,则 A函数f(x)的值域为[0，√2] 品.函数f(x)在区间[平，罗]上单调递减 C.函数f(x)的最小正周期为t D.函数f(x)的图象关于直线x=一对称 4 11.在棱长为1的正四面体S-ABC中，M,N分别是棱AB,BC的中点，则下列说法在确的是 A正四面体S-ABC外接球的颗是誓、 B直线SM和AN所成角的余弦值为行 C可以用棱长为号。 的正方体切割出正四面体S-ABC D,若正四面体S-ABC的内切球为球O,在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和球O、顶角侧面 都相切的小球，则这5个球的半径之和为写 【学业评估·数学第2页（共4页）】 X-G 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设tana=2,则2sinc-cosa= sin a+cos a 13若数列(a}满足a1=1,=十，则am=一· antl an 4.已知函数f(x)=e-x2,g(x)=ax2+(2a+1)x+1nx十1，若对于任意>0，总存在∈ [-2,一1]，使得g(x2)≤f(x1),则实数a的取值范围是 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 据医学统计，某地区男生患色盲的概率为5%~8%，女生患色盲的概率为0.5%~1%，患色盲的学生 在高考志愿填报时限报医学、生物类等专业.已知该地区某学校高三年级有男生500人，女生400人. (1)依据医学统计，按照志愿填报规定，估计该学校高三年级至少贿多少名学生因色盲限报医学、生物 类等专业； (2)从该学校高三年级中随机选出一名学生（设男生患色盲的概率为6%，女生患色盲的概率为 0.5%),则这个学生患色盲的概率是多少？ 16.(本小题满分15分) 在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2BC=2CD,AB⊥BC,AB的中点为E,将A点沿DE折起到P点 位置，使得∠PEB=号x,如图所示 (1)证明：BC⊥平面PBE; (2)求平面PBC和平面PDC夹角的正弦值. 【学业评估·数学第3页（共4页）】 X一G 17.(本小题满分15分) 数列{an}满足a1=1,an+1=2an十1. (1)证明{an十1)是等比数列，并求数列{an)的通项公式； 〔an+1,n=2k-1, (2)若bn= k∈N”,设数列{b.)的前n项和为Sn,求Sn. logz (azn+1),n=2k, 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(是-1)+a(x-1)°，a∈R (1)当a=0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)证明：函数f(x)的图象是中心对称图形； (3)若函数f(x)为减函数，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C:苦+若-1(。>6>0)的上，下焦点分别为R,R,直线：2z一3=0和C交于M,N两 点，MF1⊥y轴，P为C上的动点，△PFF2面积的最大值为3. (1)求C的方程； (2)若PM,P衣-，求△PMN的面积； (3)设C上有两点A,B(A,B与M都不重合)满足MA·MB=0,且MD⊥AB,垂足为D,证明：存在 定点Q,使得|DQI为定值. 【学业评估·数学第4页（共4页）】 X-G 高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B因为}-1一所以=十=一0中D=名+之：在复平面内对应的点为(-号，），位于第二 1-i 象限.故选B. 2.B由题意，得集合B={0,1},所以A∩B=(0,1}.故选B. 3.A由题意，得不同的排法种数共有AA=240种.故选A. 4D由题意，得离心率e=2=解得m=子放选D m 5.C因为A,AC=0,所以∠A=受，由(A+Ad·BC=0,得(A范+A心)·(AC-A)=0,即AC-A=0,所以 |AC=|AB,又BC=2,所以AB=√2.故选C 6.B由题意知存在与C相切的直线y=x十b(b<3)到直线y=x+3的距离等于2，所以6-3到 =2，解得b=1 W√12+(-1) y2=2p.x, 或5（舍），由 得x2+(2-2p)x+1=0,令△=(2-2p)2-4=0,解得p=2.故选B. y=x+1, 7.C因为A,B.C成等差数列，所以2B=A+C又A+B+C=元，所以B=吾，A十C-号x,已知△ABC为镜角三角形. 所以0KA<登0<C=号x-A<受·所以晋<A<登mA+smB+mC=号+2sm4生cs42C-号十 2 2 2 6os42C,AC4-(号x-A) 2 2 2 =A-号而吾<A<受，所以-吾<A-晋<吾，所以是<5oA2C<5, 即mA+snB叶s血（∈(5生，3]故选C 8.D当x≤0时，f(x)=|x2+2.x-1|=|(x+1)2-2|,f(-1)=2,当x> 0时，f()=n,f(x)=lnx+1,当x∈(o,)时，f(x)<0,f(x)单 调递减，当（日+）时f()>0)单调递增，且f()=一 当x>0且x0时，f(x)→0，当x>十∞时，f(x)→十∞，画出f(x)的图象 如图所示，g(x)=(f(x)十1)(f(x)十2a),令f(x)=t,显然t=一1与y=f(x)的图象无交点，所以当t=一2a和 y=f0x)的图象有4个交点时g(x)有4个零点，所以1<-2a<2.所以-1<a≤-2故选D 9.ABD对于A,将列表中数据画出(t,n)散点图，可以看出t,n正相关，故A正确；回归直线一定过(t,),1= 3十0+5+7+9十12=6.m-23+17+27士29+36+42=29，故B正确：由，n存在正线性相关关系知6>0，故C错误： 6 6 含-7)-)-=191，放D正确放选ABD l0.BD因为sin(x十π)|=|-sinx=|sinx,|cos(x+π)|=|-cosx=cosxl,所以π是f(x)=sinx|+|cosx 【学业评估·数学参考答案第1页（共6页）】 X-G sin cos 的一个周期，所以只需考虑x∈[0，π]的值域，f(x)= inx十cosx=√2sin(x+T),当 sin c(受，x], ze[0,受]时+晋∈[子]wEsm(x+晋)e[1],sm-cos=反sm(-晋)当xe(受]时x 牙∈（开，子x]w2sim(x-开）∈[12]，所以f)的值域为12]，故A错误；当x∈[开，受]时f(x)=snx +cosx=反sin(x+)x十平∈[受，是元]，所以fx)在[牙，受]上单调递减，故B正确；由于sim(x+受) cos,os(x+受)=-sinx=sinx,所以f(x+)=f(x),函数f(x)的最小正周期不是，故C错误； f(-平×2-x）=sim(-交-x)+os(-交-x)=|-cosx+|-sinx=sinx+cosx=f(x),所以函 数f(x)的图象关于直线x=一不对称，故D正确.故选BD. 1.ABC设△AC的中心为0，正四面体SABC的商A=S0=VS-AO-√F-(号)-5，设正四面体 SABC的外接球的球心为O,半径为R,则R=A0=A0,2+0,0=(号)+（⑤-R),解得R=5,正四面体 S-ABC的外接球体积是号×r×(5）广-x,故A正确：以A店，A心，A)为基底，A=AC=AS=1,AB。 AC,A$两两夹角为于，则A衣=号(AB+AC),Si=号A店-A$,设直线SM和AN所成角为0，则cos0=|cos(SM. AN)I= )(AB+AC)·(号Ai-A$) }游}成.+a花.成aC.店 8 SMIAN SMI AN 3×3 6故 2 、2 B正确：因为正四面体S-ABC的棱长为1，校长为号的正方体各个面的对角线长为1所以用棱长为号的正方体可以 切割出正四面体S-ABC,故C正确；设正四面体S-ABC的内切球O的半径为r,根据等体积法，X×1XA 3 4X号×冬×1X一所以，侣2，一吾-古6，在球0和各个顶角的室踪内且和球0，顶角侧面都相切的小球是校长 4 为号的正四面体的内切球，半径/-×号-，因此这5个球的半径之和为+4×没-气放D结误放选A 12.1因为tana=2,所以2 sin acos=2tan。-=2X2,1-1. sin a+cos a tan a+1 2+1 1 13.4951 因为a1=1, 士+所以士=所以-1女d=12品-2…。=明以上100 +1a ant1 a a 4241 ajon a9p 个等式相加，得1=1十(1+2+…+99)=4951，所以a10=495i a100 14.(-o,-] 若对于任意x2>0,总存在x1∈[一2，一1]，使得g(x2)≤f(x),则g(x)mx≤f(x)m.由f(x) =之e-,得f()=e-2z,当xe[-2,-1门时f(x)>0,f)单调递增，所以f(x)s=f(-1D=六-1. 【学业评估·数学参考答案第2页（共6页）】 X-G 由g(x)=ar+(2a+1)x+1nx十1，得g()=2ax十(2a+1D+1-2a+l)+D,当a≥0时，g(x)>0恒 x x 成立，g(x)在(0，十∞)上单调递增，且x十时，g(x)十，不满足题意；当a<0时，当xe(0,一云)时， g(x)>0,gx)单调递增，当x∈（一品，十∞）时，g(x)<0g(x)单调递减，所以g(x)s=g(-云)=一十 h(一云).由g)<f)a得一品十ln(-云)≤0-1.令(x)=音+hx则公()=号十>0.所以 ()单调递增，又()=6-1.所以由-品十(-云)≤-1，得A(-云)<()），所以-品<，解得a≤ 号，所以实数a的取值范围是(-∞，一]】 15.解：(1)由题意知男生患色盲的概率的最小值为5%，所以500×5%=25，… …2分 女生患色盲的慨率的最小值为0.5%，所以400×0.5%=2，… …4分 所以估计该学校高三年级至少有27名学生因色盲限报医学、生物类等专业.…6分 (2)从该学校高三年级中随机选出一名学生，是男生记为事件A,患色盲记为事件B, 则PA)8-号，PA)8专PBA）=6%.p(BA)=0.5%.】 0分 所以P(B)-P(AP(BA+P(AP(BA)=号X6X+号X0.5%=盒， 即从该学校高三年级中随机选出一名学生，这个学生患色言的概率是品 …13分 16.(1)证明：在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2BC=-2CD,AB⊥BC,AB的中点为E,所以四边形EBCD是正方形，所以 DE⊥AE,在四棱锥P-EBCD中，DE⊥PE,DE⊥EB,… …2分 又DE∥BC,所以BC⊥PE,BC⊥EB,…4分 又BE∩PE=E,BE,PEC平面PBE,所以BC⊥平面PBE.·6分 (2)解：过D点作DD'⊥平面BCDE,以D为坐标原点，DE,DC,D币分别为 D x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令BE=BC 1,则D(0,0,0),E(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), 因为∠PEB=号x,所以P(1,-之) i=10.0.Pi=(0.,-)心=01.0).Di=(1,-号) …8分 fn·CB=0, x=0, 设平面PBC的法向量为1=(xy,之)，则 即 3√3 取x=√3，则=0，y1=1,所以平面 n1·PB=0, (2y 23=0, PBC的一个法向量1=(0,1,3)，… …10分 n2·DC=0, 「2=0， 设平面PDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则 即 3 1 n·Dp=0,x22%+3 取=5，则4=一是=0，所 22=0, 【学业评估·数学参考答案第3页（共6页）】 X-G 以平面PDC的一个法向量：=(-多，0,3)， 12分 设平面PBC和平面PDC的夹角为9(0≤K变)： 则cos-cosm:1=h调 (0.15).(-0w5) …14分 √+3)V(-)+(3)》 所以s血0-29，即平面PBC和平面PC夹角的正弦值为29. 15分 17.解：(1)已知a1=1,a+1=2an+1,所以a+1+1=2(an+1), 2分 所以数列{an十1}是以a十1=2为首项，2为公比的等比数列， …4分 所以an十1=2m,aw=2m-1.… 6分 (2)当n为奇数时，bn=an十1=2.… …7分 当n为偶数时，a2m十1=22m,b=l0g222=2n.… …8分 ①当n为偶数时，S.=(b十b十…十b-1)+(b2十b4十…十bn)=(2十23十…十2-1)+(4+8+…+2m)= 2X[1-(2)]+ (4+2m)X 2 1-22 2 2 3 11分 ②当n为奇数且m≥3时，S,=S。1十6，=号+m1)2+（m-1) 名+2=22 3 2 261 又5-6=2满足上式，所以5.-等+号-名 6· 14分 2+227 3十2一6n为奇数， 综上所述，S= 15分 十艺十号为偶数 2+1n2 18①解：当a=0时.)=h(2-1)=h2=2-)-hx0<<2所以f)=2所以f1D=0. (1)=-2. 2分 函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y=-2(x-1),即2x十y-2=0. 4分 (②证明：因为f2-x）=h22,2+a[(2-0)-1=h2产+a1-x)=-[n(2-l)+ax-1)] 2-x 一f(x),所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即函数f(x)的图象是中心对称图形. 8分 (3)解：函数f(x)的定义域为(0,2)， 因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且f(1)=0,所以f(x)是减函数的充要条件是f(x)在(1,2)上单调递 减，即f(x)≤0在(1,2)上恒成立.… …9分 ,上+3a6-1,由了)<0e1.2)得a<号2-1 f(x)=x2工 1 所以a≤[号z2--]e1,2). 11分 令g(x)=x(2-x)(x-1)2,x∈(1,2)， 【学业评估·数学参考答案第4页（共6页）】 X-G 则g'(x)=(2-x)(x-1)2-x(x-1)2+2x(2-x)(x-1)=-2(x-1)(2x2-4x十1)， 令g)=0,得=1=1-号a=1+号e12 当x(1.1+号)时，g(x)>0,g()单调递增，当x∈(1+号，2)时，g(x)<0,g(x)单调递减.所以g()的极大 值为g(1+)=是 14分 又g1)=g(2)=0,所以g()的值域为(0，]， 所以y号·2-一D的值城为[号十)，所以a登， 即实数a的取值范围是（一©，受] 17分 19.(1)解：设F1(0,c), 由Mr上销，得M0).所以号+答-1m=名 …1分 又M在直线121一3y=0上，所以w=名2×誓-3=60， a 因为△PFF的面积S=号EFlm<c,且△PP,F面积的最大值为5，所以bc=B@,…3分 联立①②及a2=b+c2,得a=2,b=√3，c=1, 所以C的方程为米+苔=1. …4分 (2)解：由(1D知M(号1)N(-号，-1)设P(o).则￥+号=1③. …5分 Pi.p成=，Pi=(-,1-）p或=(--，-1-）， 所以(3-)(-多-)+1-)(-1-)=子@. …7分 联立③④得x0=0,%=士2，即P(0,±2)， 所以△PMN的面积为2X号X0Pw=2X号=3(0为坐标原点).…9分 (3)证明：方法一：设点A(x1,y1),B(x2,y2), 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx十m, 代入椭圆方程消去y并整理得(4+3k2)x2+6kmx+3m2一12=0，△>0， 所以x1十x2= 4+320x2=3m2-12 6km 4+3k 11分 因为i·应=0，即(a-)(-多)+(n-1D(g-1)=0, 将=x十m:为=友x:十m,代入整理可得（皮+1）x,十(m一k一是)（十）十(m一1)2+号=0。 所以+1D2+(m女2（中）上w1D+是=0， 6km 13分 【学业评估·数学参考答案第5页（共6页）】 X-G 整理化简得(3k+2m-2)(3k-14m十2)=0， 因为M(号，1)不在直线AB上，所以3k+2m-2≠0， 放3k-14m+2=0,k≠号，于是AB的方程为y=(x+是)+号（≠号： 所以直线AB过定点E(一是，号)】 14分 当直线AB的斜率不存在时，可得B(x1,一y), 由Mi.M城=0，得(a-2)(a-2)+(n-1)(--1D=0, 即(-名)广+1-=0，结合+等-1可得28a-36-9=0,解得=员或=多（舍. 此时直线AB过点E(-一是，号)。 …15分 综上所述，直线AB过定点E(-是，)， 令Q为M证的中点，即Q(是，号)， 由MD.LAB2知D点在以ME为直径的圆上，取ME的中点Q(号，号)即为所求.且DQ=号ME=35 7 17分 方法二：当MA,MB的斜率都存在时，将原坐标系平移，原来的O点平移至点M处，则在新的坐标系下椭圆的方程为 y+1)2 (x+2】 312 4 3 =1,即4x2+3y2+12x+6y=0.… ……10分 设直线AB的方程为mx十ny=1,所以4zx2十3y2十12x(m.x十ny)十6y(mx十y)=0, 化简，得(6m+3)y2+(6m+12m)zy+(12m+4)r2=0,即(6m+3)()）°+(6m+12m)()+(12m+4)=0.…12分 设A(my),B(,2),因为MA.M亦=0且A,B与M都不重合，所以MA⊥MB, 即k·km=益·之-12专-1，即m=-名b 7 x1x2 6n3 …13分 代入直线AB的方程，得a(一宁)一多一1=0，则在新坐标系下直线AB过定点(-号，-号），则在原坐标系下 过定点E-马，牙)…四 14分 当MAMB中有一条直线的斜率不存在时，AB的方程为y=号，此时AB经过E点。 综上所述，直线AB过定点E(-是，)： 15分 令Q为ME的中点，即Q(是，号)： 由MDLAB知D点在以ME为直径的圆上，取M证的中点Q(号，号)即为所求，且DQ-之1ME-35. …17分 【学业评估·数学参考答案第6页（共6页）】 X-G