专题9 矩形、菱形与正方形中的计算与证明（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（华东师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形的计算与证明，以性质判定为基础，通过全等、旋转、动态问题构建系统性解题方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形计算与证明|1题|中点+对角线性质证矩形，勾股定理求面积|特殊四边形性质→判定→综合应用| |矩形旋转综合|1题|旋转性质证全等，角度计算|特殊四边形性质→判定→综合应用| |正方形性质与变换|1题|构造辅助线证全等，折叠性质应用|特殊四边形性质→判定→综合应用| |矩形动态问题|1题|动点问题分类讨论，平行四边形与矩形判定|特殊四边形性质→判定→综合应用| |正方形综合实践|1题|转化思想，翻折证正方形|特殊四边形性质→判定→综合应用|

专题9　矩形、菱形与正方形中的计算与证明 1.［成都市］（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD的中点为E，连结OE并延长至点F，使得EF＝OE，连结CF、DF. （1）求证：四边形OCFD是矩形； 解：证明：∵CD的中点为E，∴DE＝CE. ∵EF＝OE，∴四边形OCFD是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°. ∴四边形OCFD是矩形. （2）若EF＝5，BD＝16，求菱形ABCD的面积. 解：∵OE＝EF＝5，BD＝16， ∴OF＝2EF＝10，OD＝OB＝BD＝8. ∴CD＝OF＝10. ∴OC＝＝＝6. ∴AC＝2OC＝12. ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96. 2.（9分）如图，矩形ABCD绕点B旋转，使点C落到AD上的点E处，AB＝AE，连结AF、AG. （1）求证：△AGB≌△AFE； 解：证明：∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD. 由旋转的性质，得∠GBE＝∠ABC＝∠C＝∠FEB＝90°，BG＝AB＝CD＝EF， ∴∠ABG＝∠AEF.∴△AGB≌△AFE（SAS）. （2）求∠GAF的度数. 解：∵AB＝AE，∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°.∴∠ABG＝∠AEF＝45°. 由旋转的性质，得AB＝BG＝CD＝EF＝AE， ∴∠BAG＝∠EAF＝×（180°－45°）＝67.5°. ∴∠GAF＝360°－∠BAE－∠BAG－∠EAF＝360°－90°－67.5°－67.5°＝135°. 3.（10分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE＞CE），连结BE、DE. （1）尺规作图：过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG＝BF，连结DG、EG； 解：作图如图所示.（作法不唯一） （2）求证：BE＝GE； 解：证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AC， ∴∠ACB＝45°，∠FEC＝90°.∴∠EFC＝45°. ∴EF＝EC，∠EFB＝∠ECG＝135°. 在△BEF和△GEC中，∵BF＝GC，∠EFB＝∠ECG，EF＝EC， ∴△BEF≌△GEC（SAS）.∴BE＝GE. （3）若BE＝，求DG的长. 解：∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）. ∴BE＝DE.由（2）可得BE＝GE，∠BEF＝∠GEC， ∴DE＝GE. ∵∠AEB＋∠BEF＝90°，∴∠AED＋∠GEC＝90°. ∴∠DEG＝90°.∴DE2＋EG2＝DG2. ∵BE＝，∴2＋2＝DG2.∴DG＝2.（10分） 4.（11分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10. （1）若G、H分别是AD、BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　四边形EGFH是平行四边形　；（直接填空） 解析：由题意得AE＝CF＝t.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠GAE＝∠HCF.∵G、H分别是AD、BC的中点，∴AG＝AD，CH＝BC.∴AG＝CH.∴△AEG≌△CFH（SAS）.∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，∴∠FEG＝∠EFH. ∴EG∥FH.∴四边形EGFH是平行四边形. （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； 解：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则由勾股定理，得AC＝＝＝10. 连结GH.由题可得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°.∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6. 分两种情况：①如图1，当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6. ∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6.∴t＝2. ②如图2，当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6.∵AE＝CF＝t， ∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6.∴t＝8. 综上所述，当四边形EGFH为矩形时，t＝2或t＝8. （3）在（1）条件下，若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发.若四边形EGFH为菱形，直接写出t的值. t的值为. 解析：如图3，连结AH、CG、GH，AC与GH交于点O. ∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF.∴OA＝OC.∴四边形AGCH为菱形.∴AG＝CG.设AG＝CG＝x，则DG＝8－x.在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD2＋DG2＝CG2，即62＋（8－x）2＝x2.解得x＝.∴t＝（－4）÷1＝ （s）.∴当四边形EGFH为菱形时，t的值为. 5.新考法综合与实践 （11分）【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M.那么AE与BF相等吗？ （1）请直接判断：AE　＝　BF；（填“＝”或“≠”） 在【问题情境】的基础上，小明继续探索以下问题： 【问题探究】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足为M.那么GE与BF相等吗？证明你的结论； GE＝BF. 证明：如图①，作AH∥EG，交BC于点H. 图① ∵EG⊥BF，∴AH⊥BF. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC. ∴四边形AHEG是平行四边形. ∴GE＝AH.由（1）知AH＝BF.∴GE＝BF. 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，当点M在正方形ABCD的对角线AC上时，连结BG，将△BMG沿着BG翻折，点M落在点M′处.那么四边形BMGM′是正方形吗？并说明理由. （3）四边形BMGM′是正方形. 理由如下：如图②，连结DM. 图② 由（2）的结论可知GE＝BF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAM＝∠DAM＝45°. 在△BAM和△DAM中，∵AB＝AD，∠BAM＝∠DAM，AM＝AM， ∴△BAM≌△DAM（SAS）. ∴∠ABM＝∠ADM，BM＝DM. 由折叠的性质，得GM＝GM′，BM＝BM′. ∵∠BAG＋∠BMG＝180°，∴∠ABM＋∠AGM＝180°. ∵∠DGM＋∠AGM＝180°，∴∠DGM＝∠ABM. ∴∠DGM＝∠GDM.∴GM＝DM. ∴GM＝BM.∴GM＝GM′＝BM＝BM′. ∴四边形BMGM′为菱形. ∵∠GMB＝90°，∴四边形BMGM′为正方形.（11分） 学科网（北京）股份有限公司 $