专题4 矩形、菱形与正方形（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（华东师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦矩形、菱形与正方形的性质应用、计算证明及动态综合，以题载法构建“概念-性质-判定-综合应用”逻辑链，渗透数形结合与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|选择1-3|定义辨析与性质直接应用|从边、角、对角线特征构建特殊四边形概念体系| |计算与证明|填空12、解答17|勾股定理、全等推理、倍长中线/中位线法|性质推导→判定应用→直角三角形性质关联| |动态与综合|选择9、解答19|数形结合、新定义探究（垂美四边形）|静态性质→动态变化（折叠/旋转）→跨知识综合（函数/几何）|

专题4　矩形、菱形与正方形 一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列选项中，菱形与正方形都具有的性质是（　C　） A.四个角相等 B.两条对角线相等 C.四条边相等 D.两条对角线把图形分成四个等腰直角三角形 2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝CA，AE交CD于点F，则∠DAF的度数为（　A　） A.22.5° B.20° C.30° D.45° 第2题图 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　B　） 第3题图 A.（3，2） B.（3，4） C.（2，2） D.（2，4） 4.如图，小豫同学利用刻度直尺（单位：cm）测量直角三角形纸片的尺寸，点B、C分别对应刻度尺上的刻度2和8， D为BC的中点.若∠BAC＝90°，则AD的长为（　C　） 第4题图 A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 5.如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE 于点F.若BE＝1，DF＝，则EF的长为（　B　） A.1 B.－ 1 C.＋1 D.2 第5题图 6.如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，且点A（1，m）、C（3，m＋6），反比例函数y＝（x＞0）的图象同时经过点B与点D，则k的值为（　C　） 第6题图 A.3 B.6 C.9 D.12 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，为了使四边形BECF是正方形.可以添加一个条件（　C　） 第7题图 A.CE＝CF B.DE＝DF C.∠A＝45° D.E为AB的中点 8.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为1，点E、F分别在边AD、BC上，连结BE、DF、EF、BD.若四边形BFDE是菱形，且OE＝AE，则边BC的长是（　B　） A.1 B. C.2 D.2 第8题图 9.数学思想数形结合 如图1，在矩形ABCD中，E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B、P两点间的距离为x，PA－PE＝y，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，根据题意，下列说法错误的是（　D　） 图1 图2 第9题图 A.PA－PE≤AE B.AB－BE＝1 C.AE＝5 D.PA最大时，y值最大 10.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为（　B　） 第10题图 A.1 B. C. D. 解析：由函数图象可知，当x＝0，即点P在B点时，PA－PE＝AB－BE＝1，B正确；由三角形的三边关系，得PA－PE≤AE.∴y的最大值为AE，即AE＝5.A、C正确；∵PA取最大值时点P运动到点C，即PA＝AC，此时y＝PA－PE＜AE，∴PA最大时，y的取值不是最大值，D错误.故选D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11.真题情境菱形学具 小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝1，∠B＝60°，接着她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A′C′的长为　　. 第11题图 12.如图，菱形ABCD对角线的长分别为2和6，P是对角线AC上一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是　3　. 第12题图 13.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC、BC于点E、F，分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，连结CG，并延长交DB于M点，若BM＝，则线段OM＝　1　. 第13题图 14.［武汉市］如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，点A（－2，2）、B（－1，－），将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2 025次旋转结束时，点A的坐标为　（－2，－2）　. 第14题图 解析：∵360°÷90°＝4，∴旋转4次后回到原来的位置.∵2 025÷4＝506……1，∴第2 025次旋转结束时，点A在第三象限.如图，过点A作AE⊥x轴于点E，延长OB到点A′，使OA′＝OA，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠OFA′＝90°，∴∠OAE＋∠AOE＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝OA′，AC⊥BD.∴∠A′OF＋∠AOE＝90°.∴∠OAE＝∠A′OF.∴△OAE≌A′OF（AAS）.∴AE＝OF，OE＝A′F. ∵点A（－2，2），∴ OE＝2，AE＝2.∴OF＝2，A′F＝2.∴点A′（－2，－2）.故第2 025次旋转结束时，点A的坐标为（－2，－2）. 15.如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的点E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.限定点P、Q分别在AB、AD边上移动.若BP＝1，则BE的长为　　；若AQ＝4，则BE的长为　4－　. 第15题图 解析：∵AB＝3，BP＝1，∴AP＝2.由折叠的性质可得PE＝AP＝2.∵四边形 ABCD是矩形，∴∠B＝90°.∴由勾股定理得BE＝＝.如图，过点Q作QF⊥BC于点F，则四边形 ABFQ、四边形 QDCF均为矩形，∴QF＝CD＝AB＝3，BF＝AQ＝4.由折叠的性质可得EQ＝AQ＝4，∴EF＝＝.∴BE＝BF－EF＝4－. 三、解答题（共35分） 16.（6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠C＝30°. （1）请用尺规作图法，在AD上找点F，使AF＝BF；（不要求写作法，保留作图痕迹） 解：如图，点F即为所求. （2）在（1）的条件下，连结BF，求∠DBF的度数. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C＝30°，∠A＋∠ABC＝180°，∠ABD＝ ∠ABC. ∴∠ABC＝150°，∠ABD＝75°. ∵AF＝BF，∴∠FBA＝∠A＝30°. ∴∠DBF＝∠ABD－∠FBA＝75°－30°＝45°. 17.新考法开放性试题 （8分）在学习矩形的性质时，对于“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的证明，聪明的小美同学想到了两种方法，如下表： 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC边的中点.求证：OB＝AC. 方法一：倍长中线法. 证明：如图，延长BO至点D，使OD＝OB，连结CD、AD. …… 方法二：构造中位线法. 证明：如图，取BC的中点D，连结OD. …… 请你选择其中一种方法，完成对这条性质的证明. 解：选择方法一：倍长中线法. 证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC. 又∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.∴AC＝BD. ∴OB＝BD＝AC. （或选择方法二：构造中位线法. 证明：∵O是AC的中点，D是BC的中点， ∴OC＝AC，OD∥AB. ∵∠ABC＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥BC. ∴OD垂直平分BC.∴OB＝OC＝AC.） 18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象分别交于A、C两点.已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0），其中m＞0. （1）四边形 ABCD是　平行四边形　；（填写四边形ABCD的形状） （2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求mn的值； 解：∵点A（n，3），且点A在反比例函数y＝图象上， ∴＝3，即n＝1.∴点A（1，3）. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴OB＝OA＝＝. ∴m＝. ∴mn＝×1＝. （3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由. 解：（3）不能. 理由如下：∵当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD.∵BD在x轴上，∴AC在y轴上.此时反比例函数y＝与y轴没有交点，故随着k与m的变化，四边形ABCD不能成为菱形.（10分） 19.新考法阅读理解题 （11分）乐乐学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊的四边形产生了兴趣，发现了另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. （1）【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是　菱形、正方形　； （2）【性质探究】通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC、BD之间的数量关系：　S＝AC•BD　； （3）【问题解决】如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE，已知AC＝8，AB＝10. ①求证：四边形BCGE为垂美四边形； （3）①证明：如图，连结CG、BE.设BG交CE于点N，BA交CE于点M. ∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形， ∴∠CAG＝∠BAE＝90°，AG＝AC，AB＝AE.∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE. 在△GAB和△CAE中，∵AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE， ∴△GAB≌△CAE（SAS）. ∴BG＝CE，∠ABG＝∠AEC. 又∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMN， ∴∠ABG＋∠BMN＝90°.∴∠BNM＝90°. ∴四边形BCGE为垂美四边形. ②四边形BCGE的面积为　130　. 解析：∵FG＝CF＝AC＝8，∠ACB＝90°，AB＝10，∴由勾股定理，得BC＝＝6.∴BF＝BC＋CF＝14.在Rt△BFG中，由勾股定理，得BG＝＝＝，∴CE＝BG＝.∵四边形BCGE为垂美四边形，∴四边形BCGE的面积为BG•CE＝130. 学科网（北京）股份有限公司 $