专题8 平行四边形中的计算与证明（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（华东师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦平行四边形性质应用，通过作图、证明、计算及动态问题，系统提炼全等判定、勾股定理、中位线等解题方法，构建从概念到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作图与证明|2问|尺规作图（垂直平分线）、AAS/SAS全等判定|平行四边形对边平行性质→全等条件推导→规范证明表达| |性质应用与计算|2问|勾股定理求线段长、中位线定理|垂直平分线性质→全等性质转化→几何计算模型构建| |动态问题与存在性|1题|动点分类讨论（相遇、平行四边形存在）|平行四边形对边相等性质→动点路径分析→方程思想解决存在性问题|

专题8　平行四边形中的计算与证明 1.（10分）如图，在▱ABCD中，连结BD. （1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BD、BC于点M、O、N；（不要求写作法，保留作图痕迹） 解：如图，MN即为所求. （2）连结BM、DN，求证：△DOM≌△BON； 解：证明：∵MN垂直平分BD，∴OB＝OD.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO. 在△DOM和△BON中，∵∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，OD＝OB，∴△DOM≌△BON（AAS）. （3）若DM＝10，MN＝12，求BD的长. 解：∵△DOM≌△BON，∴OM＝ON＝MN＝×12＝6. 在Rt△MOD中，∠MOD＝90°，OM＝6，DM＝10，∴由勾股定理，得OD＝＝＝8.∴BD＝2OD＝16. 2.［深圳市］（10分）如图，在▱ABCD中，点G、H分别是AB、CD中点，点E、F在对角线AC上. （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件　AE＝CF（答案不唯一）　，使得四边形EGFH是平行四边形，并说明理由； 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠GAE＝∠HCF. ∵点G、H分别是AB、CD的中点， ∴AG＝CH. ∵AE＝CF， ∴△AGE≌△CHF（SAS）. ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH. ∴∠GEF＋∠AEG＝180°，∠HFE＋∠CFH＝180°. ∴∠GEF＝∠HFE. ∴GE∥HF. ∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形. （2）连结BD交AC于点O，若BD＝10，OE＝OF，AE＋CF＝EF，求EG的长. （2）如图，连结BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BD＝10，∴OB＝OD＝5. ∵OE＝OF，OA＝OC， ∴AE＝CF. ∵AE＋CF＝EF， ∴2AE＝EF＝2OE. ∴AE＝OE. ∵点G是AB的中点， ∴EG是△ABO的中位线. ∴EG＝OB＝2.5. 3.（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝5 cm，BC＝9 cm，动点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒3 cm的速度沿▱ABCD的边顺时针匀速运动.设点P的运动时间为t秒（0＜t＜）. （1）当点P在BC上运动时，BP＝　（2t－5）　cm；（用含t的代数式表示） （2）当t＝　　秒时，P、Q两点相遇； （3）是否存在t的值，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 解：存在t的值，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形. 分两种情况：①如图1，当APCQ为平行四边形时，由题意，得PC＝（14－2t）cm，AQ＝3t cm.∴14－2t＝3t.∴5t＝14.∴t＝. ②如图2，当AQCP为平行四边形时，由题意，得AQ＝（28－3t）cm，PC＝（2t－14）cm.∴28－3t＝2t－14.∴5t＝42.∴t＝. 综上所述，t的值为或.（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $